2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题5.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）（举一反三）（苏科版）含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题5.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！1（2021雅安）定义：mina，b=a(ab)b(ab)，若函数yminx+1，x2+2x+3，则该函数的最大值为（）A0B2C3D42（2021章丘区模拟）定义：对于二次函数yax2+（b+1）x+b2（a0），若存在自变量x0，使得函数值等于x0成立，则称x0为该函数的不动点，对于任意实数b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a的取值范

2、围为（）A0a2B0a2C2a0D2a03（2021岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y（xm）2m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（）A4，1B5-172，1C4，0D5+172，14（2020宁乡市一模）定义a，b，c为函数yax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为m1，m+1，2m的函数的一些结论，其中不正确的是（）A当m2时，函数图象的顶点坐标为（-32，-254）B当m1时，函数图象截x轴所得的线段长大于3C当m0时，函数在x12时，y随x的增大而增大

3、D不论m取何值，函数图象经过两个定点5（2020市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足yM，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界例如，函数y（x+1）2+2，y2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y2x+1（mxn，mn）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）Am13Bm13C13m12Dm126（2020秋思明区校级期末）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数yx2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的

4、取值范围是（）Ac3Bc-14C3c2D2c147（2020秋亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形已知点P是抛物线yx2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（）A16B4C12D188（2021河南模拟）新定义：a，b，c为二次函数yax2+bx+c（a0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：yx22x+3的“图象数”为1，2，3，若“图象数”是m，2m+4，2m+4的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A2B14C2或2D29（

5、2021春江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”如：B（3，0）、C（1，3）都是“整点”抛物线yax22ax+a+2（a0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A1a0B2a1C1a-12D2a010（2021深圳模拟）我们定义一种新函数：形如y|ax2+bx+c|（a0，b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数y|x22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）图象与坐标轴的交点为（1，0），（3，0）和（

6、0，3）；图象具有对称性，对称轴是直线x1；当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大；当x1或x3时，函数的最小值是0；当x1时，函数的最大值是4，A4B3C2D111（2021东安县模拟）“爱心是人间真情所在”！现用“”定义一种运算，对任意实数m、n和抛物线yax2，当yax2（m，n）后都可得到ya（xm）2+n当yx2（m，n）后得到了新函数的图象（如图所示），则nm 12（2021天宁区校级模拟）若定义一种新运算：ab=ab(a3b)2a-b-2(a3b)，例如：41414；5410424则函数y（x+3）（x+1）的最大值是 13（2020春江岸区校级月考）定义符号mina，b为

7、：当ab时，mina，bb；当ab时，mina，ba例如：min1，31，min2，12若关于x的函数yminx2+4x，kx2k+2的最大值为3，则k 14（2021武汉模拟）定义x轴上横坐标为整数的点叫“整点”，例如（1，0）、（3，0）都是“整点”已知抛物线y2x23ax+a2与x轴交于A、B两点，且抛物线对称轴位于y轴左侧，若线段AB上有2个“整点”（不包含A、B两点），则a的取值或取值范围是 15（2021秋康巴什期中）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（4，0），B（2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形

8、ABCD的“友好抛物线”若抛物线y2x2nxn21是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为 16（2021邗江区二模）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x0时，点P的变换点P的坐标为（x，y）；当x0时，点P的变换点P的坐标为（y，x）抛物线y（x2）2+n与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上若点P的变换点P在抛物线的对称轴上，且四边形ECPD是菱形，则满足该条件所有n值的和为 17（2021吴兴区校级三模）定义：如果二次函数yax2+bx+c的图象经过点（1，0），那么称此二次函数图象为“线性曲线”例如：二次函数y2x25x

9、7和yx2+3x+4的图象都是“线性曲线”若“线性曲线”yx2mx+12k与坐标轴只有两个公共点，则k的值 18（2021庆云县二模）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y），给出如下定义：若y=y(x0)-y(x0)，则称点Q为点P的“可控变点”请问：若点P在函数yx2+16（5xa）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y的取值范围是16y16，则实数a的值是 19（2021秋武汉月考）在平面直角坐标系中，将抛物线C1：yx2绕点（1，0）旋转180后，得到抛物线C2，定义抛物线C1和C2上位于2x2范围内的部分为图象C3若一次函数ykx+k1（k0）的图象与图象C3有两个交点，

