2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题5.3 二次函数的图象与性质（三）-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题5.3 二次函数的图象与性质（三）-重难点题型【苏科版】【题型1 利用二次函数的性质判断结论】【例1】（2021河北模拟）对二次函数y=12x2+2x+3的性质描述正确的是（）A该函数图象的对称轴在y轴左侧B当x0时，y随x的增大而减小C函数图象开口朝下D该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴【变式1-1】（2021西青区二模）在二次函数yax2+bx+c（a0）中，y与x的部分对应值如表：x0134y2422有下列结论：抛物找开口向下；当x1时，y随x的增大而减小；抛物线一定经过点（1，2）；当0x2时，y2其中，正确结论的个数是（

2、）A1B2C3D4【变式1-2】（2020秋遂川县期末）关于抛物线yx2（a+1）x+a2，下列说法错误的是（）A开口向上B当a2时，经过坐标原点OC不论a为何值，都过定点（1，2）Da0时，对称轴在y轴的左侧【变式1-3】（2020南昌一模）对于二次函数yax2+（12a）x（a0），下列说法错误的是（）A该二次函数图象的对称轴可以是y轴B该二次函数图象的对称轴不可能是x1C当x2时，y的值随x的增大而增大D该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】【例2】（2021翔安区模拟）抛物线yx2+x+2，点（2，a），（1，b），（3，c），则a、b、c的大小

3、关系是（）AcabBbacCabcD无法比较大小【变式2-1】（2021于洪区一模）若点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay3y2y1By2y1y3Cy1y3y2Dy3y1y2【变式2-2】（2021春鼓楼区校级月考）已知点A（bm，y1），B（bn，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函数yx2+2bx+c的图象上，若0mn，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y3y1Cy3y1y2Dy1y3y2【变式2-3】（2021春海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：yax22a

4、x+4（a0）若A（m1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1y3y2结合图象，则m的取值范围是（）Am1B0m1C0m12Dm0【题型3 二次函数的对称性的应用】【例3】（2020秋姜堰区期末）若二次函数yax2+bx+c（a0）的x与y的部分对应值如表：则该二次函数图象的顶点坐标是（）x10123y127434A（1，12）B（0，7）C（1，4）D（2，3）【变式3-1】（2020秋望江县期末）在二次函数yx2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x1134y6mn6则m、n的大小关系为（）AmnBmnCmnD无法确定【变式3-2】（2021临

5、安区模拟）已知二次函数的解析式为y（xm）（x1）（1m2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（）A2a-32B2a1C3a-32D0a2【变式3-3】（2021春瓯海区月考）已知二次函数yax2+bx3，当x1与x2020时，函数值相等则当x2021时，函数值等于 【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】【例4】（2021河南模拟）已知二次函数yx2+（2m1）x3，当x1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（）Am12Bm-12Cm32Dm32【变式4-1】（2020西湖区一模）设函数ykx2+（4k+3）x+1（k0），若当xm时，y随着x的增大而增大，则m的

6、值可以是（）A1B0C1D2【变式4-2】（2020秋西岗区期末）已知函数yx2+x1，当mxm+2时，-54y1，则m的取值范围是（）Am2B2m1C2m-12Dm1【变式4-3】（2021泉州模拟）已知二次函数yax22ax+3（a0），当0xm时，3ay3，则m的取值范围为（）A0m1B0m2C1m2Dm2【题型5 利用二次函数的性质求最值】【例5】（2020秋桐城市期末）若点P（a，b）在抛物线y2x2+2x+1上，则ab的最小值为 【变式5-1】（2020秋中站区期末）已知抛物线yx23x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是 【变式5-2】（2020秋丹阳市期末）若实数

7、m、n满足m+n2，则代数式2m2+mn+mn的最小值是 【变式5-3】（2021江夏区校级模拟）已知非负数a，b，c满足a+b2，c3a4，设Sa2+b+c的最大值为m，最小值为n，则mn的值为（）A9B8C1D103【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】【例6】（2021吴兴区校级模拟）当7xa时，二次函数y=-12（x+3）2+5恰好有最大值3，则a 【变式6-1】（2021雁塔区校级模拟）已知二次函数ymx2+2mx+1（m0）在2x2时有最小值2，则m（）A3B3或38C3或-38D3或-38【变式6-2】（2020宝应县三模）已知关于x的二次函数yx24x+m在1x3的取值范围内

