2022-2023学年江苏省南京市玄武区九年级（下）期中数学试卷.pdf

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1、第 1页（共 51页）2022-2023 学年江苏省南京市玄武区九年级（下）期中数学试卷学年江苏省南京市玄武区九年级（下）期中数学试卷一一、选择题选择题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 2 分分，共共 12 分分.在每小题所给出的四个选项中在每小题所给出的四个选项中，恰有恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（2 分）下列运算正确的是（）Ax2x3x6B4x33x212x5Cx2+x3x5D（2x2）36x62（2 分）体积为 90 的正方体的棱长在（）A3 与 4 之间B

2、4 与 5 之间C5 与 6 之间D6 与 7 之间3（2 分）（2022长治二模）如图为某数学兴趣小组做的某种削铅笔刀的 3D 模型，则该几何体的左视图是（）ABCD4（2 分）（2023南山区模拟）实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示若实数 b 满足aba，则 b 的值可以是（）A3B2C1D25（2 分）如图，在平面直角坐标系中，ABO90，ABOB，C 为 OA 的中点，反比例函数的图象经过点 C若 OA6，则 k 的值为（）第 2页（共 51页）A9B9CD6（2 分）（2022淄博）如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 AC 边上，过ABD 的内心I 作 IEBD 于点 E

3、若 BD10，CD4，则 BE 的长为（）A6B7C8D9二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分，请把答案填写在答题卡相应位置分，请把答案填写在答题卡相应位置上）上）7（2 分）（2021江西）国务院第七次全国人口普查领导小组办公室 5 月 11 日公布人口普查 结 果，其 中 江 西 人 口 数 约 为 45100000 人，将 45100000 用 科 学 记 数 法 表 示为8（2 分）（2023乾安县四模）使二次根式有意义的 x 的取值范围是9（2 分）（2017西藏）分解因式：4x21610（2 分）（2023长沙一模）若

4、 m 是方程 x2+x10 的一个根，则代数式 2023m2m的值为11（2 分）若关于 x，y 的方程组的解满足 2x+y1，则 m 的值为12（2 分）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型 若圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形的圆心角等于 90，则 R 与 r 之间的关系是13（2 分）（2015南京）如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中，CAD35，则B+E第 3页（共 51页）14（2 分）（2014东海县二模）如图，O 的半径是 5，ABC 是O 的内接三角形，过圆心 O 分别作 AB、BC、AC 的垂线，垂足为 E、F、G，连接 EF，若 O

5、G2，则 EF为15（2 分）如图，在ABC 中，AC3，BC4，C90，过 CB 的中点 D 作 DEAD，交 AB 于点 E，则 EB 的长为16（2 分）（2020连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上一动点，点 C 为弦 AB 的中点，直线 yx3 与 x 轴、y轴分别交于点 D、E，则CDE 面积的最小值为第 4页（共 51页）三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）说

6、明、证明过程或演算步骤）17（10 分）（2023 春玄武区期中）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中18（6 分）（2012海安县模拟）解不等式组，并求它的整数解19（8 分）（2016南京二模）为了解某校 1500 名初中生冬季最喜欢的体育活动，该校随机抽取了校内部分学生进行调查，整理样本数据，得到下列统计图根据以上信息回答下列问题：（1）共抽取了名校内学生进行调查，扇形图中 m 的值为（2）通过计算补全直方图（3）在各个项目被调查的学生中，男女生人数比例如表：项目踢毽子跳绳跑步其他男：女1：32：33：14：1根据这次调查，估计该校初中毕业生中，男生人数是多少？20（8 分）（20

7、21江西）为庆祝建党 100 周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从 A，B，C，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字（1）“A 志愿者被选中”是事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；第 5页（共 51页）（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出 A，B 两名志愿者被选中的概率21（8 分）（2022北京）如图，在ABCD 中，AC，BD 交于点 O，点