10、则k的范围是： 20（2021九江二模）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线被称为：“直角抛物线”如图，直线l：y=15x+b经过点M（0，14），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1（x1，0）和A2（x2，0），第二个抛物线与x轴交点A2（x2，0）和A3（x3，0），以此类推，若x1d（0d1），当d为 时，这组抛物线中存在直角抛物线21（2020秋海淀区校级期末）已知函数y12kx+k与函数y2x22x+3，定义新函数yy2y1（

11、1）若k2，则新函数y ；（2）若新函数y的解析式为yx2+bx2，则k ，b ；（3）设新函数y顶点为（m，n）当k为何值时，n有大值，并求出最大值；求n与m的函数解析式22（2021雨花区一模）定义：对于给定函数yax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a0），则称函数y=ax2+bx+c，(x0)ax2-bx-c，(x0)为函数yax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a0）的“相依函数”，此“相依函数”的图象记为G（1）已知函数yx2+2x1写出这个函数的“相依函数” ；当1x1时，此相依函数的最大值为 ；（2）若直线ym与函数yx2+2x1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出

12、m的取值范围；（3）设函数y=-12x2+nx+1（n0）的相依函数的图象G在4x2上的最高点的纵坐标为y0，当32y09时，求出n的取值范围23（2021春东湖区校级月考）在直角坐标系xOy中，定义点C（a，b）为抛物线yax2+bx（a0）的特征点坐标（1）已知抛物线L经过点A（2，2）、B（4，0），则它的特征点坐标是 ；（2）若抛物线L1：yax2+bx的位置如图所示：抛物线L1：yax2+bx关于原点O对称的抛物线L2的解析式为 ；若抛物线L1的特征点C在抛物线L2的对称轴上，试求a、b之间的关系式；在的条件下，已知抛物线L1、L2与x轴有两个不同的交点M、N，当点C、M、N为顶点构

13、成的三角形是等腰三角形时，求a的值24（2021苏州二模）定义：如果二次函数ya1x2+b1x+c1（a10，a1，b1，c1是常数）与ya2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常数）满足a1+a20，b1b2，c1+c20，则这两个函数互为“N”函数（1）写出yx2+x1的“N”函数的表达式；（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数ykx（k0）的图象只有两个交点，求k的值；（3）如图，二次函数y1与y2互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y1与y2图象的顶点，C是“N”函数y2与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC，若点A（2，1）且ABC为直角三角形，求点C的坐标25

14、（2021长沙模拟）定义：若函数yx2+bx+c（c0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴的交点C的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xAyC（或xByC），则称该函数为“M函数”如图，函数yx2+2x3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为3，满足xAyC，则称yx2+2x3为“M函数”（1）判断yx24x+3是否为“M函数”，并说明理由；（2）请探究“M函数”yx2+bx+c（c0）表达式中的b与c之间的关系；（3）若yx2+bx+c是“M函数”，且ACB为锐角，求c的取值范围26（2020秋任城区期末）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习

15、时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数ya1x2+b1x+c1（a10，a1，b1，c1是常数）与ya2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常数）满足a1+a20，b1b2，c1+c20，则这两个函数为“旋转函数”求函数y2x23x+1的旋转函数小明是这样思考的，由函数y2x23x+1可知，a12，b13，c11，根据a1+a20，b1b2，c1+c20，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数yx24x+3的旋转函数；（2）若函数y5x2+（m1）x+n与y5x2nx3互为旋转函数，求（m+n）2021的值（3）已知函数y2（x1）

16、（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y2（x1）（x+3）互为“旋转函数”27（2021北仑区一模）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，3），抛物线C2的解析式为ymx2+4mx12m，（m0）（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线”，直接写出两

17、条抛物线的解析式；（2）求M，N两点的坐标；（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得PAM的面积最大？若存在，求出PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由28（2021开福区模拟）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x0时，它们对应的函数值互为相反数；当x0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数例如：一次函数yx1，它们的相关函数为y=-x+1(x0)x-1(x0)（1）已知点A（5，8）在一次函数yax3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数yx2+4x-12当点B（m，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；当3x3时，求函数

18、yx2+4x-12的相关函数的最大值和最小值29（2021春海曙区校级期末）定义：若二次函数yax2+bx+c（ac0）与x轴的两个不同交点A、B的横坐标为xA、xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA、xB中至少存在一个值，满足xAyC（或xByC），则称该函数为和谐函数例如，函数yx2+2x3就是一个和谐函数（1）判断yx24x+3是否为和谐函数，答： （填“是”或“不是”）；（2）请探究和谐函数yax2+bx+c表达式中的a、b、c之间的关系；（3）若yx2+bx+c是和谐函数，当ACB90时，求出c的值；（4）若和谐函数yx2+2x3交x轴于点A、B两点，点P（0，m）是y轴正半轴上一点

