专题19以三角形为载体的几何综合探究问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案.docx

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1、挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题19以三角形为载体的几何综合探究问题【例1】(2021北京中考真题)在中，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作，过点B作，取AB中点O，连接ON(1)依题意在图1中补全图形；求证：CM=BN；(2)猜想线段AM ，BN，ON的数量关系，并证明；(3)当BCP=22.5时，若ON=1，则GN的值为_【例2】(2021山东济南中考真题)在中，点在边上，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形连接 (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；(2)当时，如图2，(1)中线段与线段的数量关系是否仍然成

2、立？请说明理由；如图3，当，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由【例3】(2021辽宁鞍山中考真题)如图，在中，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作交直线AN于点F，在AM上取点E，使(1)当AM与线段BC相交时，如图1，当时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 如图2，当时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由(2)当，时，若是直角三角形，直接写出AF的长【例4】(2021辽宁朝阳中考真题)如图，在RtABC中，ACBC，ACB90，点O在线段AB上(点O不与点A，B重合)，且OBkOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将

3、射线OM绕点O逆时针旋转90，交射线CB于点N(1)如图1，当k1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当k1时，判断线段OM与ON的数量关系(用含k的式子表示)，并证明；(3)点P在射线BC上，若BON15，PNkAM(k1)，且，请直接写出的值(用含k的式子表示)一、解答题1(2021湖北枣阳一模)问题探究：(1)如图1，、均为等边三角形，连接、，则线段与的数量关系是(2)如图2，在和中，连接、，试确定与的数量关系，并说明理由(3)如图3，在四边形中，且，若将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则线段的长度是2(2021山东单县二模)如图1，在中，点D、E分别是边、的

4、中点，连接将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为(1)问题发现当时，_；当时，_(2)拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明(3)问题解决绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长_3(2021广东花都三模)ABC为等腰三角形，ABAC，点D为ABC所在平面内一点(1)若BAC120，如图1，当点D在BC边上，BDAD，求证：DC2BD；如图2，当点D在ABC外，ADB120，AD2，BD4，连接CD，求CD的长；(2)如图3，当点D在ABC外，且ADB90，以AD为腰作等腰三角形ADE，DAEBAC，ADAE，直线DE交BC于点F，求证：点F是B

5、C中点4(2021广东深圳市南山区太子湾学校二模)问题背景：如图(1)，已知ABCADE，求证：ABDACE；尝试运用：如图(2)，在ABC中，点D是BC边上一动点，BACDAE90，且ABCADE，AB4，AC3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tanEDC时，求DE的长度；拓展创新：如图(3)，D是ABC内一点，BADCBD，tanBAD，BDC90，AB4，AC2求AD的长5(2021广东深圳三模)(1)问题背景：如图1，ACBADE90，ACBC，ADDE，求证：ABEACD；(2)尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，BED45，过点D作DFBE，垂足为F，连接CF

6、求的值；(3)拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG当DF1，S四边形AEDF5时，则BG的长为 6(2022上海市罗星中学模拟预测)如图1，四边形ABCD中，BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB9，AE6，且DCAE(1)求证：；(2)如果BE9，求四边形ABCD的面积；(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设，求y关于的函数解析式，并写出定义域7(2021山东青岛大学附属中学二模)如图，等腰三角形的腰长，动点从出发沿向运动，速度为，动点从出发沿向运动，速度为，当一个点到达终点时两个点同时停止运动点是点关于直线的对

7、称点，连接和，和相交于点设运动时间为秒(1)若当的值是多少时，恰好经过点?(2)设的面积为，求与之间的函数关系式(3)是否存在某一时刻，使平分?若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由(4)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上?若存在，求出相应的值，若不存在，请说明理由8(2021福建重庆实验外国语学校模拟预测)如图，在中，是边的延长线上一点，是边上一点，且(1)求证：；(2)作于点，并连结若，求的面积9(2021安徽合肥一六八中学模拟预测)如图1，和都是等腰直角三角形，且点是上的点(点不与点，重合)，过点作交的延长线于点，的延长线交于点过点作交于点，连接(1)求证：；(2)若，求的长；(

8、3)如图2，若，求的值10(2021重庆实验外国语学校三模)如图，已知在直角中，为边上一点，连接，过作，交边于点，(1)如图1，若，求；图1(2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：；图2(3)如图3，在(1)的条件下，为边的中点，为边上一个动点，连接，将沿翻折，得到，连接，以为斜边向右作等腰直角三角形，连接，求的最小值图311(2021浙江翠苑中学二模)(1)如图1，在中，请在图1中作一条直线，使得被分成两个等腰三角形，并在图中标注出相应的角度(2)如图2，在两个不相似的和中，直线和直线将和分别分为两个三角形，并使的两部分能分别与的两部分相似请在图中作出直线和直线，并标注出相应的角度