8、E，F 在 AC 上，AECF（1）求证：四边形 EBFD 是平行四边形；（2）若BACDAC，求证：四边形 EBFD 是菱形22（8 分）（2023禹会区二模）某玩具经销商用 1.6 万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完该经销商又用 3.4 万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了 10 元（1）该经销商两次共购进这种玩具多少套？（2）若第一批玩具销售完后总利润率为 25%，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？23（6 分）（2023 春玄武区期中）已知函数 yx+（1）若点 P（a，b）是函数

9、图象上一点，则点 P 关于原点的对称点 Q 是否在该函数图象上？请说明理由（2）设 P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上任意两点，且 x2x12，求证：y2y124（8 分）如图 1 是一种手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图 2 是其侧面结构示意图量得托板长 AB120mm，支撑板长 CD80mm，底座长 DE90mm，托板 AB 固定在支撑板顶端点 C 处，且 CB40mm，托板 AB 可绕点 C 转动，支撑板 CD 可绕点 D 转动 若DCB80，CDE60，求点 A 到直线 DE 的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：sin400.643，cos40

10、0.766，tan400.839，1.732）第 6页（共 51页）25（8 分）（2013 秋青羊区期末）如图，点 O 是等腰ABC 的外心，AD 是圆 O 的切线，切点为 A，过点 C 作 CDAB，交 AD 于点 D连接 AO 并延长交 BC 于点 M，连接 AD，交过点 C 的直线于点 P，且BCPACD（1）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB12，BC8求 PC 的长26（8 分）（2022 秋启东市校级期末）已知抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为直线 x1（1）b；（用含 a 的代数式表示）（2）当 a1 时，若关于 x 的方

11、程 ax2+bx+c0 在4x1 的范围内有解，求 c 的取值范围；（3）若抛物线过点（1，1），当 0 x1 时，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 4，求 a 的值27（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上一点将矩形 ABCD 沿 BE 翻折，使得点F 落在 CD 上（1）求证：DEFCFB；（2）若 F 恰是 DC 的中点，AB 与 BC 有怎样的数量关系？请说明理由（3）在（2）中，连接 AF，G、M、N 分别是 AB、AF、BF 上的点（都不与端点重合），第 7页（共 51页）若 GMN ABF，且 GMN 的 面 积 等 于 ABF 面 积 的，则第 8页（共

12、51页）2022-2023 学年江苏省南京市玄武区九年级（下）期中数学试卷学年江苏省南京市玄武区九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一、选择题选择题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 2 分分，共共 12 分分.在每小题所给出的四个选项中在每小题所给出的四个选项中，恰有恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（2 分）下列运算正确的是（）Ax2x3x6B4x33x212x5Cx2+x3x5D（2x2）36x6【考点】单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂

13、的乘法；幂的乘方与积的乘方菁优网版 权所有【专题】整式；运算能力【答案】B【分析】利用单项式乘单项式的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可【解答】解：A、x2x3x5，故 A 不符合题意；B、4x33x212x5，故 B 符合题意；C、x2与 x3不属于同类项，不能合并，故 C 不符合题意；D、（2x2）38x6，故 D 不符合题意；故选：B【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握2（2 分）体积为 90 的正方体的棱长在（）A3 与 4 之间B4 与 5 之间C5 与 6 之间D6

14、与 7 之间【考点】估算无理数的大小；立方根菁优网版 权所有【答案】B【分析】根据估算无理数的大小，即可解答【解答】解：，45，故选：B第 9页（共 51页）【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记公式无理数的大小3（2 分）（2022长治二模）如图为某数学兴趣小组做的某种削铅笔刀的 3D 模型，则该几何体的左视图是（）ABCD【考点】简单组合体的三视图菁优网版 权所有【专题】投影与视图；空间观念【答案】B【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看，可得选项 B 的图形，故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图4（2 分

