专题9二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案.docx

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1、挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题9二次函数与圆综合问题 解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：1. 直线与圆的位置关系：平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：（1） 利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题（2） 利用勾股定理解决问题（3） 利用相似列出比例式解决问题2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性

2、质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.【例1】(2021花都区三模)如图，抛物线yax2+bx+2经过A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C(1)求该抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在点P使得OBP+OBC45，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90得点N，连接NA，求NA的取值范围【例2】(2020遵义)如图，抛物线yax2+94x+c经过点A(1，0)和点C(0，3)与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MPy轴，交抛物线于点P(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线上

3、是否存在一点Q，使得QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以M为圆心，MP为半径作M，当M与坐标轴相切时，求出M的半径【例3】(2020济宁)我们把方程(xm)2+(yn)2r2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程例如，圆心为(1，2)、半径长为3的圆的标准方程是(x1)2+(y+2)29在平面直角坐标系中，C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为(8，0)，与y轴相切于点D(0，4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为E(1)求C的标准方程；(2)试判断直线AE与C的位置关系，并说明理由【例4】(2020西藏)在平面直角坐标系中，二次函数y=12x2+bx

4、+c的图象与x轴交于A(2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点(1)求二次函数的解析式；(2)如图甲，连接AC，PA，PC，若SPAC=152，求点P的坐标；(3)如图乙，过A，B，P三点作M，过点P作PEx轴，垂足为D，交M于点E点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长【例5】(2020宜宾)如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2，1)在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点(1)求二次函数的表达式；(2)P为平面内一点，当PMN是等边三角形时，求点P的坐标；(3)

5、在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y1相切若存在，求出点E的坐标，并求E的半径；若不存在，说明理由【例6】(2021嘉兴二模)定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆(1)已知点P(2，2)，以P为圆心，为半径作圆请判断P是不是二次函数yx24x+3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数yx24x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求POA周长的最小值；(3)已知二次函数yax24x+4(0a1)图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2若CPD120，求

6、a的值【题组一】1(2020雨花区校级一模)如图1，已知抛物线yax212ax+32a(a0)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(1)连接BC，若ABC30，求a的值(2)如图2，已知M为ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；(3)如图3，已知动点P(t，t)在第一象限，t为常数问：是否存在一点P，使得APB达到最大，若存在，求出此时APB的正弦值，若不存在，也请说明理由2(2020汇川区三模)如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线yax2+bx+c(a0)经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，连接BC并延长(1

7、)求抛物线的解析式；(2)点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MNy轴交抛物线于点N1求线段MN的最大值；2当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当PMN的外接圆圆心Q在PMN的边上时，求点P的坐标3(2020望城区模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为(4，0)，与y轴于交于点C(0，2)(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及ADB的度数；(3)在(2)的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，ABD的外接圆圆心为M(如图1)，求点M的坐标及M的半径；过

8、点B作M的切线交于点P(如图2)，设Q为M上一动点，则在点运动过程中QHQP的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由4(2020天桥区二模)如图，抛物线yax2+bx+c(a0)，与x轴交于A(4，0)、O两点，点D(2，2)为抛物线的顶点(1)求该抛物线的解析式；(2)点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作E，交x轴于B、C两点，点M为E上一点射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tanMBC2时，求m的值；如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由【题组二】5(2021乐山模拟)

9、如图，抛物线yax2+bx+2与直线AB相交于A(1，0)，B(3，2)，与x轴交于另一点C(1)求抛物线的解析式；(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以C为圆心，1为半径作O，D为O上一动点，求DA+DB的最小值6(2021河北区二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+3的对称轴是直线x2，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C()求抛物线的解析式及顶点坐标；()M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MNx轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CMCD时，求点M的坐标；()以原点O为圆心

10、，AO长为半径作O，点P为O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值7(2021长沙模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c(a0)的顶点为M，经过C(1，1)，且与x轴正半轴交于A，B两点(1)如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；(2)如图2，延长线段OC至N，使得ON，若OBNONA，且，求抛物线的解析式；(3)如图3，抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于(0，5)，经过点C的直线l：ykx+m(k0)与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使CP1DCP2D90，求k的取值范围8(2020

