专题01 线段周长面积最大值(含答案)-2024年中考数学压轴满分突破之二次函数篇.doc
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1、2024中考数学压轴题-二次函数第1节 线段周长面积最大值 内容导航方法点拨 例题演练 题组1:线段的最大值例1如图,抛物线y+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(1,0),C(0,2)(1)求抛物线的表达式;(2)线段BC上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值练1.1如图所示,二次函数yax2x+c的图象经过点A(0,1),B(3,),A点在y轴上,过点B作BCx轴,垂足为点C(1)求直线AB的解析式和二次函数的解析式;(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NPx轴,垂足为点P,交AB于点M,求M
2、N的最大值;练1.2如图,二次函数yax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(1,0)、B(4,0),与y轴相交于点C(1)求该函数的表达式;(2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点,过点P作PQBC,垂足为点Q,连接PC求线段PQ的最大值;题组2:周长的最大值例2已知:如图,直线yx+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为(1,0)(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DEBC于E,作DFy轴交BC于F,求DEF周长的最大值练2.1如图所示,抛物线yax2+bx3交x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析
3、式;(2)如图,直线BC下方的抛物线上有一点D,过点D作DEBC于点E,作DF平行x轴交直线BC点F,求DEF周长的最大值;练2.2如图,抛物线yx2+bx+c的图象与x轴交于A(5,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点E(x,y)为抛物线上一点,且5x2,过点E作EFx轴,交抛物线的对称轴于点F,作EHx轴于点H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF周长的最大值;练2.3如图,抛物线yx24x5与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求A,B,C三点的坐标及抛物线的对称
4、轴(2)如图1,点E(m,n)为抛物线上一点,且2m5,过点E作EFx轴,交抛物线的对称轴于点F,作EHx轴于点H,求四边形EHDF周长的最大值练2.4如图1,抛物线yx2(a+1)x+a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴负半轴交于点C,若AB4(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,E是第三象限内抛物线上的动点,过点E作EFAC交抛物线于点F,过E作EGx轴交AC于点M,过F作FHx轴交AC于点N,当四边形EMNF的周长最大值时,求点E的横坐标;练2.5综合与探究如图,抛物线yx22x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,点D(m,0)为线段OA上一个动点(
5、与点A,O不重合),过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P,与抛物线交于点Q,连接BP,与y轴交于点E(1)求A,B,C三点的坐标;(2)当点D是OA的中点时,求线段PQ的长;(3)在点D运动的过程中,探究下列问题:是否存在一点D,使得PQ+PC取得最大值?若存在,求此时m的值;若不存在,请说明理由;题组3:面积的最大值例3如图,抛物线yax23ax4a(a0)与x轴交于A,B两点,直线yx+经过点A,与抛物线的另一个交点为点C,点C的横坐标为3,线段PQ在线段AB上移动,PQ1,分别过点P、Q作x轴的垂线,交抛物线于E、F,交直线于D,G(1)求抛物线的解析式;(2)当四边形DEFG为平行四边
6、形时,求出此时点P、Q的坐标;(3)在线段PQ的移动过程中,以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值,若有求出最大值,若没有请说明理由练3.1如图,抛物线yax2+bx+2交x轴于点A(3,0)和点B(1,0),交y轴于点C(1)求这个抛物线的函数表达式(2)点D的坐标为(1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形ADCP面积的最大值练3.2如图,对称轴为直线x2的抛物线经过点A(1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B,已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点(1)求此抛物线的解析式;(2)当a1时,求四边形MEFP面积的最大
