专题11二次函数与角综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案.docx

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1、挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题11二次函数与角综合问题 二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型：1. 特殊角问题：（1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45构造等腰直角三角形，遇到30、60构造等边三角形，遇到90构造直角三角形2.角的数量关系问题(1)等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决(2)二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答(3)角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答【例1】(2021兰州)如图1，二次函数ya

2、(x+3)(x4)的图象交坐标轴于点A，B(0，2)，点P为x轴上一动点(1)求二次函数ya(x+3)(x4)的表达式；(2)过点P作PQx轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC当OP1时，求ACQ的面积；(3)如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD当点D在抛物线上时，求点D的坐标；点E(2，)在抛物线上，连接PE，当PE平分BPD时，直接写出点P的坐标【例2】(2021贵港)如图，已知抛物线yax2+bx+c与x轴相交于A(3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x1，连接AC(1)求该抛物线的表达式；(2)若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当ABD

3、BAC时，求直线l的表达式；(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使SBDPSABD请直接写出所有符合条件的点P的坐标【例3】(2021罗湖区校级模拟)如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A(3，0)、B，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点P，使SBCP2SBCO，求点P的坐标；(3)如图2，直线yx+3交抛物线于第一象限的点M，若N是抛物线yx2+bx+c上一点，且MANOCB，求点N的坐标【例4】(2021溧阳市一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交

4、于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线lx轴，点P(m，y1)为该抛物线上一个动点，点Q(m，y2)为直线l上一个动点(1)当m0，且y1y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；(2)当m0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OEEC，且OEEC2，连接PQ，求线段PQ的长；(3)连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得PCQ与BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【例5】(2020十堰)已知抛物线yax22ax+c过点A(1，0)和C(0，3)，与x轴交于另一点B，顶点为D(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；(2)如图1，

5、E为线段BC上方的抛物线上一点，EFBC，垂足为F，EMx轴，垂足为M，交BC于点G当BGCF时，求EFG的面积；(3)如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使OPBAHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【例6】(2020包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x22x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y=-12x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM(1)求b的值及点M的坐标；(2)将直线AB向下平移，得到过点M的直线ymx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求证：ADMACM45；(3)点E

6、是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G当BEF2BAO时，是否存在点E，使得3GF4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【题组一】1(2021海陵区一模)如图，点C(0，)(a0)是y轴负半轴上的一点，经过点C作直线，与抛物线yax2交于A、B两点(点A在点B的左侧)，连接OA、OB，设点A的横坐标为m(m0)(1)若点A的坐标为(4，2)，求点C的坐标；(2)若AC：BC1：2，m1，求a的值，并证明：AOB90；(3)若AC：BC1：k(k1)，问“AOB90”这一结论还成立吗？试说明理由2(2021郫都区模拟)如图，在平面直

7、角坐标系中，抛物线yax2+bx+c的图象与轴交于A(1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，3)，连接AC、BC(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D是抛物线上位于第四象限内的一点，连接AD，点E是AD的中点，连接BE、CE，求BCE面积的最小值；(3)如图2，点P是抛物线上位于第四象限内的一点，点Q在y轴上，PBQOBC，是否存在这样的点P、Q使BPBQ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由3(2021新洲区模拟)在平面直角坐标系中，抛物线yx2+(a2)x+2a与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C(1)若AB5，求抛物线的解析式；(2)若经过点

8、C和定点M的直线与该抛物线交于另一点D，且SACMSADM(“S”表示面积)求定点M的坐标；连接BD交y轴于点E，连接AE，若AEOBDC，求a的值4(2021东港区校级二模)如图，已知点A(1，0)，B(3，0)，C(0，1)在抛物线yax2+bx+c上(1)求抛物线解析式；(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P，求PBC面积的最大值及此时点P的坐标(3)在对称轴上求一点M，使得BMCM最大；(4)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使BQCBAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在说明理由【题组二】5(2021郑州模拟)如图，已知直线BC的解析式为yx+3，与x轴，y轴交于点B，C抛

