高考逆袭卷01（新高考新题型）-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）含解析.pdf

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1、更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 年高考考前逆袭卷（新高考新题型）年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为 8（单选题）3（多选题）3（填空题）5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。预测 2024 年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在 19 题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第 19 题。第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一、选择题：本题

2、共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知样本数据12100,x xxL的平均数和标准差均为 4，则数据121001,1,1xxx-L的平均数与方差分别为（）A5,4-B5,16-C4,16D4,42已知向量1,2a=r，3b=r，217ab-=rr，则向量ar在向量br上的投影向量的模长为（）A6B3C2D6 553已知在等比数列 na中，23215aa+=，234729a a a=，则nnSa-=（）A1232n-B11312n-C23nn-D5

3、 33n-4已知三棱锥ABCD-中，6,3,3 3ABACBC=，三棱锥ABCD-的体积为21 32，其外接球的体积为5003，则线段CD长度的最大值为（）A7B8C7 2D105一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光蓝色光绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君A60 种B68 种C82 种D108 种6已知1.12a-=，1241loglog 33bc

4、=，则（）Aabc Bcba Cbac Dbca 7纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898 年Peukert 提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：CI tl=，其中l为与蓄电池结构有关的常数（称为 Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h，则该蓄电池的 Peukert 常数l约为（参考数据：lg20.

5、301，lg30.477）（）A1.12B1.13C1.14D1.158已知双曲线22122:1(0,0)xyCabab-=与抛物线22:2(0)Cypx p=，抛物线2C的准线过双曲线1C的焦点F，过点F作双曲线1C的一条渐近线的垂线，垂足为点M，延长FM与抛物线2C相交于点N，若34ONOFOM+=uuu ruuuruuuu r，则双曲线1C的离心率等于（）A31+B512+C2D21+二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6

6、分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9在复平面内，下列说法正确的是（）A若复数1 i1 i-=+z（i为虚数单位），则741z=-B若复数z满足zz=，则zRC若1 20z z=，则10z=或20z=D若复数z满足112zz-+=，则复数z对应点的集合是以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆10设直线系:cossin1nmM xyqq+=（其中 0，m，n 均为参数，02q，,1,2m n），则下列命题中是真命题的是（）A当1m=，1n=时，存在一个圆与直线系 M 中所有直线都相切B存在 m，n，使直线系 M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C当mn

7、=时，坐标原点到直线系 M 中所有直线的距离最大值为 1，最小值为更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君22D当2m=，1n=时，若存在一点0A a，使其到直线系 M 中所有直线的距离不小于 1，则0a 11如图所示，一个圆锥SO的底面是一个半径为3的圆，AC为直径，且120ASC=，点B为圆O上一动点（异于A，C两点），则下列结论正确的是（）ASAB的取值范围是,6 2B二面角SBCA-的平面角的取值范围是,6 2C点A到平面SBC的距离最大值为3D点M为线段SB上的一动点，当SASB 时，6AMMC+第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共

8、 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12设集合2|60Ax xx=-，|Bxaxa=-，若AB，则实数a的取值范围是 13已知三棱柱111ABCABC-中，ABCV是边长为 2 的等边三角形，四边形11ABB A为菱形，160A AB=，平面11ABB A 平面ABC，M为AB的中点，N为1BB的中点，则三棱锥11CAMN-的外接球的表面积为 .14已知对任意12,0,x x+，且当12xx时，都有：212112lnln11axxxxx x-的上下顶点分别为12,B B，左右顶点分别为12,A A，四边形1122AB A B的面积为6 5，若椭圆C上的点到右焦点距离的最

9、大值和最小值之和为 6.(1)求椭圆C的方程；(2)过点1,0-且斜率不为 0 的直线l与C交于,P Q（异于12,A A）两点，设直线2A P与直线1AQ交于点M，证明：点M在定直线上.19（17 分）给定整数3n，由n元实数集合P定义其随影数集,Qxyx yP xy=-.若 min1Q=，则称集合P为一个n元理想数集，并定义P的理数t为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合2,1,2,3,0.3,1.2,2.1,2.5ST=-=-是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个 5 元理想数集P，求证：minmax4PP+；(3)当122024,Px xx=L取遍所有 2024

10、元理想数集时，求理数t的最小值.注：由n个实数组成的集合叫做n元实数集合，max,minPP分别表示数集P中的最大数与最小数.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 年高考考前逆袭卷（新高考新题型）年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为 8（单选题）3（多选题）3（填空题）5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。预测 2024 年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块

