2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题6.1 成比例线段-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题6.1 成比例线段-重难点题型【苏科版】【知识点1 成比例线段的概念】1比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足2成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段【题型1 成比例线段的概念】【例1】（2020浉河区校级一模）已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为 【变式1-1】（2020秋岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（）A1、2、20、30B1

2、、2、3、4C4、2、1、3D5、10、10、20【变式1-2】若a：bc：d，则下列各式成立的是（）Aa：dc：bBb：dc：aCa+bb=c-ddDab=a+cb+d（ b+d0）【变式1-3】已知线段a、b、c满足a：b：c3：2：6，且a+2b+c26（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值【题型2 成比例线段概念的应用】【例2】（2021春江阴市期中）在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB5cm，则A、B两地的实际距离为 km【变式2-1】（2020秋高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足ab=bc=5+12，则将这三条线段首尾

3、顺次相连（）A能围成锐角三角形B能围成直角三角形C能围成钝角三角形D不能围成三角形【变式2-2】（2020秋渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd证明：ab=cd，ab+1=cd+1a+bb=c+dd根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=35，求a+bb的值；（2）若ab=cd，且ab，cd，证明a-ba+b=c-dc+d【变式2-3】阅读理解，并解决问题：小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式ab=cd成立（即a，b，c，d成比例）小明同学还有新的发现（分比性质）：若ab=cd，则a-bb=c-

4、dd已知ac=bd；ba=dc问题解决：（1）仿照上例，从中选一组数据写出分比性质等式；（2）证明（1）中的分比性质等式成立【知识点2 比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3 比例的性质（比值问题）】【例3】（2020秋炎陵县期末）已知2b3a-b=34，则ab= 【变式3-1】（2020秋平果市期末）如果ab=23，那么b-aa+b= 【变式3-2】（2020秋雅安期末）若a2=b3=c40，则a+bc= 【变式3-3】（2020秋梁溪区期末）若ab=cd=e

5、f=23（b+d+f0），则a+c+eb+d+f= 【题型4 比例的性质（三角形问题）】【例4】（2020秋兰州期末）已知ABC和DEF中，有ABDE=BCEF=CAFD=23，且DEF和ABC的周长之差为15厘米，求ABC和DEF的周长【变式4-1】（2020秋沭阳县期末）已知a、b、c为ABC的三边长，且a+b+c48，a4=b5=c7，求ABC三边的长【变式4-2】（2020秋永登县期末）已知a、b、c是ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c12，请你探索ABC的形状【变式4-3】已知a、b、c是ABC的三边长，且a5=b4=c60，求：（1）2a+b3c的值（2

6、）若ABC的周长为90，求各边的长【题型5 比例的性质（阅读理解类）】【例5】（2020春鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则xk（ab），yk（bc），zk（ca）于是，x+y+zk（ab+bc+ca）k00，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z0），求x-y-zx+y+z的值【变式5-1】（2020秋椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值解：

7、设xa-b=yb-c=zc-a=k，则xk（ab），yk（bc），zk（ca），x+y+zk（ab+bc+ca）k00，x+y+z0依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c0，当a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值【变式5-2】解答下列各题：（1）解方程：（x+2）（x+3）2x+16（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值【变式5-3】我们知道：若ab=cd，且b+d0，那么ab=cd=a+cb+d（1）若b+d0，那么a、c满足什么

8、关系？（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2t2的值【知识点3 黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，AC与AB的比叫做黄金比（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个）【题型6 黄金分割】【例6】（2020秋闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适

9、的高跟鞋，使自己的下半身长度增加你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A4cmB6cmC8cmD10cm【变式6-1】（2021龙口市模拟）黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成个新的五边形MNPQR图中有很多顶角为36的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5-12若EM4，则AB 【变式6-2】（2020秋市北区期末）如图，线段AB1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1BP1，即P1B2=AP1AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2P1P2），点P3是线段AP

10、2的黄金分割点（AP3P2P3），依此类推，则线段AP2020的长度是（）A(3-52)2020B(5-12)2020C(12)2020D(5-2)1010【变式6-3】 （2020秋平顶山期中）如果一个等腰三角形的顶角为36，那么可求其底边与腰之比等于5-12，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形如图，在ABC中，ABAC1，A36，ABC看作第一个黄金三角形；作ABC的平分线BD，交AC于点D，BCD看作第二个黄金三角形；作BCD的平分线CE，交BD于点E，CDE看作第三个黄金三角形；以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（）A（5-12）2018B（5-12）2019C（3+52）20

