2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题6.9 图形的相似章末测试卷（拔尖卷）（举一反三）（苏科版）含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列第6章 图形的相似章末测试卷（拔尖卷）【苏科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：_班级：_考号：_考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1（2021秋昭平县期中）若x=ab+c=ba+c=ca+b，则x等于（）A1或12B1C12D不能确定2（2021河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A四边形NPMQB四边形NPMRC四边形NH

2、MQD四边形NHMR3（2021玉环市一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（ba）以及实数x（0x1）确定实际销售价格ca+x（ba），这里x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得b-ac-a=c-ab-c，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A12B54C5+12D5-124（2021浙江自主招生）等腰ABC中，ABAC，E、F分别是AB、AC上的点，且BEAF，连接CE、BF交于点P，若CPPE=34，则AEAF的值为（）A12B13C3-12D5-125（2021秋沙湾区期末）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A

3、BCD6（2021秋南浔区期末）如图，已知在ABC纸板中，AC4，BC8，AB11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（）A0CP1B0CP2C1CP8D2CP87（2021温州模拟）如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记AEG面积为S1，CBD面积为S2，若EGBD，S1+S216，则DE的长为（）A42B82C4D88（2021秋射洪市期末）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AFDE于点F，AB3，AD2，CE1，则点A到直线DE的

4、距离AF的长度为（）A3510B71010C2.5D23109（2021芗城区校级一模）如图，在ABC中，ACB90，AC4，BC3，P是AB边上一动点，PDAC于点D，点E在P的右侧，且PE1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化的情况是（）A一直减小B一直增大C先增大后减小D先减小后增大10（2021秋内江期末）如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DFAE于点F，连接CF，FGCF交AD于点G，下列结论：CFCD；G为AD中点；DCFAGF；AFEF=23，其中结论正确的个数有（）A1个B2个C3

5、个D4个二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11（2021钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的12，依此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n 12（2021秋高州市期末）若线段a，b，c满足关系ab=34，bc=35，则a：b：c13.（2021春双流县校级期中）已知线段AB10cm，P、Q是线段AB的黄

6、金分割点，则PQ 14.（2021潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 米15（2021秋浠水县期中）如图，等腰三角形ABC中，ABAC，P点在BC边上的高AD上，且APPD=12，BP的延长线交AC于E，若SABC10，则SABE ；SDEC 16（2021秋双流区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC

7、BC于点C，BACADC，且BC=34AC，当CD4，AD2时，线段BD的长度为 三解答题（共7小题，满分52分）17（2021秋雁江区校级月考）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值18（2021杭州模拟）如图，设BDCD=p，CEAE=q，AFFB=r，求CQQF、BPPE19（2021抚顺）如图，将ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到A3B3C3（1）ABC与A1B1C1的位似比等于 ；（2）在网格中画出A1B1C1关于y轴的轴对称图形A2B2C2；

8、（3）请写出A3B3C3是由A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为 20（2021秋徐汇区期中）如图，在ABC中，ABAC，ADBC，点E为AD中点，连结BE，DFBE于点F，连结AF、CF（1）求证：EFAE=FDDC（2）若点G为AC中点，连结FG、DG，求证：FGDG21（2021无锡）王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等已知梯子最上面一级踏板的长度A1B10.5m，最下面一级踏板的长度A8B80.8m木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的

9、两个外端各做出一个长为4cm的榫头（如图2所示），以此来固定踏板现市场上有长度为2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由（不考虑锯缝的损耗）22（2021宁波）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图1，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60，求证：CD为ABC的完美分割线（2）在ABC中，A48，CD

10、是ABC的完美分割线，且ACD为等腰三角形，求ACB的度数（3）如图2，ABC中，AC2，BC=2，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长23（2021阜新模拟）在ABC中，ACB45点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果ABAC如图，且点D在线段BC上运动试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论（2）如果ABAC，如图，且点D在线段BC上运动（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=42，BC3，CDx，求线

11、段CP的长（用含x的式子表示）第6章 图形的相似章末测试卷（拔尖卷）【苏科版】参考答案与试题解析一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1（2021秋昭平县期中）若x=ab+c=ba+c=ca+b，则x等于（）A1或12B1C12D不能确定【解题思路】分两种情况讨论：当a+b+c0时和当a+b+c0时【解答过程】解：x=ab+c=ba+c=ca+b，当a+b+c0时，x=a+b+c2(a+b+c)=12；当a+b+c0时，x=ab+c=a-a=-1，故选：A2（2021河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A四边形NPMQB四边形NPMRC四边形NHM