11、中的一个，出现在 19 题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第 19 题。第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知样本数据12100,x xxL的平均数和标准差均为 4，则数据121001,1,1xxx-L的平均数与方差分别为（）A5,4-B5,16-C4,16D4,4【答案】B【详解】由题意知样本数据12100,x xxL的平均数和标准差均为 4，则12100,x xxL的方差为 16，则121

12、00,xxx-L的平均数为4-，方差为2(1)1616-=，故121001,1,1xxx-L的平均数为4 15-=-，方差16，故选：B2已知向量1,2a=r，3b=r，217ab-=rr，则向量ar在向量br上的投影向量的模长为（）A6B3C2D6 55【答案】C【详解】因为1,2a=r，所以5a=r，因为217ab-=rr，所以2217ab-=rr，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以4417a aa bb b-+=r rr rr r，又3b=r，所以6a b=r r，所以向量ar在向量br上的投影向量的模的值为623a bb=r rr，故选：C.3已知在等比数列 na

13、中，23215aa+=，234729a a a=，则nnSa-=（）A1232n-B11312n-C23nn-D5 33n-【答案】B【详解】因为在等比数列 na中，234729a a a=，所以33729a=，解得39a=，又23215aa+=，解得23a=，设等比数列 na的公比为q，则32933aqa=，所以11a=，所以11131331132nnnnnSa-=-=-.故选：B4已知三棱锥ABCD-中，6,3,3 3ABACBC=，三棱锥ABCD-的体积为21 32，其外接球的体积为5003，则线段CD长度的最大值为（）A7B8C7 2D10【答案】C【详解】因为球的体积为5003，所以

14、球的半径R满足3500433R=，可得5R=；又6,3,3 3ABACBC=，因此222ABACBC=+，即90ACB=o，此时19 33 3 322ABCS=V；设点D到平面ABC的距离为h，则19 321 3322h=，可得7h=，因为D在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为a，当a与平面ABC平行时，DC有最大值；设球心到平面ABC的距离为d，而ABCV的外心即为AB的中点，外接圆的半径为132AB=，则22534d=-=，故球心到平面a的距离为743-=，可知截面圆半径为22534-=；设C在平面a上的射影为E，则E的轨迹为圆，如下图所示：更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试

15、卷君 设该圆圆心为O，则当,D O E三点共线时且点O在,D E中间时，DE最长，此时347DE=+=，故线段CD长度的最大值为7 2.故选：C5一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光蓝色光绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（）A60 种B68 种C82 种D108 种【答案】D【详解】每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，所以需把 3 个亮的发光原件插入未点亮的元件中，有34C

16、4=种方法，且不同颜色数有3 3 327=种，所以这排电子元件能表示的信息种数共有4 27108=种.故选：D6已知1.12a-=，1241loglog 33bc=，则（）Aabc Bcba Cbac Dbca【答案】A【详解】由指数函数与对数函数的性质可得，1.111222a-=，1114441111logloglog12234b=，所以abc与抛物线22:2(0)Cypx p=，抛物线2C的准线过双曲线1C的焦点F，过点F作双曲线1C的一条渐近线的垂线，垂足为点M，延长FM与抛物线2C相交于点N，若34ONOFOM+=uuu ruuuruuuu r，则双曲线1C的离心率等于（）A31+B5

17、12+C2D21+【答案】C【详解】设双曲线的焦距为2c，Q抛物线2C的准线过双曲线1C的焦点F，22ppcc-=-=，又(,0)Fc-Q到byxa=的距离22bcdbab=+，即|MFb=，Q3433ONOFOMONOMOMOF+=-=-uuuruuuu ruuuruuuu ruuuuuuuurruur，3MNFM=uuuu ruuuu r，|3NMb=，则|4FNb=，|OFc=，得22|OMFOFMa=-=，过N作NPx轴，则FOMFNPV:V，故244,4FOOMFMcababbNPFPFNNPFPbNPFPcc=，因此244,babPccc-更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：

18、高中试卷君由于244,babPccc-在抛物线22:2(0)Cypx p=上，所以即2222444424abbabbpccccccc=-=-，22222422224244(4)4()2a bbcccabcbbc=-，故222ca=，故2e=故选：C二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9在复平面内，下列说法正确的是（）A若复数1 i1 i-=+z（i为

