专题3二次函数与等腰直角三角形问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案.docx

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1、挑战20224年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题3二次函数与等腰直角三角形问题 二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。【例1】(2021广

2、安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(1，0)，连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒(1)求b、c的值(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【例2】(

3、2021上海)已知抛物线yax2+c(a0)经过点P(3，0)、Q(1，4)(1)求抛物线的解析式；(2)若点A在直线PQ上，过点A作ABx轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；若C在抛物线上，求C的坐标【例3】(2021怀化)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA2，OB4，OC8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)D为CO的中点，一个动点G从D

4、点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰RtCQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【例4】(2021随州)在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1，4)(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P在抛物线上且满足PCBCBD，求点P的坐标；(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MNx轴交抛物线于点N，Q是直线AC上

5、一个动点，当QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标【题组一】1(2021昆明模拟)已知抛物线：yax22ax+c(a0)过点(1，0)与(0，3)直线yx6交x轴、y轴分别于点A、B(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上的任意一点连接PA，PB，使得PAB的面积最小，求PAB的面积最小时，P的横坐标；(3)作直线xt分别与抛物线yax22ax+c(a0)和直线yx6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标2(2021新泰市一模)如图，抛物线yax2+bx+2交x轴于点A(3，0)和点B(1，0)，

6、交y轴于点C已知点D的坐标为(1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD(1)求这个抛物线的表达式(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值(3)点M在平面内，当CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；在的条件下，点N在抛物线对称轴上，当MNC45时，求出满足条件的所有点N的坐标3(2021广汉市模拟)已知：如图，抛物线yax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，6)，C(2，0)，tanABO1，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？(3

7、)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由4(2021湖州模拟)二次函数yax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，2)，直线l：xm(m3)与x轴交于点D(1)求二次函数的解析式；(2)在直线l上找点P(点P在第一象限)，使得以点P，D，B为顶点的三角形与以点A，C，O为顶点的三角形相似，求点P的坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使得BPQ是以P为直角顶点的等腰直

8、角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由5(2021普宁市模拟)在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c交x轴于A(3，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线yx+与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E若P(m，0)是线段AB上的动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H当m0时，是否存在一个m值，使得SEFGSOEG，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由；当EFH是以点F为直角顶点的等腰直角三角形时，求出点P的坐标【题组二】6(2021辽宁模拟)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax

9、2+bx+3与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)(1)求抛物线的解析式：(2)点E为抛物线上一点，且点E的横坐标为a，若EBA2ACO，请求出a的值；(3)点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MNx轴交抛物线对称轴右侧部分于点N，点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由7(2021分宜县校级模拟)如图，抛物线yax2+bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H(1)求抛物线的表达式；(2)

10、直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由8(2021秦都区模拟)如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x1，且该抛物线与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A，B两点，其中B点的坐标为(3，0)，且OBOC(1)求此抛物线的函数表达式；(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧)，在x轴上是否存在点Q，使MNQ是以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由9(2021福建模拟)已知抛物线的

11、顶点为A，点M(m，n)为第三象限抛物线上的一点，过M点作直线MB，MC交抛物线于B，C两点(点B在点C的左侧)，MC交y轴于D点，连接BC(1)当B，C两点在x轴上，且ABC为等腰直角三角形时，求c的值；(2)当BC经过O点，MC经过OA的中点D，且OC2OB时，设直线BM交y轴于E点，求证：M为BE的中点；(3)若MBC的内心在直线xm上，设BC的中点为N，直线l1经过N点且垂直于x轴，直线l2经过M，A两点，记l1与l2的交点为P，求证P点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式10(2020秋九龙坡区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx(a0)与y轴交于点C，与x轴

12、交于A、B两点(点A在点B左侧)，且A点的坐标为(，0)，直线BC的解析式为yx(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过A作ADBC，交抛物线于点D，点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接PB，PC，BD，CD，求四边形PBDC面积的最大值；(3)将抛物线yax2+bx(a0)向左平移个单位长度，平移后的抛物线的顶点为E，连接BE，将线段BE沿y轴平移得到线段B1E1(B1为B的对应点，E1为E的对应点)，直线B1E1与x轴交于点F，点Q为原抛物线对称轴上一点，连接E1Q，FQ，E1FQ能否成为以E1F为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由【题组三

