2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题5.9 二次函数中的存在性问题-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题5.9 二次函数中的存在性问题-重难点题型【苏科版】【题型1 二次函数中直角三角形存在性问题】【例1】（2021罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线yx2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E若PE2ED，求PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标【变式1-1】（2021春望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物

2、线yax2+bx+c与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求PAC面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【变式1-2】（2021长沙模拟）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）C（0，3），点M是抛物线的顶点点P为线段MB上一个动点，过点P作PDx轴于点D，若ODm（1）求二次函数解析式；（2）设PCD的面积为

3、S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；（3）在MB上是否存在点P，使PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【变式1-3】（2021长沙模拟）如图，抛物线yax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时

4、点M的坐标，若不存在，请说明理由【题型2 二次函数中等腰三角形存在性问题】【例2】（2020秋曾都区期末）如图，抛物线yax2+4x+c经过A（3，4），B（0，1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PMx轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由【变式2-1】（2020秋云南期末）如图，直线y=-12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的

5、图象经过点B，C和点A（1，0）（1）求B，C两点的坐标（2）求该二次函数的解析式（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【变式2-2】（2021南充）如图，已知抛物线yax2+bx+4（a0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=52（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条

6、件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且DQE2ODQ在y轴上是否存在点F，得BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【变式2-3】（2021建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线yx2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）设该抛物线的顶点为点H，则SBCH；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样

7、的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【题型3 二次函数中平行四边形存在性问题】【例3】（2020秋元阳县期末）如图，直线y=-12x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC（1）求抛物线的函数解析式（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求ABM的面积的最大值（3）P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标【变式3-1】（2020秋泰山区期末）如图，抛物线y=12x2+bx+c

8、经过点A（4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OAOB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图（1）求直线AB和抛物线的表达式；（2）在y轴上找一点Q，使得AMQ的周长最小，在备用图中画出图形并求出点Q的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【变式3-2】（2021春雨花区期末）如图，已知抛物线yax2+bx+c的对称轴为直线x1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）求抛物线的解析式；（2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒2

9、个单位长度，过点P作直线PMy轴，交抛物线于点M设运动时间为t秒在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MAMC）的值最大？并求出此时点P的坐标若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由【变式3-3】（2021北碚区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx6与x轴交于A，C（6，0）两点（点A在点C右侧），交y轴于点B，连接BC，且AC4（1）求抛物线的解析式（2）若P是BC上方抛物线上不同于点A的一动点，连接PA，PB，PC，求当SPBC-12SPAC有最大值

10、时点P的坐标，并求出此时的最大值（3）如图2，将原抛物线向右平移，使得点A刚好落在原点O，M是平移后的抛物线上一动点，Q是直线BC上一动点当A，M，B，Q组成的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点Q的坐标【题型4 二次函数中菱形存在性问题】【例4】（2020秋巴南区期末）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求b，c的值；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m当m为何值时，PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线ya1x2+b1x+c1（a10），平移后

11、的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【变式4-1】（2021湘潭）如图，一次函数y=33x-3图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=33x2+bx+c图象过A、B两点（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由【变式4-2】（2021春无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+

12、c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形POPC是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积【变式4-3】（2020秋南岸区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0）和B（1，0），交y轴于点C（1）求二次函数yx2+bx+c的表达式；（2）将点C向右

13、平移n个单位得到点D，点D在该二次函数图象上点P是直线BD下方该二次函数图象上一点，求PBD面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）中，当PBD面积取得最大值时，点E是过点P且垂直于x轴直线上的一点在该直角坐标平面内，是否存在点Q，使得以点P，D，E，Q四点为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【题型5 二次函数中矩形存在性问题】【例5】（2021春九龙坡区校级期末）如图1，若二次函数yx2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是

14、否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由【变式5-1】（2021齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2x+c（a0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA1，对称轴为直线x2，点D为此抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 22；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求BCE面积的最大值；（4）点P在抛

15、物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标【变式5-2】（2021春杏花岭区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求直线BC的解析式；（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，BCP的面积最大，求BCP的最大面积及此时点P的坐标；（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标【变式5-3】（2021北碚区校级模拟）如图，已知抛物线yax2+bx4与x轴交于A，B两点，与y轴交