15、）（2023南山区模拟）实数 a 在数轴上的对应点的位置如图所示若实数 b 满足aba，则 b 的值可以是（）A3B2C1D2【考点】实数与数轴菁优网版 权所有【专题】常规题型；能力层次【答案】C【分析】根据点 b 在数轴上的位置可求【解答】解：将a，b 在数轴上表示出来如下：第 10页（共 51页）abab 在a 和 a 之间选项中只有1 符合条件故选：C【点评】本题考查实数与数轴上的点的对应关系找到a 的位置是求解本题的关键5（2 分）如图，在平面直角坐标系中，ABO90，ABOB，C 为 OA 的中点，反比例函数的图象经过点 C若 OA6，则 k 的值为（）A9B9CD【考点】反比例函数

16、图象上点的坐标特征；等腰直角三角形菁优网版 权所有【专题】反比例函数及其应用；推理能力【答案】C【分析】过 C 作 CGx 轴于 G，先证明 OGCG，再求解 OC，OG，CG，可得 c 的坐标，从而可得答案【解答】解：ABO90，ABOB，AOBBAO45，过 C 作 CGx 轴于 G，COGCGO45，CGOG，C 为 OA 的中点，OA6，OCOA3，第 11页（共 51页）OGOCcos45，CGOG，C（，），k，故选：C【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，锐角三角函数的应用，求解 C 的坐标是解本题的关键6（2 分）（2

17、022淄博）如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 AC 边上，过ABD 的内心I 作 IEBD 于点 E若 BD10，CD4，则 BE 的长为（）A6B7C8D9【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的内切圆与内心菁优网版 权所有【专题】三角形；推理能力【答案】B【分析】如图，连接 AI，BI，CI，DI，过点 I 作 ITAC 于点 T 证明IDTIDE（AAS），推出 DEDT，ITIE，证明 RtBEIRtCTI（HL），推出 BECT，设 BECTx，根据 DEDT，可得 10 xx4，求出 x 即可解决问题【解答】解：如图，连接 AI，BI，CI

18、，DI，过点 I 作 ITAC 于点 T第 12页（共 51页）I 是ABD 的内心，BAICAI，ABAC，AIAI，BAICAI（SAS），IBIC，ITDIED90，IDTIDE，DIDI，IDTIDE（AAS），DEDT，ITIE，BEICTI90，RtBEIRtCTI（HL），BECT，设 BECTx，DEDT，10 xx4，x7，BE7故选：B【点评】本题考查三角形的内心，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分，请把答案

19、填写在答题卡相应位置分，请把答案填写在答题卡相应位置上）上）7（2 分）（2021江西）国务院第七次全国人口普查领导小组办公室 5 月 11 日公布人口普查结果，其中江西人口数约为 45100000 人，将 45100000 用科学记数法表示为4.51第 13页（共 51页）107【考点】科学记数法表示较大的数菁优网版 权所有【专题】实数；运算能力【答案】4.51107【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数，当原数的绝对值1 时，

20、n 是负数【解答】解：451000004.51107，故答案为：4.51107【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值8（2 分）（2023乾安县四模）使二次根式有意义的 x 的取值范围是x1【考点】二次根式有意义的条件菁优网版 权所有【专题】二次根式；运算能力【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案【解答】解：由题意得：x10，解得：x1，故答案为：x1【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解

21、题的关键9（2 分）（2017西藏）分解因式：4x2164（x+2）（x2）【考点】提公因式法与公式法的综合运用菁优网版 权所有【答案】见试题解答内容【分析】先提取公因式 4，再对剩余项 x24 利用平方差公式继续进行因式分解【解答】解：4x216，4（x24），4（x+2）（x2）第 14页（共 51页）故答案为：4（x+2）（x2）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底10（2 分）（2023长沙一模）若 m 是方程 x2+x10 的一个根，则代数式 2023m2m的值为2022【考点】一元二次方程的解菁

22、优网版 权所有【专题】一元二次方程及应用；运算能力【答案】2022【分析】先根据一元二次方程解的定义得到 m2+m1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值【解答】解：xm 是一元二次方程 x2+x10 的一个根，m2+m10，m2+m1，2023m2m2023（m2+m）202312022故答案为：2022【点评】本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解11（2 分）若关于 x，y 的方程组的解满足 2x+y1，则 m 的值为1【考点】二元一次方程组的解菁优网版 权所有【专题】一次方程（组）及应用；运算能力【答案】1【分析】将方程组中的两方程相加