11、18D（3+52）2019专题6.1 成比例线段-重难点题型【苏科版】【知识点1 成比例线段的概念】1比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足2成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段【题型1 成比例线段的概念】【例1】（2020浉河区校级一模）已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为3【解题思路】由四条线段a，2，6，a+1成比例，根据成比例线段的定义解答即可【解答过程】解：四条线段a，2，6，a+1成比例，a2=6a

12、+1解得：a3，故答案为：3【变式1-1】（2020秋岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（）A1、2、20、30B1、2、3、4C4、2、1、3D5、10、10、20【解题思路】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案【解答过程】解：A、130220，四条线段不成比例；B、1423，四条线段不成比例；C、1423，四条线段不成比例；D、5201010，四条线段成比例；故选：D【变式1-2】若a：bc：d，则下列各式成立的是（）Aa：dc：bBb：dc：aCa+bb=c-ddDab=a+cb+d（ b+d0）【解题思路】根据

13、比例的性质，两内项之积等于两外项之积，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答过程】解：A、a：bc：d，adbc，故本选项错误；B、a：bc：d，bcad，b：da：c，故本选项错误；C、a+bb=ab+1，c-dd=cd-1，a+bbc-dd，故本选项错误；D、令ab=cd=k，则a+cb+d=bk+dkb+d=k(b+d)b+d=k=ab=cd，故本选项正确；故选：D【变式1-3】已知线段a、b、c满足a：b：c3：2：6，且a+2b+c26（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值【解题思路】（1）利用a：b：c3：2：6，可设a3k，b2k，c6k，则3k+

14、22k+6k26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的定义得到x2ab，即x246，然后根据算术平方根的定义求解【解答过程】解：（1）a：b：c3：2：6，设a3k，b2k，c6k，又a+2b+c26，3k+22k+6k26，解得k2，a6，b4，c12；（2）x是a、b的比例中项，x2ab，x246，x26或x26（舍去），即x的值为26【题型2 成比例线段概念的应用】【例2】（2021春江阴市期中）在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB5cm，则A、B两地的实际距离为1.5km【解题思路】设A、B两地的实际距离为x厘米，根据比例尺的定义得到5x

15、=130000，然后利用比例性质计算出x，再把单位化为千米即可【解答过程】解：设A、B两地的实际距离为x厘米，根据题意得5x=130000，解得x150000，150000cm1.5km故答案为1.5【变式2-1】（2020秋高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足ab=bc=5+12，则将这三条线段首尾顺次相连（）A能围成锐角三角形B能围成直角三角形C能围成钝角三角形D不能围成三角形【解题思路】根据比例线段和三角形的三边关系解答即可【解答过程】解：三条线段a、b、c的长满足ab=bc=5+12，设a（5+1）k，b2k，则c（5-1）k，5+1=5-1+2，不能围成三角形，故选：D【变式2-

16、2】（2020秋渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=cd，求证：a+bb=c+dd证明：ab=cd，ab+1=cd+1a+bb=c+dd根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=35，求a+bb的值；（2）若ab=cd，且ab，cd，证明a-ba+b=c-dc+d【解题思路】（1）把要求的式子化成a+bb=ab+1，再进行计算即可得出答案；（2）根据比例的性质得出a-bb=c-dd，a+bb=c+dd，再分别相除即可得出答案【解答过程】解：（1）ab=35，a+bb=ab+1=35+1=85（2）ab=cd，ab-1=cd-1，a-bb=c-dd，a+bb=c+d

17、d，a-bba+bb=c-ddc+dd，a-ba+b=c-dc+d【变式2-3】阅读理解，并解决问题：小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式ab=cd成立（即a，b，c，d成比例）小明同学还有新的发现（分比性质）：若ab=cd，则a-bb=c-dd已知ac=bd；ba=dc问题解决：（1）仿照上例，从中选一组数据写出分比性质等式；（2）证明（1）中的分比性质等式成立【解题思路】（1）利用分比性质解决问题即可（2）设ac=bd=k，则akcbkd，可得a-cc=kc-cc=k1，b-dd=kd-dd=k1，由此即可解决问题【解答过程】解：（1）若ac=bd，则

18、a-cc=b-dd若ba=dc，则b-aa=d-cc（2）若ac=bd，则a-cc=b-dd理由：设ac=bd=k，则akcbkd，a-cc=kc-cc=k1，b-dd=kd-dd=k1，a-cc=b-dd同法可证结论成立【知识点2 比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3 比例的性质（比值问题）】【例3】（2020秋炎陵县期末）已知2b3a-b=34，则ab=119【解题思路】根据2b3a-b=34，可得3a-b2b=43，再根据比例的性质即可求解【解答过程】解

