2024高考数学思想方法与策略专题01函数与方程思想.doc

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1、2024高考数学思想方法与策略专题函数与方程的思想一、【高考真题感悟】已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a_.解析f(f(0)f(2)42a，42a4a，a2.考题分析本小题考查了函数与方程的有关内容，体现了函数与方程的转化，突出了函数与方程思想的应用易错提醒(1)函数是分段函数，在求函数值时，注意自变量所在区间(2)准确构建方程，计算要正确二、思想方法概述函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点1函数的思想用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具

2、体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决函数思想是对函数概念的本质认识4函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标

3、系后，立体几何与函数的关系更加密切三、热点分类突破题型一函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用例1已知实数abc，abc1，a2b2c21，求ab与a2b2的范围解由abc1可得ab1c.由a2b2c21可得(ab)22abc210即(1c)22abc210故abc2c，且ab1c.构造一个一元二次方程x2(1c)xc2c0，a，b是该方程的两个不相等的根，且两根都大于c，令f(x)x2(1c)xc2c，(二次函数根的分布)则图象与x轴有两个交点且都在(c，)内的充分必要条件：解得：c0所以，11c，1c20，0，即a1或a0，a1，故a10.aba(a1)59.当且仅当a1，即a3时取等号

4、又a3时，(a1)5是关于a的单调增函数ab的取值范围是9，)方法二(看成不等式的解集)a，b为正数，ab2，又abab3，ab23.即()2230，解得3或1(舍去)，ab9.ab的取值范围是9，)方法三若设abt，则abt3，a，b可看成方程x2(t3)xt0的两个正根从而有，即，解得t9，即ab9.ab的取值范围是9，) 题型二函数与方程思想在方程问题中的应用例2如果方程cos2xsin xa0在(0，上有解，求a的取值范围思维启迪 可分离变量为acos2xsin x，转化为确定的相关函数的值域解方法一把方程变形为acos2xsin x.设f(x)cos2xsin x(x(0，)显然当且

5、仅当a属于f (x)的值域时，af(x)有解f (x)(1sin2x)sin x(sin x)2，且由x (0，知sin x (0,1易求得f (x)的值域为(1,1故a的取值范围是(1,1方法二令tsin x，由x (0，可得t (0,1将方程变为t2t1a0.依题意，该方程在(0,1上有解设f(t)t2t1a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t，如图所示因此f (t)0在(0,1上有解等价于，即，12m4x恒成立，求x的取值范围思维启迪 求f(t)的值域变更主元，将m看作主元构造g(m)m(x2)x24x4.解t，8，f(t)，从而m，原题可转化为m(x2)(x2)20恒成立当x2时，不等

6、式不成立x2，令g(m)m(x2)(x2)2为m的一次函数问题转化为g(m)在m上恒大于0.解得x2或x4xp3恒成立的x的取值范围是_数形结合的思想一、高考真题感悟已知函数f (x) 若a，b，c互不相等，且f (a)f (b)f (c)，则abc的取值范围是_解：画出函数f (x)的图象，如下图所示：由图象知，要使f (a)f (b)f (c)，不妨设abc，则lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知10c12，abc(10,12)考题分析本小题考查了分段函数的特征及性质、对数函数及其运算重点考查了解决问题的方法即数形结合的思想方法体现了对知识和能力的双重考查易错

7、提醒(1)找不到问题解决的突破口，即想不到用数形结合(2)f(x)的图象的特征不清，忽视对(1,0)和(10,1)这两个特殊点的分析(3)不会借助图形进行分析二、思想方法概述1数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以“形”作为手段，“数”作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以“数”作为手段，“形”作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则在数形结合时，代

8、数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应(2)双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错(3)简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线3数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数

9、模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等4数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种

10、行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解5在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；(4)精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解三、热点分类突破题型一数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用例1(1)设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则函数yg(x)f(x

11、)x的零点个数为_(2)使log2(x)0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.解函数在0,2上是增函数，由函数f(x)为奇函数，可得f(0)0，函数图象关于坐标原点对称，这样就得到了函数在2,2上的特征图象，由f(x4)f(x)f(4x)f(x)，故函数图象关于直线x2对称，这样就得到了函数在2,6上的特征图象，根据f(x4)f(x)可得 f(x8)f(x4)f(x)，函数以8为周期，即得到了函数在一个周期上的特征图象，就不难根据周期性得到函数在8,8上的特征图象(如图所示)，根据图象不难看出方程f(x)m (m0)的四个根中，有两根关于直线x2对称，另

