专题7二次函数与菱形存在性问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案.docx

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1、挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题7二次函数与菱形存在性问题我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是四边都相等的四边形是菱形；两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ；邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ；一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个

2、顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.【例1】(2021山西)综合与探究如图，抛物线yx2+2x6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC(1)求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N当

3、SDMNSAOC时，请直接写出DM的长【例2】(2021恩施州)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线yx2+bx+c经过点B，D(4，5)两点，且与直线DC交于另一点E(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由【例3】(2021娄底)如图，在直角坐

4、标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(1)求b、c的值；(2)点P(m，n)为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：yx于点Q当0m3时，求当P点到直线l：yx的距离最大时m的值；是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值【例4】(2021湘潭)如图，一次函数yx图象与坐标轴交于点A、B，二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点(1)求二次函数解析式；(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱

5、形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由【例5】(2021鄂尔多斯)如图，抛物线yx2+2x8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(1)求A，B，C三点的坐标；(2)连接AC，直线xm(4m0)与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD当ODAC时，求线段DE的长；(3)点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【题组一】1(2020师宗县一模)如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交

6、点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点(1)求该抛物线的解析式；(2)当点M在x轴的上方时，求四边形COAM周长的最小值；(3)在平面直角坐标系内是否存在点N，使以C，P，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由2(2020葫芦岛三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，B(4，0)(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE4：5时，求tanDAB的值；(3)点P是直线BC上一点，在平面内

7、是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3(2020碑林区校级一模)已知抛物线L：yx2+bx+c经过点(1，15)和(0，8)，顶点为M，抛物线L关于原点O对称的抛物线为L，点M的对应点为点N(1)求抛物线L的表达式及点M的坐标；(2)点P在抛物线L上，点Q在抛物线L上，且四边形PMQN为周长最小的菱形，求点P的坐标4(2021渝中区校级一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C(1)求B、C两点的坐标；(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PFx轴交直线BC于点F

8、，过P作PEy轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由【题组二】5(2021淮安区一模)如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A(3，4)、B(3，0)、C(1，0)以D为顶点的抛物线yax2+bx+c过点B动点P以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DC边向点C运动，运动的时间为t秒过点P作PECD交BD于点E，过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G(1)求该

9、抛物线的解析式；(2)连接BG，求BGD的面积最大值；(3)如图2，在点P运动的同时，点Q从点B出发，沿BA边以每秒1个单位的速度向点A运动动点P、Q运动的过程中，在矩形ABCD内(包括其边界)是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出t的值：t208或6(2020市中区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c(a0)与x轴相交于A(1，0)、B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B、C(1)若a1，求原抛物线的函数表达

10、式；(2)在(1)条件下，当四边形BCBC的面积为40时，求m的值；(3)探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCBC为菱形？请说明理由7(2020郫都区模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c(a0)与x轴相交于A(1，0)，B(3，0)两点，点C为抛物线的顶点点M(0，m)为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转180，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B、C(1)若原抛物线经过点(2，5)，求原抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，当四边形BCBC的面积为40时，求m的值；(3)探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCBC为菱形？请说明理由8

11、(2020秋九龙坡区校级月考)如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于点A(1，0)、B(4，0)，交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点(1)求抛物线的解析式；(2)求PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将直线BC向右平移74个单位得到直线l，直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由【题组三】9(2020洛阳模拟)如图，抛物线yax2+bx+52过点A(1，0)，B(5，0)，与y轴相交于点C(1)求抛物线的解析式

12、；(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离如：点O到二次函数图象的垂直距离是线段OC的长已知点E为抛物线对称轴上的一点，且在x轴上方，点F为平面内一点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点F到二次函数图象的垂直距离(3)在(2)中，当点F到二次函数图象的垂直距离最小时，在以A，B，E，F为顶点的菱形内部是否存在点Q，使得AQ，BQ，FQ之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由10(2021两江新区模拟)如图，抛物线yax2+bx+c(a0)交x轴于A，B两点，交y轴于点C其中点A(1，0)，B(3，0

