2024中考数学几何模型12讲第7讲轴对称最值模型含解析.doc

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1、2024中考数学几何模型12讲第7讲轴对称最值模型含解析中考数学几何模型7：轴对称最值模型名师点睛 拨开云雾 开门见山 、 典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB10，AD6，动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为 变式练习1如图RtABC和等腰ACD以AC为公共边，其中ACB90，ADCD，且满足ADAB，过点D作DEAC于点F，DE交AB于点E，已知AB5，BC3，P是射线DE上的动点，当PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）ABCD例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，A90，C90，D60，AD3，AB，若点M、

2、N分别为边CD，AD上的动点，求BMN的周长的最小值.变式练习2如图，点P是AOB内任意一点，且AOB40，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则MPN的度数为（）A140B100C50D40例题3. 如图，在ABC中，C90，CBCA4，A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是变式练习3如图，已知等边ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A3B2CD4例题4. 如图，MON30，A在OM上，OA2，D在ON上，OD4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABC

3、D的最短长度为变式练习4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC2，BC1（1）求折线OPQB的长的最小值；（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置例题5. 如图，矩形ABCD中，AB4，BC8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ3，当CQ时，四边形APQE的周长最小变式练习5如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线yx上的一条动线段且PQ（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A（，）B（，）C（0，0）D（1，1）例题6. 如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两

4、点重合），过点B作BGAE于点G，连接FG、DF，若AB2，求DF+GF的最小值为.变式练习6如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作A、B，M，N分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A54B1C62D例题7. 如图，AD为等边ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AECF，当BF+CE取得最小值时，AFB（）A112.5B105C90D82.5变式练习7如图，等边ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AMCN，连BM、BN，当BM+BN最小时，MBN度例题8. （1）如图，RtABC中，

5、C90，AC3，BC4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为 （2）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值（3）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，矩形ABCD中，AB5，AD10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AFCH，BEDG，则四边形EFGH周长的最

6、小值为（）A5B10C15D102. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作A、B，M、N分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于3. 如图，已知直线yx+4与两坐标轴分别交于A、B两点，C的圆心坐标为 （2，0），半径为2，若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值和最大值分别是 4. 正方形ABCD，AB4，E是CD中点，BF3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN，求四边形EMNF周长的最小值5. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC6，点F是AD边上的动点，则BF+

7、EF的最小值为6. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AEEB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是7. 如图，在ABC中，ACBC，B30，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC3，则四边形EPQF周长的最小值是8. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是9. 在矩形ABCD中，AB8，BC10，G为AD边的中点如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为10. 如图

8、，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为11. 如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM6P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC16，B到MN的距离BD10，CD8，点P在直线MN上运动，则|PAPB|的最大值等于11. 如图ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，

9、Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使DPQ的周长最小？并求出这个最值12. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB5，DE1，BD8，设CDx（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为中考数学几何模型7：轴对称最值模型名师点睛 拨开云雾 开门见山 典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB10，AD6，动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+

10、PB的最小值为2【解答】解：设ABP中AB边上的高是hSPABS矩形ABCD，ABhABAD，hAD4，动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离在RtABE中，AB10，AE4+48，BE2，即PA+PB的最小值为2故答案为：2变式练习1如图RtABC和等腰ACD以AC为公共边，其中ACB90，ADCD，且满足ADAB，过点D作DEAC于点F，DE交AB于点E，已知AB5，BC3，P是射线DE上的动点，当PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）ABCD【解答】解：连接PB、PC、PA，要使得PBC的周长最小

11、，只要PB+PC最小即可，PB+PCPA+PBAB，当P与E重合时，PA+PB最小，ADCD，DEAC，AFCF，ACB90，EFBC，AEBEAB2.5，EFBC1.5，ADAB，AEFDEA，DE，故选：B例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，A90，C90，D60，AD3，AB，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求BMN的周长的最小值.【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B和点B，连接BB交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M和N（不同于点M和N），连接MB，MB，NB和NB，如图1所示：BBMB+MN+NB，BMBM，BNBN，B