8、最大值7，则该二次函数的最小值是（）A2B1C0D1【变式6-3】（2020武昌区校级自主招生）已知函数yx2+x1在mx1上的最大值是1，最小值是-54，则m的取值范围是（）Am2B0m12C2m-12Dm-12专题5.3 二次函数的图象与性质（三）-重难点题型【苏科版】【知识点1 二次函数的性质】当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值【题型1 利用二次函数的性质判断结论】【例1】（2021河北模拟）对二次函数y=12x2+2x+3

9、的性质描述正确的是（）A该函数图象的对称轴在y轴左侧B当x0时，y随x的增大而减小C函数图象开口朝下D该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断【解答】解：A、y=12x2+2x+3对称轴为x2，在y轴左侧，故A符合题意；B、因y=12x2+2x+3对称轴为x2，x2时y随x的增大而减小，故B不符合题意；C、a=120，开口向上，故C不符合题意；D、x0是y3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意；故选：A【变式1-1】（2021西青区二模）在二次函数yax2+bx+c（a0）中，y与x的部分对应值如表：x0134y2422有下列结论：抛物找开

10、口向下；当x1时，y随x的增大而减小；抛物线一定经过点（1，2）；当0x2时，y2其中，正确结论的个数是（）A1B2C3D4【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c0即y0时x的值取值范围，得出答案即可【解答】解；由图表中数据可得出：x1时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项正确；x0和x3时的函数值相同，对称轴为直线x=0+32=32，当x32时，y随x的增大而减小，故此选项错误；点（4，2）关于对称轴的对称点为（1，2），抛物线一定经过点（1，2），故此选项正确；当0x2时，y2，此选项正确故选：C【变式1-2】（2020秋遂川

11、县期末）关于抛物线yx2（a+1）x+a2，下列说法错误的是（）A开口向上B当a2时，经过坐标原点OC不论a为何值，都过定点（1，2）Da0时，对称轴在y轴的左侧【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题【解答】解：抛物线yx2（a+1）x+a2，此抛物线开口向上，故选项A正确，当a2时，yx23x过点（0，0），故选项B正确，当x1时，y2，此时解析式中的a正好可以消掉，故选项C正确，抛物线的对称轴是直线x=-(a+1)21=a+12，当a0时，对称轴x12在y轴右侧，故选项D错误，故选：D【变式1-3】（2020南昌一模）对于二次函数yax2+

12、（12a）x（a0），下列说法错误的是（）A该二次函数图象的对称轴可以是y轴B该二次函数图象的对称轴不可能是x1C当x2时，y的值随x的增大而增大D该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确【解答】解：二次函数yax2+（12a）x（a0），当a=12时，该函数的对称轴是y轴，故选项A正确；该函数的对称轴为直线x=-1-2a2a=1-12a1，当x2时，y随x的增大而增大，故选项B、C正确；该函数的对称轴为x1-12a1，当a=14时，x1，则此时对称轴在y轴左侧，故选项D错误；故选：D【题型2 利用二次函数的性质比较

13、函数值】【例2】（2021翔安区模拟）抛物线yx2+x+2，点（2，a），（1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（）AcabBbacCabcD无法比较大小【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-12，然后比较三个点都直线x=-12的远近得到a、b、c的大小关系【解答】解：二次函数的解析式为yx2+x+2（x+12）2+74，抛物线的对称轴为直线x=-12，（2，a）、（1，b），（3，c），点（3，c）离直线x=-12最远，（1，b）离直线x=-12最近，而抛物线开口向上，cab；故选：A【变式2-1】（2021于洪区一模）若点A（1，y1），B（2，y2），C（3

14、，y3）在抛物线y2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay3y2y1By2y1y3Cy1y3y2Dy3y1y2【分析】先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系【解答】解：抛物线y2x2+8x+c中a20，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-82(-2)=2，点A（1，y1）的对称点为（5，y1），又532，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小y1y3y2，故选：C【变式2-2】（2021春鼓楼区校级月考）已知点A（bm，y1），B（bn，y2），C（b+m+n2，y3）都在二次函数yx2+2bx+c的图象上，若

15、0mn，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y3y1Cy3y1y2Dy1y3y2【分析】逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线xb，0mn，点B离对称轴最远，点A离对称轴近，y2y3y1，故选：B【变式2-3】（2021春海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：yax22ax+4（a0）若A（m1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1y3y2结合图象，则m的取值范围是（）Am1B0m1C0m12Dm0【分析】a0时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小【解答】解：如图：抛物