12、QD四边形NHMR【解题思路】由以点O为位似中心，确定出点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=5，OM25，OD=2，OB=10，OA=13，OR=5，OQ22，OP210，OH35，ON213，由OMOC=2，得点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，即可得出结果【解答过程】解：以点O为位似中心，点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC=22+12=5，OM=42+22=25，OD=2，OB=32+12=10，OA=32+22=13，OR=22+12=5，OQ22，OP=62+22=210，OH=62+32=35，ON=62+42=213，OMOC=255=2，点D

13、对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A3（2021玉环市一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（ba）以及实数x（0x1）确定实际销售价格ca+x（ba），这里x被称为乐观系数经验表明，最佳乐观系数x恰好使得b-ac-a=c-ab-c，据此可得，最佳乐观系数x的值等于（）A12B54C5+12D5-12【解题思路】根据题设条件，由b-ac-a=c-ab-c，知x（ba）2（ba）2x（ba）2，由此能求出最佳乐观系数x的值【解答过程】解法一：cax（ba），bc（ba）x

14、（ba），b-ac-a=c-ab-c，x（ba）2（ba）2x（ba）2，x2+x10，解得x=-152，0x1，x=-1+52解法二：由ca+x（ba），可得x=c-ab-a，由b-ac-a=c-ab-c，可得（ca）2（ba）（bc），即（ca）2（ba）（ba）（ca），（ca）2（ba）2（ba）（ca），两边同时除以（ba）2可得，(c-ab-a)2=1-c-ab-a，将x=c-ab-a代入，可得x2+x10，解得x=-152，0x1，x=-1+52故选：D4（2021浙江自主招生）等腰ABC中，ABAC，E、F分别是AB、AC上的点，且BEAF，连接CE、BF交于点P，若CPPE=

15、34，则AEAF的值为（）A12B13C3-12D5-12【解题思路】作EDAC交BF于D，如图，根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，设ED4x，BEy，则FC3x，AFy，易得AEFC3x，再利用DEAF得到对应边成比例，利用比例的性质和解方程得到y6x，进而可得结果【解答过程】解：作EDAC交BF于D，如图，EDFC，EDEP=EPPC=43，设ED4x，BEy，则FC3x，AFy，ABAC，AEFC3x，DEAF，BEBA=DEAF，即yy+3x=4xy，整理得y24xy12x20，（y+2x）（y6x）0，

16、y6x，AEAF=3x6x=12故选：A5（2021秋沙湾区期末）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）ABCD【解题思路】根据网格结构以及勾股定理可得所给图形是两直角边分别为2，22的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可【解答过程】解：根据勾股定理，所给图形的两直角边为12+12=2，22+22=22，所以，夹直角的两边的比为222=12，观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似故选：B6（2021秋南浔区期末）如图，已知在ABC纸板中，AC4，BC8，AB11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么C

17、P长的取值范围是（）A0CP1B0CP2C1CP8D2CP8【解题思路】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围【解答过程】解：如图所示，过P作PDAB交AC于D或PEAC交AB于E，则PCDBCA或BPEBCA，此时0PC8；如图所示，过P作BPFA交AB于F，则BPFBAC，此时0PC8；如图所示，过P作CPGA交AC于G，则CPGCAB，此时，CPGCBA，当点G与点A重合时，CA2CPCB，即42CP8，CP2，此时，0CP2；综上所述，CP长的取值范围是0CP2故选：B7（2021温州模拟）如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，正方形CDE

18、F的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记AEG面积为S1，CBD面积为S2，若EGBD，S1+S216，则DE的长为（）A42B82C4D8【解题思路】证明ACDCBD，可得CD2ADBD，根据EGBD，S1+S216，可得CD的长，进而可得DE的长【解答过程】解：CDAB，CDBACB90，ACD+BCD90，B+BCD90，ACDB，ACDCBD，CDBD=ADCD，CD2ADBD，四边形CDEF是正方形，CDDE，AEG面积S1=12AEEG，CBD面积S2=12BDCD，且EGBD，S1+S2=12AEEG+12BDCD=12BD（AE+CD）=12BD（AE+ED）=1

19、2BDAD=12CD216，CD232，CD42DECD42故选：A8（2021秋射洪市期末）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AFDE于点F，AB3，AD2，CE1，则点A到直线DE的距离AF的长度为（）A3510B71010C2.5D2310【解题思路】由四边形ABCD 是矩形，得到ADCC90，CDAB3，BCAD2，根据勾股定理得到DE的长，通过ADFDCE，得到对应边成比例，列方程即可得到结果【解答过程】解：四边形ABCD是矩形，ADCC90，CDAB3，BCAD2，DE=CD2+CE2=32+12=10，AFDE，AFDC90，DAF+ADFADF+CDE90，DAFCDE，