12、M+MN+BNBB，又BBBM+MN+NB，MBMB，NBNB，NB+NM+BMBM+MN+BN，CBMNNB+NM+BM时周长最小；连接DB，过点B作BHDB于BD的延长线于点H，如图示2所示：在RtABD中，AD3，AB，2，230，530，DBDB，又ADC1+260，130，730，DBDB，BDB1+2+5+7120，DBDBDB2，又BDB+6180，660，HD，HB3，在RtBHB中，由勾股定理得：6CBMNNB+NM+BM6，变式练习2如图，点P是AOB内任意一点，且AOB40，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当PMN周长取最小值时，则MPN的度数为（）A140B

13、100C50D40【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1OPOP2，OP1MMPO，NPONP2O，根据轴对称的性质，可得MPP1M，PNP2N，则PMN的周长的最小值P1P2，P1OP22AOB80，等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P1100，MPNOPM+OPNOP1M+OP2N100，故选：B例题3. 如图，在ABC中，C90，CBCA4，A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P，连接CP交AD于点Q，则CQ+PQCQ+PQCP根据

14、对称的性质知APQAPQ，PAQPAQ又AD是A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，PAQBAQ，PAQBAQ，点P在边AB上当CPAB时，线段CP最短在ABC中，C90，CBCA4，AB4，且当点P是斜边AB的中点时，CPAB，此时CPAB2，即CQ+PQ的最小值是2故填：2变式练习3如图，已知等边ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A3B2CD4【解答】解：如图，作ABC关于AC对称的ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QRER，当点E，R，P在同一直线上，且PEAB时，PR+QR的最小值是PE的长，设等边ABC的边长为x

15、，则高为x，等边ABC的面积为4，xx4，解得x4，等边ABC的高为x2，即PE2，故选：B例题4. 如图，MON30，A在OM上，OA2，D在ON上，OD4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为2【解答】解：作D关于OM的对称点D，作A作关于ON的对称点A，连接AD与OM，ON的交点就是C，B二点此时AB+BC+CDAB+BC+CDAD为最短距离连接DD，AA，OA，ODOAOA，AOA60，OAAOAA60，ODD是等边三角形同理OAA也是等边三角形ODOD4，OAOA2，DOA90AD2变式练习4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上

16、任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC2，BC1（1）求折线OPQB的长的最小值；（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置【解答】解：（1）作点B关于AC的对称点B，作点O关于AB的对称点O，连接AB，QB，AO，PO，BO，则QBQB，OPOP，折线OPQB的长OP+PQ+QBOP+PQ+QB，折线OPQB的长的最小值BO在长方形ABCD中，ABC90，在ABC中，AC2，BC1，ABC90，BAC30，点B、B关于AC对称，点O、O关于AB对称，BAC30，ABAB，OAB30，AOAO1，BAO90，BO，折线OPQB的长的最小值2；（2）设BO交AC于点Q，在RtAOB中，AO

17、1，BO2，ABO30，则AOB60，在AOQ中，QAOQAB+BAO60，AOQ是等边三角形，AQAO1AO，点Q就是AC的中点O当折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点例题5. 如图，矩形ABCD中，AB4，BC8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ3，当CQ时，四边形APQE的周长最小【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，PQ3，DECE2，AE2，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQMQ+EQ，过M作MNBC于N，设CQx，则NQ83x5x，MNQFCQ，MNAB4，CFCE

18、2，CQx，QN5x，解得：x，则CQ故答案为：变式练习5如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线yx上的一条动线段且PQ（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A（，）B（，）C（0，0）D（1，1）【解答】解：作点B关于直线yx的对称点B（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线yx，并沿MN向下平移单位后得A（2，0）连接AB交直线yx于点Q，如图理由如下：AAPQ，AAPQ四边形APQA是平行四边形APAQAP+PQ+QBBQ+AQ+PQ且PQ当AQ+BQ值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A，Q，B三点共线时AQ+BQ值最小B（0，

19、1），A（2，0）直线AB的解析式yx+1xx+1，即xQ点坐标（，）故选：A例题6. 如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BGAE于点G，连接FG、DF，若AB2，求DF+GF的最小值为.【解答】解：取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为O、G，G与G关于BC对称，FGFG，FG+DFFG+DF，当G（也就是G）固定时，取DG与BC的交点F，此时能够使得FG+FD最小，且此时FG+DF的最小值是DG，现在再移动点E（也就是移动G），BGAE，AGB90，当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90的圆弧，点G随着运动