13、】11(2021秋石景山区校级月考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B的左侧)(1)若抛物线的对称轴为直线x3，AB4求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标12(2021秋永城市月考)已知抛物线C的解析式为y2x24x+m，与y轴交于点A(1)直接写出抛物线C的开口方向及顶点坐标(用含m的式子表示)(2)过点A作ABx轴交抛物线C于另一点B，当SAOB6时，求此抛物线C的解析式(3)在抛物线C的对称轴上存在一点P，使得OAP为等腰直角

14、三角形，请直接写出此时m的值13(2021秋汉滨区校级月考)已知，如图，抛物线y(x2)2+8与x轴分别交于B，C两点(点C在点B的左边)，与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点(1)求A、B、C三点坐标；(2)求直线AB的解析式；(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由14(2021秋大连月考)在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c过(1，0)和(0，3)两点，点M(a，y1)，N(a+1，y2)为该抛物线上两点(1)抛物线的解析式为 ；(2

15、)过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当MNQ为等腰直角三角形时，求a的值；(3)抛物线在M，N两点之间的部分为图象G(含M，N两点)，若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于a的函数解析式，并直接写出自变量a的取值范围15(2020雁塔区校级模拟)如图，抛物线C1：y=-12x2+2x+2的顶点为A，且与y轴于点B，将抛物线C1沿ya对称后，得到抛物线C2与y轴交于点C(1)求A、B两点坐标；(2)若抛物线C2上存在点D，使得BCD为等腰直角三角形，求出此时抛物线C2的表达式【题组四】16(2020沙坪坝区校级一模)如图1，抛物线y=24x2+2x62交x轴于

16、A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD(1)求ACD的面积；(2)如图1，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PEy轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PGAD于点G，求EF+52FG的最大值，以及此时P点的坐标；(3)如图2，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN为直角边的等腰RtBMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由17(2020陕西模拟)如图，抛物线C的顶点坐标为(2，8)，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点D(0，6)(1)求抛物线C的函数表达式以及点B的坐标；

17、(2)平移抛物线C，使平移后的抛物线C的顶点P落在线段BD上，过P作x轴的垂线，交抛物线C于点Q，再过点Q作QEx轴交抛物线C于另一点E，连接PE，若PQE是等腰直角三角形，请求出所有满足条件的抛物线C的函数表达式18(2020鹿邑县一模)已知：如图，直线yx3交坐标轴于A、C两点，抛物线yx2+bx+c过A、C两点，(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问PAC的面积是否存在最大值，若存在，请求出APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若NMC是以NMC为直角的等腰直角三角

18、形，请直接写出点M的坐标19(2020碑林区校级模拟)抛物线C1：y=-14x2-12x+2交x轴于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C(1)求A，B两点的坐标(2)M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180后得到抛物线C2，C2经过点A且抛物线C2上有一点P，使BCP是以B为直角的等腰直角三角形是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由20(2020灌南县一模)如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，作直线BC动点P在x轴上运动，过点P作PMx轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，

19、设点P的横坐标为m(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；(3)当点P在线段OB上运动时，若CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；(4)当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值【题组五】21(2020项城市校级二模)二次函数yax2+bx+2的图象交x轴于点A(1，0)，点B(4，0)两点，交y轴于点C动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒(1)求二次函数yax2+bx+2的表达式；(2)连接BD，当t=32时，

20、求DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标22(2020浙江自主招生)x、y是一个函数的两个变量，若当axb时，有ayb(ab)，则称此函数为axb上的闭函数如yx+3，当x1时y2；当x2时y1，即当1x2时，1y2，所以yx+3是1x2上的闭函数(1)请说明y=30x是1x30上的闭函数；(2)已知二次函数yx2+4x+k是tx2上的闭函数，求k和t的值；(3)在(2)的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线xt上一点，C为抛物线与y轴的交点，若ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为1023(2019秋南召县模拟)在平面直角