16、于点C，且点A的坐标为（2，0），直线BC的解析式为y=12x4（1）求抛物线的解析式（2）如图1，过点A作ADBC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQy轴，交AD于点Q，过点Q作QRBC于点R，连接PR求PQR面积的最大值及此时点P的坐标（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C，将抛物线沿射线CA的方向平移25个单位长度得到新的抛物线y，新抛物线y与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由【题型6 二次函数中正方形存在性问题】【

17、例6】（2021渝中区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中A（2，0），并且抛物线过点D（4，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线CD上方抛物线上一点，过P作PEy轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线ya1x2+b1x+c1（a10），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由【变式6-1】（2020

18、秋高明区期末）如图，抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PFx轴于点F，G为抛物线上一动点，GMx轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标【变式6-2】（2021合川区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（2，0）（1）

19、求抛物线解析式；（2）如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接FA，FB，求出四边形FAOB面积最大值及此时点F的坐标（3）如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由【变式6-3】（2021海南模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c交x轴于A（3，0），B（4，0），交y轴于点C（0，4）（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y=34x+94与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E若点M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交

20、抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H当SEOG=12SAOE时，求m的值；在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由专题5.9 二次函数中的存在性问题-重难点题型【苏科版】【题型1 二次函数中直角三角形存在性问题】【例1】（2021罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线yx2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC（1）点A的坐标为 （1，0），点B的坐标为 （3，0）；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E若PE2ED，求PBC的面积；（3）抛物线上存

21、在一点P，使PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标【解题思路】（1）根据抛物线解析式令y0求出A，B的坐标即可；（2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE2ED可得PD3ED，设P（m，m2+2m+3），则E（m，m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；（3）分两种情况：点C为直角顶点；点B为直角顶点过点C作直线P1CBC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解

22、析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，分别解方程组，即可求得点P的坐标【解答过程】解：（1）令抛物线y0，则x2+2x+30，解得：x11，x23，A（1，0），B（3，0）；故答案为：（1，0），（3，0）；（2）在yx2+2x+3中，当x0时，y3，C（0，3）设直线BC的解析式为ykx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：b=33k+b=0，解得k=-1b=3，直线BC的解析式为yx+3，若PE2ED，则PD3ED，设P（m，m2+2m+3），PDx轴于点D，E（m，m+3），m2+2m+33（m+3），m25m+60，解得m12，m23（舍），m2，此时P（2，3），E（2，1）

23、，PE2，SPBC=12PEOB=12233PBC的面积为3；（3）PBC是以BC为直角边的直角三角形，有两种情况：点C为直角顶点，如图，过点C作直线P1CBC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D，B（3，0），C（0，3），OBOC3，BCOOBC45P1CBC，DCB90，DCO45，又DOC90，ODC45DCO，ODOC3，D（3，0），直线P1C的解析式为yx+3，联立y=-x2+2x+3y=x+3，解得x=1y=4或x=0y=3（舍）；P1（1，4）；点B为直角顶点，如图，过点B作直线BP2BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，P1CBC，BP2BC，P1CBP

24、2，设直线BP2的解析式为yx+b，将B（3，0）代入，得03+b，b3，直线BP2的解析式为yx3，联立y=-x2+2x+3y=x-3，解得x=-2y=-5或x=3y=0（舍），P2（2，5）综上，点P的坐标为（1，4）或（2，5）【变式1-1】（2021春望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点（1）求a、b、c的值；（2）连接PA、PC、AC，求PAC面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符

25、合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解题思路】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标，设成抛物线解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出直线AC的解析式，设出点P坐标，表示出点Q坐标，再用三角形的面积公式，得出函数关系式，即可得出结论；（3）运用配方法求出抛物线对称轴，设点Q（1，n），根据A（3，0），C（0，3），可运用勾股定理分别求出：AC2，CQ2，AQ2，由于QAC为直角三角形，可以分三种情况：CAQ90或ACQ90或AQC90，对每种情况运用勾股定理列方程求解即可【解答过程】解：（1）抛物线yax2+bx+c经过A（3，0），B（1，0），C（0，3）三点9a-3b

26、+c=0a+b+c=0c=3，解得：a=-1b=-2c=3a1，b2，c3；（2）如图1，过点P作PEy轴，交AC于E，A（3，0），C（0，3），直线AC的解析式为yx+3，由（1）知，抛物线的解析式为yx22x+3，设点P（m，m22m+3），则E（m，m+3），SACP=12PE（xCxA）=12m22m+3（m+3）（0+3）=-32（m23m）=-32（m+32）2+278，当m=-32时，SPAC最大=278；（3）存在，点Q的坐标为：（1，2）或（1，4）或（1，3+172）或（1，3-172）如图2，A（3，0），C（0，3），OAOC3，AC2OA2+OC232+3218，y