11、东海县二模)如图，AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：yx2+x上，点A的坐标为(4，m)，点B的坐标为(n，2)(点A在点B的左侧)(1)则m4，n1(2)将AOB绕点O逆时针旋转90得到AOB，抛物线C2：yax2+bx+4经过A、B两点，延长OB交抛物线C2于点C，连接AC设OAC的外接圆为M求圆心M的坐标；试直接写出OAC的外接圆M与抛物线C2的交点坐标(A、C除外)【题组三】9(2019鄂尔多斯)如图，抛物线yax2+bx2(a0)与x轴交于A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线yx与该抛物线交于E，F两点(1)求抛物线的解析式(2)P是直线EF下方抛物线上的

12、一个动点，作PHEF于点H，求PH的最大值(3)以点C为圆心，1为半径作圆，C上是否存在点M，使得BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由10(2019日照)如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+

13、12PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由11(2018宿迁)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y(xa)(x3)(0a3)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点D，过其顶点C作直线CPx轴，垂足为点P，连接AD、BC(1)求点A、B、D的坐标；(2)若AOD与BPC相似，求a的值；(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由12(2018福建)已知抛物线yax2+bx+c过点A(0，2)(1)若点(-2，0)也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1，y1)，N(x2，y2)都满足：当x1x20时，(x

14、1x2)(y1y2)0；当0x1x2时，(x1x2)(y1y2)0以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且ABC有一个内角为60求抛物线的解析式；若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分MPN【题组四】13(2018长沙模拟)如图1，二次函数yax22ax3a(a0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D(1)求顶点D的坐标(用含a的代数式表示)；(2)若以AD为直径的圆经过点C求抛物线的函数关系式；如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将OBE绕平面内某一点旋转180，得到PMN(点P、M、N分别和点O、

15、B、E对应)，并且点M、N都在抛物线上，作MFx轴于点F，若线段MF：BF1：2，求点M、N的坐标；点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标14(2018济宁)如图，已知抛物线yax2+bx+c(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由15(2018遵义)在平面直角坐标系中，二次函数yax2+53x+c的图象经过

16、点C(0，2)和点D(4，2)点E是直线y=-13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点(1)求二次函数的解析式及点E的坐标(2)如图，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标(3)如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标16(2018福建)已知抛物线yax2+bx+c过点A(0，2)，且抛物线上任意不同两点M(x1，y1)，N(x2，y2)都满足：当x1x20时，(x1x2)(y1y2)0；当0x1x2时，(x1x2)(y1y2)0以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，

17、ABC有一个内角为60(1)求抛物线的解析式；(2)若MN与直线y23x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1y2，解决以下问题：求证：BC平分MBN；求MBC外心的纵坐标的取值范围【题组五】17(2021常州二模)如图1：抛物线yx2+bx+c过点A(1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C动点E(m，0)(0m3)，过点E作直线lx轴，交抛物线于点M(1)求抛物线的解析式及C点坐标；(2)连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若ANOM，求m的值(3)如图2当m1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F(点F在x轴上方)，若线段AC上最多存在一个点Q使得FQ

18、E90，求点P纵坐标的取值范围18(2021靖江市一模)如图，抛物线ymx24mx+n(m0)与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tanCAO3，sinCBO(1)求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；(2)设D为抛物线对称轴上一点，当BCD的外接圆的圆心在BCD的边上时，求点D的坐标；若BCD是锐角三角形，直接写出点D纵坐标的取值范围19(2019秋江都区期末)已知二次函数y=18x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过点(0，1)和点A(4，1)(1)求b、c的值；(2)如图1，点C(10，m)在抛物线上，点M是y轴上的一个动点，过点M平行于

19、x轴的直线l平分AMC，求点M的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，点P是抛物线上的一动点，以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F两点，若PEF的面积为26，请直接写出点P的坐标20(2020越秀区校级模拟)已知：二次函数yax22ax3(a0)，当2x4时，函数有最大值5(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点；(2)将函数yax22ax3(a0)图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，得到的新图象与直线yn恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为A，B，C，D，当以BC为直径的圆与x轴相切时，求n的值(3)若点P(x0，y0)是(2)中翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于m的一元二次方程m

20、2y0m+k4+y00恒有实数根时，求实数k的最大值【题组六】21(2021雨花区二模)如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B为OD中点(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式；(2)如图2，连接BC，AC点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2MNMB时，求M点的坐标；(3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由22.(2021秋西湖区校级期中)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为