21、坐标系中，直线y=12x2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A(1)直接写出：b的值为-32；c的值为2；点A的坐标为(1，0)；(2)点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上设点D的横坐标为m如图1，过点D作DMBC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；若CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标124(2020濉溪县一模)在平面直角坐标系中，直线y=12x2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A(1)求二次

22、函数的解析式；(2)如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上设点D的横坐标为m过点D作DMBC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；若CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标25(2020石屏县一模)在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+2的图象与x轴交于A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(1)求这个二次函数的关系解析式；(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在

23、，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题3二次函数与等腰直角三角形问题 二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或

24、相似图来列方程解决。【例1】(2021广安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(1，0)，连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒(1)求b、c的值(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点

25、M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)过点P作PHx轴，垂足为E，利用S四边形BCPQSABCSAPQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；(3)画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明PFMQEP，得到MFPEt，PFQE42t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标【解答】解：(1)二次函数yx2+bx+c的图象经过点A(3，0)，B(1，0)，则 ，解得：；(2)由(1)得：抛物线表达式为yx2+2x+3，C(0，3)，A(3，0)，OAC是等腰直角三角

26、形，BAC45，由点P的运动可知：APt，过点P作PHx轴，垂足为H，如图，AHPHt，即H(3t，0)，又Q(1+t，0)，S四边形BCPQSABCSAPQ(t2)2+4，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC，AB4，0t3，当t2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；(3)存在假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MPPMQ是等腰直角三角形，PMPQ，MPQ90，MPF+QPE90，又MPF+PMF90，PMFQPE，在PFM和QEP中，PFMQEP(AAS)，MFPEt，PFQE42t，EF42

27、t+t4t，又OE3t，点M的坐标为(32t，4t)，点M在抛物线yx2+2x+3上，4t(32t)2+2(32t)+3，解得：t或(舍)，M点的坐标为(，)【例2】(2021上海)已知抛物线yax2+c(a0)经过点P(3，0)、Q(1，4)(1)求抛物线的解析式；(2)若点A在直线PQ上，过点A作ABx轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；若C在抛物线上，求C的坐标【分析】(1)P(3，0)、Q(1，4)代入yax2+c即可得抛物线的解析式为yx2+；(2)过C作CHAB于H，交y轴于G，A与Q(1，4)重合时，AB4，GH1，由AB

28、C是等腰直角三角形，得CHAHBHAB2，C到抛物线对称轴的距离是CG1；过C作CHAB于H，先求出直线PQ为y2x+6，设A(m，2m+6)，则AB2m+6，yCm+3，xC(m+3m)2m3，将C(2m3，m+3)代入yx2+解得m或m3(与P重合，舍去)，即可求出C(2，)【解答】解：(1)P(3，0)、Q(1，4)代入yax2+c得：，解得，抛物线的解析式为：yx2+；(2)过C作CHAB于H，交y轴于G，如图：当A与Q(1，4)重合时，AB4，GH1，ABC是等腰直角三角形，ACH和BCH也是等腰直角三角形，CHAHBHAB2，CGCHGH1，而抛物线yx2+的对称轴是y轴(x0)，

29、C到抛物线对称轴的距离是CG1；过C作CHAB于H，如图：设直线PQ解析式为ykx+b，将P(3，0)、Q(1，4)代入得：，解得，直线PQ为y2x+6，设A(m，2m+6)，则AB|2m+6|，CHAHBHAB|m+3|，当m+30，yCm+3时，xC(m+3m)2m3，将C(2m3，m+3)代入yx2+得：m+3(2m3)2+，解得m或m3(与P重合，舍去)，m，2m32，m+3，C(2，)当m+30，yCm+3时，xCm(m3)3，C(3，m+3)，由P(3，0)可知m3，此时A、B、C重合，舍去，C(2，)【例3】(2021怀化)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且

30、OA2，OB4，OC8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰RtCQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)当CPM为直角时