20、ADFDCE，CDDE=AFAD，310=AF2，AF=3105故选：A9（2021芗城区校级一模）如图，在ABC中，ACB90，AC4，BC3，P是AB边上一动点，PDAC于点D，点E在P的右侧，且PE1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的大小变化的情况是（）A一直减小B一直增大C先增大后减小D先减小后增大【解题思路】设PDx，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可【解答过程】解：在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，AB=AC2+BC2=32+42=5，设PDx，A

21、B边上的高为h，h=ACBCAB=125，PDBC，ADPACB，PDBC=ADAC，AD=43x，PA=53x，S1+S2=1243xx+12（5-53x）125=23x22x+6=23（x-32）2+163，当0x32时，S1+S2的值随x的增大而减小，当32x125时，S1+S2的值随x的增大而增大故选：D10（2021秋内江期末）如图，正方形ABCD中，E为BC中点，连接AE，DFAE于点F，连接CF，FGCF交AD于点G，下列结论：CFCD；G为AD中点；DCFAGF；AFEF=23，其中结论正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【解题思路】如图，作CMDF于M首先证明DAFCDM

22、，推出DMAF，再证明DF2AF，推出DMMF，推出CDCF，再证明GDFGFD，推出GDGF，再证明GFGA即可证明GAGD，由此即可一一判断；【解答过程】解：如图，作CMDF于M四边形ABCD是正方形，ABBCCDAD，DABBADC90，ADF+CDF90，CDF+DCM90，ADFDCM，DFAE，CMDF，AFDCMD90，DAFCDM，CMDF，DMAF，ADF+DAE90，DAE+BAE90，BAEADF，BECE，AB2BE，易证BAEFDA，BEAB=AFDF=12，DMMF，CMDF，CDCF，故正确，CDFCFD，CDGCFG90，GFDGDF，GFGD，GDF+DAF9

23、0，GFD+AFG90，GAFGFA，GFGA，GDGA，G是AD中点，故正确，AFDGFC，AFGCFD，GAFCDF，DCFAGF，故正确，设AFa，则DF2a，AB=5a，BE=52a，AE=52a，EF=32a，AFEF=23，故正确，故选：D二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11（2021钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的12，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的12，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的12，依此规律

24、，经第n次变化后，所得正方形OAnBnn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n16【解题思路】由图形的变化规律可知正方形OAnBnn的边长为(12)n256，据此即可求解【解答过程】解：由图形的变化规律可得(12)n256=1256，解得n16故答案为：1612（2021秋高州市期末）若线段a，b，c满足关系ab=34，bc=35，则a：b：c9：12：20【解题思路】此类题做的时候可以根据分式的基本性质把两个比例式中的相同字母变成所占的份数相同，即可把三个字母的比的关系求解出来【解答过程】解：ab=34，bc=35，ab=912，bc=1220，a：b：c9：12：20故填9：12：2013

25、.（2021春双流县校级期中）已知线段AB10cm，P、Q是线段AB的黄金分割点，则PQ（105-20)cm【解题思路】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（5-12）叫做黄金比【解答过程】解：根据黄金分割点的概念，可知AQBP=5-1210（55-5）cm则PQAQ+BPAB（55-5）210（105-20）cm故本题答案为：（105-20）cm14.（2021潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆

26、CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是54米【解题思路】根据题意可得出CDGABG，EFHABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论【解答过程】解：法一：ABBH，CDBH，EFBH，ABCDEF，CDGABG，EFHABH，CDAB=DGDG+BD，EFAB=FHFH+DF+BD，CDDGEF2m，DF52m，FH4m，2AB=22+BD，2AB=44+52+BD，22+BD=44+52+BD，解得BD52m，2AB=22+52，解得AB54m法二：设ABx则

27、BH2x，BGx，则有2xx54，解得x54，故答案为：5415（2021秋浠水县期中）如图，等腰三角形ABC中，ABAC，P点在BC边上的高AD上，且APPD=12，BP的延长线交AC于E，若SABC10，则SABE2；SDEC4【解题思路】如果把ABE与ABC看作同高的两个三角形，那么它们的面积之比等于底之比，即等于AE：AC所以为了求出ABE的面积，由于已知SABC10，只需求出AE：AC即可为此，取EC中点F，连接DF先由等腰三角形三线合一的性质得出D为BC中点，又F为EC中点，根据三角形中位线定理证出DFBE，再由平行线分线段成比例定理求出AE：EF，进而得出AE：AC；根据SBEC

