专题02 五大类数列题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）含解析.pdf

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1、更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君bkaann1专题 02 五大类数列题型-2024 年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（原卷版）专题 02 五大类数列题型-2024 年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（原卷版）【题型题型 1 错位相减求和无需错位直接出答案】错位相减求和无需错位直接出答案】【题型【题型 2 裂项相消巧妙变形问题】裂项相消巧妙变形问题】【题型【题型 3 分组求和必记常见结论】分组求和必记常见结论】【题型【题型 4 含含n1类求和问题】类求和问题】【题型【题型 5 含绝对值求和问题】含绝对值求和问题】数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：数列求和之前需

2、要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下：当高考数列大题出现na与 1na或na与1na递推关系且关系式中系数为 1 时，应遵循以下步骤 第一步：作差作差 第二步：列举列举 第三步：求和求和 简称知差求和注意：列举时最后一项必须是注意：列举时最后一项必须是1nnaa已知已知 na 的首项，的首项，11a，naann21（）求（）求na通项公式。通项公式。*Nn)(1nfaann更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君当高考数列大题出现na与 1na或na与1na递推关系且关系式中系数不为 1 时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列寻找新的等比数列

3、 第三步：求新数列的通项求新数列的通项 第四步 反解反解na简称构造法结论结论:1111 kbkkbaann已知数列已知数列 na中,中,11a,121(2)nnaan,求,求 na的通项公式.的通项公式.bankaann1 当高考数列大题出现na与 1na或na与1na递推关系，关系式中系数不为 1 且还存在 n 时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列寻找新的等比数列 第三步：求新数列的通项求新数列的通项 第四步 反解反解na简称构造法结论结论:BAnkBAaann11已知：，时，求的通项公式。nnnqkaa111a2n12211naannna更多全科

4、试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君当高考数列大题出现na与 1na或na与1na递推关系，关系式中系数不为 1 且还存在指数时，应遵循以下步骤 第一步：等式两边直接同除以等式两边直接同除以nnqq或1 第二步：寻找新的数列寻找新的数列 第三步：秒求所配系数秒求所配系数 第四步：寻找新的等比数列寻找新的等比数列 第五步：求新数列的通项求新数列的通项 第六步 反解反解na简称直接除+构造法结论：结论：nnnqca 已知中，（）求。nnnqapaa12nnnaBaAa12型，可化为)(112nnnnaaaa的形式。待定系数法，其中AB满足、在数列在数列na中，中，2,121aa，当，当Nn

5、，nnnaaa6512 求通项公式 求通项公式na.na11annnaa2212nna更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型题型 1 错位相减求和无需错位直接出答案错位相减求和无需错位直接出答案错位相减；错位相减；形式必须是形式必须是nnCBAna则CCACBCCACBCAnSnn21211111求和：132)12(7531 nnxnxxxS已知数列 na的前n项和为nS，且21nnS（1）求 na的通项公式；（2）若21nnbna，求数列 nb的前n项和nT1已知各项均为正数的数列na满足2218nnaan，且11a.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1

6、)写出2a，3a，并求na的通项公式；(2)记14,2,nnana nbn为奇数为偶数求1 23 45 615 16bbb bb bb bL.2记 23*2,nnSxxxxxxnRNL.(1)当2x 时，2nS为数列 na的前n项和，求 na的通项公式；(2)记 2024Sx是 2024Sx的导函数，求 20242S.3设 na是等差数列，nb是各项均为正数的等比数列，241121,7,2nnaaaba，3540bb(1)求数列 na与 nb的通项公式；(2)数列 ,nnab的前n项和分别为,nnS T；（）证明1111niiiiaS S；（）求211niiiiTS4已知数列 na中，()*1

7、12311111,1N23nnaaaaaann+=+=-L.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)求数列 na的通项公式；(2)令2nnnba，记nT为 nb的前n项和，证明：3n 时，124nnTn.5设等比数列 na的前 n 项和为nS，112a，6387SS(1)求na；(2)设12lognnnaba，求数列 nb的前 n 项和nT6已知数列 na的前n项和为23322nSnn.(1)求na；(2)若32nannba，求数列 nb的前n项和nT.7设数列 na满足：12a，1244nnaan(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列3nnna的前 n 项和nS更多全科