9、物线yax2+bx+3过A(1，0)，B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD(1)求二次函数及直线CD的解析式；(2)点P是线段CD上一点(不与点C，D重合)，当BCP的面积为时，求点P的坐标(3)点F是抛物线上一点，过点F作FGCD交直线CD于点G，当CFGEDB时，请直接写出点F的坐标6(2021宝安区模拟)如图，二次函数yax2+5ax+7与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，若OB：OC7：2点P是抛物线第二象限内的一个动点连接PC交y轴于点D，连接PB(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，设P点横坐标为t，PBD的面积为S，求S与t的关系式；(3

10、)如图2，作PEx轴于E，连接ED，点F为ED上一个动点，连接AF交PE于点G，若2GAO+EDO90，DF2EG，求P点坐标7(2021渭滨区模拟)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax22x+c与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，与y轴相交于点C(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BC，BN，点H在x轴上，当HCBNBC时，求满足条件的点H的坐标8(2021山西模拟)综合与探究：如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点(点B在点A的右侧)，且与y轴交于点C(1)求A，B，C三点的坐标；(2)如图1，若M(m，y1)，N(n

11、，y2)是第四象限内抛物线上的两个动点，且mn，m+n4分别过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E判断四边形MDEN的形状，并求其周长的最大值；(3)如图2，在(2)的条件下，当四边形MDEN的周长有最大值时，若x轴上有一点H(2m，0)，抛物线的对称轴与x轴相交于点F，试探究在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得APB2OCH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【题组三】9(2021洪山区模拟)已知抛物线yax2+bx3经过A(1，0)，且与x轴右侧交于B点，对称轴为直线x1，与y轴交于C点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点C作直线lx轴交抛物线于点D，点P在抛

12、物线上，且DCPACO，求点P的坐标；(3)如图2，直线ykx+b(kb)交抛物线于M、N两点，NHx轴于点H，HQMA，HQ与MN相交于点Q，求点Q的横坐标10(2021宁波模拟)如图，在平面直角坐标系中二次函数yax2+bx+3的图象过点A，B两点，其坐标分别为(5，0)，(2，3)(1)求二次函数的表达式；(2)点C在抛物线上，若ABC90，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，BC与y轴交于点D，点P在抛物线上，若PBCOAD，直接写出点P的坐标11(2021吉安县模拟)已知二次函数yax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C其中A(1，0)、C

13、(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上运动(不与点A重合)当PBC的面积与ABC的面积相等时，求点P的坐标；当PCBBCA时，求直线CP的解析式12(2021江西模拟)如图，抛物线yax2+k(a0，k0)与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，其顶点为C，点P为线段OC上一点，且PCOC过点P作DEAB，分别交抛物线于D，E两点(点E在点D的右侧)，连接OD，DC(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(用含a，k的式子表示)(2)猜想线段DE与AB之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若ODC90，k4，求a的值【题组四】13(2020碑林区校级二模)如图，已知抛物线yax

14、2+bx+5经过A(5，0)，B(4，3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD(1)求该抛物线的表达式；(2)判断BCD的形状，并说明理由；(3)若点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，该抛物线上是否存在点P，使得PBCBCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由14(2020武汉模拟)抛物线yax2+bx+c，顶点为P(h，k)(1)如图，若h1，k4，抛物线交x轴于A、B，交y轴正半轴于C，OC3求抛物线的解析式；向下平移直线BC，交抛物线于MN，抛物线上是否存在一定点D，连DM，DN分别交x轴于E，F，使DEFDFE？若存在，求D的坐标

15、；若不存在，请说明理由(2)若c0，当点P在抛物线yx2x上且1h2时，求a的取值范围15(2020西华县一模)如图，直线y=12x+c与x轴交于点B(4，0)，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；(3)若M是抛物线上一点，且MCBABC，请直接写出点M的坐标16(2020硚口区模拟)如图1，该抛物线是由yx2平移后得到，它的顶点坐标为(-32，-254)，并与坐标轴分别交于A，B，C三点(1)求A，B的坐标(2)如图2，连接BC，AC，在第三象限的