9、12(2021安徽安庆市第四中学二模)如图(1)，MAN90，AP平分MAN，点B是AM上一点，AB4，BGAP于C点，交AN于点G，CDAN，交AN于点D，连接BD交AP于点O，AFBD于E，连接CE(1)求证：BECBAC；(2)请判断CF与DF的数量关系，并给予证明；(3)若MAN90，如图(2)试证明CFDF13(2022湖北洪山模拟预测)如图1，在四边形ABCD中，ABCD，BD相交于点P，(1)求证：BACCBD；(2)如图2，E，F分别为边AD、BC上的点，PEDC，求证：PFCCPD；若BP2，PD1，锐角BCD的正弦值为，直接写出BF的长14(2021山东宁阳二模)在四边形中

10、，垂足为(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，过点作，分别与，交于点，点在边上，连接并延长，交于点，过作于，且证明；若，探究与的数量关系15(2021辽宁沈阳模拟预测)如图，已知等边ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)，直线是经过点的一条直线，把ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B(1)基础图形：如图1，当PB4时，若点B恰好在AC边上，求的长度；(2)模型变式：如图2，当PB5时，若直线lAC，则的长度为_；(3)动态探究：如图3，点在边上运动过程中，点到直线的距离为如果直线始终垂直于，那么的值是否变化？若变化，求出的变化范围；若不变化，求出的值；当时，请直接写

11、出在直线的变化过程中，的最大值16(2021安徽合肥市第四十五中学三模)如图，ABC中，ACB90，CBCA，CEAB于E，点F是CE上一点，连接AF并延长交BC于点D，CGAD于点G，连接EG(1)求证：CD2DGDA；(2)如图1，若CF2EF，求证：点D是BC中点；(3)如图2，若GC2，GE2，求GD17(2021陕西交大附中分校模拟预测)问题提出：(1)如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC2，则A的大小为；问题探究：(2)如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC与BD相交于O若AC8，BD6，AOD60，求四边形ABCD的面积；问题解决：(3)在西安市“三河一山”生态

12、绿道长廊建设中规划将某条绿道一侧的四边形区域修建成主题公园设计要求：如图，四边形ABCD中，AD160m，BCCD，ABCBCD120求这个主题公园的最大面积18(2021江苏沭阳县怀文中学二模)已知：和均为等腰直角三角形，连接，点为中点，连接(1)如图1所示，点、分别在边、上，求证：且；(2)将绕点旋转到图2所示位置时，线段与又有怎样的关系，证明你的结论(3)如图3所示，当，时，求长的取值范围19(2021江苏景山中学一模)【背景】如图1，在ABC中，ABAC，过点A的直线MNBC，点D是直线MN上的一动点，将射线DB绕着点D逆时针旋转，交线段AC于点P，使BDPBAC，试说明：DBDP小丽

13、提出了自己的想法：如图2在线段AB上取一点F，使DADF，通过证明BDFPDA可以解决问题【尝试】请你帮助小丽完成说理过程若AC6，BC4，AD3，求AP的长 【拓展】如图3，过点A的直线MNBC， AB3 cm，AC4cm，点D是直线MN上一点，点P是线段AC上的一点，连接DP，使得BDPBAC，求的值20(2021内蒙古东胜二模)【问题发现】(1)若四边形是菱形，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；【类比探究】(2)若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，

14、点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由；【拓展延伸】(3)在(2)的条件下，如图3，在正方形中，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积21(2018河南模拟预测)(1)问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE填空：AEB的度数为 ；线段AD，BE之间的数量关系为 (2)拓展探究如图2，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD，若点P满足PD

15、1，且BPD90，请直接写出点A到BP的距离22(2021福建厦门一中三模)如图，线段，交于点，若与，与中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角(1)如图，在四边形中，对角线，交于点，为等边三角形求证：与为倍优三角形(2)如图，正方形边长为，点为边上一动点(不与点，重合)连接和，对角线和交于点，当与为倍优三角形时，求的正切值挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题19以三角形为载体的几何综合探究问题【例1】(2021北京中考真题)在中，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作，过点B作，取AB中点O，连接ON(1)依题意在图1中补