8、试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君8已知nS是各项均为正数的数列 na的前n项和，21nnnSaa.(1)求数列 na的通项公式；(2)设2nnnba，求数列 nb的前n项和nT.裂项相消巧妙变形问题裂项相消巧妙变形问题裂项相消求和裂项相消求和)()1(nfnfan nnnntan)1tan()1cos(cos1sin111)1(1nnnnan )121121(211)12)(12()2(2nnnnnan)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnannnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则)11(1)(1CAnB

9、AnBCCAnBAnan11111nannababnnab，nnnnaaaanlog1log1log 1211211212211nnnnnna更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君在数列na中，11211 nnnnan，又12nnnaab，求数列nb的前n项的和.求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12 已知1lgnnannN*，若数列 na的前n项和2nS，则n _1已知 na是等差数列，14a，且5554,6aa a成等比数列(1)求 na的通项公式；(2)若数列 nb满足11nnnnnbbab b，且112b，求 nb的前n项和nT

10、更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2在正项等比数列 na中，132420324aaa a，.(1)求 na的通项公式：(2)已知函数 21f xxx，数列 nb满足：111nnbbf bn*N，.（i）求证：数列nb为等差数列，并求 nb的通项公式（ii）设nnncab，证明：11117142nkkncc，*nN3已知各项均为正数的等比数列na，满足132163aa，23642a aa(1)求数列na的通项公式；(2)设21lognniiba，数列1nb的前 n 项和为nT求证：21nT 4已知nS为公差不为 0 的等差数列 na的前n项和，且*21,nnaanRN(1)求的

11、值；(2)若424SS，求证：1223111112nna aa aa aL更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君5已知数列 na的前n项和为12nn nS.(1)求数列 na的通项公式na；(2)记11nnnba a，求数列 nb的前n项和.6已知nS是数列 na的前n项和，12a，nSn是公差为 1 的等差数列.(1)求数列 na的通项公式；(2)证明：1223111114nna aa aa a.7已知数列 na的前n项和为nS，且*22NnnSan(1)求数列 na的通项公式；(2)若221lognnba，11nnncb b，求证：12312nccccL，更多全科试卷及资料在

12、网盘群，请关注公众号：高中试卷君试求k的最小值.3已知nS为数列 na的前 n 项和，且满足2nnSar，其中Rr，且0r(1)求数列 na的通项公式；(2)设1(1)nnnSbr，若对任意的*Nn，都有21211nniiiibmb，求实数 m 的取值范围4已知数列 na满足11a，11,3,nnnanaa n为奇数为偶数，且2121nnnbaa(1)证明 nb为等比数列，并求数列 nb的通项公式；(2)设155nnnbcb，且数列 nc的前n项和为nT，证明：当2n 时，111333ln12 331nnnnTn5已知数列 na满足11221 22nnaanan.(1)求 na的通项公式；(2

13、)设211nnnbaa，证明：1243nbbb.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君6已知数列 na满足*111,235,nnaaannN.(1)设2nnban，证明：nb是等比数列；(2)求数列 na的前n项和nS.7在等差数列 na中，341184aaa，733a.(1)求数列 na的通项公式；(2)若记)N(kb k为 na中落在区间25,5kk内项的个数，求 kb的前 k 项和kT.8已知数列 na是正项等比数列，其前 n 项和为nS，且2416a a，5324SS(1)求 na的通项公式；(2)记2lognnaa的前 n 项和为nT，求满足2024nT 的最大整数 n

14、含含n1类进行求和问题类进行求和问题更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为 nfann1的摆动数列na前n项和的步骤如下：第一步：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时，1nnaa的表达式；第二步：第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由 nnnaaaaaaaaS1654321L求出nS；第三步：第三步：当n为奇数且1n时，由nnnaSS1求出nS，特别注意对1n时要单独讨论，即1S要单独求出.第四步：第四步：将1S代入当n为奇数且1n时nS的表达式进行检验，如

