广西“贵百河”2024年高二4月新高考月考测试数学试题含答案.pdf

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1、数学第 1 页 共 4 页2022 级“贵百河”4 月高二年级新高考月考测试数数学学（考试时间：120 分钟满分：150 分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1 如图，在复平面内，复数1z，2z对应的点分别为1Z，2Z，则复数21zz为（）A-iB-1C-3iD-32已知等比数列

2、 na的公比为 3，1242aa，则15aa（）A20B24C28D323函数()=3+3sin的图象在点(0,(0)处的切线方程是（）A 3=0B3 =0C+3=0D3+=04为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将 1000 名师生的竞赛成绩（满分 100 分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（）Aa 的值为 0.005B估计这组数据的众数为 75 分C估计这组数据的第 85 百分位数为 85 分D估计成绩低于 60 分的有 250 人5若实数 x，y 满足2+2=1，则12xy的最小值等

3、于（）A41B43C23D26在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2cossinBcCb，且|CBCACBCA，则 A=（）A4B3C6D2#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#数学第 2 页 共 4 页7意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即 121FF，*1(2)(3)F nF nF nnnN，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列na，则数列na的前 2024 项

4、的和为（）A1348B675C1349D13508已知 f x是定义域为R的偶函数，且在,0上单调递减，ln1.04af，1.04bf，0.04ecf，则（）AabcBacbCcbaDcab二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题的选项中，有多项符合题目要求。（答案有两个选项只选一个对得 3 分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得 2，只选两个都对得 4，错选不得分）9下列命题正确的有（）A2cossincosxxxxxxB已知函数 在上可导，若1=2，则 lim0 1+1=2C已知函数 =ln 2+1，若0=1，则0=12D设函数 的导函数为，且 =2+32+

5、ln，则2=1410已知0，函数 cos6f xx，下列选项正确的有（）A若 fx的最小正周期2T，则4=；B当2时，函数 fx的图象向右平移6后得到 cos2g xx的图象；C若 fx在区间,2上单调递增，则的取值范围是5 11,3 6；D若 fx在区间0,上有两个零点，则的取值范围是4 7,3 3.11如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，E，F 分别是棱 AA1，A1D1的中点，点 P 为底面 ABCD 内（包括边界）的动点，则以下叙述正确的是（）A过 B，E，F 三点的平面截正方体所得截面图形有可能为梯形B存在点 P，使得1C P 平面BEFC若点 P 到直线1BB

6、与到直线 AD 的距离相等，则点 P 的轨迹为抛物线的一部分D若直线1D P与平面 BEF 无公共点，则点 P 的轨迹长度为5#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#数学第 3 页 共 4 页三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12设集合21xMx，2log1Nxx，则MN.13公司要求甲、乙、丙 3 个人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为25，23，14，则 3 个人中至少 2 人在规定时间内完成任务的概率为14已知双曲线2222:1(0,0)xyCaba

7、b的左、右焦点分别为12,0,0FcF c，过点1F作斜率为ab的直线与C的右支交于点 P，且点M满足22211122F MF PF F，且21F MFP，则C的离心率是.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（本小题 13 分）记等差数列 na的前n项和为nS，已知585S，且617aa（1）求na和nS；（2）设15nnnba a，求数列 nb前n项和nT16（本小题 15 分）已知函数()=3+2+1，当=1 时，函数 有极值 1（1）求函数 的解析式；（2）若关于的方程 =0 有且仅有一个实数根，求实数的取值范围17（本小题 15 分）

8、如图，在四棱锥PABCD中，PAD 为正三角形，底面ABCD为直角梯形，/AD BC，,22,3,6ADCD ADBCCDPB.（1）求证：平面PAD 平面ABCD；（2）若点 M 为棱 PC 的中点，求 BM 与平面 PCD 所成角的正弦值.#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#数学第 4 页 共 4 页18（本小题 17 分）已知椭圆22221(0)xyabab过点(2,1)A，焦距为2 3 过(3,0)B作直线l与椭圆交于 C、D 两点，直线ACAD、分别与直线3x 交于 E、F（1）求椭圆的标准方程；（2）记直线AC

9、AD、的斜率分别为21kk、，证明21kk是定值；（3）是否存在实数，使CDECDFSS恒成立.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由19（本小题 17 分）函数 213ln1(0)22fxa xxaxa.（1）求函数 f x的单调增区间；（2）当1a 时，若 120f xf x，求证：21xx 2；（3）求证：对于任意nN都有2112ln1niinni.#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#2022级“贵百河”4月高二年级新高考月考测试 数学 答题卡15.(13分)数学 第1页（共2页）班 级学 校（请用2B铅笔填涂）单

10、选题（40分，每小题5分）非选择题（92分）（请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写）12.(5分)14.(5分)13.(5分)16.(15分)填空题（15分）解答题（77分）多选题（18分，每小题6分。答案有两个选项只选一个得3分，选不得分；对错答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#数学 第 页（共2页）217.(15分)18.(17分)19.(17分)#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#第 1