16、全图形；求证：CM=BN；(2)猜想线段AM ，BN，ON的数量关系，并证明；(3)当BCP=22.5时，若ON=1，则GN的值为_【答案】(1)图见解析；见解析 ；(2)AMBNON，证明见解析；(3)【解析】【分析】(1)由题意补全图形，证明ACMCBN(AAS)，由全等三角形的性质可得出CMBN(2)连接OC，证明OCMOBN(SAS)，由全等三角形的性质可得出OMON，COMCOMBON，由等腰直角三角形的性质得出MNON，则可得出结论；(3)先求出AGM=67.5，再得到MOG =67.5，故可得到MO=MG，再根据勾股定理求出MN，故可求解【详解】解：(1)补全图形如图，证明：AM

17、CP，BNCP，AMCBNC90，ACMCAM90，ACB90，ACMBCN90，CAMBCN，ACBC，ACMCBN(AAS)，CMBN(2)依题意补全图形如图，结论：AMBNOM证明：连接OC，ACB90，ACBC，O是AB的中点，OCOB，ACOCBO45，ACMCBN，AMCN，OCMACOCBOOBN，OCMOBN，CMBN，OCMOBN(SAS)，OMON，COMBON，COMMOB90，BONMOB90，MON90，OMN是等腰直角三角形 MNON，AMCNCMMNBNON；(3)BCP=22.5，ACMCBNCAM=BCP=22.5GAM=CAB-CAM=22.5AMCPAGM

18、=90-GAM=67.5OMN是等腰直角三角形OMN=45MOG=180-AGM-OMN=67.5MOG=AGMMO=ON=MG=1MN=GN=MN-MG=故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键【例2】(2021山东济南中考真题)在中，点在边上，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形连接 (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；(2)当时，如图2，(1)中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，当，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由【答案】

19、(1)；(2)成立，理由见解析；平行四边形，理由见解析；【解析】【分析】(1)如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得；(2)根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得；如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及的结论可得,根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形【详解】(1)如图1，是以为斜边等腰直角三角形，,，即；(2)仍然成立，理由如下：如图2，是以为斜边等腰直角三角形，,，即，即；四边形是平行四边形，理由如下：如图3，过作，连接, 交于点，是以为斜边等腰直角三角形，三点共线， ，由可知，是以为斜边等腰

20、直角三角形，,，即，四边形是平行四边形【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键【例3】(2021辽宁鞍山中考真题)如图，在中，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作交直线AN于点F，在AM上取点E，使(1)当AM与线段BC相交时，如图1，当时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 如图2，当时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由(2)当，时，若是直角三角形，直接写出AF的长【答案】(1)；，理

21、由见解析；(2)或【解析】【分析】(1)结论：如图1中，作交AM于T想办法证明，可得结论结论：过点C作于Q想办法证明，可得结论(2)分两种情形：如图31中，当时，过点B作于J，过点F作于K利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明，可得结论如图32中，当时，解直角三角形求出AK，可得结论【详解】解：(1)结论：理由：如图1中，作交AM于T，是等边三角形，四边形AFCT是平行四边形，是等边三角形，故答案为：如图2中，结论：理由：过点C作于Q，四边形AFCQ是矩形，(2)如图31中，当时，过点B作于J，过点F作于K在中，四边形CDKF是平行四边形，四边形CDKF是矩形，如图32中，当时，同理可得：，在

22、中，综上所述，满足条件的AF的值为或【点睛】此题是几何变换综合题考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌握各知识点并掌握推理能力是解题的关键【例4】(2021辽宁朝阳中考真题)如图，在RtABC中，ACBC，ACB90，点O在线段AB上(点O不与点A，B重合)，且OBkOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90，交射线CB于点N(1)如图1，当k1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当k1时，判断线段OM与ON的数量关系(用含k的式子表示)，并证明；(3

23、)点P在射线BC上，若BON15，PNkAM(k1)，且，请直接写出的值(用含k的式子表示)【答案】(1)OMON，见解析；(2)ONkOM，见解析；(3)【解析】【分析】(1)作ODAM，OEBC，证明DOMEON；(2)作ODAM，OEBC，证明DOMEON；(3)设ACBCa，解RtEON和斜AOM，用含的代数式分别表示再利用比例的性质可得答案【详解】解：(1)OMON，如图1，作ODAM于D，OECB于E，ADOMDOCEOOEN90，DOE90，ACBC，ACB90，AABC45，在RtAOD中，同理：OEOB，OAOB，ODOE，DOE90，DOMMOE90，MON90，EONMO