21、(0，3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2(1)求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；(2)已知点E是“蛋圆”上的一点(不与点A，点B重合)，点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；(3)点P是“蛋圆”外一点，满足BPC60，当BP最大时，直接写出点P的坐标23(2021秋上城区校级期中)如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C，M是ABC的外接圆若抛物线的顶点D的坐标为(1，4)(1)求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；(2)求M的半径和圆心M的坐标；(3)如图2，在x轴上有

22、点P(7，0)，试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与ABC相似若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由24(2021黔西南州)如图，直线l：y2x+1与抛物线C：y2x2+bx+c相交于点A(0，m)，B(n，7)(1)填空：m1，n3，抛物线的解析式为 y2x24x+1(2)将直线l向下移a(a0)个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围(3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题9二次函数与圆综合问题 解决函数与圆的综合问题的关键是

23、找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：2. 直线与圆的位置关系：平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：（4） 利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题（5） 利用勾股定理解决问题（6） 利用相似列出比例式解决问题2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.【例1】【例1】(2021花都区三模)如图，

24、抛物线yax2+bx+2经过A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C(1)求该抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在点P使得OBP+OBC45，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90得点N，连接NA，求NA的取值范围【分析】(1)将点A(1，0)，B(4，0)代入yax2+bx+2即可求解析式；(2)过点P作PHBC交于点H，设P(0，t)，CHx，由已知分别可求BC2，BH2x，HPBH2x，在RtCPH中，sinPCH，cosPCH，求出t，则P(0，)，与x轴对称点为(0，)，此点也满足所求；(3)当M点在B点

25、处时，N点在F(0，4)处，当M点在O点处时，N点在E(2，0)处，EOF90，EFBC2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO，O(1，2)，NA有最大值和最小值，OA2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2，进而求得2NA2+【解答】解：(1)将点A(1，0)，B(4，0)代入yax2+bx+2，得，解得，yx2+x+2；(2)过点P作PHBC交于点H，设P(0，t)，CHx，C(0，2)，B(4，0)，BC2，BH2x，OBP+OBC45，CBP45，HPBH2x，在RtCPH中，sinPCH，cosPCH，在RtBOC中，sinPCH，cosPCH，x，t，P(0，)，P点

26、关于x轴对称点为(0，)，此点也满足OBP+OBC45，满足条件的P点坐标为(0，)或(0，)；(3)当M点在B点处时，N点在F(0，4)处，当M点在C点处时，N点在E(2，0)处，EOF90，EFBC2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO，当NA经过圆心O时，NA有最大值和最小值，O(1，2)，A(1，0)，OA2，NA最大值为2+，NA最小值为2，2NA2+【例2】(2020遵义)如图，抛物线yax2+94x+c经过点A(1，0)和点C(0，3)与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MPy轴，交抛物线于点P(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点

27、Q，使得QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以M为圆心，MP为半径作M，当M与坐标轴相切时，求出M的半径【分析】(1)把点A(1，0)和点C (0，3)代入yax2+94x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；(2)当点Q在y轴右边时，假设QCO为等边三角形，过点Q作QHOC于H，OC3，则OH=32，tan60=QHOH，求出Q(332，32)，把x=332代入y=-34x2+94x+3，得y=2738-331632，则假设不成立；当点Q在y轴的左边时，假设QCO为等边三角形，过点Q作QTOC于T，OC3，则OT=32，tan60=QTOT，求出Q(-

28、332，32)，把x=-332代入y=-34x2+94x+3，得y=-2738-331632，则假设不成立；(3)求出B(4，0)，待定系数法得出BC直线的解析式y=-34x+3，当M在线段BC上，M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为M与x轴的切点，即PMMD，设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，由PDMDMD，求出x1，即可得出结果；当M在线段BC上，M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作MEy轴于E，则点E为M与y轴的切点，即PMME，PDMDEMx，设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-

29、34x+3)，则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作MEy轴于E，则点E为M与y轴的切点，即PMME，PDMDEMx，设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，则PD=34x2-94x3，MD=34x3，代入即可得出结果【解答】解：(1)把点A(1，0)和点C (0，3)代入yax2+94x+c得：0=a-94+c3=c，解得：a=-34c=3，抛物线的解析式为：y=-34x2+94x+3；(2)不存在，理由如下