13、)，C(0，3)，连接AC、BC(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线上B，C两点间有一动点P(点P不与B、C两点重合)，过点P作AC的平行线，交BC于点G，求PG的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线yax2+bx+c(a0)沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线y，点M为新抛物线对称轴上的一动点，点N为平面内的任意一点，是否存在点N使得以A，C，M，N为顶点的四边形是以AC为边的菱形，若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由11(2020中山区模拟)如图，二次函数yax2+bx+c(a0)的顶点为A(5，4)，与x轴交于点B(2，0)，(1)二次

14、函数的表达式；(2)原抛物线绕坐标平面内的某一点旋转180，得到新的抛物线与x轴的一个交点为点C，若新抛物线上存在一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，求新抛物线的表达式12(2021渝中区校级自主招生)如图，抛物线yx2+x+与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点E与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线的对称轴与x轴交于点G(1)如图1，连接AE，交y轴于点D，点P为直线AE上方抛物线上一点，连接PD、PE，直线l过点B且平行于AE，点F为直线l上一点，连接FD、FE，当四边形PDFE面积最大时，在y轴上有一点N，连接PN，过点N作NM垂直于抛物线对称轴于点M，

15、求PN+NM+MG的最小值；(2)如图2，连接AC，将AOC向右平移得AOC，当AC的中点恰好落在CAB的平分线上时，将AOC绕点O旋转，记旋转后的三角形为AOC，在旋转过程中，直线AC与y轴交于点K，与直线AC交于点H，在平面内是否存在一点Q，使得以点C、K、H、Q为顶点的四边形是以KH为边的菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【题组四】13(2021齐齐哈尔三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2x+c(a0)与x轴交于点A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点COA、OB的长是不等式组的整数解(OAOB)，点D(2，m)在抛物线上(1)求抛物线的解析式及m的值

16、；(2)y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE2；(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处当ADFB时，抛物线向上平移了 9个单位；(4)点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标14(2020吉安模拟)如图，已知二次函数L1：ymx2+2mx3m+1(m1)和二次函数L2：ym(x3)2+4m1(m1)图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)和C、D两点(点C在点D的左边)(1)函数ymx2+2mx3m+1(m1)的顶点坐标为(1，4m+1)；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的

17、取值范围是1x3；(2)当ADMN时，判断四边形AMDN的形状(直接写出，不必证明)；(3)抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：求所有定点的坐标；若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？15(2020连山区三模)如图，直线AB：y=3x+23与x轴、y轴分别交于A，B两点，将ABO沿x轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线yax2+bx+c经过A、B、C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PEAC，垂足为E(1)求此抛物线的函数关系式；(2)求线段PE长度的最大值

18、；(3)如图，延长PE交x轴于点F，连接OP，若OPF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标16(2021交城县二模)实践与探究如图1，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A(4，0)，抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D，直线y2x1经过抛物线上一点B(2，m)且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F(1)求m的值及该抛物线的解析式；(2)P(x，y)是抛物线上的一点，若ADP与ADC的面积相等，求出所有符合条件的点P的坐标(3)点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请

19、直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由【题组五】17(2021山西模拟)综合与探究如图，抛物线yx2+x+与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，顶点为D点P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m，直线AD交y轴于点C，过点P作PFAD，交x轴于点F，PEx轴，交直线AD于点E，交直线DF于点M(1)求直线AD的表达式及点C的坐标；(2)当四边形AFPE的面积与ADF的面积相等时，求m的值；(3)试探究点P在运动过程中，是否存在m，使四边形AFPE是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由18(2021宜宾二模)如图，抛物线与x轴交于A(1，0)、B(3，0)

20、，交y轴于C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；(3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标19(2021万柏林区模拟)如图1，一次函数yx4的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数yax2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A(1)求二次函数的表达式；(2)点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若ABC2ABP求m的值；(3)如图2，过点C作CDx轴交抛物线于点