16、线：yax22ax+4（a0）的对称轴为x1，A（m1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1y3y2，则1m（m+2）11（m1），（注：a0时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小），0m12故选：C【知识点2 二次函数的对称性】如果抛物线上x=m与x=n对应的函数值相等，那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线x=m+n2.如果抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线x=x1+x22.【题型3 二次函数的对称性的应用】【例3】（2020秋姜堰区期末）若二次函数yax2+bx+c（a0）的x与y的部分

17、对应值如表：则该二次函数图象的顶点坐标是（）x10123y127434A（1，12）B（0，7）C（1，4）D（2，3）【分析】由二次函数图象上点的坐标（1，4）和（3，4），利用二次函数的性质可得出二次函数图象的对称轴，进而可得出顶点坐标【解答】解：当x1时，y4；当x3时，y4，二次函数图象的对称轴为直线x2，二次函数图象的顶点坐标是（2，3）故选：D【变式3-1】（2020秋望江县期末）在二次函数yx2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x1134y6mn6则m、n的大小关系为（）AmnBmnCmnD无法确定【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对

18、称轴和开口方向，再根据二次函数的图象具有对称性，可以得到m、n的大小关系，从而可以解答本题【解答】解：由表格可得，二次函数yx2+bx+c的对称轴是直线x=-1+42=32，二次函数yx2+bx+c该函数图象开口向下，32-1=12，3-32=32，mn，故选：B【变式3-2】（2021临安区模拟）已知二次函数的解析式为y（xm）（x1）（1m2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（）A2a-32B2a1C3a-32D0a2【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当x=m+12时取最小值，根据函数过（a，b）和（a+6，b）两点，得xa+3时取最小值，根据1m2，进而可得

19、a的取值范围【解答】解：方法一：y（xm）（x1）（1m2），yx2（m+1）x+m，当x=m+12时取最小值，函数过（a，b）和（a+6，b）两点，x=a+a+62=a+3时取最小值，a+3=m+12，m2a+5，方法二：令y0，则xm，x1，又函数过（a，b）和（a+6，b），所以对称轴x（a+a+6）2a+3，得出m2a+51m2，12a+52，解得2a-32故选：A【变式3-3】（2021春瓯海区月考）已知二次函数yax2+bx3，当x1与x2020时，函数值相等则当x2021时，函数值等于 【分析】根据二次函数的图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，从而可以得到和x2021对应函数

20、值相等的自变量x的值，然后即可得到当x2021时的函数值【解答】解：二次函数yax2+bx3，当x1与x2020时，函数值相等，该函数的对称轴为直线x=1+20202=20212，x2021和x=20212220210时的函数值相等，当x0时，y3，当x2021时，y3，故答案为：3【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】【例4】（2021河南模拟）已知二次函数yx2+（2m1）x3，当x1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（）Am12Bm-12Cm32Dm32【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案【解答】解：yx2+（2m1）x3，对称轴为x=-2m

21、-1-2=2m-12，a10，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，当x1时，y随x的增大而减小，2m-121，解得m32，故选：D【变式4-1】（2020西湖区一模）设函数ykx2+（4k+3）x+1（k0），若当xm时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（）A1B0C1D2【分析】当k0时，抛物线对称轴为直线x=-4k+32k，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，根据题意，得m-4k+32k，而当k0时，-4k+32k=-2-32k-2，可确定m的范围，【解答】解：k0，函数ykx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x=-4k+32k的左侧，y随x的增大而增大当xm时，y随着

22、x的增大而增大m-4k+32k，而当k0时，-4k+32k=-2-32k-2，所以m2，故选：D【变式4-2】（2020秋西岗区期末）已知函数yx2+x1，当mxm+2时，-54y1，则m的取值范围是（）Am2B2m1C2m-12Dm1【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围【解答】解：函数yx2+x1（x+12）2-54，该函数图象开口向上，当x=-12是，该函数取得最小值-54，当y1时，x12，x21，当mxm+2时，-54y1，-2m-12-12m+21解得2m1，故选：B【变式4-3】（2021泉州模拟）已知二次函数yax22ax+3（a0

23、），当0xm时，3ay3，则m的取值范围为（）A0m1B0m2C1m2Dm2【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围【解答】解：二次函数yax22ax+3a（x1）2a+3（a0），该函数图象开口向上，对称轴是直线x1，当x1时，该函数取得最小值a+3，当0xm时，3ay3，当y3时，x2或x0，1m2，故选：C【题型5 利用二次函数的性质求最值】【例5】（2020秋桐城市期末）若点P（a，b）在抛物线y2x2+2x+1上，则ab的最小值为 【分析】把点P（a，b）代入y2x2+2x+1求得b2a2+2a+1，进而即可求得ab2a2a1，化成顶点式ab2a2a12（