16、抛物线上有一点P，使PCABCO，求点P的坐标(3)如图3，直线yax+b(b0)与该抛物线分别交于P，G两点，连接BP，BG分别交y轴于点D，E若ODOE3，请探索a与b的数量关系并说明理由【题组五】17(2020深圳模拟)如图，抛物线y=14x2+bx+c与直线y=-12x+3分别交于x轴，y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为D，连接CD交x轴于点E(1)求该抛物线的解析式；(2)点F，G是对称轴上两个动点，且FG2，点F在点G的上方，请求出四边形ACFG的周长的最小值；(3)连接BD，若P在y轴上，且PBCDBA+DCB，请直接写出点P的坐标18(2020岱岳区二

17、模)如图，直线y=12x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y=-12x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B点D是AC上方抛物线上一点(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，CDE，BCE的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值；(3)过点D作DFAC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得CDF中的某个角等于BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由19.(2020曾都区模拟)如图，边长为3的正方形的边AB在x轴负半轴上，点C，D在第三象限内，点A的坐标为(5，0)，经过点A，C的抛物线yx2+bx+c交y轴于点

18、N，其顶点为M(1)求抛物线的解析式；(2)若y轴左侧抛物线上一点P关于y轴的对称点P恰好落在直线MC上，求点P的坐标；(3)连接AC，AM，AN，请你探究在y轴左侧的抛物线上，是否存在点Q，使ANQMAC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由20(2020南岗区校级三模)如图1，抛物线y=-14x2+bx+c与x轴负半轴交于A点，与x轴正半轴交于B点，与y轴正半轴交于C点，COBO，AB14(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点M、N在第一象限内抛物线上，M在N点下方，连CM、CN，OCN+OCM180，设M点横坐标为m，N点横坐标为n，求m与n的函数关系式(n是自变量)；(3)如图

19、3，在(2)条件下，连AN交CO于E，过M作MFAB于F，连BM、EF，若AFE2FMB2，求N点坐标【题组六】21(2020武侯区校级模拟)如图所示，抛物线yax2+bx+4的顶点坐标为(3，254)，与y轴交于点A过点A作ABx轴，交抛物线于点B，点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点E在y轴的负半轴上，且AEAD，直线CE交抛物线yax2+bx+4于点F求点F的坐标；过点D作DGCE于点G，连接OD、ED，当ODECDG时，求直线DG的函数表达式22.(2020滨海县二模)如图1，抛物线y=-12x2+bx+c与x

20、轴交于点A(4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E对称轴l与x轴交于点H(1)求抛物线的函数表达式及对称轴；(2)求点D和点F的坐标；(3)如图2，若点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，当EFP45时，请求出此时点P的坐标23(2020无锡一模)如图，一次函数y=12x2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y=-12x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C(1)求二次函数的关系式及点C的坐标；(2)如图，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PDx轴交AB于点D，PEy轴交AB于点E，求PD+P

21、E的最大值；(3)如图，若点M在抛物线的对称轴上，且AMBACB，求出所有满足条件的点M的坐标24(2020吴江区三模)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c(a0)的顶点坐标为C(3，6)，并与y轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与x轴的交点(1)求抛物线的解析式；(2)如图所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求ABP的面积的最大值；(3)如图所示，在对称轴AC的右侧作ACD30交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使CQD60？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题11二次

22、函数与角综合问题 二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型：2. 特殊角问题：（3） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系（4） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45构造等腰直角三角形，遇到30、60构造等边三角形，遇到90构造直角三角形2.角的数量关系问题(1)等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决(2)二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答(3)角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答【例1】(2021兰州)如图1，二次函数ya(x+3)(x4)的图象交坐标轴于点A，B(0，2)，点

23、P为x轴上一动点(1)求二次函数ya(x+3)(x4)的表达式；(2)过点P作PQx轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC当OP1时，求ACQ的面积；(3)如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90得到线段PD当点D在抛物线上时，求点D的坐标；点E(2，)在抛物线上，连接PE，当PE平分BPD时，直接写出点P的坐标【分析】(1)将B(0，2)代入ya(x+3)(x4)，即可求解；(2)先求直线AB的解析式为yx2，则Q(1，)，C(1，2)，可求SACQSACPSAPQ；(3)设P(t，0)，过点D作x轴垂线交于点N，可证明PNDBOP(AAS)，则D(t+2，t)，将D点代入抛物线解析式得