24、E90，DOMEON，在RtDOM和RtEON中，DOMEON(ASA)，OMON(2)如图2，作ODAM于D，OEBC于E，由(1)知：ODOA，OEOB，由(1)知：DOMEON，MDONEO90，DOMEON，ONkOM(3)如图3，设ACBCa，ABa，OBkOA，OBa，OAa，OEOBa，NABCBON451530，ENOEa，CEODOAa，NCCEENaa，由(2)知：，DOMEON，AMON30，PONAOM，PA45，PEOEa，PNPEENaa，设ADODx，DM，由ADDMACCM得，(1)xACCM，x(ACCM)(ACAC)AC，k1， 【点睛】本题考查了三角形全等

25、和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作ODAC，OEBC；本题的难点是条件得出k1一、解答题1(2021湖北枣阳一模)问题探究：(1)如图1，、均为等边三角形，连接、，则线段与的数量关系是(2)如图2，在和中，连接、，试确定与的数量关系，并说明理由(3)如图3，在四边形中，且，若将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则线段的长度是【答案】(1)相等(2)(3)【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质证明EACDAB即可得到BD=CE；(2)证明，得到，证得，推出，由此得到结论；(3)连接，得到为等腰直角三角形，证明ABC，得到，推出，证得CAD得到，求出(1)解：(1)、均为等边三角形

26、，EAC=60-CAD，在与中，；(2)证明：，理由：，；(3)解：连接，如图，且，为等腰直角三角形，将线段绕点按逆时针方形旋转得到为等腰直角三角形ABC，又，即AB4=2，故答案为：【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键2(2021山东单县二模)如图1，在中，点D、E分别是边、的中点，连接将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为(1)问题发现当时，_；当时，_(2)拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明(3)问题解决绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长_【答案】(1)，(2)

27、当0360时，的大小没有变化，证明见解析(3)BD的长为或【解析】【分析】(1)当0时，在RtABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少180时，可得ABDE，然后根据，求出的值是多少即可(2)首先判断出ECADCB，再根据，判断出ECADCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案(3)分两种情形：如图31中，当点E在AB的延长线上时，如图32中，当点E在线段AB上时，分别求解即可(1)解：当0时，RtABC中，B90，AC2，点D、E分别是边BC、AC的中点，AEAC，BDBC1，如图1中，当180时，

28、可得ABDE，故答案为：，(2)解：如图2，当0360时，的大小没有变化，ECDACB，ECADCB，又，ECADCB，即当0360时，的大小没有变化(3)解：如图31中，当点E在AB的延长线上时，在RtBCE中，CE，BC2，BE1，AEAB+BE5，BD如图32中，当点E在线段AB上时，BE1，AEAB-BE =413，BD，综上所述，满足条件的BD的长为或【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题3(2021广东花都三模)ABC为等腰三角形，ABAC，点D为AB

29、C所在平面内一点(1)若BAC120，如图1，当点D在BC边上，BDAD，求证：DC2BD；如图2，当点D在ABC外，ADB120，AD2，BD4，连接CD，求CD的长；(2)如图3，当点D在ABC外，且ADB90，以AD为腰作等腰三角形ADE，DAEBAC，ADAE，直线DE交BC于点F，求证：点F是BC中点【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质可求ABCACB30BAD，可得DAC90，由含30的直角三角形的性质可求解；如图2，以AB，AC为边作等边ABH，等边ACH，以AD，BD为边作等边ADE，等边BDG，连接GH，过点E作ENDG，交GD的

30、延长线于N，由“SAS”可证ADBHGB，DACEAH，可得ADGH2，ADBBGH120，DCEH，由直角三角形的性质可得NDDE1，NEDN，在RtNEH中，由勾股定理可求EH，即可；(2)如图3通过证明ADEABC，可得ADEABC，可证A、D、B、F四点共圆，可求BFA90，由等腰三角形的性质可证点F是BC中点(1)解：证明：BAC120，ABACABCACB30BDADABDBAD30DAC90CD2ADCD2BD如图2，以AB，AC为边作等边ABH，等边ACH，以AD，BD为边作等边ADE，等边BDG，连接GH，过点E作ENDG，交GD的延长线于N，BDG和ABH都是等边三角形BD

31、BGDG4，ABBH，DBGABH60BGDABDGBH在ADB和HGB中ADBHGB(SAS)ADGH2，ADBBGH120DGB+BGH180点G，H，D三点共线DH4+26ADE和ACH都是等边三角形ACAH，AEADDE2，DAECAHEDA60DACEAH同理DACEAH(SAS)DCEHBDGEDN60，ENDGDEN30NDDE1，NEDNHNDH+DN7EHCDEH2(2)连接AF，如图3所示：DAEBAC，ADAE，ABACADEABCADEABA、D、B、F四点共圆BFA180ADB1809090AFBCABACBFCF点F是BC中点【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边