19、虚数单位），则741z=-B若复数z满足zz=，则zRC若1 20z z=，则10z=或20z=D若复数z满足112zz-+=，则复数z对应点的集合是以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆【答案】ABC【详解】解：复数21i(1i)2ii1i1i1i2z-=-=-+-，因为41i=，所以 187442ii1z=-，故选项 A 正确；设i,zaba b=+R，若复数z满足zz=，则iiabab=+-，即0b=，所以zR，故选项 B 正确；设1i,zmn m n=+R，2i,zcdc d=+R，则1 2iiiz zmncdmcndmdnc=+=-+因为1 2iz zmcndmdnc=-+，且12i

20、mcndmdncz z=-+，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以121 2z zz z=若1 20z z=，则120z z=，所以10z=或20z=，故选项 C 正确；由复数z满足112zz-+=，则复数z对应点的集合是一条线段，故选项 D 错误故选：ABC10设直线系:cossin1nmM xyqq+=（其中 0，m，n 均为参数，02q，,1,2m n），则下列命题中是真命题的是（）A当1m=，1n=时，存在一个圆与直线系 M 中所有直线都相切B存在 m，n，使直线系 M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C当mn=时，坐标原点到直线系 M 中所有直线的距离最大值为

21、1，最小值为22D当2m=，1n=时，若存在一点0A a，使其到直线系 M 中所有直线的距离不小于 1，则0a【答案】ABD【详解】A 选项，当1m=，1n=时，:cossin1M xyqq+=，设圆为221xy+=，则圆心0,0到直线:cossin1M xyqq+=的距离2211cossindqq=+，故:cossin1M xyqq+=与221xy+=总相切，A 正确；B 选项，当2mn=时，22:cossin1M xyqq+=，由于22cossin1qq+=，故直线22:cossin1M xyqq+=恒过1,1，若sin0q=时，直线为:1Mx=，若sin0q时，直线22:cossin1M

22、 xyqq+=的斜率为22cos0sinqq-，故直线22:cossin1M xyqq+=不过第三象限，所以存在 m，n，使直线系 M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限，B 正确；C 选项，当1mn=时，:cossin1M xyqq+=，坐标原点到直线系 M 的距离为12211cossindqq=+，当当2mn=时，22:cossin1M xyqq+=，坐标原点到直线系 M 的距离为2441cossindqq=+更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君其中44222222cossincoscossinsincossin1qqqqqqqq+=+，C 错误.D 选项，当2m=，1n=

23、时，2:cossin1M xyqq+=，点0A a，到直线系 M 中所有直线的距离2342cos11cossinadqqq-=+，化简得221 cos21aaq-恒成立，由于2cos0,1q，若210a-=，解得1a=，当1a=时，01，不合要求，舍去，当1a=-时，01-，满足要求，若210a-，即1a 或1a -，此时221 cosaq-的最小值为 0，则021a-，解得12a，故此时1a -，若210a-，即11a-，此时221 cosaq-的最小值为21a-，则2121aa-，解得2a 或0a，故此时10a-【答案】BD【详解】由已知6AC=，120ASC=，且SASCSB=，在ASC

24、V中，由余弦定理可知，222cos2SASCACASCSA SC+-=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君即22123622SASA-=，解得2 3SASCSB=，则3SO=A 选项：点B为圆O上一动点（异于A，C两点），则0,6AB，在ABSV中，2222cos24 34 3SAABSBABABSABSA ABAB+-=，所以3cos0,24 3ABSAB=，所以,6 2SAB，A 选项错误；B 选项：取BC中点D，连接SD，OD，则SDBC，ODBC，且/OD AB，10,32ODAB=，则二面角SBCA-的平面角为SDO，所以33tan,3SOSDOODOD=+，所以,

25、6 2SDO，B 选项正确；C 选项：由已知12SBCSBC SD=V，又12ABCSAB BCOD BC=V，则三棱锥SABC-的体积1333SABCABCVSSOOD BC-=V，设点点A到平面SBC的距离为d，则113363A SBCSBCVSdBC SD dOD BC-=V，则2 32 3cos0,3ODdSDOSD=，C 选项错误；D 选项：当SASB时，22 6ABSA=，2 3BC=，则SAB为等腰直角三角形，SBC为等边三角形，将平面SBC绕SB至SBC，使C与SAB共面，如图所示，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君则AMMCAMMCAC+=+，在SACV中，