24、t(t+2+3)(t+24)，求德D(3，1)或D(8，10)；分两种情况讨论：当PEy轴时，OBP45，则P(2，0)；当PE不平行y轴时，过B点作BGPB交PE于点G，过G点作FGy轴，交于点F，可证明BPOGBF(AAS)，则E点与G点重合，求得P(，0)【解答】解：(1)将B(0，2)代入ya(x+3)(x4)，a，y(x+3)(x4)x2x2；(2)令y0，则(x+3)(x4)0，x3或x4，A(4，0)，设直线AB的解析式为ykx+b，yx2，OP1，P(1，0)，PQx轴，Q(1，)，C(1，2)，AP3，SACQSACPSAPQ323；(3)设P(t，0)，如图2，过点D作x轴

25、垂线交于点N，BPD90，OPB+NPD90，OPB+OBP90，NPDOBP，BPPD，PNDBOP(AAS)，OPND，BOPN，D(t+2，t)，t(t+2+3)(t+24)，解得t1或t10，D(3，1)或D(8，10)；如图3，PE平分BPD，BPEEPD，BPD90，BPE45，当PEy轴时，OBP45，P(2，0)； 如图4，过B点作BGPB交PE于点G，过G点作FGy轴，交于点F，PBF+FBG90，FBG+FGB90，PBFFGB，BPG45，BPBG，BPOGBF(AAS)，BFOP，FGOB，OB2，FG2，E(2，)E点与G点重合，POBF2，P(，0)；综上所述：P点

26、的坐标为(2，0)或(，0)【例2】(2021贵港)如图，已知抛物线yax2+bx+c与x轴相交于A(3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x1，连接AC(1)求该抛物线的表达式；(2)若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当ABDBAC时，求直线l的表达式；(3)在(2)的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使SBDPSABD请直接写出所有符合条件的点P的坐标【分析】(1)先根据对称轴得出b2a，再由点C的坐标求出c2，最后将点A的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；(2)分两种情况，、当点D在x轴上方时，先判断出AEBE，进而得

27、出点E在直线x1上，再求出点E的坐标，最后用待定系数法求出直线l的解析式；、当点D在x轴下方时，判断出BDAC，即可得出结论；(3)先求出点D的坐标，进而求出ABD的面积，得出PBD的面积，设P(m，m2m+2)(m0)，过P作y轴的平行线交直线BD于F，得出F(m，m)，进而表示出PF，最后用面积建立方程求解，即可得出结论【解答】解：(1)抛物线的对称轴为x1，1，b2a，点C的坐标为(0，2)，c2，抛物线的解析式为yax2+2ax+2，点A(3，0)在抛物线上，9a6a+20，a，b2a，抛物线的解析式为yx2x+2；(2)、当点D在x轴上方时，如图1，记BD与AC的交点为点E，ABDB

28、AC，AEBE，直线x1垂直平分AB，点E在直线x1上，点A(3，0)，C(0，2)，直线AC的解析式为yx+2，当x1时，y，点E(1，)，点A(3，0)点B关于x1对称，B(1，0)，直线BD的解析式为yx+，即直线l的解析式为yx+；、当点D在x轴下方时，如图2，ABDBAC，BDAC，由知，直线AC的解析式为yx+2，直线BD的解析式为yx，即直线l的解析式为yx；综上，直线l的解析式为yx+或yx；(3)由(2)知，直线BD的解析式为yx，抛物线的解析式为yx2x+2，或，D(4，)，SABDAB|yD|4，SBDPSABD，SBDP10，点P在y轴左侧的抛物线上，设P(m，m2m+

29、2)(m0)，过P作y轴的平行线交直线BD于F，F(m，m)，PF|m2m+2(m)|m2+2m|，SBDPPF(xBxD)|m2+2m|510，m5或m2(舍)或m1或m2，P(5，8)或(1，)或(2，2)【例3】(2021罗湖区校级模拟)如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A(3，0)、B，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上求点P，使SBCP2SBCO，求点P的坐标；(3)如图2，直线yx+3交抛物线于第一象限的点M，若N是抛物线yx2+bx+c上一点，且MANOCB，求点N的坐标【分析】(1)直接将A、C两点坐标代入到解析式中，解方程组，可以求得抛物线