7、值,并求此时点P的坐标2024中考数学压轴题-二次函数第1节 线段周长面积最大值 中考数学压轴题-二次函数第2节 将军饮马求最值1-对称 内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。基本图形解析:(一)、已知两个定点:1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;(1)点A、B在直线m两侧: (2)点A、B在直线同侧: A、A 是关于直线m的对称点。 2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。(1)两个点都在直线外侧: (2)一个点在内侧,一个点在外侧: (3)两个点都在内侧: (4)、台球两次碰壁模型变式一:已知点A、B位于直线m,n 的内侧,在直线n、m分别上求点D、E点,
8、使得围成的四边形ADEB周长最短. 变式二:已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析:1、在一条直线m上,求一点P,使PA与PB的差最大;(1)点A、B在直线m同侧: 解析:延长AB交直线m于点P,根据三角形两边之差小于第三边,PAPBAB,而PAPB=AB此时最大,因此点P为所求的点。(2)点A、B在直线m异侧: 解析:过B作关于直线m的对称点B,连接AB交点直线m于P,此时PB=PB,PA-PB最大值为AB 例题演练 题组1:两定点一动点问题例1已知,如图1,抛物线y
9、x22x3与x轴交于点A,在抛物线第一象限的图象上存在一点B,x轴上存在一点C,使ACB90,ACBC,抛物线的顶点为D(1)求直线AB的解析式;(2)如图2,若点E是AB上一动点(点A、B除外),连接CE,OE,当EC+OE的值最小时,求BDE的面积;练1.1如图,已知抛物线yx2+3x8的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C(1)求直线BC的解析式;(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点,当BCF的面积最大时,在抛物线的对称轴上找一点P,使得BFP的周长最小,请求出点F的坐标和点P的坐标; 题组2:两动点一定点问题例2如图,抛物线yx2+bx+c与直线ymx+n相交
10、于点A(1,8)和点B(5,4)(1)求抛物线和直线AB的解析式(2)如图1,直线AB上方的抛物线上有一点P,过点P作PQ垂直于AB所在直线,垂足为Q,在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N,连接PN,NM,MB,BP当线段PQ的长度最大时,求四边形PNMB周长的最小值练2.1如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx2+x+3,分别交x轴于A、B两点,交y轴交于C点,顶点为D(1)如图1,连接AD,R是抛物线对称轴上的一点,当ARAD时,求点R的坐标;(2)在(1)的条件下在直线AR上方,对称轴左侧的抛物线上找一点P,过P作PQx轴,交直线AR于点Q,点M是线段PQ的中点,过点M作MNAR
11、交抛物线对称轴于点N,当平行四边形MNRQ周长最大时,在抛物线对称轴上找一点E,y轴上找一点F,使得PE+EF+FA最小,并求此时点E、F的坐标 题组3:线段之差的最大值问题例3如图,二次函数yx2+2x+1的图象与一次函数yx+1的图象交于A,B两点,点C是二次函数图象的顶点,P是x轴下方线段AB上一点,过点P分别作x轴的垂线和平行线,垂足为E,平行线交直线BC于F(1)当PEF面积最大时,在x轴上找一点H,使|BHPH|的值最大,求点H的坐标和|BHPH|的最大值;练3.1已知抛物线:yx2x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,D点为抛物线的顶点,E为抛物线上一点,点E的横坐标为5(
12、1)如图1,连接AD、OD、AE、OE,求四边形AEOD的面积(2)如图2,连接AE,以AB,AE为边作AEFB,将抛物线w与AEFB一起先向右平移6个单位长度,再向上平移m个单位长度,得到抛物线w和AEFB,在向上平移的过程中AEFB与AEFB重叠部分的面积为S,当S取得最大值时,EF与BF交于点Q,在直线AB上有两动点P,H,且PH2(P在H的右边),当|PQHC|取得最大值时,求点P的坐标练3.2如图1,二次函数y的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的右边),与y轴交于点C,直线l是它的对称轴(1)求直线l与直线AC交点的坐标;(2)如图2,在直线AC上方的抛物线上有一动点P,过点P作
13、x轴的垂线,垂足为点D,与直线AC交于点E,过点P作直线AC的垂线,垂足为点F,当PEF的周长最大时,在对称轴l上找点M,使得|BMPM|的值最大,求出|BMPM|的最大值,并求出对应的点M的坐标;练3.3如图1,在平面直角坐标系中,抛物线yx2+x+3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与x轴的交点为D(1)求直线BC的解析式;(2)点E(m,0),F(m+2,0)为x轴上两点,其中2m4,EE,FF分别垂直于x轴,交抛物线于点E,F,交BC于点M,N,当ME+NF的值最大时,在y轴上找一点R,使|RFRE|的值最大,请求出R点的坐标及|RFRE|的