27、x22x+3（x+1）2+4，抛物线对称轴为x1，设点Q（1，n），则AQ21（3）2+n2n2+4，CQ20（1）2+（n3）2n26n+10，QAC为直角三角形，CAQ90或ACQ90或AQC90，当CAQ90时，根据勾股定理，得：AQ2+AC2CQ2，n2+4+18n26n+10，解得：n2，Q1（1，2）；当ACQ90时，根据勾股定理，得：CQ2+AC2AQ2，n26n+10+18n2+4，解得：n4，Q2（1，4）；当AQC90时，根据勾股定理，得：CQ2+AQ2AC2，n26n+10+n2+418，解得：n1=3+172，n2=3-172，Q3（1，3+172），Q4（1，3-17

28、2）；综上所述，点Q的坐标为：（1，2）或（1，4）或（1，3+172）或（1，3-172）【变式1-2】（2021长沙模拟）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）C（0，3），点M是抛物线的顶点点P为线段MB上一个动点，过点P作PDx轴于点D，若ODm（1）求二次函数解析式；（2）设PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；（3）在MB上是否存在点P，使PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解题思路】（1）将B（3，0）、C（0，3）代入yx2+bx+c，

29、列方程组求出b、c的值即可；（2）先求BM所在直线的解析式，用含m的代数式表示点P的坐标及PCD的面积，求出S关于m的函数关系式，用函数的性质判断并求出S的最值；（3）存在符合条件的点P，分三种情况根据点P的位置或勾股定理列方程求出m的值及点P的坐标【解答过程】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入yx2+bx+c，得-9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，二次函数的解析式为yx2+2x+3（2）S有最大值如图1，设直线BM的解析式为ykx+a，yx2+2x+3（x1）2+4，该抛物的顶点坐标为M（1，4），把M（1，4）、B（3，0）代入ykx+a，得k+a=43k+a=0，解得k=

30、-2a=6，y2x+6，D（m，0），P（m，2m+6）；由SPCD=12PDOD，得S=12m（2m+6）m2+3m；当点P与点B重合时，不存在以P、C、D为顶点的三角形，1m3，S不存在最小值；Sm2+3m（m-32）2+94，当m=32时，S最大=94，S的最大值为94（3）存在若DPC90，如图2，则PCx轴，P（m，3），且在直线y2x+6上，2m+63，解得m=32，P（32，3）；若PCD90，如图3，则PC2+CD2PD2，m2+（2m+63）2+m2+32（2m+6）2，整理得m2+6m90，解得m1（32-3，m2=-32-3（不符合题意，舍去）；P（32-3，12-62）

31、；若PDC90，则CD2+PD2PC2，m2+32+（2m+6）2m2+（2m+63）2，整理得12m36，解得m3，此时不存在以P，C，D为顶点的三角形，m3舍去综上所述，点P的坐标为（32，3）或（32-3，12-62）【变式1-3】（2021长沙模拟）如图，抛物线yax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、

32、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由【解题思路】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点C的坐标即可解决问题；（3）设点P（m，m2+4m），根据SABPSABH+S梯形AHDPSPBD，建立方程求解即可；（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理ON的长即可【解答过程】解：（1）抛物线yax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，16a+4b=0a+b=3，解得：a=-1b=4，抛物线的解析式为yx2+4x（2）如图1，yx2+4x（x2）2+4，对称轴为直线x2，

33、B，C关于对称轴对称，B（1，3），C（3，3），BC2，SABC=12233（3）如图1，设点P（m，m2+4m），根据题意，得：BHAH3，HDm24m，PDm1，SABPSABH+S梯形AHDPSPBD，6=1233+12（3+m1）（m24m）-12（m1）（3+m24m），解得：m10，m25，点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，m0，m5，m2+4m52+455，P（5，5）；（4）点M在直线BH上，点N在x轴上，CMN为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CMMN，CMN90，CBMMHN90，CMB+NMHNMH+MNH90，CMBMN