19、，当APB45时，直接写出m的值 30（2021春渝北区校级月考）如图，定义：直线l：ymx+n（m0，n0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将AOB绕着点O逆时针旋转90得到COD，过点A、B、D的抛物线P叫作直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线l叫做P的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”（1）若l：y2x+2，则纠缠抛物线P的函数解析式是 （2）判断并说明y2x+2k与y=-1kx2x+2k是否“互为纠缠线”（3）如图，若纠缠直线l：y2x+4，纠缠抛物线P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上，当以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标专题

20、5.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！1（2021雅安）定义：mina，b=a(ab)b(ab)，若函数yminx+1，x2+2x+3，则该函数的最大值为（）A0B2C3D4【解题思路】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解【解答过程】解：x+1x2+2x+3，解得x1或x2y=x+1(-1x2)-x2+2x+3(x-1或x2)，把x2代入yx+1得y3，函数最大值为y3故选：C2（2021章丘区模拟）定义：对于二次函数yax2+（b+1）

21、x+b2（a0），若存在自变量x0，使得函数值等于x0成立，则称x0为该函数的不动点，对于任意实数b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a的取值范围为（）A0a2B0a2C2a0D2a0【解题思路】设x为不动点，使yx，可得关系式ax2+bx+b20，由恒有两个相异的不动点知0，即得a的取值范围【解答过程】由题意可知方程xax2+（b+1）x+b2（a0），恒有两个不相等的实数解，则b24a（b2）b24ab+8a0，对任意实数b恒成立，把b24ab+8a看作关于b的二次函数，则有1（4a）248a16a232a16a（a2）0，令16a（a2）0，解得a0或a2，当a2时，16a0，a20，

22、即16a（a2）0，当a0时，16a0，a20，即16a（a2）0，0a2时，16a0，a20，即16a（a2）0，即16a（a2）0的解集，解得0a2，故选：A3（2021岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y（xm）2m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（）A4，1B5-172，1C4，0D5+172，1【解题思路】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次

23、经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值【解答过程】解：如图，由题意可得，互异二次函数y（xm）2m的顶点（m，m）在直线yx上运动，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），B（2，2），从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值当互异二次函数y（xm）2m经过点A（0，2）时，m2，或m1；当互异二次函数y（xm）2m经过

24、点B（2，2）时，m=5-172或m=5+172互异二次函数y（xm）2m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是5+172，1故选：D4（2020宁乡市一模）定义a，b，c为函数yax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为m1，m+1，2m的函数的一些结论，其中不正确的是（）A当m2时，函数图象的顶点坐标为（-32，-254）B当m1时，函数图象截x轴所得的线段长大于3C当m0时，函数在x12时，y随x的增大而增大D不论m取何值，函数图象经过两个定点【解题思路】A、把m2代入m1，1+m，2m，求得a，b，c，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B、首先求得对称轴，利用二次函数的性

25、质解答即可；C、当x大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y随x增大而减小正确；B、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答【解答过程】解：因为函数yax2+bx+c的特征数为m1，m+1，2m；A、当m2时，yx2+3x4（x+32）2-254，顶点坐标是（-32，-254）；此结论正确；B、当m1时，令y0，有（m1）x2+（1+m）x2m0，解得，x11，x2=-2mm-1，|x2x1|=3m-1m-13，所以当m1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；C、当m0时，y（m1）x2+（1+m）x2m 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=-m+12(m

26、-1)，在对称轴的左边y随x的增大而增大，因为当m0时，-m+12(m-1)=-m-1+22(m-1)=-12-1m-1-12，即对称轴在x=-12右边，可能大于12，所以在x12时，y随x的增大而减小，此结论错误；D、因为y（m1）x2+（1+m）x2m0 即（x2+x2）mx2+x0，当x2+x20时，x1或2，抛物线经过定点（1，0）或（2，6），此结论正确，故选：C5（2020市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足yM，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界例如，函数y（x+1）2+2，y2，因此是有上界