30、解析式；(2)由于B、C坐标已知，且均在坐标轴上，直接求出BCO面积，从而求得BCP面积为3，由于B、C两点坐标已知，过P作BC的平行线与抛物线相交，此平行线上任意一点与B和C两点所构成的三角形面积均等于3，所以我们找到此线与x轴交点M(此处也可以选择与y轴交点)，由MBC面积为3，可以求得M点坐标，再由直线BC解析式，可以求得直线PM的解析式，联立直线PM与抛物线解析式，即可解决；(3)利用BCO，可以求得tanBCO，从而得到tanMAN，接联立抛物线与直线yx+3，可以求得交点A、M坐标，则N的位置可以分为在AM上方和AM下方，利用M为直角顶点，AM为直角边，构造一线三等角相似，从而求得

31、直线AN的解析式，联立AN与抛物线解析式，从而求得交点N的坐标【解答】解：(1)将C(0，3)代入到抛物线解析式中得，c3，将B(3，0)代入到抛物线解析式中得，93b30，b2，抛物线解析式为：yx2+2x3；(2)令y0，则x2+2x30，解得x13，x21，B(1，0)，SBCP2SBCO，SBCP3，如图1，过P作PMBC交x轴于M，连接MC，则SMBCSBCP3，MB2，M(1，0)，设直线BC为yk1x3，代入点B(1，0)得，k13，直线BC为：y3x3，则直线PM设为：y3x+b，代入点M(1，0)得，b3，直线PM为：y3x+3，联立，解得，P(3，12)或(2，3)；(3)

32、直线yx+3交抛物线于第一象限的点M，联立，解得，A(3，0)，M(2，5)，在RtOBC中，tanOCB，如图2，当N在AM下方时，过A作y轴平行线，过M作x轴平行线，两线交于点G过M作MQAM交AN于Q，过Q作y轴平行线交GM于H，AGMMHQ90，AMG+GAM90，又AMMQ，AMQ90，AMG+HMQ90，GAMHMQ，又AGMMHQ90，AGMMHQ，A(3，0)，M(2，5)，AG5，GM5，MHHQ，Q()，设直线AQ为：yk2(x+3)，代入点Q，得，直线AQ为，联立，化简得，2x2+3x90，解得x或3，当x时，y，N()，当N在AM上方时，同理可得，N(3，12)，N()

33、或(3，12)【例4】(2021溧阳市一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，经过点C的直线l与该抛物线交于另一点D，并且直线lx轴，点P(m，y1)为该抛物线上一个动点，点Q(m，y2)为直线l上一个动点(1)当m0，且y1y2时，连接AQ，BD，说明：四边形ABDQ是平行四边形；(2)当m0，连接AQ，线段AQ与线段OC交于点E，OEEC，且OEEC2，连接PQ，求线段PQ的长；(3)连接AC，PC，试探究：是否存在点P，使得PCQ与BAC互为余角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)求出点D(3，3)，求出

34、CQ2，DQ5，则ABDQ，由平行四边形的判定可得出答案；(2)证明AOEQCE，得出，求出QC2，则可得出答案；(3)分两种不同的情况：当点P在直线l上方时，当点P在直线l下方时，由直角三角形的性质得出tanPCQtanACO，列出方程求出答案即可【解答】解：(1)证明：当y0时，x30，解得x11，x24，A(1，0)，B(4，0)，AB5当x0时，y3，C(0，3)直线lx轴，直线l的解析式为y3x33，解得x30，x43，D(3，3)，CD3点Q(m，y2)在直线l上，y23y1，y1，m0，点P(m，y1)在该抛物线上，解得m2或m5(舍去)直线lx轴，CQ2，DQ5，ABDQ，AB

35、DQ，四边形ABDQ是平行四边形(2)P，Q两点的横坐标都是m，直线lx轴，PQ|y1y2|m|，设OEn，则EC3n，n(3n)2，解得n1或n2OEEC，OE1，EC2直线lx轴，OAECQE，AOEQCE，AOEQCE，QC2，m0，m2，PQ；(3)存在假设存在点P，使得PCQ与BAC互为余角，即PCQ+BAC90BAC+ACO90，PCQACOOA1，OC3，tanPCQtanACO，连接PQ直线lx轴，直线PQy轴，PCQ是直角三角形，且CQP90tanPCQ，当点P在直线l上方时，PQy1y2m，(i)若点P在y轴左侧，则m0，QCmm(m)，解得m10(舍去)，m2(舍去)(i