28、SABCSABE，先求出SBEC，再根据三角形的中线将三角形的面积二等分，得出SDEC【解答过程】解：取EC中点F，连接DFABAC，AD为BC边上的高，D为BC中点F为EC中点，DFBE，则DFPE，AEEF=APPD=12，AEAC=15SABESABC=AEAC=15，SABE=15SABC=15102；SBECSABCSABE1028，又D为BC中点，SDEC=12SBEC=1284故答案为2；416（2021秋双流区校级月考）如图，在四边形ABCD中，ACBC于点C，BACADC，且BC=34AC，当CD4，AD2时，线段BD的长度为 1092【解题思路】在AB上截取AMAD2，过M

29、作MNBC交AC于N，把AMN绕A逆时针旋转得ADE，连接CE，则MNAC，DEMN，DAEBAC，证出BC：AC：AB3：4：5，由ABDACE，得出BDCE=ABAC=54，证明AMNABC，求出MN=BCABAM=95，证出AECD，得出CDE90，由勾股定理得出CE=21095，即可得出答案【解答过程】解：如图，在AB上截取AMAD2，过M作MNBC交AC于N，把AMN绕A逆时针旋转得ADE，连接CE，则MNAC，DEMN，DAEBAC，AEDANM90，ACBC于点C，BACADC，BC=34AC，BCAC=34，BC：AC：AB3：4：5，MNBC，ABCAMN，AMNADE，AB

30、CADE，ABAD=ACAE，ABAC=ADAE，又DAE+CADBAC+CAD，BADCAE，ABDACE，BDCE=ABAC=54，AMNABC，MNBC=AMAB，MN=BCABAM=352=65，BACADC，DAEADC，AECD，CDE+AED180，CDE180AED90，在RtCDE中，CE=CD2+DE2=42+(65)2=25109，BD=54CE=1092故答案为：1092三解答题（共7小题，满分52分）17（2017秋雁江区校级月考）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值【解题思路】已知

31、等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果【解答过程】解：当a+b+c0时，利用比例的性质化简已知等式得：a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca=a+b-c+a-b+c-a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，即a+bcc，ab+cb，a+b+ca，整理得：a+b2c，a+c2b，b+c2a，此时原式=8abcabc=8；当a+b+c0时，可得：a+bc，a+cb，b+ca，则原式1综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或118（2021杭州模拟）如图，设BDCD=p，CEAE=q，AFFB=r，求CQQF、BPPE【解题思路】作D

32、MCF交AB于M设FMx，FQy利用平行线分线段成比例定理求出CF（用y表示）即可解决问题【解答过程】解：作DMCF交AB于M设FMx，FQyDMCF，BMFM=BDCD=p，BMxp，AF：FBr，AFxr（p+1），FQDM=AFAM，yDM=xr(p+1)x+xr(p+1)，DM=1+r(p+1)r(p+1)y，DMCF=BMFB=pxpx+x=pp+1，CF=1+r(p+1)pry，CQQF=1+r(p+1)pry-yy=1+rpr作FNBE交AC于N，同法可得BPPE=1+qqr19（2021抚顺）如图，将ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和

33、平移变换后得到A3B3C3（1）ABC与A1B1C1的位似比等于12；（2）在网格中画出A1B1C1关于y轴的轴对称图形A2B2C2；（3）请写出A3B3C3是由A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为（2x2，2y+2）【解题思路】（1）根据位似图形可得位似比即可；（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；（3）根据A3B3C3与A2B2C2的关系过程其变化过程即可；（4）根据三次变换规律得出坐标即可【解答过程】解：（1）ABC与A1B1C1的位似比等于=ABA1B1=24=12；（2）如图所示（3）A3B3C3是由A2B2

34、C2沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到；（4）点P（x，y）为ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为（2x2，2y+2）故答案为：12；（2x2，2y+2）20（2021秋徐汇区期中）如图，在ABC中，ABAC，ADBC，点E为AD中点，连结BE，DFBE于点F，连结AF、CF（1）求证：EFAE=FDDC（2）若点G为AC中点，连结FG、DG，求证：FGDG【解题思路】（1）由ADBC，DFBE，可得BEDDEF，即有EFDEDB，从而EFED=FDBD，又EDAE，BDDC，故EFAE=FDDC；（2）由DBFEDF，可得AEFCDF，结合（1）的结论