27、函数，其上确界是2，如果函数y2x+1（mxn，mn）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）Am13Bm13C13m12Dm12【解题思路】根据函数的上确界和函数增减性得到2m+1n，函数的最小值为2n+1，根据mn，函数的最小值不超过2m，列不等式求解集即可【解答过程】解：在y2x+1中，y随x的增大而减小，上确界为2m+1，即2m+1n，函数的最小值是2n+12m，解得m12，mn，m2m+1解得m13，综上，m13故选：B6（2020秋思明区校级期末）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数yx2+2x+c（c为

28、常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（）Ac3Bc-14C3c2D2c14【解题思路】设a是二次函数yx2+2x+c的不动点，则a2+a+c0，根据二次函数yx2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则0，a11，a21，即有14c0，且（a11）+（a21）0，（a11）（a21）0，即可解得2c14【解答过程】解：设a是二次函数yx2+2x+c的不动点，则aa2+2a+c，即a2+a+c0，二次函数yx2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点

29、，关于a的方程a2+a+c0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则a1+a21，a1a2c，0，a11，a21，14c0，且（a11）+（a21）0，（a11）（a21）0，由得c14，a1+a21，总成立，由得：a1a2（a1+a2）+10，即c（1）+10，c2，综上所述，c的范围是2c14，故选：D7（2020秋亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形已知点P是抛物线yx2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可

30、以是（）A16B4C12D18【解题思路】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，n的方程，求解m，n即可【解答过程】解：点P（m，n）是抛物线yx2+k上的点，nm2+k，knm2，点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，2|m|+2|n|mn|16，|m|4，|n|4，当n0时，knm241612；当n0时，knm241620；故选：C8（2021河南模拟）新定义：a，b，c为二次函数yax2+bx+c（a0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：yx22x+3的“图象数”为1，2，3，若“图象数”是m，2m+4，2m+4的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A2B1

31、4C2或2D2【解题思路】根据新定义得到二次函数的解析式为ymx2+（2m+4）x+2m+4，然后根据判别式的意义得到（2m+4）24m（2m+4）0，从而解m的方程即可【解答过程】解：二次函数的解析式为ymx2+（2m+4）x+2m+4，根据题意得（2m+4）24m（2m+4）0，解得m12，m22，故选：C9（2021春江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”如：B（3，0）、C（1，3）都是“整点”抛物线yax22ax+a+2（a0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的

32、取值范围是（）A1a0B2a1C1a-12D2a0【解题思路】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得m的取值范围【解答过程】解：抛物线yax22ax+a+2（a0）化为顶点式为ya（x1）2+2，故函数的对称轴：x1，M和N两点关于x1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：当x0时，ya+20a+21当x1时，y4a+20即：0a+214a+20，解得2a1故选：B10（2021深圳模拟）我们定

33、义一种新函数：形如y|ax2+bx+c|（a0，b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数y|x22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）图象与坐标轴的交点为（1，0），（3，0）和（0，3）；图象具有对称性，对称轴是直线x1；当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大；当x1或x3时，函数的最小值是0；当x1时，函数的最大值是4，A4B3C2D1【解题思路】由（1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y|x22x3|知是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x1，也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当

34、1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y0，求出相应的x的值为x1或x3，因此也是正确的；从图象上看，当x1或x3，函数值要大于当x1时的y|x22x3|4，因此时不正确的；逐个判断之后，可得出答案【解答过程】解：（1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y|x22x3|，是正确的；从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x1，因此也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y0，求出相应的x的值为x1或x3，因

35、此也是正确的；从图象上看，当x1或x3，存在函数值要大于当x1时的y|x22x3|4，因此是不正确的；故选：A11（2021东安县模拟）“爱心是人间真情所在”！现用“”定义一种运算，对任意实数m、n和抛物线yax2，当yax2（m，n）后都可得到ya（xm）2+n当yx2（m，n）后得到了新函数的图象（如图所示），则nm2【解题思路】此题是阅读分析题，解题时首先要理解题意，再根据图象回答即可【解答过程】解：根据题意得yx2（m，n）是函数y（xm）2+n；由图象得此函数的顶点坐标为（1，2），所以此函数的解析式为y（x1）2+2m1，n2nm212故答案是：212（2021天宁区校级模拟）若定

