2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题5.7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题5.7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型【苏科版】【题型1 根据条件确定二次函数的图象】【例1】（2020镇平县一模）已知函数yx2+bx+c，其中b0，c0，此函数的图象可以是（）ABCD【变式1-1】（2020秋北仑区期中）若a0，则二次函数yax2+2x1的图象可能是（）ABCD【变式1-2】（2020秋大连期中）函数yax2+ax+a（a0）的图象可能是下列图象中的（）ABCD【变式1-3】（2020浙江校级模拟）已知函数yax2+bx+c，当y0时，-12x13则函数ycx2bx+a的图象可能是下图中的（）ABCD

2、【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】【例2】（2020南宁一模）如图，关于x的二次函数yx2x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果xa时，y0，那么关于x的一次函数y（a1）x+m的图象可能是（）ABCD【变式2-1】（2021秋和平区校级月考）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则一次函数yax与一次函数ybxc在同一坐标系内的图象大致是（）ABCD【变式2-2】（2021江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数yax2与一次函数ybx+c的图象如图所示，则二次函数yax2+bx+c的图象可能是（）ABCD【变式2-3】（2020秋庐阳区期末）

3、如图，一次函数yx与二次函数yax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数yax2+（b+1）x+c的图象可能是（）ABCD【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】【例3】已知一次函数y=bax+c的图象如图，则二次函数yax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【变式3-1】（2021深圳）二次函数yax2+bx+1的图象与一次函数y2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【变式3-2】（2021越秀区模拟）已知a，b是非零实数，|b|a|，在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y1ax2bx与一次函数y2axb的大致图象不大可能的是（）A

4、 BC D【变式3-3】（2021广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数yax2+bx+2b与yax+b的图象可能是（）ABCD【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】【例4】（2020春番禺区校级月考）如图抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+cn的解集为（）Ax1Bx3Cx3或x1Dx1或x3【变式4-1】（2021贺州）如图，已知抛物线yax2+c与直线ykx+m交于A（3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+ckx+m的解集是（）Ax3或x1Bx1或x3C3x1D1x3【变式4-2】（2021南山区校级二模）如图

5、，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x2，当ax2+bx+c16a时，x的取值范围是（）Ax1或x5B1x5C3x7Dx3或x7【变式4-3】（2020梧州）如图，抛物线yax2+bx+c与直线ykx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）Aax2+（bk）x+ch的解集是2x4Bax2+（bk）x+ch的解集是x4Cax2+（bk）x+ch的解集是x2Dax2+（bk）x+ch的解是x12，x24【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】【例5】（2020秋松山区期末）如图所示，二次函数yx2+2x+k的图象与x轴的一个交

6、点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程x2+2x+k0的解为（）Ax13，x22Bx13，x21Cx11，x21Dx13，x23【变式5-1】（2020海珠区校级模拟）二次函数yax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m20有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A1B0C1D2【变式5-2】（2020南宁二模）如图，二次函数：yax2+bx+c（a0）与一次函数：ymx+n（m0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+cmx+n的解为（）Ax1x21Bx11，x22Cx11，x22Dx1x22【变式5-3】（2021开福区模拟）如图，是抛物线y1ax2+b

7、x+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2mx+n（m0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：2a+b0；抛物线与x轴的另一个交点是（2，0）；方程ax2+bx+c3有两个相等的实数根；当1x4时，有y2y1；若ax12+bx1ax22+bx2，且x1x2；则x1+x21则命题正确的个数为（）A5个B4个C3个D2个【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】【例6】（2021福田区二模）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x1下列结论：abc0；a+cb；4a+c0；a+bm（am+b）（m为实数）其中结论正确的个数

8、为（）A4个B3个C2个D1个【变式6-1】（2021铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：c0；4ab0；3a+c0；4a2bat2+bt（t为实数）；点（3，y1），（5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1y3y2则小涛此题得分为（）A100分B70分C40分D10分【变式6-2】（2021槐荫区一模）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的顶点为M（2，0）下列结论

9、：ac0；2a+b0；若关于x的方程ax2+bx+ct0有两个不相等的实数根，则t0；若ax12+bx1ax22+bx2，且x1x2，则x1+x24其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【变式6-3】（2021肇源县模拟）二次函数yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2，9a），下列结论：abc0；4a+2b+c0；5ab+c0；若方程a（x+5）（x1）1有两个根x1和x2，且x1x2，则5x1x21； 若方程|ax2+bx+c|2有四个根，则这四个根的和为4其中正确的结论有（）A2个B3个C4个D5个【题型7 由几何动点问题确定函数图象】【例7】（2021聊城）如图，