21、D点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由20(2019越秀区校级一模)如图1，抛物线C1：yax2+bx2与直线l：y=-12x-12交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)(1)求抛物线C1的解析式；(2)点P是抛物线C1上的一个动点(点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点)PMAB于点M，PNy轴交AB于点N，求MN的最大值；(3)如图2，将抛物线C1绕顶点旋转180后，再作适当平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C1上，且抛物线C2与抛物线C1交于点D，过点

22、D作DFx轴交抛物线C2于点F，过点E作EGx轴交抛物线C1于点G，是否存在这样的抛物线C2，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由【题组六】21(2021鞍山一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线yx2+bx+c经过A、C两点(1)求抛物线的解析式；(2)点B为y轴上一点，点P为直线AB上一点，过P作PQBC交x轴于点Q，当四边形BCPQ为菱形时，请直接写出B点坐标；(3)在(2)的条件下，且点B在线段OC上时，将抛物线yx2+bx+c向上平移m个单位，平移后的抛物线与直线AB交于点D(点D在第二象限)，点N

23、为x轴上一点，若DNB90，且符合条件的点N恰好有2个，求m的取值范围22(2021诸城市三模)如图，抛物线yax2+bx+4经过点A(2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，过点C作直线CDx轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC(1)求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标；(2)E是抛物线上的点，求满足ECDACO的点E的坐标；(3)点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长23(2021秋九龙坡区校级月考)如图，抛物线yax2+bx+3交x轴于点A(1，0)和点B(3，0)，与

24、y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD求PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；(3)将抛物线yax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程24(2021罗湖区校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C(0，3)且点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是抛物线上第一象

25、限内的一个点(1)求抛物线的函数表达式；(2)连PO、PB，如果把POB沿OB翻转，所得四边形POPB恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QAB与POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；(3)若(2)中点Q存在，指出QAB与POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题7二次函数与菱形存在性问题我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是四边都相等的四边形是菱形；两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ；邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ；一条对角线平分一个顶角的平行四

26、边形是菱形.在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种.二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上.【例1】(2021山西)综合与探究如图，抛物线yx2+2x6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC(1)求A、B，C三点的

27、坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N当SDMNSAOC时，请直接写出DM的长【分析】(1)解方程x2+2x60，可求得A、B的坐标，令x0，可求得点C的坐标，即可得直线AC，BC的函数表达式；(2)设点D的坐标为(m，m6)，其中6m0，可得BD2(m2)2+(m+6)2，BC222+6240，DC2m2+(m6+6)22m2，分两种情

28、况画出图形，根据菱形的性质即可求解；设点D的坐标为(m，m6)，其中6m0，由直线lBC可设直线BC的解析式为y3k+b，由点D的坐标可得b4m6，则M(2，4m12)，根据AC的函数表达式可得N(2，4)，求出MN，根据SDMNSAOC可求得m，求出点D，点M的坐标，即可得DM的长【解析】(1)当y0时，x2+2x60，解得x16，x22，A(6，0)，B(2，0)，当x0时，y6，C(0，6)，A(6，0)，C(0，6)，直线AC的函数表达式为yx6，B(2，0)，C(0，6)，直线BC的函数表达式为y3x6；(2)存在：设点D的坐标为(m，m6)，其中6m0，B(2，0)，C(0，6)，

29、BD2(m2)2+(m+6)2，BC222+6240，DC2m2+(m6+6)22m2，DEBC，当DEBC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BDBC时，四边形BDEC为菱形，BD2BC2，(m2)2+(m+6)240，解得：m14，m20(舍去)，点D的坐标为(4，2)，点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，点E的坐标为(6，8)；如图，当CDCB时，四边形CBED为菱形，CD2CB2，2m240，解得：m12，m22(舍去)，点D的坐标为(2，26)，点D向右移动2各单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，点E的坐标为(22，2)；综上

30、，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(6，8)或(22，2)；设点D的坐标为(m，m6)，其中6m0，A(6，0)，B(2，0)，抛物线的对称轴为直线x2，直线BC的函数表达式为y3x6，直线lBC，设直线l的解析式为y3x+b，点D的坐标(m，m6)，b4m6，M(2，4m12)，抛物线的对称轴与直线AC交于点NN(2，4)，MN4m12+44m8，SDMNSAOC，(4m8)(2m)66，整理得：m2+4m50，解得：m15，m21(舍去)，点D的坐标为(5，1)，点M的坐标为(2，8)，DM3，答：DM的长为3【例2】(2021恩施州)如图，在平面直角坐标