35、即知AEFCDF，故AFECFD，可得AFC90，从而FG=12AC，而ADC90，G为AC中点，有DG=12AC，即可证FGDG【解答过程】证明：（1）ADBC，DFBE，DBF90FDBEDF，而BEDDEF，EFDEDB，EFED=FDBD，点E为AD中点，EDAE，ABAC，ADBC，BDDC，EFAE=FDDC；（2）AEFADB+DBF90+DBF，CDFCDA+EDF90+EDF，而DBFEDF，AEFCDF，由（1）知EFAE=FDDC，AEFCDF，AFECFD，又CFD+CFE90，AFE+CFE90，即AFC90，G为AC中点，FG=12AC，ADC90，G为AC中点，D

36、G=12AC，FGDG21（2021无锡）王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等已知梯子最上面一级踏板的长度A1B10.5m，最下面一级踏板的长度A8B80.8m木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4cm的榫头（如图2所示），以此来固定踏板现市场上有长度为2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由（不考虑锯缝的损耗）【解题思路】在解此题的过程中，一定要构建相似三角形，因为踏板之间是相互平行，

37、而且间隔相等，所以可利用这一组平行线来构建相似三角形，从而依次求出自上而下各条踏板的长度另外千万不要忽略榫头的长度；解法二：可以把梯子看做一个等腰梯形，由中位线定理即可求解；解法三：和解法二相同，都是利用梯形中位线，只不过又做了一条踏板A9B9，有A1B1和A9B9能求出A5B5，然后有A5B5和A9B9求出A7B7，再有A7B7和A9B9求出A8B880，从而算出A9B9的具体数值，这样的话，A1B1至A8B8的长就都能准确求出，从而算出一共需要多少材料【解答过程】解：法一：如图，设自上往下第2，3，4，5，6，7级踏板的长依次为A2B2，A3B3，A7B7，过A1作B1B8的平行线分别交A

38、2B2，A3B3，A8B8于点C2，C3，C8每两级踏板之间的距离相等，C8B8C7B7C2B2A1B150cm，A8C8805030cmA2C2A8B8，A1A2C2A1A8C8，A1C2A2A1C8A8，A1A2C2A1A8C8，A2C2：A8C81：7，A2C2=307，A2B2=50+307，设要制作A1B1，A2B2，A7B7，A8B8这些踏板需用木板的长度分别为a1cm，a2cm，a8cm，则a150+858，a2=50+307+8=58+307，a3=58+607，a4=58+907，a5=58+1207，a6=58+1507，a7=58+1807，a858+30，a1+a2+a

39、3+a4=232+1807210，王大伯买的木板肯定不能少于3块，又a1+a3+a6=174+2107=204210，a2+a4+a5=174+2407174+2527=210，a7+a8=146+1807=17157210，王大伯最少买3块这样的木板就行了法二：如图，分别取A1A8，B1B8的中点P，Q，连接PQ设自上往下第2，3，4，5，6，7级踏板的长依次为A2B2，A3B3，A7B7，则由梯形中位线定理可得：A1B1+A8B8A2B2+A7B7A3B3+A6B6A4B4+A5B52PQ（2分）A1B150cm，A8B880cm，A1B1+A8B8A2B2+A7B7A3B3+A6B6A4

40、B4+A5B5130（3分）设要制作A1B1，A2B2，A7B7，A8B8，这些踏板需用木板的长度为a1cm，a2cm，a8cm，则a1+a8a2+a7a3+a6a4+a5146a1+a2+a814645842102，王大伯买的木板肯定不能少于3块（4分）过A1作B1B8的平行线分别交A2B2，A3B3，A8B8，于点C2，C3，C8每两级踏板之间的距离相等，C8B8C7B7C2B2A1B150cm，A8C8805030cmA2C2A8B8，A1A2C2A1A8C8，A1C2A2A1C8A8，A1A2C2A1A8C8，A2C2：A8C81：7，A2C2=307，A2B2=50+307，（6分）a2=58+307而a158，a888，a1+a3+a658+146204210，a2+a4+a5=58+307+146=204+307210，a7+a8a8+a8882210王大伯最少买3块这样的木板就行了（8分）法三：如果在梯子的下面再做第9级踏板，它与其上面一级踏板之间的距离等于梯子相邻两级踏板之间的距离（如图），设第9级踏板的长为xcm，则由梯形中位线的性质可得：第5级踏板的长A5B5=12（50+x）cm，第7级踏板的长A7B7=1212（50+x）+xcm，由题意得：第8级踏板的长A8B8=121212（50+x）+x+x