26、56ASC=，由余弦定理可知2222cos12 12 12 324 12 336ACSASCSA SCASC=+-=+=+，所以6AMMCAC+，D 选项正确；故选：BD.第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12设集合2|60Ax xx=-，|Bxaxa=-，若AB，则实数a的取值范围是 【答案】3,+【详解】集合2|60Ax xx=-|320|23x xxxx=-+=-，又|Bxaxa=-，且AB，故可得23aa-，即23aa，解得3,a+.故答案为：3,+.13已知三棱柱111ABCABC-

27、中，ABCV是边长为 2 的等边三角形，四边形11ABB A为菱形，160A AB=，平面11ABB A 平面ABC，M为AB的中点，N为1BB的中点，则三棱锥11CAMN-的外接球的表面积为 .【答案】7【详解】解法一 连接1AB，1AB，记111ABABO=I，则111O A=.连接1O M，1O N，则111112O MO NAB=，故1O为1AMNV外接圆的圆心.取11AB的中点D，连接1O D，则11112O DA A=，所以点D在1AMNV的外接圆上连接1C D，因为111ABC为等边三角形，所以111C DAB，13C D=.由平面11ABB A 平面ABC，知平面11ABB A

28、 平面111ABC，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又平面11ABB A I平面11111ABCAB=，1C D 平面111ABC，所以1C D 平面11ABB A.设三棱锥11CAMN-的外接球半径为R，则22237124R=+=，故三棱锥11CAMN-的外接球的表面积为247R=.解法二 连接1AB，CM，则1A AB为正三角形，C MAB，故1AMAB，因为平面11ABB A 平面ABC，平面11ABB A I平面ABCAB=，1AM 平面11ABB A，所以1AM 平面ABC，以MB为x轴，MC为y轴，1MA为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，得0,0,0M，1,0

29、,0B，10,0,3A，33,0,22N，0,3,0C，11,3,3C，由1AMNV为等边三角形，则1AMNV的外接圆圆心为13,0,22P.设三棱锥11CAMN-的外接球的球心为O，连接OP，OM，1OC，则OP 平面1AMN，又CM 平面1AMN，所以OPCMP.设13,22Om，由1OCOM=，可得22222213131332222mm-+-+-=+，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君解得32m=，因此球心133,222O，故外接球半径72ROM=，故三棱锥11CAMN-的外接球的表面积27472S=.故答案为：714已知对任意12,0,x x+，且当12xx时，都有：

30、212112lnln11axxxxx x-+-，则a的取值范围是 .【答案】,2-【详解】因为对任意12,0,x x+，且当12xx时212112lnln11axxxxx x-+-恒成立，所以21212112lnlnxxa xa xxxx x-+恒成立，所以21211211lnlna xa xxxxx-+-恒成立，所以22112111lnlna xxa xxxx-+-+恒成立，令 1ln,0,f xa xxxx=-+，由式可得21f xf x，所以 f x在0,+上单调递减，所以 2210 xaxfxx-+=-在0,+上恒成立，所以210 xax-+在0,+上恒成立，所以1axx+在0,+上恒

31、成立，又1122xxxx+=，当且仅当1xx=，即1x=时取等号，2a.故答案为：,2-四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）在ABCV中，内角 A，B，C 所对的边分别 a，b，c，其中2,2abcb=+=，且sin2sinAC=.(1)求 c 的值；(2)求tan A的值；(3)求cos 24Ap+的值.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【答案】(1)2 2(2)7-(3)143 28-【详解】（1）sin2sinAC=Q，2ac=，222abcba

32、c=+=，解得422 2abc=，2 2c=.（2）由余弦定理可得2222cos24cbaAbc+-=-，又0A的上下顶点分别为12,B B，左右顶点分别为12,A A，四边形1122AB A B的面积为6 5，若椭圆C上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为 6.(1)求椭圆C的方程；(2)过点1,0-且斜率不为 0 的直线l与C交于,P Q（异于12,A A）两点，设直线2A P与更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君直线1AQ交于点M，证明：点M在定直线上.【答案】(1)22195xy+=(2)证明见解析【详解】（1）设右焦点坐标为2,0Fc，椭圆C上的一点,T m n，则