31、，则PCx轴，即可求解；当PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PNMN+PM6+，即可求解；(3)作点C关于函数对称轴的对称点C(2，8)，作点D关于x轴的对称点D(0，4)，连接CD交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，进而求解；(4)分两种情况，证明ANQQMC(AAS)，则QNCM，即可求解【解答】解：(1)由题意得，点A、B、C的坐标分别为(2，0)、(4，0)、(0，8)，设抛物线的表达式为yax2+bx+c，则，解得，故抛物线的表达式为yx2+2x+8；(2)存在，理由：当CPM为直角时，则以P、C、M为顶点的三角形与MNB相似时，则PCx轴，则点P的坐标为(

32、1，8)；当PCM为直角时，在RtOBC中，设CBO，则tanCBO2tan，则sin，cos，在RtNMB中，NB413，则BM3，同理可得，MN6，由点B、C的坐标得，BC4，则CMBCMB，在RtPCM中，CPMOBC，则PM，则PNMN+PM6+，故点P的坐标为(1，)，故点P的坐标为(1，8)或(1，)；(3)D为CO的中点，则点D(0，4)，作点C关于函数对称轴的对称点C(2，8)，作点D关于x轴的对称点D(0，4)，连接CD交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，理由：G走过的路程DE+EF+FCDE+EF+FCCD为最短，由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为y

33、6x4，对于y6x4，当y6x40时，解得x，当x1时，y2，故点E、F的坐标分别为(，0)、(1，2)；G走过的最短路程为CD2；(4)存在，理由：当点Q在y轴的右侧时，设点Q的坐标为(x，x2+2x+8)，故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，MQC+RQN90，RQN+QRN90，MQCQRE，ANQQMC90，QRQC，ANQQMC(AAS)，QNCM，即xx2+2x+8，解得x(不合题意的值已舍去)，故点Q的坐标为(，)；当点Q在y轴的左侧时，同理可得，点Q的坐标为(，)综上，点Q的坐标为(，)或(，)【例4】(2021随州)在平面直角坐标系中，抛物线yax

34、2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1，4)(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P在抛物线上且满足PCBCBD，求点P的坐标；(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MNx轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标【分析】(1)根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为ya(x1)24，将点A(1，0)代入，求出a即可得出答案；(2)利用待定系数法求出直线BD解析式为y2x6，过点C作CP1BD，交抛物线于点P1，再运用待定系数法求出直线CP1的解析式为y2x3，联立方程组即可求出P

35、1(4，5)，过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，证明OCEGCF(ASA)，运用待定系数法求出直线CF解析式为yx3，即可求出P2(，)；(3)利用待定系数法求出直线AC解析式为y3x3，直线BC解析式为yx3，再分以下三种情况：当QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，当QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，当QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可【解答】解：(1)顶点D的坐标为(1，4)，设抛物线的解析式为ya(x1)24，将点A(1，0)代入，得0a(11)24，解得：a1，y(x1)24x22x3，该抛物线的解析式为yx22x3；(2)

36、抛物线对称轴为直线x1，A(1，0)，B(3，0)，设直线BD解析式为ykx+e，B(3，0)，D(1，4)，解得：，直线BD解析式为y2x6，过点C作CP1BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y2x+d，将C(0，3)代入，得320+d，解得：d3，直线CP1的解析式为y2x3，结合抛物线yx22x3，可得x22x32x3，解得：x10(舍)，x24，故P1(4，5)，过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，OBOC，BOCOBGOCG90，四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x30，解得：x，E(，0)，在x轴下方作BCFBCE交BG于点F，四边形OBGC

37、是正方形，OCCGBG3，COEG90，OCBGCB45，OCBBCEGCBBCF，即OCEGCF，OCEGCF(ASA)，FGOE，BFBGFG3，F(3，)，设直线CF解析式为yk1x+e1，C(0，3)，F(3，)，解得：，直线CF解析式为yx3，结合抛物线yx22x3，可得x22x3x3，解得：x10(舍)，x2，P2(，)，综上所述，符合条件的P点坐标为：P1(4，5)，P2(，)；(3)设直线AC解析式为ym1x+n1，直线BC解析式为ym2x+n2，A(1，0)，C(0，3)，解得：，直线AC解析式为y3x3，B(3，0)，C(0，3)，解得：，直线BC解析式为yx3，设M(t，