36、i)若点P在y轴右侧，则m0，QCmmm，解得m30(舍去)，m4y1y2，y1，；当点P在直线l下方时，m0，QCm，PQy2y1m，mm，解得m50(舍去)，m6，y2y1，y1，综上，存在点，使得PCQ与BAC互为余角【例5】(2020十堰)已知抛物线yax22ax+c过点A(1，0)和C(0，3)，与x轴交于另一点B，顶点为D(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；(2)如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EFBC，垂足为F，EMx轴，垂足为M，交BC于点G当BGCF时，求EFG的面积；(3)如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使OPBAHB？若

37、存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；(2)先求出BC的解析式yx+3，再设直线EF的解析式为yx+b，设点E的坐标为(m，m2+2m+3)，联立方程求出点F，G的坐标，根据BG2CF2列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；(3)过点A作ANHB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到H45，设点P(n，n2+2n+3)，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RSPR，证明OPSOBP，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求解后即可得到点P的坐标【解析】

38、(1)把点A(1，0)，C(0，3)代入yax22ax+c中，a+2a+c=0c=3，解得a=-1c=3，yx2+2x+3，当x=-b2a=1时，y4，D(1，4)；(2)如图1，抛物线yx2+2x+3，令y0，x1，或x3，B(3，0)设BC的解析式为ykx+b(k0)，将点C(0，3)，B(3，0)代入，得b=33k+b=0，解得k=-1b=3，yx+3EFCB设直线EF的解析式为yx+b，设点E的坐标为(m，m2+2m+3)，将点E坐标代入yx+b中，得bm2+m+3，yxm2+m+3，联立得y=-x+3y=x-m2+m+3x=m2-m2y=-m2+m+62F(m2-m2，-m2+m+6

39、2)把xm代入yx+3，得ym+3，G(m，m+3)BGCFBG2CF2，即(m-3)2+(3-m)2=(m2-m2)2+(m2-m2)2解得m2或m3点E是BC上方抛物线上的点，m3，(舍去)点E(2，3)，F(1，2)，G(2，1)，EF=12+12=2，FG=12+12=2，SEFG=1222=1；(3)如图2，过点A作ANHB于N，点D(1，4)，B(3，0)，yDB2x+6点A(1，0)，点C(0，3)，yAC3x+3，联立得y=x+3y=-2x+6，x=35y=245，H(35，245)设yAN=12x+b，把(1，0)代入，得b=12，y=12x+12，联立得y=12x+12y=

40、-2x+6，x=115y=85，N(115，85)，AN2=(115+1)2+(85)2=(165)2+(85)2，HN2=(85)2+(165)2，ANHNH45设点P(n，n2+2n+3)过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RSPR，RSP45且点S的坐标为(n2+3n+3，0)若OPBAHB45在OPS和OPB中，POSPOB，OSPOPB，OPSOBPOPOB=OSOPOP2OBOSn2+(n+1)2(n3)23(n2+3n+3)n0或n=152或n3(舍去)P1(0，3)，P2(1+52，5+52)，P3(1-52，5-52)【例6】(2020包头)如图，在平面直角坐标系中，抛

41、物线y=13x22x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y=-12x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM(1)求b的值及点M的坐标；(2)将直线AB向下平移，得到过点M的直线ymx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求证：ADMACM45；(3)点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G当BEF2BAO时，是否存在点E，使得3GF4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可(2)证明：如图1中，设平移后的直线的解析式为y=-12x+n把点M的坐标代入求出n，过点D(2，0)作DHMC于H，则直线DH的解析式为y2x4，构建方程组求出点H的坐标，证明DHHM，推出DMC45可得结论(3)如图2中，过点G作GHOA于H，过点E作EKOA于K证明EFABAO，由题意EFAGFH，tanBAO=OBOA=36=12，推出tanGFHtanEFK=12，由GHEK，推出GFEF=GHEK=43，设GH4k，EK3k，构建方程求出k即可解决问题【解析】(1)解：对于抛物线y=13x22x，令y0