14、最大值; 内容导航方法点拨 例题演练 题组1:线段的最大值例1如图,抛物线y+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(1,0),C(0,2)(1)求抛物线的表达式;(2)线段BC上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值【解答】解:(1)抛物线y+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,A(1,0),C(0,2),解得:,故抛物线解析式为:yx2+x+2;(2)令y0,则x2+x+20,解得x11,x24,B(4,0),设直线BC的解析式为ykx+b,解得,直线BC的解析式为yx+2,设P(m,m+2);则Q(m,m2
15、+m+2),则PQ(m2+m+2)(m+2)m2+2m(m2) 2+2,此时PQ的最大值为2练1.1如图所示,二次函数yax2x+c的图象经过点A(0,1),B(3,),A点在y轴上,过点B作BCx轴,垂足为点C(1)求直线AB的解析式和二次函数的解析式;(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NPx轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;【解答】解:(1)设直线AB的解析式为:ykx+b,直线AB的解析式为:yx+1;把A(0,1),B(3,)代入yax2x+c得,二次函数的解析式为:yx2x+1;(2)设点N的坐标为(m,m2m+1)(3m0),则点M的坐标为(m,m
16、+1),MNm2m+1(m+1)m2m+1(m+)2+,当m时,MN取最大值,最大值为;练1.2如图,二次函数yax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(1,0)、B(4,0),与y轴相交于点C(1)求该函数的表达式;(2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点,过点P作PQBC,垂足为点Q,连接PC求线段PQ的最大值;【解答】解:(1)抛物线解析式为ya(x+1)(x4),即yax23ax4a,则4a2,解得a,所以抛物线解析式为yx2+x+2;(2)作PNx轴于N,交BC于M,如图,BC2,当x0时,yx2+x+22,则C(0,2),设直线BC的解析式为ymx+n,把C(0,2),B(4,0)
17、得,解得,直线BC的解析式为yx+2,设P(t,t2+t+2),则M(t,t+2),PMt2+t+2(t+2)t2+2t,NBMNPQ,PQMBOC,即PQ,PQt2+t(t2)2+,当t2时,线段PQ的最大值为;题组2:周长的最大值例2已知:如图,直线yx+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为(1,0)(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DEBC于E,作DFy轴交BC于F,求DEF周长的最大值【解答】解:(1)直线yx+2与x轴交于B(2,0),与y轴交于C点(0,2),设过A、B、C的抛物线的解析式为yax2+bx+c,把A(1,0
18、)、B(2,0)、C(0,2)的坐标代入,a1,b1,c2,抛物线的解析式为:yx2+x+2,(2)设D(x,x2+x+2),F(x,x+2),DF(x2+x+2)(x+2)x2+2x,所以x1时,DF最大1,OBOC,OBC为等腰直角三角形,DEBC,DFy轴,DEF为等腰直角三角形,DEF周长的最大值为1+练2.1如图所示,抛物线yax2+bx3交x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)如图,直线BC下方的抛物线上有一点D,过点D作DEBC于点E,作DF平行x轴交直线BC点F,求DEF周长的最大值;【解答】解:(1)抛物线yax2+bx3交x轴交
19、于A(1,0),B(3,0)两点,解得:抛物线的解析式为yx22x3(2)抛物线yx22x3与y轴交于点C点C坐标为(0,3)直线BC解析式为:yx3点B(3,0),点C(0,3)OBOC3,OBCOCB45DFAB,EFD45OBC,DEBC,EFDEDF45,DEEF,DFEF,EFDEDF,DEF周长DE+EF+DF(1+)DF,设点D(a,a22a3),则F(a22a,a22a3)DFaa2+2aa2+3a(a)2+当a时,DF有最大值为,即DEF周长有最大值为(1+),练2.2如图,抛物线yx2+bx+c的图象与x轴交于A(5,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与
20、x轴交于点D(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点E(x,y)为抛物线上一点,且5x2,过点E作EFx轴,交抛物线的对称轴于点F,作EHx轴于点H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF周长的最大值;【解答】解:(1)把A(5,0),B(1,0)两点坐标代入yx2+bx+c,得到,解得,抛物线的函数表达式为yx24x+5(2)如图1中,抛物线的对称轴x2,E(x,x24x+5),EHx24x+5,EF2x,矩形EFDH的周长2(EH+EF)2(x25x+3)2(x+)2+,20,x时,矩形EHDF的周长最大,最大值为练2.3如图,抛物线yx24x5与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y
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