30、：当点Q在y轴右边时，如图1所示：假设QCO为等边三角形，过点Q作QHOC于H，点C (0，3)，OC3，则OH=12OC=32，tan60=QHOH，QHOHtan60=323=332，Q(332，32)，把x=332代入y=-34x2+94x+3，得：y=2738-331632，假设不成立，当点Q在y轴右边时，不存在QCO为等边三角形；当点Q在y轴的左边时，如图2所示：假设QCO为等边三角形，过点Q作QTOC于T，点C (0，3)，OC3，则OT=12OC=32，tan60=QTOT，QTOTtan60=323=332，Q(-332，32)，把x=-332代入y=-34x2+94x+3，得

31、：y=-2738-331632，假设不成立，当点Q在y轴左边时，不存在QCO为等边三角形；综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得QCO是等边三角形；(3)令-34x2+94x+30，解得：x11，x24，B(4，0)，设BC直线的解析式为：ykx+b，把B、C的坐标代入则0=4k+b3=b，解得：k=-34b=3，BC直线的解析式为：y=-34x+3，当M在线段BC上，M与x轴相切时，如图3所示：延长PM交AB于点D，则点D为M与x轴的切点，即PMMD，设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，(-34x2+94x+3)(-

32、34x+3)=-34x+3，解得：x11，x24(不合题意舍去)，M的半径为：MD=-34+3=94；当M在线段BC上，M与y轴相切时，如图4所示：延长PM交AB于点D，过点M作MEy轴于E，则点E为M与y轴的切点，即PMME，PDMDEMx，设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，(-34x2+94x+3)(-34x+3)x，解得：x1=83，x20(不合题意舍去)，M的半径为：EM=83；当M在BC延长线，M与x轴相切时，如图5所示：点P与A重合，M的横坐标为1，M的半径为：M的纵坐标的值，即：-34(1)+3=154

33、；当M在CB延长线，M与y轴相切时，如图6所示：延长PM交x轴于D，过点M作MEy轴于E，则点E为M与y轴的切点，即PMME，PDMDEMx，设P(x，-34x2+94x+3)，M(x，-34x+3)，则PD=34x2-94x3，MD=34x3，(34x2-94x3)(34x3)x，解得：x1=163，x20(不合题意舍去)，M的半径为：EM=163；综上所述，M的半径为94或83或154或163【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、等边三角形的性质、圆的性质、三角函数等知识；熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键【例3】(2020济宁)我们把方程(xm)2+(yn)2r

34、2称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程例如，圆心为(1，2)、半径长为3的圆的标准方程是(x1)2+(y+2)29在平面直角坐标系中，C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为(8，0)，与y轴相切于点D(0，4)，过点A，B，D的抛物线的顶点为E(1)求C的标准方程；(2)试判断直线AE与C的位置关系，并说明理由【分析】(1)如图，连接CD，CB，过点C作CMAB于M设C的半径为r在RtBCM中，利用勾股定理求出半径以及点C的坐标即可解决问题(2)结论：AE是C的切线连接AC，CE求出抛物线的解析式，推出点E的坐标，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明CAE90即可解决问题【解

35、答】解：(1)如图，连接CD，CB，过点C作CMAB于M设C的半径为r与y轴相切于点D(0，4)，CDOD，CDOCMODOM90，四边形ODCM是矩形，CMOD4，CDOMr，B(8，0)，OB8，BM8r，在RtCMB中，BC2CM2+BM2，r242+(8r)2，解得r5，C(5，4)，C的标准方程为(x5)2+(y4)225(2)结论：AE是C的切线理由：连接AC，CECMAB，AMBM3，A(2，0)，B(8，0)设抛物线的解析式为ya(x2)(x8)，把D(0，4)代入ya(x2)(x8)，可得a=14，抛物线的解析式为y=14(x2)(x8)=14x2-52x+4=14(x5)2

36、-94，抛物线的顶点E(5，-94)，AE=32+(94)2=154，CE4+94=254，AC5，EC2AC2+AE2，CAE90，CAAE，AE是C的切线【点评】本题属于二次函数综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，圆的方程，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题【例4】(2020西藏)在平面直角坐标系中，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A(2，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点(1)求二次函数的解析式；(2)如图甲，连接AC，PA，PC，若SPAC=152，求点P的坐标；(3)如图乙