15、果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示已知数列na的通项公式nna1，求数列na的前n项和nS.已知数列na的通项公式nannn321，求数列na的前n项和nS.1已知nS为数列 na的前 n 项和，且满足2nnSar，其中Rr，且0r 更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(1)求数列 na的通项公式；(2)设1(1)nnnSbr，若对任意的*Nn，都有21211nniiiibmb，求实数 m 的取值范围2已知数列 na是递增数列，前n项和为nS，11a 且当2n 时，12nnnSSa.(1)求数列 na的通项公式；(2)设121nnnb

16、a，求数列 nb的前n项和nT.3在数列 na中，1232,6,12aaa，且数列1nnaa是等差数列.(1)求 na的通项公式；(2)若(1)nnnba，设数列 nb的前n项和为nT，求20T.4已知数列 na满足：11a，1434nnnaaa.(1)求证：数列1na是等差数列，并求数列 na的通项公式；(2)设111nnnnba a，求数列 nb的前 20 项和20T.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君5设nS是数列 na的前n项和，且321nnaS.(1)求数列 na的通项公式；(2)设13(1)lognnnba，求数列 nb的前n项和nT.6已知 na是等比数列，满足

17、12a，且234,2,a aa成等差数列，数列 nb满足*123111223nbbbbn nnNL(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设(1)nnnncab，求数列 nc的前2n项和2nS：(3)设nnnda b，求数列 nd的前n项和nT7在等差数列 na中，31313,53aa.(1)求 na的通项公式；(2)求数列2(1)nna 的前n项和nS.8已知 na是等比数列，满足12a，且234,2,a aa成等差数列，数列 nb满足更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君*123111223nbbbbn nnNL.(1)求 na和 nb的通项公式；(2)设(1)nnnncab

18、，求数列 nc的前 n 项和nS.含绝对值求和问题含绝对值求和问题给出数列na，要求数列na的前n项和，必须分清n取什么值时00nnaa如果数列如果数列na为等差数列，为等差数列，nS为其前为其前n项和，项和，12nnTaaa那么有：那么有：若0,00011，kkaada则有 knSSknSTnknn,2,若0,00011，kkaada则有knSSknSTknnn,2,如果数列如果数列na为等比数列，为等比数列，nS为其前为其前n项和，项和，12nnTaaa那么有：那么有：qqaaqqaTnnn11)1(11已知各项都为正数的等比数列已知各项都为正数的等比数列 na，232a，3458a a

19、a.(1)求数列(1)求数列 na的通项公式；的通项公式；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(2)设(2)设2lognnba，123nnTbbbbL，求，求nT.已知等差数列已知等差数列na的首项为的首项为 6，公差为，公差为d，且，且134,2,2a aa成等比数列.成等比数列.（1）求（1）求na的通项公式；的通项公式；（2）若（2）若0d，公比0,1q，且153528225a aa aa a，又3a与5a的等比中项为 2.(1)求数列 na的通项公式；(2)若2lognnba，求nb的前n项和nT.6已知等差数列 na的公差为整数，39a，设其前 n 项和为nS，且1n

20、nSa是公差为12的等差数列(1)求 na的通项公式；(2)若2180nnba，求数列nb的前 n 项和nT7在等差数列 na中，已知公差0d，所以，当1n 时，22218aa，222189aa，所以23a.当2n 时，22328 2aa，22321625aa，所以35a.当2n 时，22222222112211nnnnnaaaaaaaa81828 1 1nn 8 1211n1812n n 2(21)n，所以21nan当1n 时，11a 也符合上式.综上，*21nannN解法二：因为2218nnaan，11a，0na，所以，当1n 时，22218aa，222189aa，所以23a.当2n 时，