23、可得 2x+y3m+4，再整体代入可求得此题结果【解答】解：将方程组中的两方程相加可得 2x+y3m+4，由题意得，3m+41，第 15页（共 51页）解得 m1，故答案为：1【点评】此题考查了运用整体思想求解二元一次方程组相关问题的能力，关键是能将原方程组准确变形并计算12（2 分）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型 若圆的半径为 r，扇形的半径为 R，扇形的圆心角等于 90，则 R 与 r 之间的关系是R4r【考点】圆锥的计算菁优网版 权所有【答案】见试题解答内容【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算【解答】解：扇形的弧长是：

24、，圆的半径为 r，则底面圆的周长是 2r，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：2r，即：R4r，R 与 r 之间的关系是 R4r故答案为：R4r【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键13（2 分）（2015南京）如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中，CAD35，则B+E215第 16页（共 51页）【考点】圆内接四边形的性质菁优网版 权所有【答案】见试题解答内容【分析】连接 CE，根据圆内接四边形

25、对角互补可得B+AEC180，再根据同弧所对的圆周角相等可得CEDCAD，然后求解即可【解答】解：如图，连接 CE，五边形 ABCDE 是圆内接五边形，四边形 ABCE 是圆内接四边形，B+AEC180，CEDCAD35，B+E180+35215故答案为：215【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键14（2 分）（2014东海县二模）如图，O 的半径是 5，ABC 是O 的内接三角形，过圆心 O 分别作 AB、BC、AC 的垂线，垂足为 E、F、G，连接 EF，若 OG2，则 EF 为第 17页（共 51页）【考点】垂

26、径定理；勾股定理；三角形中位线定理菁优网版 权所有【专题】计算题【答案】见试题解答内容【分析】连接 OA，根据垂径定理由 OGAC 得到 AGCG，在 RtAOG 中，根据勾股定理得 AG，则 AC2AG2，再根据垂径定理由 OEAB，OFBC 得到AEBE，CFBF，所以 EF 为ABC 的中位线，则 EFAC【解答】解：连接 OA，如图，OGAC，AGCG，在 RtAOG 中，OG2，OA5，AG，AC2AG2，OEAB，OFBC，AEBE，CFBF，EF 为ABC 的中位线，EFAC故答案为【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和三角形

27、中位线性质第 18页（共 51页）15（2 分）如图，在ABC 中，AC3，BC4，C90，过 CB 的中点 D 作 DEAD，交 AB 于点 E，则 EB 的长为【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理菁优网版 权所有【专题】图形的相似；运算能力【答案】【分析】过点 E 作 EMBC，垂足为 M，先证明一线三等角模型相似三角形ACDDME，从而利用相似三角形的性质可设 EM2x，则 DM3x，然后再证明 A 字模型相似三角形BMEBCA，从而可得 BMx，进而根据 BD2 列出关于 x 的方程，进行计算可求出 EM，BM 的长，最后在 RtBME 中，利用勾股定理进行计算即可解答【解答】解：

28、过点 E 作 EMBC，垂足为 M，DMEBME90，EDM+DEM90，DEAD，ADE90，CDA+EDM90，CDADEM，点 D 是 BC 的中点，CDBDBC2，第 19页（共 51页）CDME90，ACDDME，设 EM2x，则 DM3x，BMEC90，BB，BMEBCA，BMx，BD2，DM+BM2，3x+x2，x，EM，BM，BE，故答案为：【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键16（2 分）（2020连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的O 与 x 轴的正半轴交于点 A，点 B 是O 上