36、义一种新运算：ab=ab(a3b)2a-b-2(a3b)，例如：41414；5410424则函数y（x+3）（x+1）的最大值是3【解题思路】根据新运算的定义，对（x+3）和3（x+1）的大小进行比较，列出不同的情况分类讨论，得到不同的函数表达式求出最值即可【解答过程】解：由题可得，当x+33（x+1）时，即：x0，y（x+3）（x+1）x2+2x+3（x1）2+4由抛物线性质可得，当x1时，y随x的增大而增大，只有当x0时，y的最大值为y3；当x+33（x+1）时，即：x0，y2（x+3）（x+1）23x+330，y随x的增大而减小，当x0时，y30+33x0，y3，综上得y3故函数y（x+

37、3）（x+1）的最大值是313（2020春江岸区校级月考）定义符号mina，b为：当ab时，mina，bb；当ab时，mina，ba例如：min1，31，min2，12若关于x的函数yminx2+4x，kx2k+2的最大值为3，则k1或1【解题思路】画出函数yx2+4x和ykx2k+2的图象，当y3时，x1或3，得到（1，3）、（3，3），将两个点坐标代入一次函数表达式即可求解【解答过程】解：画出函数yx2+4x和ykx2k+2的图象如下：令yx2+4x3，解得x1或3，即过点（1，3）、（3，3），函数yminx2+4x，kx2k+2的最大值为3，将（1，3）代入ykx2k+2得：3k2k+

38、2，解得k1，将（3，3）代入ykx2k+2得：33k2k+2，解得k1，故k1或1，故答案为1或114（2021武汉模拟）定义x轴上横坐标为整数的点叫“整点”，例如（1，0）、（3，0）都是“整点”已知抛物线y2x23ax+a2与x轴交于A、B两点，且抛物线对称轴位于y轴左侧，若线段AB上有2个“整点”（不包含A、B两点），则a的取值或取值范围是a6或5a4或4a3【解题思路】由抛物线解析式求得xAa，xB=12a根据“整点”的定义可以得到：n-1an(1)n+112an+2(2)，解不等式组即可【解答过程】解：抛物线对称轴位于y轴左侧，a0，假设A在B左侧，可求得xAa，xB=12a设线段

39、AB之间的2个“整点”为n、n+1，则n-1an(1)n+112an+2(2)，将（2）化简得2（n+1）a2（n+2）（3），对照（1）、（3）得n12（n+2）且2（n+1）n，5n2，n5或4或3，当n5时，a6；当n4时，5a4；当n3时，4a3综上所述，a的取值或取值范围是a6或5a4或4a3故答案是：a6或5a4或4a315（2021秋康巴什期中）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（4，0），B（2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”若抛物线y2x2nxn21是正方形ABCD的“友

40、好抛物线”，则n的值为3或6【解题思路】根据正方形的性质得出另外两个顶点C、D的坐标，继而得出对角线的交点P的坐标，代入解析式求解可得【解答过程】解：点A（4，0）、B（2，0），点C（4，2）、D（2，2），则对角线AC、BD交点P的坐标为（3，1），根据题意，将点P（3，1）代入解析式y2x2nxn21，得：18+3nn211，整理，得：n23n180，解得：n3或n6，故答案为：3或616（2021邗江区二模）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P的坐标为（x，y），当x0时，点P的变换点P的坐标为（x，y）；当x0时，点P的变换点P的坐标为（y，x）抛物线y（x2）2+n与x轴

41、交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E，点P在该抛物线上若点P的变换点P在抛物线的对称轴上，且四边形ECPD是菱形，则满足该条件所有n值的和为 13【解题思路】利用菱形的性质，可知E，P关于x轴对称，分两种情形分别构建方程即可解决问题【解答过程】解：四边形ECPD是菱形，点E与点P关于x轴对称点E的坐标为（2，n），点P的坐标为（2，n）当点P在y轴左侧时，点P的坐标为（2，n）代入y（x2）2+n，得n（22）2+nn8当点P在y轴右侧时，点P的坐标为（n，2）代入y（x2）2+n，得2（n2）2+nn12，n23综上所述，n的值是n8，n2，n382313故答案为：1317（2021吴兴区校级三模）定义：如果二次函数yax2+bx+c的图象经过点（1，0），那么称此二次函数图象为“线性曲线”例如：二次函数y2x25x7和yx2+3x+4的图象都是“线性曲线”若“线性曲线”yx2mx+12k与坐标轴只有两个公共点，则k的值0或12【解题思路】抛物线与y轴一定有一个公共点，根据新定义得到抛物线yx2mx+12k经过