34、H，CBMMHN（AAS），BCMH2，BMHN321，M（1，2）；以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，过点C作CDy轴，过点N作NEy轴，过点M作DEx轴交CD于点D，交NE于E，CMNCDMMEN90，CMMN，CMD+NMENME+MNE90，CMDMNE，NEMMDC（AAS），NEMDBC2，EMCD5，ENHNEMNHM90，四边形EMHN是矩形，HMNE2，M（1，2）；以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CNMN，MNC90，过点M作MEx轴，过点N作ENy轴交CB的延长线于D，同理可得：NEMCDN（AAS），MEDN3，NECDHM5，M（1，5）；以点N为直

35、角顶点且N在y轴右侧时，如图5，过点M作MEx轴，过点N作NEy轴交BC延长线于D，同理可得：NEMCDN（AAS），MEDNNH3，NECD321，HMNE1，M（1，1）；以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述，当CMN为等腰直角三角形时，M点坐标为（1，2）或（1，2）或（1，5）或（1，1）【题型2 二次函数中等腰三角形存在性问题】【例2】（2020秋曾都区期末）如图，抛物线yax2+4x+c经过A（3，4），B（0，1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90得线段BD（点

36、D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PMx轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由【解题思路】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）作辅助线构造一线三垂直模型，在证明三角形全等即可求出点D的坐标，把点D的坐标带入解析式即可判断点D是否在抛物线上；（3）先写出点P，M，B的坐标，由（2）得出BMP45，分BMP是顶角和底角两种情况讨论即可【解答过程】解：（1）把点A（3，4），B（0，1）带入解析式yax2+4x+c，得-4=9a-12+c-1=c，解得a=1c=-1，yx2+4x1；

37、（2）如图，作ACy轴于点C，作DHy轴于点H，CAB+ABC90，HBD+ABC90，CABHBD，在ABC和DBH中，DHB=BCACAB=HBDDB=BA，ABCDBH（AAS），HBAC3，DHBC3，OH2，D（3，2），把D（3，2）代入yx2+4x1中，得（3）2+4（3）142，点D不在抛物线上；（3）存在点P，D（3，2），B（0，1），直线BD的解析式为yx1，设P（m，m2+4m1），则M（m，m1），由（2）知：BMP45，当PBM是等腰三角形，且45为底角时，有MBP90或MPB90，若MBP90，则P与A重合，即m3，若MPB90，则PBx轴，即P的纵坐标为1，m2

38、+4m11，解得m0（舍）或m4，m4，若45为顶角，即MPMB，MPm1m24m+1m25m，MB=-m2+m2=-2m，m25m=-2m，解得m5-2（舍）或m5+2，m的值为3，4，5+2【变式2-1】（2020秋云南期末）如图，直线y=-12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（1，0）（1）求B，C两点的坐标（2）求该二次函数的解析式（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【解题思路】（1）令直线y=-12x+2的x0，y0，

39、求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标；（2）用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式；（3）利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标【解答过程】解：（1）对直线y=-12x+2，当x0时，y2，y0时，x4，B（4，0），C（0，2）（2）设二次函数为ya（xm）（xn）（a0），二次函数图象经过B（4，0），A（1，0），ya（x4）（x+1），把点C（0，2）代入ya（x4）（x+1）得：a（04）（0+1）2，解得：a=-12，y=-12（x4）（x+1）=-12x2+32x+2（3）二次函数图象经过B（4，0），A（1

40、，0），对称轴为x=4-12=32，D（32，0），C（0，2），CD=22+(32)2=52，如图1，当CDPD时，PD=52，P1（32，52），P2（32，-52），如图2，当CDCP3时，过点C作CHDP3于点H，CDCP3，CHDP3，DHP3H，C（0，2），DH2，P3H2，P3D4，P3（32，4），综上所述：存在P1（32，52），P2（32，-52），P3（32，4），使PCD是以CD为腰的等腰三角形【变式2-2】（2021南充）如图，已知抛物线yax2+bx+4（a0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=52（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，

41、若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且DQE2ODQ在y轴上是否存在点F，得BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【解题思路】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点P的坐标为（x，x+4），则点Q的坐标为（x，x25x+4），则PQ（x+4）（x25x+4）x2+4x，进而求解；（3）当DQE2ODQ，则HQAHQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5,4），再分BEBF、BEEF、BFEF三种情况，分别求解即可【解答过程】解：（1）由题意得：a+b+4=0-b2a=52，解得a=1b=-5，故抛物线的表达式为yx25x+4；（2）对于yx25x+4，令yx25x+4