37、，过A，B，P三点作M，过点P作PEx轴，垂足为D，交M于点E点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长【分析】(1)由二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A(2，0)，B(4，0)两点，可得二次函数的解析式为y=12(x+2)(x4)，由此即可解决问题(2)根据SPACSAOC+SOPCSAOP，构建方程即可解决问题(3)结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE2根据AMMP，根据方程求出t，再利用中点坐标公式，求出点E的纵坐标即可解决问题【解答】解：(1)二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A(2，0)，B(4，0)两点

38、，二次函数的解析式为y=12(x+2)(x4)，即y=12x2x4(2)如图甲中，连接OP设P(m，12m2m4)由题意，A(2，0)，C(0，4)，SPACSAOC+SOPCSAOP，152=1224+124m-122(-12m2+m+4)，整理得，m2+2m150，解得m3或5(舍弃)，P(3，-52)(3)结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE2理由：如图乙中，连接AM，PM，EM，设M(1，t)，Pm，12(m+2)(m4)，E(m，n)由题意A(2，0)，AMPM，32+t2(m1)2+12(m+2)(m4)t2，解得t1+14(m+2)(m4)，MEPM，PEAB，t=n+

39、12(m+2)(m-4)2，n2t-12(m+2)(m4)21+14(m+2)(m4)-12(m+2)(m4)2，DE2，另解：PDDEADDB，DE=ADDBPD=(m+2)(4-m)4+m-m2=2，为定值点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE2【点评】本题属于二次函数综合题，考查了三角形的面积，三角形的外接圆，三角形的外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题【例5】(2020宜宾)如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点(2，1)在二次函数的图象上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点(1)求二次函数的表达式；(2)P为平面内一点，当P

40、MN是等边三角形时，求点P的坐标；(3)在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y1相切若存在，求出点E的坐标，并求E的半径；若不存在，说明理由【分析】(1)设二次函数表达式为：yax2，将(2，1)代入上式，即可求解；(2)PMN是等边三角形，则点P在y轴上且PM4，故PF23，即可求解；(3)在RtFQE中，EN=(2-1)2+(1-14)2=54，EF=(1-0)2+(1-14)2=54，即可求解【解答】解：(1)二次函数的图象顶点在原点，故设二次函数表达式为：yax2，将(2，1)代入上式并解得：a=14，故二次函数表达式为：y=14x2；(2)将y

41、1代入y=14x2并解得：x2，故点M、N的坐标分别为(2，1)、(2，1)，则MN4，PMN是等边三角形，点P在y轴上且PM4，PF23；点F(0，1)，点P的坐标为(0，1+23)或(0，123)；(3)假设二次函数的图象上存在一点E满足条件，设点Q是FN的中点，则点Q(1，1)，故点E在FN的中垂线上点E是FN的中垂线与y=14x2图象的交点，y=1412=14，则点E(1，14)，EN=(2-1)2+(1-14)2=54，同理EF=(1-0)2+(1-14)2=54，点E到直线y1的距离为|14-(1)|=54，故存在点E，使得以点E为圆心半径为54的圆过点F，N且与直线y1相切【点评

42、】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本的性质、等边三角形的性质等，综合性强，难度适中【例6】(2021嘉兴二模)定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆(1)已知点P(2，2)，以P为圆心，为半径作圆请判断P是不是二次函数yx24x+3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数yx24x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求POA周长的最小值；(3)已知二次函数yax24x+4(0a1)图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2若CPD120，求a的值【分析】(1)先求出二次函

43、数yx24x+3图象与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P(2，2)为圆心，为半径的圆上，即可作出判断(2)由题意可得，二次函数yx24x+4图象的顶点A(2，0)，与y轴的交点H(0，4)，所以POA周长PO+PA+OAPO+PH+2OH+2，即可得出最小值(3)连接CD，PA，设二次函数yax24x+4图象的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且lCD，设PEm，由CPD120，可得PAPC2m，CEm，PF4m，因为二次函数yax24x+4图象的对称轴l为，AB，所以AFBF，在RtPAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值【解答】解：(1)对于二次函数yx24x+3，当x0时，y3；当y0时，解得x1或x3，二次函数图象与x轴交点为A(1，0)，B(3，0)，与y轴交点为C(0，3)，点P(2，2)，PAPBPC，P是二次函数yx24x+3的坐标圆(2)如图1，连接PH，二次函数yx24x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，A(2，0)，与y轴的交点H(0，4)，POA周长PO+PA+OAPO+PH+2OH+26，POA周长的最小值为6(