20、的轨迹是以O为圆心，OB为半径的90的圆弧，当取DO与交点为G时，能够使得DG达到最小值，且DG的最小值DOOG11，即DF+GF的最小值为1故选：A变式练习6如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作A、B，M，N分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A54B1C62D【解答】解：作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，点A坐标（2，3），点A坐标（2，3），点B（3，4），AB5，MNABBNAM53154，PM+PN的最小值为54故选：A例题7. 如图，AD为等边ABC

21、的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AECF，当BF+CE取得最小值时，AFB（）A112.5B105C90D82.5【解答】解：如图，作CHBC，且CHBC，连接BH交AD于M，连接FH，ABC是等边三角形，ADBC，ACBC，DAC30，ACCH，BCH90，ACB60，ACH906030，DACACH30，AECF，AECCFH，CEFH，BF+CEBF+FH，当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时FBC45，FCB60，AFB105，故选：B 变式练习7如图，等边ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AMCN，连BM、BN，当BM+BN

22、最小时，MBN30度【解答】解：如图1中，作CHBC，使得CHBC，连接NH，BHABC是等边三角形，ADBC，CHBC，DACDAB30，ADCH，HCNCADBAM30，AMCN，ABBCCH，ABMCHN（SAS），BMHN，BN+HNBH，B，N，H共线时，BM+BNNH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，ABMCHN，ABMCHBCBH45，ABD60，DBM15，MBN451530，当BM+BN的值最小时，MBN30，故答案为30例题8. （1）如图，RtABC中，C90，AC3，BC4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为（2）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，

23、点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值（3）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图，过点C作CDAB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，在RtABC中，AC3，BC4，根据勾股定理得，AB5，ACBCABCD，CD，故答案为；（2）如图，作出点C关于BD的对称点E，过点E作ENBC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MNEN最小；四边形ABCD是

24、矩形，BCD90，CDAB3，根据勾股定理得，BD5，CEBC，BDCFBCCD，CF，由对称得，CE2CF，在RtBCF中，cosBCF，sinBCF，在RtCEN中，ENCEsinBCE；即：CM+MN的最小值为；（3）如图3，四边形ABCD是矩形，CDAB3，ADBC4，ABCD90，根据勾股定理得，AC5，AB3，AE2，点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，S四边形AGCDSACD+SACGADCD+ACh43+5hh+6，要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，点G是以点E为圆心，BE1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，EGAC时，h最小，

25、由折叠知EGFABC90，延长EG交AC于H，则EHAC，在RtABC中，sinBAC，在RtAEH中，AE2，sinBAC，EHAE，hEHEG1，S四边形AGCD最小h+6+6，过点F作FMAC于M，EHFG，EHAC，四边形FGHM是矩形，FMGHFCMACB，CMFCBA90，CMFCBA，CF1BFBCCF413达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，矩形ABCD中，AB5，AD10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AFCH，BEDG，则四边形EFGH周长的最小值为（）A5B10C15D10【解答】解：作点F关于CD的对称点F，连接FH交C

26、D于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HHAD于点H，如图所示AFCH，DFDF，HFAD10，HHAB5，FH5，C四边形EFGH2FH10故选：D2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作A、B，M、N分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于3【解答】解：作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，点A坐标（2，3），点A坐标（2，3），点B（3，4），AB，MNABBNAM213，PM+PN的最小值为3故答案为33. 如图，已知直线yx+4与两坐标轴分别交于A

27、、B两点，C的圆心坐标为 （2，0），半径为2，若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值和最大值分别是82和8+2【解答】解：yx+4，当x0时，y4，当y0时，x4，OA4，OB4，ABE的边BE上的高是OA，ABE的边BE上的高是4，要使ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，过A作C的两条切线，如图，当在D点时，BE最小，即ABE面积最小；当在D点时，BE最大，即ABE面积最大；x轴y轴，OC为半径，EE是C切线，AD是C切线，OEED，设EOEDx，AC4+26，CD2，AD是切线，ADC90，由勾股定理得：AD4，sinCAD，解得：x，BE4

28、+，BE4，ABE的最小值是（4）482，最大值是：（4+）48+2，故答案为：82和8+24. 正方形ABCD，AB4，E是CD中点，BF3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN，求四边形EMNF周长的最小值+【解答】解：作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，连接GM，过G作BD的平行线，截取GHMN，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，HNGMEM，过H作PQBC，交AD于P，交BC于Q，则HPGHQF90，PQAB4，PGHADB45，HPPG1，HQ413，由轴对称的性质，可得DGED2，AP4211，BQ1，又BF3CF，BC4，CF1，QF4112，当点H、N、F在同一直线