21、22328 2aa，22321625aa，所以35a.因为2218nnaan，所以22221(21)(21)nnaann，即22221(21)(21)nnanan.所以2222211(21)(23)10nnanana，即22(21)nan.又0na，所以*21nannN（2）解法一：由（1）得21 1421,2,nnnnbn 为奇数为偶数，即221,2,nnnnbn为奇数为偶数更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君记1 23 45 615 16Sbbb bb bb b则123781 25 29 225 229 2S ，2378921 25 221 225 229 2S -，得27

22、1238992121 24 24 24 229 22429 21281412S ，所以12814S，故1 23 45 615 1612814bbb bb bb b.解法二：由（1）得21 1421,2,nnnnbn 为奇数为偶数，即221,2,nnnnbn为奇数为偶数.记1 23 45 615 16Sbbb bb bb b，则123456781 25 29 213 217 221 225 229 2S 22072208544 13443200742412814.故1 23 45 615 1612814bbb bb bb b.2记 23*2,nnSxxxxxxnRN.(1)当2x 时，2nS为数

23、列 na的前n项和，求 na的通项公式；(2)记 2024Sx是 2024Sx的导函数，求 20242S.【答案】(1)0,1,2,2.nnnan(2)202420242023 21.(2)S【详解】（1）当1n 时，1120aS.当2n 时，221122222222222nnnnnnaSS.又当1n 时，10a 不满足上式，所以012,2nnnan，（2）23202420242,SxxxxxQ 2202320241232024.Sxxxx 更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君 220232024212 23 22024 2S 2320242024222 23222024 2S

24、 -得，220232024202421 1 2 1 21 22024 2S 2024202420241 22024 22023 21.1 2 2024202422023 21.S3设 na是等差数列，nb是各项均为正数的等比数列，241121,7,2nnaaaba，3540bb(1)求数列 na与 nb的通项公式；(2)数列 ,nnab的前n项和分别为,nnS T；（）证明1111niiiiaS S，则11naand，11nnbbq，因为221nnaa，可得11221211ad nadn，解得11ad，又因为4137aad，可得1a1,d2=，又由112ba且3540bb，可得11241122

25、40babqbq，解得2q=（负值舍去），所以21,2nnnanb.（2）（）证明：由21nan，可得122nnn aaSn，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以122221211111nnnanS Snnnn，则122222211111111(1)()11223(1)(1)niiiiaS Snnn.（）解：由2nnb，可得12(1 2)221 2nnnT，则21221212211nnnnnnTSTS 2212222122 221 22nnnnnn，可得1213 45 4214214nnnAnn ，则23143 45 4214214nnnAnn ，两式相减得2313122

26、444214nnnAn，2114(1 4)1221 4214nnn 141(61)433nn，所以14161 499nnAn，即21141161 4299niniiiTSnn 4已知数列 na中，()*112311111,1N23nnaaaaaann+=+=-.(1)求数列 na的通项公式；(2)令2nnnba，记nT为 nb的前n项和，证明：3n 时，124nnTn.【答案】(1)nan(2)证明见解析【详解】（1）因为1231111123nnaaaaanL，所以1231211111231nnnaaaaaann+=-+，作差可得12111nnnaaan+=-，变形为12111nnnanana

27、，即121=2nnanna+，即3123422 313 42nnaaanaaan+=+，化简为2222naan+=+，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君因为1122211,122aaaaa=+=-=，所以22nan，因为122122nnnnnanaananann+=+，所以数列 na的通项公式为nan.（2）因为22nnnnban，所以21 22 22nnTn ，23121 22 22nnTn+=+，作差可得2112 122222212nnnnnTnn ，所以11 22nnTn，1111241 2224242nnnnnTnnnn，设 2 242,3xf xxx ，则 2 2