10、四边形ABCD中，已知ABCD，AB与CD之间的距离为4，AD5，CD3，ABC45，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQAB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）ABCD【变式7-1】（2021杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为ABC，动点Q的运动路线为BD点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止设点P运动的路程为x，BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）ABC

11、D【变式7-2】（2021包河区二模）已知RtABC中，C90，ACBC22，正方形EFGH中，EF2，AB和EF在同一直线上，将ABC向右平移，则ABC和正方形EFGH重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（）ABCD【变式7-3】（2021瑶海区二模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF1，正方形ABCD的边长为2，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）ABCD【题型8 由动点问题的函数图象

12、获取信息】【例8】（2021春西城区期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线ABBDDA匀速运动，回到点A后停止设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则ABCD的面积为（）A245B165C125D36【变式8-1】（2021花都区三模）如图1，在菱形ABCD中，AB6，BAD120，点E是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（）A73B63+3C83D33+6【变式8-2】（2021春郑州期末）如图，

13、E为长方形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BED运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图所示，则a的值是（）A32cm2B34cm2C36cm2D38cm2【变式8-3】（2021河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PAPEy，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A4B5C6D7专题5.7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型【苏科版】【题型1 根据条件确定二次函

14、数的图象】【例1】（2020镇平县一模）已知函数yx2+bx+c，其中b0，c0，此函数的图象可以是（）ABCD【解题思路】根据已知条件“a0、b0、c0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象【解答过程】解：a10，b0，c0，该函数图象的开口向下，对称轴是直线x=-b2a0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D【变式1-1】（2020秋北仑区期中）若a0，则二次函数yax2+2x1的图象可能是（）ABCD【解题思路】根据a0，判断抛物线开口向上，对称轴为直线x=-22a=-1a0，由抛物线解析式可知与y轴的交点为（0，1），据此作出判断即可

15、【解答过程】解：a0，抛物线开口向上，对称轴直线x=-22a=-1a0，对称轴在y轴的左侧，由yax2+2x1可知，抛物线与y轴的交点为（0，1），故选：D【变式1-2】（2020秋大连期中）函数yax2+ax+a（a0）的图象可能是下列图象中的（）ABCD【解题思路】根据函数yax2+ax+a（a0），对a的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项【解答过程】解：在函数yax2+ax+a（a0）中，当a0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确

16、；故选：C【变式1-3】（2020浙江校级模拟）已知函数yax2+bx+c，当y0时，-12x13则函数ycx2bx+a的图象可能是下图中的（）ABCD【解题思路】当y0时，-12x13，所以可判断a0，可知-ba=-12+13=-16，ca=-1213=-16，所以可知a6b，a6c，则bc，不妨设c1进而得出解析式，找出符合要求的答案【解答过程】解：因为函数yax2+bx+c，当y0时，-12x13所以可判断a0，可知-ba=-12+13=-16，ca=-1213=-16所以可知a6b，a6c，则bc，不妨设c1则函数ycx2bx+a为函数yx2+x6即y（x2）（x+3）则可判断与x轴的

17、交点坐标是（2，0），（3，0），故选：A【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】【例2】（2020南宁一模）如图，关于x的二次函数yx2x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果xa时，y0，那么关于x的一次函数y（a1）x+m的图象可能是（）ABCD【解题思路】根据函数图象与y轴的交点，可得m0，根据二次函数图象当xa时，y0，可得a0，a10，根据一次函数的性质，可得答案【解答过程】解：把xa代入函数yx2x+m，得ya2a+ma（a1）+m，xa时，y0，即 a（a1）+m0由图象交y轴的正半轴于点C，得m0，即a（a1）0xa时，y0，a0，a10，一次函

18、数y（a1）x+m的图象过一二四象限，故选：A【变式2-1】（2021秋和平区校级月考）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则一次函数yax与一次函数ybxc在同一坐标系内的图象大致是（）ABCD【解题思路】根据二次函数yax2+bx+c（a0）的图象可以得到a、b、c的正负，从而可以得到一次函数yax与一次函数ybxc的图象，本题得以解决【解答过程】解：由二次函数yax2+bx+c（a0）的图象可得，a0，b0，c0，一次函数yax的图象经过第一、三象限，一次函数ybxc的图象经过第二、三、四象限，故选：A【变式2-2】（2021江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数yax2与