24、a-14）2-98，根据二次函数的性质即可求得【解答】解：点P（a，b）在抛物线y2x2+2x+1上，b2a2+2a+1，aba（2a2+2a+1）2a2a1，ab2a2a12（a-14）2-98，ab的最小值为-98，故答案为-98【变式5-1】（2020秋中站区期末）已知抛物线yx23x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是 【分析】把点P（m，n）代入抛物线的解析式，得到nm23m+3，等式两边同加m得m+nm22m+3，得到m+n关于m的二次函数解析式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答【解答】解：点P（m，n）在抛物线yx23x+3上，nm23m+3，m+

25、nm22m+3（m+1）2+4，当m1时，m+n有最大值4故答案为：4【变式5-2】（2020秋丹阳市期末）若实数m、n满足m+n2，则代数式2m2+mn+mn的最小值是 【分析】设y2m2+mn+mn，由m+n2得n2m，再由二次函数的性质即可解决问题【解答】解：设y2m2+mn+mn，m+n2，n2m，y2m2+m（2m）+m（2m）m2+4m2（m+2）26，此为一个二次函数，开口向上，有最小值，当m2时，y有最小值为6，故答案为：6【变式5-3】（2021江夏区校级模拟）已知非负数a，b，c满足a+b2，c3a4，设Sa2+b+c的最大值为m，最小值为n，则mn的值为（）A9B8C1D

26、103【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解【解答】解：a+b2，c3a4，b2a，c3a+4，b，c都是非负数，2-a03a+40，解不等式得，a2，解不等式得，a-43，-43a2，又a是非负数，0a2，Sa2+b+ca2+（2a）+3a+4，a2+2a+6，对称轴为直线a=-221=-1，a0时，最小值n6，a2时，最大值m22+22+614，mn1468故选：B【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】【例6】（2021吴兴区校级模拟）当7xa时，二次函数y=-12（x+3）2+5恰好有最大值3，

27、则a 【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答【解答】解：y=-12（x+3）2+5，该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（3，5）当x3时，y随x的增大而增大，当xa时，二次函数y=-12（x+3）2+5恰好有最大值3，把y3代入函数解析式得到 3=-12（x+3）2+5，解得 x15，x21a5故答案是：5【变式6-1】（2021雁塔区校级模拟）已知二次函数ymx2+2mx+1（m0）在2x2时有最小值2，则m（）A3B3或38C3或-38D3或-38【分析】先求出对称轴为x1，分m0，m0两种情况讨论解答即可求得m的值【解答】解：二次函数ymx2+2m

28、x+1m（x+1）2m+1，对称轴为直线x1，m0，抛物线开口向上，x1时，有最小值ym+12，解得：m3；m0，抛物线开口向下，对称轴为直线x1，在2x2时有最小值2，x2时，有最小值y4m+4m+12，解得：m=-38；故选：C【变式6-2】（2020宝应县三模）已知关于x的二次函数yx24x+m在1x3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（）A2B1C0D1【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x1时，y7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值【解答】解：yx24x+m（x2）2+m4，对称轴为直线x

29、2，抛物线开口向上，二次函数在1x3的取值范围内最大值7，当x1时，y7，7（1）24（1）+m，解得：m2，当x2时，该二次函数有最小值，最小值为0+242故选：A【变式6-3】（2020武昌区校级自主招生）已知函数yx2+x1在mx1上的最大值是1，最小值是-54，则m的取值范围是（）Am2B0m12C2m-12Dm-12【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是-54，得出m-12；再求得当x1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限【解答】解：解法一：函数yx2+x1的对称轴为直线x=-12，当x=-12时，y有

30、最小值，此时y=14-12-1=-54，函数yx2+x1在mx1上的最小值是-54，m-12；当x1时，y1+111，对称轴为直线x=-12，当x=-12-1（-12）2时，y1，函数yx2+x1在mx1上的最大值是1，且m-12；2m-12解法二：画出函数图象，如图所示：yx2+x1（x+12）2-54，当x1时，y1；当x=-12，y=-54，当x2，y1，函数yx2+x1在mx1上的最大值是1，最小值是-54，2m-12故选：C 专题5.4 确定二次函数解析式的六种考法-重难点题型【苏科版】【题型1 开放型】【方法点拨】此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不