28、ln24xfx 在给定区间上递减，又 316 ln240f 故 f x在3,是减函数，4max324 3220f xf ，所以当3n 时，124nnTn，11nnaa数列 na是首项为 1、公差为 1 的等差数列，nan.（2）由（1）知，22nnnnban，231 2223 22nnTn ，23121 22 21 22nnnTnn ，两式相减得，23122222nnnTn12 1 221 2nnn 1122nn11 22nnTn裂项相消巧妙变形问题裂项相消巧妙变形问题裂项相消求和裂项相消求和)()1(nfnfan nnnntan)1tan()1cos(cos1sin111)1(1nnnnan

29、 )121121(211)12)(12()2(2nnnnnan更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnannnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则)11(1)(1CAnBAnBCCAnBAnan11111nannababnnab，nnnnaaaanlog1log1log 1211211212211nnnnnna在数列na中，11211 nnnnan，又12nnnaab，求数列nb的前n项的和.解：第一步：裂项第一步：裂项 211211nnnnnan )111(82122

30、nnnnbn 第二步：裂项求和第二步：裂项求和 数列nb的前n项和 )111()4131()3121()211(8 nnSn )111(8n 18nn求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12 证明：第一步：裂项第一步：裂项更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 Snnnntan)1tan()1cos(cos1sin 第二步：裂项求和第二步：裂项求和 89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 S88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan

31、1(tan1sin1S)0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2 原等式成立已知1lgnnannN*，若数列 na的前n项和2nS，则n _解：第一步：裂项第一步：裂项因为1lglg1lgnnannn，第二步：裂项求和第二步：裂项求和所以123nnSaaaa lg2lg1lg3lg2lg4lg3lg1lglg12nnn，因此1100n，即99n.1已知 na是等差数列，14a，且5554,6aa a成等比数列(1)求 na的通项公式；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(2)若数列 nb满足11nnnnnbbab b，且112b，求 nb的前n项和nT

32、【答案】(1)22nan(2)1nnTn【详解】（1）因为5554,6aa a成等比数列，所以255546aaa，解得512a 又 na是等差数列，14a，所以公差5124aad，故1122naandn.（2）由11nnnnnbbab b，得111nnnabb，所以11112nnnanbb,又112b,当2n 时，11221111111111nnnnnbbbbbbbb12111(1)(2)4(1)2212nnnnaaann nb,又112b 也适合上式，所以11nn nb,则11111nbn nnn,所以11111111223111nnTnnnn L.2在正项等比数列 na中，13242032

33、4aaa a，.(1)求 na的通项公式：(2)已知函数 21f xxx，数列 nb满足：111nnbbf bn*N，.（i）求证：数列nb为等差数列，并求 nb的通项公式（ii）设nnncab，证明：11117142nkkncc，*nN更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【答案】(1)12 3nna(2)（i）证明见解析，2nbnn*N；（ii）证明见解析【详解】（1）因为正项等比数列 na中，2243324a aa，所以318a.又因为1320aa，所以12a，进而公比3q，所以12 3nna.（2）（i）因为 2211f xxxx，所以211nnnbf bb，所以11Nn

34、nbbn*，所以数列nb是以11b 为首项，公差为 1 的等差数列.所以nbn，即2Nnbnn*.（ii）122 3nnnncabn.当1n 时，左式121132cc，右式2713422c，左式右式.当2n 时，2122122 31112 32 32 31kkkkkkckkk 221122 31114 3212 32 31kkkkkkkk下面先证明212 3134 3212nnnn，1nnAA，*Nn，又11A，0nA，即14 3210nn，又221130224nnn，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以2211312 3212 313224 3214 3212nnnnnn

35、nnnn.221122 311114 3212 32 31kkkkkkckkk2123112 2 32 31kkkk.所以2122212113111112 2 322 332 32 31nnnkkcnn 212131173112 2 32422 31nncn.即11117142nkkncc.综上：当Nn*时，11117142nkkncc.3已知各项均为正数的等比数列na，满足132163aa，23642a aa(1)求数列na的通项公式；(2)设21lognniiba，数列1nb的前 n 项和为nT求证：21nT 【答案】(1)12nna；(2)证明见详解.【详解】（1）记数列na的公比为q，