38、t3)，则N(t，t22t3)，MN|t22t3(t3)|t23t|，当QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时NMQ90，MNMQ，如图2，MQx轴，Q(t，t3)，|t23t|t(t)|，t23tt，解得：t0(舍)或t或t，M1(，)，Q1(，)；M2(，)，Q2(，)；当QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时MNQ90，MNNQ，如图3，NQx轴，Q(，t22t3)，NQ|t|t2+t|，|t23t|t2+t|，解得：t0(舍)或t5或t2，M3(5，2)，Q3(5，12)；M4(2，1)，Q4(0，3)；当QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时MQN90，MQNQ，如

39、图4，过点Q作QHMN于H，则MHHN，H(t，)，Q(，)，QH|t|t2+5t|，MQNQ，MN2QH，|t23t|2|t2+5t|，解得：t7或1，M5(7，4)，Q5(7，18)；M6(1，2)，Q6(0，3)；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：M1(，)，Q1(，)；M2(，)，Q2(，)；M3(5，2)，Q3(5，12)；M4(2，1)，Q4(0，3)；M5(7，4)，Q5(7，18)；M6(1，2)，Q6(0，3)【题组一】1(2021昆明模拟)已知抛物线：yax22ax+c(a0)过点(1，0)与(0，3)直线yx6交x轴、y轴分别于点A、B(1)求抛物线的解析式；(2)若点

40、P是抛物线上的任意一点连接PA，PB，使得PAB的面积最小，求PAB的面积最小时，P的横坐标；(3)作直线xt分别与抛物线yax22ax+c(a0)和直线yx6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标【分析】(1)将点(1，0)、(0，3)分别代入得到方程组，然后求出a、c，最后得到解析式；(2)对于直线yx6，先求出点A、B的坐标，过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，然后设点P的坐标，然后即可表示出点D的坐标，最后利用三角形的面积表示出PAB的面积，从而利用二次函数的性质求得面积小值时点P的横坐标；(3)用含有t的式子表示点

41、E和点F的坐标，然后表示出EC和EF的长度，最后利用等腰直角三角形的性质列出方程求解【解答】解：(1)将点(1，0)、(0，3)分别代入yax22ax+c(a0)得，解得：，抛物线的解析式为yx22x3(2)对直线yx6，当x0时，y6，当y0时，x6，A(6，0)，B(0，6)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点，连接PA和PB，设P(x，x22x3)，则D(x，x6)，PDx22x3(x6)x23x+3，SPABSPBD+SPADxPD+(6x)PD3(x23x+3)3(x)2+，x时，SPAB有最小值，PAB的面积最小时，点P的横坐标为(3)由题意可设，E(m，m22m3)，F(m，m6)

42、，EFm22m3(m6)m23m+3，由yx22x3可知抛物线的对称轴为直线x1，CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，点C在抛物线对称轴上，点C的横坐标为1，m1，当点E为直角顶点时，CEEF，C(1，m22m3)，CE|m1|，|m1|m23m+3，解得：m2，点C的纵坐标为222233；当点F为直角顶点时，CFEF，C(1，m6)，CF|m1|，|m1|m23m+3，解得：m2，点C的纵坐标为264；综上所述，点C的纵坐标为3或42(2021新泰市一模)如图，抛物线yax2+bx+2交x轴于点A(3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C已知点D的坐标为(1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD(1)求这个抛物线的表达式(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值(3)点M在平面内，当CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；在的条件下，点N在抛物线对称轴上，当MNC45时，求出满足条件的所有点N的坐标【分析】(1)由交点式可求a的值，即可求解；(2)由S四边形ADCPSAPO+SCPOSODC，即可求解；(3)分两种情况讨论，通过证明MADDOC，可得AMDO，MADDOC90，可求解；可证点M，点C，点M在以MM为直径的圆上，当点