29、上时，HN+NFHF（最短），此时ME+NF最短，RtHQF中，FH，即ME+NF最短为，又RtCEF中，EF，ME+NF+MN+EF+，四边形EMNF周长的最小值为+故答案为：+5. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为3【解答】解：过C作CEAB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EFCF，等边ABC中，BDCD，ADBC，AD是BC的垂直平分线（三线合一），C和B关于直线AD对称，CFBF，即BF+EFCF+EFCE，ADB

30、C，CEAB，ADBCEB90，在ADB和CEB中，ADBCEB（AAS），CEAD，BC6，BD3，AD3，即BF+EF3故答案为：36. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AEEB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是【解答】解：延长DC到D，使CDCD，G对应位置为G，则FGFG，同样作DACD，DADA，H对应的位置为H，则GHGH，再作ABDA，E的对应位置为E，则HEHE容易看出，当E、F、G、H、E在一条直线上时路程最小，最小路程为EE27. 如图，在ABC中，ACBC，B30，点E，F是线

31、段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC3，则四边形EPQF周长的最小值是8【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点E，过F点作F点关于AC的对称点F，在ABC中，ACBC，B30，AC3，AB6，点E，F是线段AC的三等分点，EF2，EFAB6，四边形EPQF周长的最小值是6+28故答案为：88. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是【解答】解：如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DEy轴，OFOC1，四边形ABDE是平行四边形，BDAE，DEAB1，AB垂直平

32、分线CF，ACAF，AC+BDAE+AF，如图，当点E，A，F在同一直线上时，AE+AFEF（最短），此时，RtDEF中，DE1，DF2+13，EF，AC+BD的最小值是故答案为：9. 在矩形ABCD中，AB8，BC10，G为AD边的中点如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为【解答】解：E为AB上的一个动点，如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小在矩形ABCD中，AB8，BC10，G为边AD的中点，AGAM5，MD15，而CH4，DH4

33、，而AECD，AEMDHM，AE：HDMA：MD，AE，AF4+故答案为：10. 如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为（4，6）【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F，作点E关于y轴的对称点E，连接EF交AB与点NC的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，OEOE4，FBCF3，EC12，CF9ABCE，FNBFEC，即，解得BN4，AN4N（4，6）故答案

34、为：（4，6）11. 如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM6P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为2【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N，连接PN，MN，根据轴对称性质可知，PNPN，PMPNPMPNMN，当P，M，N三点共线时，取“”，正方形边长为8，ACAB，O为AC中点，AOOC，N为OA中点，ON，ONCN，AN，BM6，CMABBM862，PMABCD，CMN90，NCM45，NCM为等腰直角三角形，CMMN2，即PMPN的最大值为2，故答案为：212. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC

35、16，B到MN的距离BD10，CD8，点P在直线MN上运动，则|PAPB|的最大值等于10【解答】解：延长AB交MN于点P，PAPBAB，AB|PAPB|，当点P运动到P点时，|PAPB|最大，BD10，CD8，AC16，过点B作BEAC，则BECD8，AEACBD16106，AB10，|PAPB|的最大值等于10，故答案为：1011. 如图ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使DPQ的周长最小？并求出这个最值【解答】解：作D关于BC、AC的对称点D、D，连接DD，DQ，DPDQDQ，DPDP，DPQ的周长为PQ+

36、DQ+DPPQ+DQ+DPDD，根据两点之间线段最短，DD的长即为三角形周长的最小值AB60，BEDAFD90，906030，DDD1803030120，D为AB的中点，DFADcos301，AF，易得ADFQDF，QFAF，AQ1，BP1，Q、P为AC、BC的中点DD2，同理，DD2，DDD为等腰三角形，DD30，DD2DDcos302312. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB5，DE1，BD8，设CDx（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为25【解答】解：（1）由线段的和差，得BC（8x）由勾股定理，得AC+CE+；（2）当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；当A、C、E在同一直线上时，延长AB，作EFAB于点F，AB5，DE1，AF6，ABD90