12、两根关于直线x6对称，故四个根的和为2(6)228.题型二数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用例2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围为_思维启迪 作出分段函数f(x)的图象，观察图象与ym的交点个数解函数f(x)画出其图象如图所示又由函数g(x)f(x)m有3个零点，知yf(x)与ym有3个交点，则实数m的取值范围是(0,1)探究提高 解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁变式训练2 若不等式logaxsin 2x (a0，a1)对任意x都成立，

13、则a的取值范围为_解记y1logax，y2sin 2x，原不等式相当于y1y2，作出两个函数的图象，如图所示，知当y1logax过点A时，a，所以当ay2.题型三数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用例3 已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值思维启迪 在同一坐标系中画出直线与圆作出圆的切线PA、PB，则四边形PACB的面积S四边形PACBSPACSPBC2SPAC.把S四边形PACB转化为2倍的SPAC可以有以下多条数形结合的思路解方法一从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或向右

14、下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPACPAACPA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然,当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时PC3，从而PA2.(S四边形PACB)min2PAAC2.方法二利用等价转化的思想，设点P的坐标为(x，y)，则PC，由勾股定理及AC1，得PA，从而S四边形PACB2SPAC2PAACPA，从而欲求S四边形PACB的最小值，只需求PA的最小值，只需求PC2(x1)2(y1)2的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平

15、方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x4y80的距离的平方，这个最小值d2()29，(S四边形PACB)min2.方法三利用函数思想，将方法二中S四边形PACB中的y由3x4y80解出，代入化为关于x的一元二次函数，进而用配方法求最值，也可得(S四边形PACB)min2.探究提高 本题的解答运用了多种数学思想方法:数形结合思想，运动变化的思想，等价转化的思想以及函数思想，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决变式训练3 圆C的方程为(x2)2y24，圆M的方程为(x25cos )2(y5sin )21 (R)过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小

16、值是_解由题意，可知圆心M (25cos ，5sin )，设则可得圆心M的轨迹方程为(x2)2y225，如下图所示：由图分析可知，只有当P、M、C三点共线时，才能够使最小,此时PC4,EC2,则PEPF2，且EPF2EPC23060，故(2)2cos 606.四、规律方法总结1利用数形结合解题，只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象2数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别在解填空题时更方便，可以提高解题速度3数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等五、经典练习1函数f(x)()xsin x在区间0,

17、2上的零点个数为_2已知函数f(x)，若方程f(x)loga(x2) (0a0时，解得m1；当m0，当m0，k1或者m0，k1 (m0)，或k1 (m0 (n1，2，3)(1)求q的取值范围；(2)设bnan2an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小思维启迪 (1)根据条件列出关于q的不等式，注意分类讨论(2)能否判断bn为特殊数列进而求和作差、作商比较大小解(1)an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0，当q1时，Snna10；当q1时，Sn0，即0 (n1,2,3，)，上式等价于(n1,2,3，)或(n1,2,3，)，解式得q1；解式，由于n可为奇数、可为偶数，故1q0且

18、1q0，所以当1q2时，TnSn0，即TnSn；当q2且q0时，TnSn0，即Tn0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间，上，f(x)0恒成立，求a的取值范围解(1) 当a1时，f(x)x3x21，f(2)3.f(x)3x23x，f(2)6，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.(2) f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.若00等价于即解不等式组得5a5.因此02，则00等价于即解不等式组得a5或a.因此2a5.综合，可知a的取值范围为0a5.题型四根据图形位置或形状变化分类讨论例4.有

19、四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是_解根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：(1)底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图(1)，此时a可以取最大值，可知AD，SD，则有2，即a284()2，即有a2，1a0且a4，即0a0，命题p：函数yax (a1)在R上单调递减，命题q：不等式|x2a|x1的解集为R，若p和q有且只有一个是真命题，则a的取值范围是_转化与化归的思想一、高考真题感悟在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且只有四个点到直线

20、12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_解 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0d1.d，0|c|1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围思维启迪 (1)求f(x)0的根，比较两根的大小、确定区间，讨论f(x)的单调性；(2)将f(x)0恒成立转化为f(x)的最小值大于0.解 (1) f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a) 由已知a1，2a2， 令f(x)0，解得x2a或x1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数(2)由(1)知，当x0时，f(x)在x2a或x0处取得最小值f(2a)(2a)3(1a)(2a)24a2a24aa34a224aa(a6)(a3)，f(0)24a.由题设知即解得1a0，且当x0，a1时，f(x)0时，函数的解析式为f(x)x(xa)2x32ax2a2x.对f(x)求导，得f (x)3x24axa23(xa)，令f(x)0，得x1，x2a.对于自变量x在取值范围0，a1内的f(x)及f(x)的情况，列表如下：在区间0，a1上，要使f(x)2a2恒成立，只要，