31、唯一【例1】（2021昌平区二模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x4；乙：顶点到x轴的距离为2请你写出一个符合条件的解析式： 【变式1-1】（2020秋常德期末）已知某二次函数，当x1时，y随x的增大而减小；当x1时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式 【变式1-2】（2020秋西城区校级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 【变式1-3】（2020西城区校级模拟）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙

32、三名同学各指出这个函数的一个性质甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x1时，y随x的增大而减小；丙：该函数的开口大小、形状均与函数yx2的图象相同已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式 【题型2 一般式】【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；【例2】（2020秋于都县期末）一个二次函数的图象经过（0，0），（1，1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式【变式2-1】（2019春大连期末）已知一个二次函数的图象经过（1，10），（1，4），（2，7）三点求这个二次函数的解析式，并求

33、出它的开口方向、对称轴和顶点坐标【变式2-2】（2020秋埇桥区期末）二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且ABOC，求二次函数的表达式【变式2-3】（2020秋荔城区校级期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线yax2+bx+c（a0），点A，B，D的坐标分别为（2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式【题型3 顶点式】【方法点拨】 若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数.【例3】（2020

34、秋潮南区期末）设二次函数的图象的顶点坐标为（2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式【变式3-1】（2020秋汉阳区校级月考）已知二次函数当x1时有最大值是6，其图象经过点（2，8），求二次函数的解析式【变式3-2】（2020宁晋县模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）AE，FBE，GCE，HDF，G【变式3-3】（2020秋顺义区期末）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）Ayx2+2x3Byx22x3Cyx2+2x3Dyx22x+3【题型4 两根式】【方法点拨】已知图像与

35、x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值【例4】（2020秋任城区校级期中）抛物线与x轴交点的横坐标为2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）Ay2x22x4By2x2+2x4Cyx2+x2Dy2x2+2x4【变式4-1】（2020秋西城区校级期中）如果二次函数yax2+bx+c的图象经过点（1，0），（3，0），（0，6），求二次函数表达式【变式4-2】（2021长安区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OCOB2OA求过A，B，C三点的抛物线的表达式；【变式4-3】（2020春漳州月考）已知抛物线过

36、A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC5，求该二次函数的解析式【题型5 平移变换型】【方法点拨】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变【例5】（2020秋湖里区校级月考）将抛物线yx26x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线

37、解析式【变式5-1】（2020秋普陀区校级期中）将抛物线y2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标【变式5-2】已知a+b+c0且a0，把抛物线yax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（2，0），求原抛物线的表达式【变式5-3】抛物线yx2+2x3与x轴正半轴交于A点，M（2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移2个单位，求平移后的解析式【题型6 对称变换型】【方法点拨】根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，

38、因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式【例6】已知抛物线y2x2+8x7（1）二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；（2）二次函数yax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值【变式6-1】已知二次函数y=12x23x+1（1）若把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，求所得图象的函数表达式（2）若把它的图象绕它的顶点旋转180，求所得图象的函数表达式（3）若把它绕

39、x轴翻折，求所得图象的表达式【变式6-2】已知抛物线C1：y=59(x+2)2-5的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式【变式6-3】将抛物线C1：y=18（x+1）22绕点P（t，2）旋转180得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式专题5.4 确定二次函数解析式的六种考法-重难点题型【苏科版】【题型1 开放型】【方法点拨】此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并

40、不唯一【例1】（2021昌平区二模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x4；乙：顶点到x轴的距离为2请你写出一个符合条件的解析式： 【解题思路】设抛物线yax2+bx+c，根据对称轴公式得对称轴x=-b2a=4，顶点到x轴的距离为2，即可得顶点坐标为（4，2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式，即2b+c2，满足这样条件的抛物线不唯一设a2，根据b、c的关系取值即可得到抛物线解析式【解答过程】解：设抛物线yax2+bx+c，对称轴x=-b2a=4，顶点到x轴的距离为2，即顶点坐标为（4，2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c2，-b2a=4，即：2b+c2，满足这样条件的抛物线不唯一设a2，2b+c2时则a=2b=-16c=-34设a2，2b+c2时，则a=2b=-16c=-30，故其中一个符合条件解析式为：y2x216x34故答案为：y2x216x34答案不唯一【变式1-1】（2020秋常德期末）已知某二次函数，当x1时，y随x的增大而减小；当x1时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式 【解题思路】根据“当x1时y随x增大而减小； 当x1时y随x增大而增大”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可