湖南省天壹名校联盟2024届高三下学期4月大联考数学试题含答案.pdf

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1、#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#湖南省天壹名校联盟湖南省天壹名校联盟2024届高三下学期届高三下学期4月大联考数学试题月大联考数学试题#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAo

2、GBFAMIAABCRFABAA=#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】届高三月大联考数学参考答案、提示及评分细则【答案】B【解析】由题意可得其展开式中x系数为C()C ,故选B【答案】D【解析】由题意可得M(,),N(,),MN(,),故选D【答案】A【解析】设zabi,则zab

3、i,zz i,即abi i(abi),abi ai b,即ab,故选A【答案】C【解析】设适宜条件下个大肠杆菌增长到万个大肠杆菌大约需要x分钟,则x ,两边取对数得x l g l g ,所以x l g ,所以大约需要 小时,故至少需要小时,故选C【答案】C【解析】依题意,联立xyya x,消去x得ya ya,则aa,由a得a,故抛物线C的方程为yx,其准线方程为x,故选C【答案】A【解析】设A C D,则B C D;设C DB Da,则A Cac o s,B Cac o s故在B C D中,由余弦定理可得c o s aac o saaac o sc o s,而c o s c o s,故c o

4、s,c o s,直角三角形A C D中,为锐角,故c o s,故c o s,故选A【答案】B【解析】由题意可得至少有个凹槽与其内小球编号相同的情况只有均相同或恰好有个相同不妨用表述相同,表示不同,则满足题意的排列方式有:、,共种情况,即概率为A,故选B#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】【答案】C【解析】令t s i n c o s s i n(),则已知不等式化为s i n(t)c o st s i n(t)t,t,故原不等式的解分两段:tt ,原不等式化为tt即ttt t,原不等式化

5、为t(t)即tt四个选项对应的t取值范围分别为,当t 时显然不满足题意,t,时易验证满足第一种情况,故选C【答案】A B D【解析】整理直线l的方程,得m(xy)(xy),当xy时,直线方程与m的取值无关,代入解得xy,A正确;整理圆C的方程,得(x)(y),B正确;令圆心C到直线l的距离d|m|(m)(m),解得m,C错误;将(,)代入直线l的方程,解得m,D正确故选A B D【答案】B C D【解析】如图,当平面B A C平面DA C时,三棱锥体积最大,记E为A C中点,此时D E平面B A C,因为A B平面B A C,所以A BD E,因为C DD ED,所以A B与C D不垂直,A错

6、误对于B:直线B D和平面A B C所成角即为E B D,因为t a nE B DE DB E,故E B D,B正确对于C:由于B CC DB AAD,取B D中点G,则有C GB D,A GB D,故C G A为平面A B D与平面B C D所成角的平面角则c o s C G AA GC GA CA GC G,C正确对于D:设内切球球心为I,内切球半径为r,由等体积法知,#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】VA B C DVIA B CVIB C DVIA C DVIA B Dr SA

7、 B C D其中,VA B C DB ES A C D,SA B C D()(),故rVA B C DSA B C D,D正确【答案】B C【解析】由已知得xf(x)x,故f(),f(),又因为f(x),所以f(x)在(,)单调递增,所以f()f(f(),A错误;构造函数g(x)f(x)x,则g(x)x(f(x)f(x)x),所以g(x)在(,)单调递增,因此g()g(),即f()f(),f()f(),B正确;由于f(x)x,f(x)x,故g(f(x)g(x),f(f(x)f(x)f(x)x,(f(x)x f(f(x),因此f()f(f(),C正确;构造函数h(x)f(x)ex,则h(x)f(

8、x)f(x)ex,而f(x)xf(x),故h(x),h(x)在(,)单调递减,因此h()h(),f()ef()e,f()ef(),D错误故选B C【答案】【解析】由题意可得aaaa(qqq)a,解得a,故答案为 【答案】【解析】f(x)s i n x,故有s i ns i n,即s i ns i n,则k(kZ)或k(kZ),解得 k(kZ)或 k(kZ),当k时,k取最小值,k取得最小值,因为,故的最小值为【答案】(ee,ee)【解析】由题意可得方程l o gxax l na在(,)(,)无解,将方程变形得xl nx l nal nx l na,即函数g(x)xl nx l nal nx l

9、 na在(,)(,)无零点易得g(x)的定义域为(,),仅在讨论零点时舍去x的情况:若a时,则g(x)xl nx,x时g(x),x时g(x),故在(,)(,)无零点,因此a符合题意;当a时,则g(x)l nx l nax,设(x)l nx l nax,则(x)x l nax,当a时(x),则(x)在(,)单调递增,由于x时g(x),x#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】时g(x),由零点存在性定理可知g(x)在(,)必有且只有一个零点,设为x,则g(x)在(,x)单调递减,在(x,)单调