19、一次函数ybx+c的图象如图所示，则二次函数yax2+bx+c的图象可能是（）ABCD【解题思路】根据二次函数yax2与一次函数ybx+c的图象，即可得出a0、b0、c0，由此即可得出：二次函数yax+bx+c的图象开口向上，对称轴x=-b2a0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论【解答过程】解：观察函数图象可知：a0，b0，c0，二次函数yax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=-b2a0，与y轴的交点在y轴负半轴故选：D【变式2-3】（2020秋庐阳区期末）如图，一次函数yx与二次函数yax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数yax2+（b+1）x+c

20、的图象可能是（）ABCD【解题思路】根据一次函数yx与二次函数yax2+bx+c图象交点位置，即可判断函数yax2+（b+1）x+c的图像与x轴在交点的位置【解答过程】解：一次函数yx与二次函数yax2+bx+c图象的交点在第二象限，两个交点的横坐标都是负数，函数yax2+（b+1）x+c的图像与x轴的交点的横坐标都为负数，函数yax2+（b+1）x+c的图像与x轴的负半轴有两个交点，故选：D【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】【例3】已知一次函数y=bax+c的图象如图，则二次函数yax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【解题思路】根据一次函数图象经过的

21、象限，即可得出ba0、c0，由此即可得出：二次函数yax2+bx+c的图象对称轴x=-b2a0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论【解答过程】解：观察函数图象可知：ba0、c0，二次函数yax2+bx+c的图象对称轴x=-b2a0，与y轴的交点在y轴负正半轴故选：A【变式3-1】（2021深圳）二次函数yax2+bx+1的图象与一次函数y2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【解题思路】由二次函数yax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致【解答过程】解：A、

22、由抛物线可知，a0，b0，c1，对称轴为直线x=-b2a，由直线可知，a0，b0，直线经过点（-b2a，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x=-b2a，直线经过点（-b2a，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x=-b2a，直线经过点（-b2a，0），故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，对称轴为直线x=-b2a，直线经过点（-b2a，0），故本选项不符合题意；故选：A【变式3-2】（2021越秀区模拟）已知a，b是非零实数，|b|a|，在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y1ax2bx与一次函数y2axb的大致图象不大可能的是（）A BC D【解题思

23、路】根据二次函数yax2bx与一次函数yaxb（a0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题【解答过程】解：y=ax2-bxy=ax-b解得x=bay=0或x=1y=a-b故二次函数yax2bx与一次函数yaxb（a0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（ba，0）或点（1，ab）在A中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，ba0，ab0，故选项A有可能；在B中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，ba0，由|b|a|，ab0，故选项B不可能；在C中，由一次函数图象

24、可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，ba0，由|b|a|，ab0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，ba0，ab0，故选项D有可能；故选：B【变式3-3】（2021广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数yax2+bx+2b与yax+b的图象可能是（）ABCD【解题思路】根据yax+b的图象判断a、b与0的大小关系，进一步确定函数yax2+bx+2b的图象即可作出判断【解答过程】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则a0，即a0，b0，所以函数yax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+b

25、x+2bax+b整理得ax2+（a+b）x+b0，由于（a+b）24ab（ab）20，则两图象有交点，故A错误；B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则a0，即a0，b0，所以函数yax2+bx+2b开口向上，对称轴x0，故B错误；C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则a0，即a0，b0，所以函数yax2+bx+2b开口向下，对称轴x0，故C错误；D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则a0，即a0，b0，所以函数yax2+bx+2b开口向上，对称轴x0，故D正确；故选：D【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】【例4】（2020春番禺区校级月考）如图抛物线yax2+c与直线ymx+n交

26、于A（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+cn的解集为（）Ax1Bx3Cx3或x1Dx1或x3【解题思路】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论【解答过程】解：抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于（1，p），（3，q）两点，观察函数图象可知：当x3或x1时，抛物线yax2+c在直线ymx+n的上方，不等式ax2+cmx+n的解集为x3或x1，即不等式ax2+mx+cn的解集是x3或x1故选：C【变式4-1】（2021贺州）如图，已知抛物线yax2+c与直线ykx+m交于A（3，y1），B（1，y2）两点，