31、系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线yx2+bx+c经过点B，D(4，5)两点，且与直线DC交于另一点E(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)求出点B的坐标为(1，0)，再用待定系数法即可求解；(2)以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形

32、，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q(F)向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F(Q)，且BEEF(BEEQ)，即可求解；(3)由题意抛物线的对称轴交x轴于点B(1，0)，将点B向左平移1个单位得到点B(2，0)，连接BE，交函数的对称轴于点M，过点M作MPy轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解【解析】(1)由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OBABAO541，故点B的坐标为(1，0)，则，解得，故抛物线的表达式为yx2+2x3；(2)存在，理由：点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为(2，5)，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x

33、1，故设点F的坐标为(1，m)，由点B、E的坐标得，BE2(21)2+(50)226，设点Q的坐标为(s，t)，以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q(F)向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F(Q)，且BEEF(BEEQ)，则或，解得或，故点F的坐标为(1，5+)或(1，5)或(1，)或(1，)；(3)存在，理由：由题意抛物线的对称轴交x轴于点B(1，0)，将点B向左平移1个单位得到点B(2，0)，连接BE，交函数的对称轴于点M，过点M作MPy轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，理由：BBPM1，且BBPM，

34、故四边形BBPM为平行四边形，则BMBPBP，则EM+MP+PBEM+1+MBBE+1为最小，由点B、E的坐标得，直线BE的表达式为y(x+2)，当x1时，y(x+2)，故点M的坐标为(1，)，则EM+MP+PB的最小值BE+11+1【例3】(2021娄底)如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(1)求b、c的值；(2)点P(m，n)为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：yx于点Q当0m3时，求当P点到直线l：yx的距离最大时m的值；是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在

35、，请求出m的值【分析】(1)由交点式结合点A、B坐标求出解析式，从而得到b、c；(2)设点P、Q的坐标，把PQ线段用含有m的式子表示，借助二次函数求出P点到直线l：yx的距离最大时的m的值；利用平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和菱形的判定定理“邻边相等的平行四边形是菱形”结合点坐标求解【解析】(1)由二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A(1，0)和点B(3，0)，得：，解得：，yx22x3，b2，c3(2)点P(m，n)在抛物线上yx22x3，P(m，m22m3)，PQm(m22m3)m2+3m+3(m)2+，过P作x轴的垂线交直线l：yx于点Q，Q(m

36、，m)，设点P到直线yx的距离为h，直线yx是一三象限的角平分线，PQh，当P点到直线l：yx的距离最大时，PQ取得最大值，当m时，PQ有最大值，当P点到直线l：yx的距离最大时，m的值为抛物线与y轴交于点C，x0时，y3，C(0，3)，OCPQ，且以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，PQOC，又OC3，PQ|m2+3m+3|，3|m2+3m+3|，解得：m10，m23，m3，m4，当m10时，PQ与OC重合，菱形不成立，舍去；当m23时，P(3，0)，Q(3，3)，此时，四边形OCPQ是平行四边形，OQ，OQOC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；当m3时，Q(，)，此时，四边形OCQP

37、是平行四边形，CQ，CQOC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；当m4时，Q(，)，此时，四边形OCQP是平行四边形，CQ，CQOC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；综上所述：不存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形【例4】(2021湘潭)如图，一次函数yx图象与坐标轴交于点A、B，二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点(1)求二次函数解析式；(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)由yx可求出A(3，0)，B(0，)，代入二次函数y