19、：2b3a-b=34，3a-b2b=43，3a2b-12=43，ab=119故答案为：119【变式3-1】（2020秋平果市期末）如果ab=23，那么b-aa+b=15【解题思路】利用比例的性质由ab=23得到a2=b3，则可设a2t，b3t，然后把a2t，b3t代入b-aa+b中进行分式的运算即可【解答过程】解：ab=23，a2=b3，设a2t，b3t，b-aa+b=3t-2t2t+3t=15故答案为15【变式3-2】（2020秋雅安期末）若a2=b3=c40，则a+bc=54【解题思路】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果【解答过程】解：设a2

20、=b3=c4=k0，则a2k，b3k，c4k，所以a+bc=2k+3k4k=54故答案是：54【变式3-3】（2020秋梁溪区期末）若ab=cd=ef=23（b+d+f0），则a+c+eb+d+f=23【解题思路】根据已知，用b表示a、c表示d、f表示e，代入分式计算即可【解答过程】解：ab=cd=ef=23，a=23b，c=23d，e=23fa+c+eb+d+f=23b+23d+23fb+d+f=23(b+d+f)b+d+f =23故答案为：23【题型4 比例的性质（三角形问题）】【例4】（2020秋兰州期末）已知ABC和DEF中，有ABDE=BCEF=CAFD=23，且DEF和ABC的周长

21、之差为15厘米，求ABC和DEF的周长【解题思路】设ABC和DEF的周长分别是x厘米和y厘米构建方程组即可解决问题【解答过程】解：设ABC和DEF的周长分别是x厘米和y厘米ABDE=BCEF=CAFD=23，AB+BC+CADE+EF+FD=xy=23由题意可得：yx15 由式得x=23y将式代入式得：y-23y15，y45，将y45代入式得：x30，答：ABC和DEF的周长分别是30厘米和45厘米【变式4-1】（2020秋沭阳县期末）已知a、b、c为ABC的三边长，且a+b+c48，a4=b5=c7，求ABC三边的长【解题思路】根据等式的性质，可用x表示a，b，c，根据解方程，可得答案【解答

22、过程】解：设a4=b5=c7=x，得a4x，b5x，c7xa+b+c48，4x+5x+7x48，解得x3，a4x12，b5x15，c7x21【变式4-2】（2020秋永登县期末）已知a、b、c是ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c12，请你探索ABC的形状【解题思路】令第一个等式等于k，表示出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断【解答过程】解：设a+43=b+32=c+84=k，可得a3k4，b2k3，c4k8，代入a+b+c12得：9k1512，解得：k3，a5，b3，c4，则ABC为直角三角形【变式4-3】已知a、b、c是ABC的三边长，且a5=b4

23、=c60，求：（1）2a+b3c的值（2）若ABC的周长为90，求各边的长【解题思路】（1）直接设a5x，b4x，c6x，进而代入求出答案；（2）直接设a5x，b4x，c6x，进而代入求出答案【解答过程】解：（1）a5=b4=c60，设a5x，b4x，c6x，则2a+b3c=25x+4x36x=79；（2）ABC的周长为90，5x+4x+6x90，解得：x6，则a5x30，b4x24，c6x36【题型5 比例的性质（阅读理解类）】【例5】（2020春鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值解：设xa-b=yb

24、-c=zc-a=k，则xk（ab），yk（bc），zk（ca）于是，x+y+zk（ab+bc+ca）k00，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z0），求x-y-zx+y+z的值【解题思路】设y+zx=z+xy=x+yz=k，根据比例的性质得到xyz，计算即可【解答过程】解：设y+zx=z+xy=x+yz=k，则y+zxk，z+xyk，x+yzk，2（x+y+z）k（x+y+z），解得，k2，y+z2x，z+x2y，x+y2z，解得，xyz，则x-y-zx+y+z=-13【变式5-1】（2020秋椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=

25、yb-c=zc-a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则xk（ab），yk（bc），zk（ca），x+y+zk（ab+bc+ca）k00，x+y+z0依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c0，当a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值【解题思路】设a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca=k，利用比例的性质得到a+bckc，ab+ckb，a+b+cka，将三式相加可以求得k1，所以利用等量代换和约分可以求得所求代数式的值【解答过程】解：设a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca

26、=k，所以a+bckc，ab+ckb，a+b+cka，由+，得a+b+ck（a+b+c）a+b+c0，k1a+b2c，b+c2a，c+a2b(a+b)(b+c)(c+a)abc=2c2a2babc=8【变式5-2】解答下列各题：（1）解方程：（x+2）（x+3）2x+16（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值【解题思路】（1）先展开，再合并同类项，根据因式分解法解方程即可求解；（2）根据比例的等比性质解决分式问题注意分两种情况：a+b+c0；a+b+c0进行讨论本题还可以设参数法解答【解答过程】解：（1）

27、（x+2）（x+3）2x+16，x2+5x+62x+16，x2+3x100，（x2）（x+5）0，解得x12，x25；（2）若a+b+c0，由等比定理有a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca=a+b-c+a-b+c-a+b+ca+b+c=1，所以a+bcc，ab+cb，a+b+ca，于是有 (a+b)(b+c)(c+a)abc=2c2b2aabc=8若a+b+c0，则a+bc，b+ca，c+ab，于是有(a+b)(b+c)(c+a)abc=(-c)(-a)(-b)abc=-1【变式5-3】我们知道：若ab=cd，且b+d0，那么ab=cd=a+cb+d（1）若b+d0，那么a、c满足什么关

28、系？（2）若b+ca=a+cb=a+bc=t，求t2t2的值【解题思路】（1）根据比例的性质即可得到结果；（2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论【解答过程】解：（1）ab=cd，b+d0，a+c0；（2）当a+b+c0时，b+ca=a+cb=a+bc=t=2(a+b+c)a+b+c=2，t2t222220，当a+b+c0时，b+ca，a+cb，a+bc，b+ca=a+cb=a+bc=t=-1，t2t20【知识点3 黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄

29、金分割点，其中，AC与AB的比叫做黄金比（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个）【题型6 黄金分割】【例6】（2020秋闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A4cmB6cmC8cmD10cm【解题思路】她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，利用黄金分割的定义得到6292+x0.618

30、，然后解方程即可【解答过程】解：一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得6292+x0.618，解得x8.3（cm）经检验x8.3为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳故选：C【变式6-1】（2021龙口市模拟）黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成个新的五边形MNPQR图中有很多顶角为36的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5-12若EM4，则AB25+2【解题思路】先根据多边形

31、内角和定理与正多边形的性质得出EDN为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出DE，即可得出结果【解答过程】解：五边形ABCDE是正五边形，ABDE，正五边形内角和（52）180540，EDCAEDBCD108，DENEDMMDNCDNDCN36，EMDM，EDNENDCMD72，DNDMEM4，EDN为黄金三角形，黄金三角形的底与腰之比为5-12，DNDE=5-12，DE=2DN5-1=245-1=25+2，AB25+2，故答案为：25+2【变式6-2】（2020秋市北区期末）如图，线段AB1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1BP1，即P1B2=AP1AB），点P2是线段AP1的黄

32、金分割点（AP2P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3P2P3），依此类推，则线段AP2020的长度是（）A(3-52)2020B(5-12)2020C(12)2020D(5-2)1010【解题思路】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值5-12叫做黄金比进行解答即可【解答过程】解：根据黄金比的比值，BP1=5-12，则AP11-5-12=3-52，AP2（3-52）2，AP3（3-52）3，依此类推，则线段AP2020的长度是（3-52）2020故选：A【变式6-3】 （2020秋平顶山期中）如果一个等腰三角

33、形的顶角为36，那么可求其底边与腰之比等于5-12，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形如图，在ABC中，ABAC1，A36，ABC看作第一个黄金三角形；作ABC的平分线BD，交AC于点D，BCD看作第二个黄金三角形；作BCD的平分线CE，交BD于点E，CDE看作第三个黄金三角形；以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（）A（5-12）2018B（5-12）2019C（3+52）2018D（3+52）2019【解题思路】由黄金三角形的定义得BC=5-12AB=5-12，同理：BCD是第二个黄金三角形，CDE看作第三个黄金三角形，则CD=5-12BC（5-12）2，得出规律，即可得出结论【解答

34、过程】解：ABAC1，A36，ABC是第一个黄金三角形，底边与腰之比等于5-12，即BCAB=5-12，BC=5-12AB=5-12，同理：BCD是第二个黄金三角形，CDE是第三个黄金三角形，则CD=5-12BC（5-12）2，即第一个黄金三角形的腰长为1（5-12）0，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为（5-12）1，第三个黄金三角形的腰长为（5-12）2，第2020个黄金三角形的腰长是（5-12）20201，即（5-12）2019，故选：B 专题6.2 平行线分线段成比例-重难点题型【苏科版】【知识点1 平行线分线段成比例定理】两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，