29、一动点，点 C 为弦 AB 的中点，直线 yx3 与 x 轴、y轴分别交于点 D、E，则CDE 面积的最小值为2第 20页（共 51页）【考点】一次函数的性质；三角形的面积；三角形中位线定理菁优网版 权所有【专题】平面直角坐标系；与圆有关的计算；应用意识【答案】见试题解答内容【分析】如图，连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 N首先证明点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心，1 为半径的M，设M 交 MN 于 C求出 MN，当点 C 与 C重合时，CDE 的面积最小【解答】解：如图，连接 OB，取 OA 的中点 M，连接 CM，过点 M 作 MNDE 于 NAC

30、CB，AMOM，MCOB1，点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心，1 为半径的M，设M 交 MN 于 C直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于点 D、E，D（4，0），E（0，3），第 21页（共 51页）OD4，OE3，DE5，MDNODE，MNDDOE，DNMDOE，MN，当点 C 与 C重合时，CDE 的面积最小，CDE 的面积最小值5（1）2，故答案为 2【点评】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分.请在答题

31、卡指定区域内作答，解答时应写出文字请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）（2023 春玄武区期中）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中【考点】分式的化简求值；零指数幂；实数的运算菁优网版 权所有【专题】计算题；分式；运算能力【答案】（1）2+1+；（2）；【分析】（1）分别根据二次根式的化简法则，零指数幂、绝对值计算即可；（2）先约分，再合并同类项即可，把 a 的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）原式2+1+；（2）原式+第 22页（共 51页）1；当 a+1 时，原式【点评】此题主要考查了实数的运算和分式的化简

32、求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（6 分）（2012海安县模拟）解不等式组，并求它的整数解【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解菁优网版 权所有【答案】见试题解答内容【分析】分别得出不等式的解集，进而得出不等式组的解集，即可得出不等式组的整数解【解答】解：由得：2x+45x+10，3x6，x2由得：xx1，x3所以原不等式组的解集为2x3所以原不等式组的整数解为2，1，0，1，2【点评】此题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，利用此规律得出不等式的解集是解题关键19（8 分）（2016南京二模

33、）为了解某校 1500 名初中生冬季最喜欢的体育活动，该校随机抽取了校内部分学生进行调查，整理样本数据，得到下列统计图第 23页（共 51页）根据以上信息回答下列问题：（1）共抽取了200名校内学生进行调查，扇形图中 m 的值为25%（2）通过计算补全直方图（3）在各个项目被调查的学生中，男女生人数比例如表：项目踢毽子跳绳跑步其他男：女1：32：33：14：1根据这次调查，估计该校初中毕业生中，男生人数是多少？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布直方图菁优网版 权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据踢毽子的人数是 40，所占的百分比是 20%，据此即可求得调查的总人数，然

34、后利用 1 减去其他组的百分比求得 m 的值；（2）利用总数乘以百分比求得跳绳的人数，从而补全直方图；（3）利用加权平均数公式即可求解【解答】解：（1）调查的总人数是 4020%200（人），m120%15%40%25%故答案为：200，25%；（2）跳绳的人数是 20025%50（人），则；第 24页（共 51页）（3）1500（20%+25%+40%+15%）855（人），答：估计该校初中毕业生中男生的人数是 855 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部

35、分占总体的百分比大小20（8 分）（2021江西）为庆祝建党 100 周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从 A，B，C，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字（1）“A 志愿者被选中”是随机事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出 A，B 两名志愿者被选中的概率【考点】列表法与树状图法；随机事件菁优网版 权所有【专题】

36、概率及其应用；数据分析观念【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）列表得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可【解答】解：（1）“A 志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机；（2）列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）第 25页（共 51页）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表可知，共有 12 种等可能结果，其中 A，B 两名志愿者被选中的有 2 种结果，所以 A，B 两名志愿者被选中的概率为【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求

37、概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比21（8 分）（2022北京）如图，在ABCD 中，AC，BD 交于点 O，点 E，F 在 AC 上，AECF（1）求证：四边形 EBFD 是平行四边形；（2）若BACDAC，求证：四边形 EBFD 是菱形【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质菁优网版 权所有【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；（2）根据平行四边形的性质可得 D