33、ama-，故22221mnab+=，即22222b mnba=-，则,T m n到右焦点的距离222222222b mdmcnmcmcba=-+=-+-22222c mcmcmaaaa=-+=-，因为cmc-，所以cmcca-，cmcaacaa-，故cmacaaca-+，即椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为ac+，最小值为ac-，故26acaca+-=，解得3a=，又四边形1122AB A B的面积为1212112226 522A AB Babab=，故3 5ab=，所以5b=，椭圆方程为22195xy+=；（2）当过点1,0-且斜率不存在时，直线l方程为10 x+=，22195xy+=中，令

34、=1x-得，2 103y=，不妨设2 102 101,1,33PQ-，直线22 103:31 3A P yx=-，即210:36A P yx=-，同理可得110:33AQ yx=-+，联立12,A P AQ得，9x=-，故点M在直线9x=-上，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君当过点1,0-的直线斜率存在且不为 0 时，设直线l方程设为1xmy=-+，联立22195xy+=得225910400mymy+-=，设1122,P x yQ xy，则1212221040,5959myyy ymm-+=+，两式相除得121244my yyy=-，直线121:33yA P yxx=-，直

35、线212:33yAQ yxx=+，联立12,A P AQ得，12123333yyxxxx-=+-+，故1212331313yyxxmymy-=+-+-+，解得1211222343my yyxmy yyx+-=-+，将121244my yyy=-代入上式中，得12290yyx+-=，要想12290yyx+-=恒成立，则9x=-，故点M在定直线9x=-上，综上，点M在定直线9x=-上.19（17 分）给定整数3n，由n元实数集合P定义其随影数集,Qxyx yP xy=-.若 min1Q=，则称集合P为一个n元理想数集，并定义P的理数t为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合2,1,2,3,0

36、.3,1.2,2.1,2.5ST=-=-是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个 5 元理想数集P，求证：minmax4PP+；(3)当122024,Px xx=L取遍所有 2024 元理想数集时，求理数t的最小值.注：由n个实数组成的集合叫做n元实数集合，max,minPP分别表示数集P中的最大数与最小数.【答案】(1)集合S是理想数集，集合T不是理想数集(2)证明见解析(3)1024144更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【详解】（1）设2,1,2,3,0.3,1.2,2.1,2.5ST=-=-的随影数集分别为12,Q Q，则12min1min0.9QQ=，所

37、以集合S是理想数集，集合T不是理想数集.（2）不妨设集合12345,Px x x x x=且125xxxL，即 15min,maxPxPx=.PQ为理想数集，*,14ii N，则11iixx+-，且*00,14ii$N，使得0011iixx+-=.当10 x 时，152132435411minmax2424PPxxxxxxxxxxxx+=+=-+-+-+-+L.当且仅当11iixx+-=且10 x=时，等号成立；当50 x 时，15152132435455minmax2424PPxxxxxxxxxxxxxx+=+=-=-+-+-+-.当且仅当11iixx+-=且50 x=时，等号成立；当150

38、,0 xx时，151521324354minmax4PPxxxxxxxxxxxx+=+=-+=-+-+-+-.当且仅当11iixx+-=时，等号成立.综上所述：minmax4PP+.（3）设122024xxxL.PQ为理想数集.*1,12023,1iiiixx+-N，且*00,12023ii$N，使得0011iixx+-=.对于2025,jjjPxxP-=L，同样有*1,11012,1jjijxx+-N.下先证对n元理想数集P，有 minmax1PPn+-.不妨设集合P中的元素满足12nxxxL.即 1min,maxnPxPx=.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君PQ为理想数

39、集，*1,11,1iiiinxx+-N，且*00,11xin$-N，使得0011iixx+-=.当10 x 时，112132111minmax2121nnnnPPxxxxxxxxxxxnxn-+=+=+=-+-+-+-+-L，当且仅当11iixx+-=且10 x=时，等号成立；当0nx 时，1121321minmax2121nnnnnnPPxxxxxxxxxxxnxn-+=+=-=-+-+-L，当且仅当11iixx+-=且0nx=时，等号成立；当10,0nxx时，11211minmax1nnnnPPxxxxxxxxn-+=+=-+=-+-L.当且仅当11iixx+-=时，等号成立.minmax1PPn+-.minmax20252jjPPj+-.当且仅当11jjxx+-=时，等号成立.1202422023101210132023,2021,1xxxxxx+L.理数21220242023 1101220232021110122txxx+=+=LL.当且仅当10120 x=或10130 x=时，等号成立.理数t的最小值为210121024144=.