36、则211252611121632aa qa qa qa q，解得112aq，所以12nna.（2）由（1）可得，221loglog2nnan，所以2111log2nnniiin nbai，所以122211nbn nnn ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以22222222221223111nTnnnn ，因为*nN，所以2011n，所以22211n ，即21nT .4已知nS为公差不为 0 的等差数列 na的前n项和，且*21,nnaanRN(1)求的值；(2)若424SS，求证：1223111112nna aa aa a【答案】(1)2(2)证明见解析【详解】（1）解法

37、一：设 na的公差为0d d，由21nnaa，得2211nnaa，则-得2221nnnnaaaa，即2dd，又0d，则2；解法二：设 na的公差为0d d，因为21nnaa，所以112111andand对*n N恒成立，即12110dnad 对*n N恒成立，所以120110dad，又0d，则2；（2）由424SS得11464 2adad，即12ad，所以11112naanda na，又221nnaa即111142 21a naa na，则11a，因此21nan，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君则122311111111 33 52121nna aa aa ann11111

38、111111233521212212nnn5已知数列 na的前n项和为12nn nS.(1)求数列 na的通项公式na；(2)记11nnnba a，求数列 nb的前n项和.【答案】(1)nan(2)1nn【详解】（1）Q数列的前n项和为(1)2nn nS，当1n 时1111 112aS，当2n 时112nn nS，所以1(1)(1)22nnnn nn naSSn，又当1n 时，nan也成立，数列 na的通项公式为nan.（2）由（1）可得1111111nnnba an nnn，设数列 nb的前n项和为nT，则123nnTbbbb111111111122334111nnnnn .6已知nS是数列

39、 na的前n项和，12a，nSn是公差为 1 的等差数列.(1)求数列 na的通项公式；(2)证明：1223111114nna aa aa a.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【答案】(1)2nan(2)证明见解析【详解】（1）因nSn是公差为 1 的等差数列，而12a，则121S，因此2(1)11nSnnn，即1nSn n，当2n时，1112nnnaSSn nnnn，经检验，12a 满足上式，所以 na的通项公式是2nan.（2）由（1）知：111111 112224141nna annn nnn，所以12231111111111142231nna aa aa ann11

40、11414n.7已知数列 na的前n项和为nS，且*22NnnSan(1)求数列 na的通项公式；(2)若221lognnba，11nnncb b，求证：12312ncccc，11121n，11112212n，故12312ncccc，试求k的最小值.【答案】(1)nan(2)11【详解】（1）依题意222nnSnann，当2n 时，211221(1)1nnSnann，.两式相减得1222122nnnananan，即1110nnnaa，因为2n，所以110nnaa，即11nnaa，所以 na是公差为 1 的等差数列，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又11a，故数列 na的通项

41、公式为nan.（2）依题意2knka，即2kkn，因为*,2,kknNNN，所以满足不等式的正整数个数为21kk，即21kkbk，.121222212kkbbbkk212 121221222kkk kkkk，因为210kkbk，所以12kbbb单调递增，当10k 时，121020012024bbb，所以k的最小值为 11.3已知nS为数列 na的前 n 项和，且满足2nnSar，其中Rr，且0r(1)求数列 na的通项公式；(2)设1(1)nnnSbr，若对任意的*Nn，都有21211nniiiibmb，求实数 m 的取值范围【答案】(1)12nnar (2)12m【详解】（1）由2nnSar

42、，当1n 时，1112aSar，所以10ar ，当2n 时，1122nnnnnaSSaa，所以12nnaa，所以数列 na是以2为公比的等比数列，所以12nnar ；（2）由（1）得1 21 21 2nnnrSr，则111(1)(1)(11 22)nnnnnnnSbr ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君故21221122112 12211123nnninibbbb ，221212212 12220123nnninibbbb ，而2211214133nnniib 随n的增大而减小，所以1211max4113niib，2121222 4233nnniib 随n的增大而增大，所以