38、ADC，然后利用等腰三角形的性质可得 DBEF，进而可以证明四边形 EBFD 是菱形【解答】证明：（1）在ABCD 中，OAOC，OBOD，AECFOEOF，四边形 EBFD 是平行四边形；（2）四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，第 26页（共 51页）BACDCA，BACDAC，DCADAC，DADC，平行四边形 ABCD 为菱形，DBEF，平行四边形 EBFD 是菱形【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型22（8 分）（2023禹会区二模）某玩具经销商用 1.6 万元购进了一批玩具，上市后一周全部售完该经

39、销商又用 3.4 万元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了 10 元（1）该经销商两次共购进这种玩具多少套？（2）若第一批玩具销售完后总利润率为 25%，购进的第二批玩具仍以第一批的相同售价出售，则第二批玩具全部售完后，这二批玩具经销商共可获利多少元？【考点】分式方程的应用菁优网版 权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）设第一次购进了 x 套，则第二次购进了 2x 套，进而表示出进价，即可得出等式求出答案；（2）首先求出玩具的售价，进而求出其每件的利润，即可得出答案【解答】解：（1）设第一次购进了 x 套，则第二次购进了 2x 套依题意，列方程得：+10，

40、解得：x100，经检验 x100 是原方程的根，2x200，答：该经销商两次共购进这种玩具 300 套；（2）由（1）得第一批每套玩具的进价为160（元），第 27页（共 51页）又总利润率为 25%，售价为 160（1+25%）200 元，第二批玩具的进价为 170 元，售价也为 200 元40100+3020010000 元答：这二批玩具经销商共可获利 10000 元【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，根据题意找出正确等量关系是解题的关键23（6 分）（2023 春玄武区期中）已知函数 yx+（1）若点 P（a，b）是函数图象上一点，则点 P 关于原点的对称点 Q 是否在该函数图象上？

41、请说明理由（2）设 P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上任意两点，且 x2x12，求证：y2y1【考点】一次函数图象上点的坐标特征菁优网版 权所有【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力【答案】（1）点 P 关于原点的对称点 Q 在该函数图象上，理由见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据点 P（a，b）是函数图象上一点，可得 ba+，当 xa 时，yb，可知点（a，b）在该函数图象上，从而可得点 P 关于原点的对称点 Q 在该函数图象上；（2）根据 P（x1，y1），Q（x2y2）是该函数图象上任意两点，可得 y1，y2，进一步计算 y1y2（x1x2）0，即可得证【解答】

42、（1）解：点 P 关于原点的对称点 Q 在该函数图象上，理由如下：点 P（a，b）是函数图象上一点，ba+，当 xa 时，ya（a+）b，点（a，b）在该函数图象上，第 28页（共 51页）点 P（a，b）关于原点的对称点 Q 为（a，b），点 P 关于原点的对称点 Q 在该函数图象上；（2）证明：P（x1，y1），Q（x2y2）是该函数图象上任意两点，y1，y2，y1y2（）（x1x2）+（）（x1x2）+（x1x2）（1）（x1x2），x2x12，x1x20，x1x20，x1x240，（x1x2）0，y1y20，y2y1【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点

43、的坐标特征是解题的关键24（8 分）如图 1 是一种手机平板支架由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图 2 是其侧面结构示意图量得托板长 AB120mm，支撑板长 CD80mm，底座长 DE90mm，托板 AB 固定在支撑板顶端点 C 处，且 CB40mm，托板 AB 可绕点 C 转动，支撑板 CD 可绕点 D 转动 若DCB80，CDE60，求点 A 到直线 DE 的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：sin400.643，cos400.766，tan400.839，1.732）第 29页（共 51页）【考点】解直角三角形的应用菁优网版 权所有【专题】解直角三角形及其应用；几何直观