10、递增,其中x(l nx)l na,故只需令g(x),因此g(x)xl nxxl nx(l nx)x(l nx)x(l nx)l nx),解得 l nx,exe,设h(x)x(l nx),则h(x)(l nx),故e l nae,eeaee;当a时,g()l na,g(e)e,故g(x)在区间(,e)必有零点,与所求不符综上,a的取值范围为(ee,ee)【解析】()因为f(x)xex,所以f x()xxexx()x()ex,分令f x(),解得x或x,令f x()得x或x,令f x()得x,分列表如下:x(,)(,)(,)f(x)f(x)极小值极大值分故f(x)的单调递减区间为(,),(,),单

11、调递增区间为(,),分()由()可得f x()的极大值为f()e,极小值为f()e 分【评分细则】第()问不列表说明也可以,只要最终单调区间书写正确即可满分,第()问写出一个极值得分,少写一个扣分 【解析】()记事件C为“两个生物个体为同一物种”,则C发生的概率为P(C)分()(i)由表可知NANB SASB 分所以DA DB ()分#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】即DADB,故A的多样性大于B;分(i i)在(i)中两群落物种数目相同,各物种数量不同,而A中各物种数量均相同,即物种

12、均匀度更大,分析可得物种均匀度也会影响群落多样性 分【评分细则】若第一问未设事件扣分,第问的第小问只要说法合理即可满分 【解析】()连接A C,B D,设A CB DO,连接P O,有P O平面A B C D,由题意得MENE,MGNG,连接MN,E G,设E GMNS,则MSN S,故S在P O上,过E作EHP O,H为垂足,在P O B中,P EP BEHO B,故EH,因为MNA C,所以P SP O,SHPHP S,故t a nS EH t a nD P O,所以PHEP G S,所以P G EPHE ,P DG E,分又MNO P,MNB D,B DO PO,故MN平面P B D,M

13、NP D,分又MNG ES,G E平 面EMGN,MN平 面EMGN,故P D平 面EMGN分(MNG ES,G E平面EMGN,MN平面EMGN三个条件只要缺个,不给分)()以O A,O B,O P所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系可得A(,),B(,),P(,),D(,),分由()得P D平面EMGN,故平面EMGN的一个法向量为DP(,)分其中A P(,),A B(,)设平面P A B的一个法向量为n(x,y,z),则nA P nA B x z x y,令z 可得n(,)分#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA

14、=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】设为二面角PMEN的平面角,则c o s c o s n,D P ,由图可知所求二面角为锐角,故二面角PMEN的余弦值为 分【评分细则】()(若辅助线只画图,缺文字说明,扣分)证明出P DG E给分,MNP D给分,P D平面EMGN给分(MNG ES,G E平面EMGN,MN平面EMGN三个条件只要缺个,这分不给);()建系分,法向量一个分,结果分 【解析】()由已知易得双曲线C:xy,分因为点P在第一象限,所以可以将双曲线C变形为yx 求导有y xx,分当xx时,y|xxxx xy,所以A B的方程为:yyxy(xx),化简有yxyxy分()设kxy

15、,my,A(x,y),B(x,y)联立xy yk xm有(k)x k m x m ,xxk mk xxm k分(k m),|A B|k|xx|kk mk kk 分点Q到直线A B的距离dQA B|m|k 分则SQ A B|A B|dQA B|m|k,将kxy,my代入有SQ A B#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】(y y)y 分(y y)(y)(y)(y)(y)y (y)y 当且仅当y 时取等号,故Q A B面积的最大值为 分【评分细则】()双曲线方程分,求导给分,方程正确给分;如果

16、用联立韦达得出直线方程也可得满分,如果只有最终答案没有过程只给分()韦达定理给分,A B长分,P到A B的距离分,得到单变量表达式S(yy 【解析】()因为f(x)x,所以对任意nm,anfy)给分,结果分(没有取等号条件,这分不给)(m i ninai)m i ninai,故数列最小值不变分即对于任意nm,m i ninaim i nimai,anf(m i ninai)f(m i nimai)恒成立故对于任意nm,有anf(m i nimai),故an 是“最终常数列”分()必要性,若an 不为“最终常数列”,假设存在一个nm使得anm i ninai,则由()同理可知其最小值不变,故an

17、 为“最终常数列”,矛盾所以对任意nm,anm i ninai分故对任意nm,均有anm i ninai 成立,故anf(an)对任意nm 成立,又由bn 定义递推,知对任意正整数i,biami分充分性:若任意正整数i,biami,则anf(an)对任意nm 成立,又由an 定义知任意nm,均有anm i ninai 成立 分由此知an m i ninaim i ninaian 分又由f(x)x 知anan,故anan,即an 在第m项后严格递减,#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#【高三数学试题参考答案第页(共页)】故不是“最终常数列”综上,原命题得证 分()由()知:要求f(a)am i niaia,解得a(,)分下证:a(,)即为所求由a(,)时af(a)(a)(,),递推知,对任意n均有an(,)分进而anf(an)对任意n均成立,结合()结论知an 不是“最终常数列”故a的取值范围是(,)分【评分细则】后两问若用其他方法证明出来酌情给分#QQABKQyAgggAAIBAARhCUQXACEMQkAACCAoGBFAMIAABCRFABAA=#