43、121min2 4223niib，因为对任意的*Nn，都有21211nniiiibmb，所以12m.4已知数列 na满足11a，11,3,nnnanaa n为奇数为偶数，且2121nnnbaa(1)证明 nb为等比数列，并求数列 nb的通项公式；(2)设155nnnbcb，且数列 nc的前n项和为nT，证明：当2n 时，111333ln12 331nnnnTn，所以21210nnaa，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君因为2121212112321222212121212121212131313333nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaabaaaabaaaaaaaa所以

44、 nb是等比数列，首项15b，公比3q，所以15 3nnb（2）由（1）可得11155 353155 3531nnnnnnnbcb，先证明左边：即证明111332 3nnTn，所以12111331111111111333333332313nnnnnnT，所以111332 3nnTn，再证明右边：33ln131nnnTn，因为11311 3312121211313 313313333nnnnnnnnc，所以2231121133121212111333333333313nnnnnnT，即1313nnTn，下面证明131ln1331nnn，即证13ln331nnn，即证1311lnln 1333nn

45、nn，所以函数 ln1f ttt 在2,13t上单调递增，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君则 10f tf，即1lntt ，2,13t，所以11ln 133nn，所以1331ln1331nnnnTn 综上，111333ln12 331nnnnTn5已知数列 na满足11221 22nnaanan.(1)求 na的通项公式；(2)设211nnnbaa，证明：1243nbbb，故4114323 43nn，即1243nbbb.6已知数列 na满足*111,235,nnaaannN.(1)设2nnban，证明：nb是等比数列；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君(2

46、)求数列 na的前n项和nS.【答案】(1)证明见解析；(2)2232332nn n【详解】（1）因为*1235,nnaannN，所以11223512nnanann，所以112224nnanan，所以11222nnanan，所以12nnbb，又111220ba，则12nnbb，所以 nb是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，111222nnnbb ，由于2nnabn，所以1222nnan，所以123nnSaaaa0121221220221222nn 01212222222210 12nn 01212222210 12nn 12122122nnn 2232332nn n.7在等差

47、数列 na中，341184aaa，733a.(1)求数列 na的通项公式；(2)若记)N(kb k为 na中落在区间25,5kk内项的个数，求 kb的前 k 项和kT.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【答案】(1)52nan(2)211(56 51)(N)24kkk【详解】（1）等差数列 na中，由341184aaa，得47284aa，而733a，解得418a，因此数列 na的公差74574aad，4(4)52naandn，所以数列 na的通项公式是52nan.（2）由（1）知，Nk，由255kkna，得25525kkn，整理得121225555kkn，因此正整数n满足12

48、1515kkn，从而得21155kkkb，所以 kb的前 k 项和为215(251)511(56 51)(N)25 15 124kkkkkTk.8已知数列 na是正项等比数列，其前 n 项和为nS，且2416a a，5324SS(1)求 na的通项公式；(2)记2lognnaa的前 n 项和为nT，求满足2024nT，所以0q，依题意可得345424aaa，即213411424a qa qa q，整理得260qq，解得2q=或3q （舍去），所以3132nnnaa q.（2）由（1）可知12log21nnnaan，故012122220 121nnTn 更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：

49、高中试卷君1212nn n 显然，nT随着n的增大而增大，1010214510682024T ，所以满足2024nT 的最大整数10n.含含n1类进行求和问题类进行求和问题我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为 nfann1的摆动数列na前n项和的步骤如下：第一步：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时，1nnaa的表达式；第二步：第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由 nnnaaaaaaaaS1654321求出nS；第三步：第三步：当n为奇数且1n时，由nnnaSS1求出nS，特别注意对1n时要单独讨论，即1

50、S要单独求出.第四步：第四步：将1S代入当n为奇数且1n时nS的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示已知数列na的通项公式nna1，求数列na的前n项和nS.解：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时，为奇数时，1nnaa的表达式的表达式不难发现，数列na的项依次为 2,1间隔出现，所以01nnaa,第二步：然后对第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，为偶数时，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君由由 nnnaaaaaaa