44、；推理能力【答案】约为 120.7mm【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出 CN、AF，即可求出点 A 到直线 DE 的距离【解答】解：如图 2，过 A 作 AMDE，交 ED 的延长线于点 M，过点 C 作 CFAM，垂足为 F，过点 C 作 CNDE，垂足为 N，由题意可知，AC80，CD80，DCB80，CDE60，在 RtCDN 中，CNCDsinCDE8040mmFM，DCN906030，又DCB80，BCN803050，AMDE，CNDE，AMCN，ABCN50，ACF905040，在 RtAFC 中，AFACsin40800.64351.44（mm）

45、，AMAF+FM51.44+40120.7（mm），答：点 A 到直线 DE 的距离约为 120.7mm第 30页（共 51页）【点评】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法25（8 分）（2013 秋青羊区期末）如图，点 O 是等腰ABC 的外心，AD 是圆 O 的切线，切点为 A，过点 C 作 CDAB，交 AD 于点 D连接 AO 并延长交 BC 于点 M，连接 AD，交过点 C 的直线于点 P，且BCPACD（1）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB12，BC8求 PC 的长【考点】切线的判定与性

46、质菁优网版 权所有【专题】计算题【答案】见试题解答内容【分析】（1）过 C 点作直径 CE，连接 EB，由 CE 为直径得E+BCE90，由 ABDC 得ACDBAC，而BACE，BCPACD，所以EBCP，于是BCP+BCE90，然后根据切线的判断得到结论；（2）根据切线的性质得到 OAAD，而 BCAD，则 AMBC，根据垂径定理有 BMCMBC4，根据等腰三角形性质有 ACAB12，在 RtAMC 中根据勾股定理计算出 AM；设O 的半径为 r，则 OCr，OMAMr 在 RtOCM 中，根据勾股定理计算出 r，求第 31页（共 51页）出 CE2r，OM，利用中位线性质得 BE2OM，

47、然后判断 RtPCMRtCEB，根据相似比可计算出 PC【解答】解：（1）直线 PC 与圆 O 相切，理由为：过 C 点作直径 CE，连接 EB，如图，CE 为直径，EBC90，即E+BCE90，ABDC，ACDBAC，BACE，BCPACDEBCP，BCP+BCE90，即PCE90，CEPC，PC 与圆 O 相切；（2）AD 是O 的切线，切点为 A，OAAD，BCAD，AMBC，BMCMBC4，ACAB12，在 RtAMC 中，AM8，设圆 O 的半径为 r，则 OCr，OMAMr8r，在 RtOCM 中，OM2+CM2OC2，即 42+（8r）2r2，解得：r，CE2r9，OM8，BE2

48、OM7，EMCP，第 32页（共 51页）RtPCMRtCEB，即PC【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键26（8 分）（2022 秋启东市校级期末）已知抛物线 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的对称轴为直线 x1（1）b2a；（用含 a 的代数式表示）（2）当 a1 时，若关于 x 的方程 ax2+bx+c0 在4x1 的范围内有解，求 c 的取值范围；（3）若抛物线过点（1，1），当 0 x1 时，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 4，求 a 的值【考点】抛物线与

49、x 轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值菁优网版 权所有【专题】函数思想；数据分析观念【答案】见试题解答内容【分析】（1）x1，即可求解；（2）该方程在4x1 的范围内有解，则4+4c0，即可求解；（3）抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 4，即该点坐标为（1，4）或（1，4），即可求解第 33页（共 51页）【解答】解：（1）x1，故 b2a，故答案为：2a；（2）当 a1 时，函数表达式为：yx22x+c，方程为：x2+2xc0，该方程在4x1 的范围内有解，则4+4c0，即 c1；同时要满足：当 x4 时，y0 或 x1 时，y0，即16+8+c0 或1

50、2+c0，故 c8 或 c3，故 c8，故1c8；（3）抛物线过点（1，1），该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：ya（x+1）21，当 0 x1 时，抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 4，而顶点到 x 轴的距离为 1，则 x1 时，该点的 y 坐标为 4 或4，即该点坐标为（1，4）或（1，4），将点（1，4）或（1，4），代入函数表达式得：4a（1+1）21 或4a（1+1）21，解得：a或【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等27（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是