32、三角形的性质，三角形全等，勾股定理，三角形相似，四点共圆等知识解题的关键在于对知识的灵活运用4(2021广东深圳市南山区太子湾学校二模)问题背景：如图(1)，已知ABCADE，求证：ABDACE；尝试运用：如图(2)，在ABC中，点D是BC边上一动点，BACDAE90，且ABCADE，AB4，AC3，AC与DE相交于点F，在点D运动的过程中，当tanEDC时，求DE的长度；拓展创新：如图(3)，D是ABC内一点，BADCBD，tanBAD，BDC90，AB4，AC2求AD的长【答案】问题背景：见解析；尝试运用：；拓展创新：【解析】【分析】问题背景：根据ABCADE，得出，BACDAE，利用角的

33、差得出BADCAE，即可；尝试应用：连接CE，先证ABCADE，再证BADCAE，得出BACE，可证DCE90，根据tanEDC，列方程，求出x即可；拓展创新：过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，先证BDCMDA，得出，再证BDMCDA，得出，tanBAD，得出BD2CD，BM2AC4，DM2AD，根据勾股定理列方程AD2DM2AM2，AD24AD232，解方程即可【详解】证明：问题背景：ABCADE，BACDAE，BAD+DAC=DAC+CAE，BADCAE，ABDACE尝试应用：如图(2)，连接CE，AB4，AC3，BAC90，BC5，BACDAE90，ABC

34、ADE，ABCADE，BACDAE90，BADCAE=90-DAC，BADCAE，BACE，设BD4x，CE3x，CD54x，BACB90，ACEACB90，DCE90，tanEDC，x，经检验x是方程的解，符合题意，EC，CD3，DE拓展创新：过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，BAMADMBDC90，BADDBC，DAMBCD，又ADMBDC90，BDCMDA，又BDCADM，BDCCDMADMCDM，即BDMCDA，BDMCDA，tanBAD，BD2CD，BM2AC4，DM2AD，AM，AD2DM2AM2，AD24AD232，AD或舍去【点睛】本题考查三角形

35、相似的判定和性质，解直角三角形，解分式方程，一元二次方程，勾股定理正确的作出辅助线是解答本题的关键5(2021广东深圳三模)(1)问题背景：如图1，ACBADE90，ACBC，ADDE，求证：ABEACD；(2)尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，BED45，过点D作DFBE，垂足为F，连接CF求的值；(3)拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG当DF1，S四边形AEDF5时，则BG的长为 【答案】(1)见解析；(2)；(3)【解析】【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得，根据两边对应成比例且夹角相等可得；(2)

36、根据条件，证明即可；(3)由相似三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案【详解】(1)证明：如图，且，；(2)解：如图2，连接，在正方形中，；(3)解：如图3，连接，过点作于点，四边形是正方形，四边形是正方形，设，则，解得：(舍去)，故答案为：【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握正方形以及相似三角形的的性质6(2022上海市罗星中学模拟预测)如图1，四边形ABCD中，BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB9，AE6，且DCAE(1)求证：；(2)如果BE9，求四边形A

37、BCD的面积；(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设，求y关于的函数解析式，并写出定义域【答案】(1)见解析(2)(3)【解析】【分析】(1)先证明ABEAED，可得AEB=ADE，再由平行线性质可推出ADE=DCE，进而证得ADEECD，根据相似三角形性质可证得结论；(2)如图，过点B作BGAE，运用等腰三角形的性质可得G为AE的中点，进而可证得ADEECD(SAS)，再求得，根据ABEAED且相似比为3:2，可求得，由可求答案；(3)由ABEAED，可求得：DE=，进而得出，再利用ADEECD，进而求得：，再结合题意得出答案(1)AE平分BADBAE=DAE ABEAEDABE=ADE，AED=CDEADE=DCE，ADEECD(2)如图，过点B作BGAEBE=9=ABABE是等腰三角形G为AE的中点，由(1)可得ADE、ECD也是等腰三角形，AB=BE=9，AE=6AD=4，DE=6，CE=4，AG=3ADEECD(SAS)在RtABG中，BG= ABEAED且相似比为3:2= (3)由(1)知：ABEAED BE=x，AB=9,AE=6， 由(1)知： , ADEECD y关于x的函数解析式为 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，