38、x2+bx+c即得二次函数解析式为yx2x；(2)由二次函数yx2x可得其对称轴为直线x1，设P(1，m)，Q(n，n2n)，而C与B关于直线x1对称，可得C(2，)，当BC、PQ为对角线时，可得，此时四边形BQCP是平行四边形，根据P(1，)，B(0，)，C(2，)可得PBPC，即得此时Q(1，)；BP、CQ为对角线时，同理可得Q(1，0)；以BQ、CP为对角线，同理可得Q(3，0)【解析】(1)在yx中，令x0得y，令y0得x3，A(3，0)，B(0，)，二次函数yx2+bx+c图象过A、B两点，解得，二次函数解析式为yx2x；(2)存在，理由如下：由二次函数yx2x可得其对称轴为直线x1

39、，设P(1，m)，Q(n，n2n)，而B(0，)，C与B关于直线x1对称，C(2，)，当BC、PQ为对角线时，如图：此时BC的中点即是PQ的中点，即，解得，当P(1，)，Q(1，)时，四边形BQCP是平行四边形，由P(1，)，B(0，)，C(2，)可得PB2PC2，PBPC，四边形BQCP是菱形，此时Q(1，)；BP、CQ为对角线时，如图：同理BP、CQ中点重合，可得，解得，当P(1，0)，Q(1，0)时，四边形BCPQ是平行四边形，由P(1，0)，B(0，)，C(2，)可得BC24PC2，四边形BCPQ是菱形，此时Q(1，0)；以BQ、CP为对角线，如图：BQ、CP中点重合，可得，解得，P(

40、1，0)，Q(3，0)时，四边形BCQP是平行四边形，由P(1，0)，B(0，)，C(2，)可得BC24PC2，四边形BCQP是菱形，此时Q(3，0)；综上所述，Q的坐标为：(1，)或(1，0)或(3，0)【例5】(2021鄂尔多斯)如图，抛物线yx2+2x8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(1)求A，B，C三点的坐标；(2)连接AC，直线xm(4m0)与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD当ODAC时，求线段DE的长；(3)点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标

41、；若不存在，请说明理由【分析】(1)令y0，得x2+2x80，可得A(4，0)，B(2，0)，令x0，得y8，可得C(0，8)；(2)利用待定系数法求得直线AC的解析式为y2x8，根据题意得E(m，m2+2m8)，D(m，2m8)，即可得出DEm24m，利用ACODOF，建立方程求解即可；(3)分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，当CP为对角线时，CMPN，CMPNCN，可得出N(1，6)，根据CMPNCN，即可求出答案；当CN为对角线时，CMPN，CMPNCP，设CMa，则M(0，8+a)，P(1，6a)，建立方程求解即可；当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P(1，b

42、)，则N(1，b)，M(0，2b+8)，根据N(1，b)在直线y2x8上，即可求得答案【解析】(1)在yx2+2x8中，令y0，得x2+2x80，解得：x14，x22，A(4，0)，B(2，0)，令x0，得y8，C(0，8)；(2)设直线AC的解析式为ykx+b，A(4，0)，C(0，8)，解得：，直线AC的解析式为y2x8，直线xm(4m0)与该抛物线交于点E，与AC交于点D，E(m，m2+2m8)，D(m，2m8)，DE2m8(m2+2m8)m24m，设DE交x轴于点F，则F(m，0)，OFm，AFm(4)m+4，DF2m+8，ODAC，EFOA，ODAOFDDFAAOC90，DOF+CO

43、DOCD+COD90，DOFOCD，ACODOF，OCDFOAOF，8(2m+8)4(m)，解得：m，DEm24m()24()；(3)存在，如图2，yx2+2x8(x+1)29，抛物线对称轴为直线x1，以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，当CP为对角线时，CMPN，CMPNCN，N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N(1，6)，CN，CMPN，M1(0，8+)，M2(0，8)；当CN为对角线时，CMPN，CMPNCP，设CMa，则M(0，8+a)，P(1，6a)，(10)2+(6a+8)2a2，解得：a，M3(0，)，当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P(1，b)，则N(1，b)，M(0，2b+8)，N(1，b)在直线y2x8上，b21810，M4(0，12)，综上所述，点M的坐标为：M1(0，8+)，M2(0，8)，M3(0，)，M4(0，12)【题组一】1(2020师宗县一模)如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，点M为抛物线的对称轴上的一个动点(1)求该抛物线的