27、则关于x的不等式ax2+ckx+m的解集是（）Ax3或x1Bx1或x3C3x1D1x3【解题思路】ykx+m与ykx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解【解答过程】解：ykx+m与ykx+m的图象关于y轴对称，直线ykx+m与抛物线yax2+c的交点A、B与点A、B也关于y轴对称，如图所示：A（3，y1），B（1，y2），A（3，y1），B（1，y2），根据函数图象得：不等式ax2+ckx+m的解集是1x3，故选：D【变式4-2】（2021南山区校级二模）如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x2，当ax2+b

28、x+c16a时，x的取值范围是（）Ax1或x5B1x5C3x7Dx3或x7【解题思路】由对称轴公式得直线x=-b2a=2，可得b4a，与x轴右交点为(5,0)，代入抛物线得c5a，把b4a，c5a，代入抛物线得ax24ax5a16a，运用不等式的性质可得结果【解答过程】解：yax2+bx+c的对称轴是直线x2，-b2a=2，b4a，yax24ax+c，与x轴右交点为(5,0)，25a20a+c0，c5a，yax24ax5a，ax24ax5a16a，ax24ax21a0，a0，x24x210（两边同除以a，不等号方向改变），yx24x21，a1，开口向上，当x24x210时，（x7)(x+3)0

29、（结合图象，可得3x7），x17，x23，3x7，故选：C【变式4-3】（2020梧州）如图，抛物线yax2+bx+c与直线ykx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）Aax2+（bk）x+ch的解集是2x4Bax2+（bk）x+ch的解集是x4Cax2+（bk）x+ch的解集是x2Dax2+（bk）x+ch的解是x12，x24【解题思路】联立yax2+bx+c与直线ykx+h得：ax2+（bk）x+ch0，由函数图象知，上述方程的解为x2或4，进而求解【解答过程】解：联立yax2+bx+c与直线ykx+h得：ax2+（bk）x+ch0，由函数图象知，上述方程的解为x

30、2或4，而ax2+（bk）x+ch，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x2或x4，故选：D【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】【例5】（2020秋松山区期末）如图所示，二次函数yx2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程x2+2x+k0的解为（）Ax13，x22Bx13，x21Cx11，x21Dx13，x23【解题思路】由题意可知交点（3，0）中的横坐标3是方程x2+2x+k0的一个根，所以把x13代入关于x的一元二次方程x2+2x+k0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值【解答过程】解：二次函数yx2+2x+k的图象与x轴

31、的一个交点坐标为（3，0），横坐标3是方程x2+2x+k0的一个根，把x13代入关于x的一元二次方程x2+2x+k0得，9+6+k0，解得k3，原方程可化为：x2+2x+30，x1+x23+x22，解得x21故选：B【变式5-1】（2020海珠区校级模拟）二次函数yax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m20有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A1B0C1D2【解题思路】根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案【解答过程】解：ax2+bx+m20有两个不相等的实数根，ax2+bx2m有两个不相等的实数根，令y1ax2+bx，y22m（表示与x

32、轴平行的直线），y1与y2有两个交点，2m2，m0m是整数，m1，故选：C【变式5-2】（2020南宁二模）如图，二次函数：yax2+bx+c（a0）与一次函数：ymx+n（m0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+cmx+n的解为（）Ax1x21Bx11，x22Cx11，x22Dx1x22【解题思路】结合函数图象得到两函数图象的交点的横坐标，则当x1或x2时，两函数的函数值相等，从而得到一元二次方程ax2+bx+cmx+n的解【解答过程】解：yax2+bx+c（a0）与一次函数：ymx+n（m0）的图象的交点A、B的横坐标分别为1，2，当x1或x2时，ax2+bx+cmx+n，

33、一元二次方程ax2+bx+cmx+n的解为x11，x22故选：C【变式5-3】（2021开福区模拟）如图，是抛物线y1ax2+bx+c（a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2mx+n（m0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：2a+b0；抛物线与x轴的另一个交点是（2，0）；方程ax2+bx+c3有两个相等的实数根；当1x4时，有y2y1；若ax12+bx1ax22+bx2，且x1x2；则x1+x21则命题正确的个数为（）A5个B4个C3个D2个【解题思路】根据对称轴可以判断；根据已知交点坐标和对称轴可以判断；根据图象性质向下平移3个单位即可判