35、简称为平行线分线段成比例定理如图：如果，则， 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，【题型1 平行线分线段成比例（“#”字型）】【例1】（2021杭州一模）如图，直线l1l2l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F若ABBC=43，则DEDF的值为（）A43B34C37D47【变式1-1】（2021拱墅区模拟）如图，l1l2l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和D，E，F若ABBC=25，DE4，则DF的长为（）A10B203C12D14【变式1-2

36、】（2020秋密云区期末）如图，直线l1l2l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH若CD1，DE2，FG1.2，则GH的长为（）A0.6B1.2C2.4D3.6【变式1-3】（2020秋泰兴市期末）如图，ADBECF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB6，BC3，DF12，则DE的长为（）A4B6C8D9【题型2 平行线分线段成比例（“X”字型）】【例2】（2021春洪山区校级月考）如图，l1l2l3，则下列等式不成立的是（）AADDF=BCCEBAGAF=BGBECCGGE=

37、CDFEDAGGD=BCCE【变式2-1】（2020秋宝山区期中）如图，已知直线l1l2l3，如果DE：EF2：3，AC15，那么BC 【变式2-2】（2020江西一模）如图l1l2l3，若ABBC=32，DF10，则DE【变式2-3】（2020嘉兴模拟）如图，ABCDEF，AF与BE相交于点G，且AG2，GD1，DF5，那么BCBE的值等于 【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例如图：如果EF/BC，则， 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF/BC【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成

38、立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行【小结】推论也简称“A”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交AC于点，再证明与F重合即可【题型3 平行线分线段成比例定理的推论（“A”字型）】【例3】（2021春芝罘区期末）如图，已知点D为ABC边AB上一点，AD：AB2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE6，则EC的长度是（）A1B2C3D4【变式3-1】（2021深圳模拟）如图，ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DEFGBC，且AD：DF：FB3：2：1，若AG15，则EC的长为【变式3-2】（2020秋大邑县

39、期中）如图，在ABC中，DEBC，AD5，AB12，AE3，则AC的长是（）A365B215C20D15【变式3-3】（2021春芝罘区期末）如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且ACEFDB若BE5，BF3，AEBC，则BDAC的值为（）A23B12C35D25【题型4 平行线分线段成比例定理的推论（“8”字型）】【例4】（2020秋成华区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则BEEG的值为（）A12B13C23D34【变式4-1】（2020秋曹县期中）如图，ABCDEF，AD：DF3：2，BC6，则CE的长

40、为【变式4-2】如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，ABCDEF，如果CE2，EB5，AF3，那么AD 【变式4-3】如图所示，ABCDEF，AC与BD相交于点E，若CE4，CF3，AEBC，则CDAB的值是 【题型5 平行线分线段成比例（判断比例式）】【例5】（2021拱墅区二模）如图，已知点E、F分别是ABC的边AB、AC上的点，且EFBC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（）AAEAB=AHADBAEAB=EHHFCAEAB=EFBCDAEAB=HFCD【变式5-1】（2021春东平县期末）已知，在ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE

41、BC，DHAC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）AADDB=AEDHBCFDE=DHCGCFDFG=ECCGDCHBC=AEAC【变式5-2】（2020南召县二模）如图直线AB、CD、EF被直线a、b所截，若1100，2100，3125，455，下列结论错误的是（）AEFCDABBACCE=BDDFCABCD=ACDFDACAE=BDBF【变式5-3】如图，一组互相平行的直线a，b，c分别与直线l1，l2交于点A，B，C，D，E，F，直线l1，l2交于点O，则下列各式不正确的是（）AABBC=DEEFBABAC=DEDFCEFBC

42、=DEABDOEEF=EBFC【题型6 平行线分线段成比例（作辅助线）】【例6】（2021陕西模拟）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AFBE于F，连接DF，若AB6，DFBC，则CE的长度为（）A2B52C3D72【变式6-1】（2020秋宝山区月考）如图，ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则ECDE的值为（）A2B3C13D12【变式6-2】（2020秋江岸区校级月考）如图，ABC中，AD是中线，BE是角平分线，AD、BE交于点F若ABBC=32，则BEEF的值为（）A95B94C83D85【变式6-3】 （2020无锡）如图，在RtABC中，ACB90，AB4，点D，E分别在边AB