34、断；根据图象性质即可判断；根据图象对称性即可判断【解答过程】解：对称轴为直线x=-b2a=1，则：2a+b0正确；对称轴是直线x1，与x轴的一个交点是B（4，0），则与x轴的另一个交点是（2，0），故正确；将抛物线y1=ax2+bx+c向下平移3个单位，得到yax2+bx+c3，顶点坐标变为（1，0），此时抛物线与x轴只有一个交点，方程ax2+bx+c3有两个相等的实数根正确；当1x4时，有图象可知y2y1正确；若ax12+bx1ax22+bx2，则ax12+bx1+cax22+bx2+c，即y1y2，x1、x2关于函数的对称轴对称，由知函数对称轴为直线x=-b2a=1，故12（x1+x2）1

35、，不正确，故选：B【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】【例6】（2021福田区二模）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x1下列结论：abc0；a+cb；4a+c0；a+bm（am+b）（m为实数）其中结论正确的个数为（）A4个B3个C2个D1个【解题思路】该函数开口方向向上，则a0，由对称轴可知，b2a0，与y轴交点在y轴负半轴，则c0，再根据一些特殊点，比如x1，x1，顶点等进行判断即可【解答过程】解：函数开口方向向上，a0，对称轴为x1，则-b2a=1，b2a0，与y轴交点在y轴负半轴，c0，abc0，故错；当x1时，yab+c0，即a+cb，故正确；对称轴

36、为x1，则-b2a=1，即b2a，由上知，ab+c0，则a+2a+c0，即3a+c0，4a+ca0，故正确；由图象可得，当x1时，函数取得最小值，对任意m为实数，有am2+bm+ca+b+c，am2+bma+b，即a+bm（am+b），故正确综上，正确的个数有三个故选：B【变式6-1】（2021铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：c0；4ab0；3a+c0；4a2bat2+bt

37、（t为实数）；点（3，y1），（5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1y3y2则小涛此题得分为（）A100分B70分C40分D10分【解题思路】由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断；根据抛物线的对称轴可判断；由x1时y0可判断，由x2时函数取得最大值可判断；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断【解答过程】解：与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，由抛物线的对称性知，另一个交点在（1，0）和（0，0）之间，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c0，故错误；抛物线的对称轴为直线x=-b2a=-2，4ab0，所以正确；由知，x1时

38、y0，且b4a，即ab+ca4a+c3a+c0，所以正确；由函数图象知当x2时，函数取得最大值，4a2b+cat2+bt+c，即4a2bat2+bt（t为实数），故正确；抛物线的开口向下，且对称轴为直线x2，抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，y1y3y2，故正确；写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分，小涛得到了70分，故选：B【变式6-2】（2021槐荫区一模）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的顶点为M（2，0）下列结论：ac0；2a+b0；若关于x的方程ax2+bx+ct0有两个不相等的实数根，则t0；若ax12+bx1ax22+bx2，且x1x2，则x1+x24其中正

39、确的有（）A1个B2个C3个D4个【解题思路】由抛物线开口向上得a0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c0，则可对进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=-b2a=2可对进行判断；由顶点M的坐标为（2，0）得到a+b+c4，即4a+b+c0，然后把4ab代入得到bc，再由判别式0，则可对进行判断；由ax12+bx1ax22+bx2得出x1，x2关于对称轴x2对称，则可对进行判断【解答过程】解：抛物线开口向上，a0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，ac0，所以不正确；顶点M（2，0），抛物线的对称轴为直线x=-b2a=2，4a+b0，所以不正确；抛物线的顶点M的坐标为（2，0），4a+2b+c

40、0，又4a+b0，b+c0，即bc，4ac，关于x的方程ax2+bx+ct0有两个不相等的实数根，b24a（ct）0，即c2c（ct）0，得ct0，c0，t0，所以正确；ax12+bx1ax22+bx2，则ax12+bx1+cax22+bx2+c，当xx1与xx2时，y值相同，x1，x2关于对称轴x2对称，则x1+x22=2，即x1+x24，所以正确故选：B【变式6-3】（2021肇源县模拟）二次函数yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2，9a），下列结论：abc0；4a+2b+c0；5ab+c0；若方程a（x+5）（x1）1有两个根x1和x2，且x1x2，则5x1x21； 若方程|ax2+bx+c|2有四个根，则这四个根的和为4其中正确的结论有（）A2个B3个C4个D5个【解题思路】根据二次函数的性质一一判断即可【解答过程】解：抛物线的开口向上，则a0，对称轴在y轴的左侧，则b0，交y轴的负半轴，则c0，abc0，所以结论错误；抛物线的顶点坐标（2，9a），-b2a=-2，4ac-b24a=-9a，b4a，c5a，抛物线的解析式为yax2+4ax5a，4a+2b+c4a+8a5a7a0，所以结论正确，