11、 页 共 7 页2022 级“贵百河”4 月高二年级新高考月考测试数学数学 参考答案参考答案1A【详解】依题意，在复平面内，复数1z，2z对应的点分别为1Z，2Z，则112zi，22zi ，所以121 2i2i1 2ii2i2i2izz .故选：A.2.D【详解】由题意可知241335244,3363aaaaaaaa，所以 51351336432aaaaaa.故选：D.3B【详解】因为()=3+3sin，所以(0)=0，所以切点为(0,0)，又()=32+3cos，由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率=(0)=0+3cos0=3，故得函数()的图象在点处的切线方程是 0=3(0)，即为

12、 3 =04C【详解】根据频率分布直方图可知：10(23365)1aaaaaa，即0.005a，故 A 正确；由图易得在区间70,80)的人最多，故可估计这组数据的众数为 75，故 B 正确；100.005(23)1000250，故成绩低于 60（分）的有 250 人，即 D 正确；由图中前四组面积之和为：(2336)0.005 100.7，图中前五组面积之和为：(23365)0.005 100.95，故这组数据的第 85 百分位数在第五组数据中，设这组数据的第 85 百分位数为m，则有0.75 0.005(80)0.85m，故86m，即估计这组数据的第 85 百分位数为 86，故 C 错误5

13、B【详解】作出简图如下图所示：设=21，则 2=1 表示恒过定点 P 1,2的直线 PQ 上去掉点 P 1,2 的部分，要求21的最小值，则转化为求恒过定点 P 1,2 的直线PQ 的斜率最小，因为实数，满足2+2=1，所以当直线 PQ 是圆2+2=1 的切线时，取得最值，则此时圆2+2=1 的圆心 O 0,0 到直线 2=1 的距离=21+2=1，解得=34，过点 P 的直线=1 也是圆的切线，但=1 的斜率不存在，所以21最小值为34.6C【详解】因为sincos2BbCc，由正弦定理得sinsinsincos2BBCC，又sin0C，所以sincos2BB，所以2sincoscos222

14、BBB，又cos02B，所以1sin22B，因为022B，所以26B，即3B，又|CACBCACB 两边同时平方得222222CACBCA CBCACBCA CB ，即0CA CB ，所以,2CACB C，326A.7D【详解】依题意，若0na，等价于 F n为偶数，若1na，等价于 F n为奇数，显然123456110110aaaaaa，猜想：*1,321,310,3nnkankknkN，当1k 时，123110aaa，成立；#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#第 2 页 共 7 页假设当*1kmmN时，32313110

15、mmmaaa，成立，则3231FmFm，为奇数，3Fm为偶数；当1km时，则31313FmFmFm为奇数，32331FmFmFm为奇数，333132FmFmFm为偶数，故313233110mmmaaa，符合猜想，因此*1,321,31,0,3nnkankknkN，323132Nkkkaaak，所以数列 na的前 2024 项的和为12312674674 2 1 1 1350aaaaa .故选：D8A【详解】因为 fx是定义域为R的偶函数，且在,0上单调递减，所以 fx在0,上单调递增；ln1.04lne1 1.04，即ln1.041.04；令 e1xh xx，当0 x 时，e10 xhx，则

16、h x单调递增，所以 0.040.040.04e0.04 1e1.0400hh，即0.04e1.04，所以0.04e1.04ln1.04.而 fx在0,上单调递增，故有0.04ln1.041.04efff，即abc.9BC【详解】对于 A，cos=sin1cos2=sincos2，故 A 错误.对于 B，lim0 1+1=1=2，故B 正确.对于 C，=12+12+1=22+1，若0=1，则220+1=1 即0=12，故 C 正确.对于 D，=2+32+1，故2=4+32+12，故2=94，故 D 错误.10AC【详解】对于 A，若 fx的最小正周期2T，可得22T，可得4=，即 A 正确；对

17、于B，当2时，可得 cos 26fxx，fx的图象向右平移6后得到 cos 2cos 2666g xxx，即 B 错误；对于 C，由0可知若 fx在区间,2上单调递增，可得,6266x，因此需满足12222,Z262,Z6kkkk ，解得2714236kk；显然当1k 时符合题意，即可得5 11,3 6，所以 C 正确；对于 D，当0,x时，,666x，若 fx在区间0,上有两个零点，可得35262，解得4733；即的取值范围是4 7,3 3，所以 D 错误；故选：AC#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#第 3 页 共 7

18、 页11ACD【详解】对于 A，连接 BC1,F C1，因为 EF/BC1，且 EF BC1.所以过 B，E，F 三点的平面截正方体所得截面图形为梯形 BEF C1.A 正确；对于 B，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,2,0),(2,2,0),(0,2,2),(2,0,1),(1,0,2)CBCEF，(1,0,1),(0,2,1)EFEB ，设(,0),0,2P x yx y，1(,2,2)C Px y，设平面BEF的法向量(,)na b c，则020n EFacn EBbc ，令1b，得(2,1,2)n，由22212xy，解得2,1x

19、y，与0,2x矛盾，即1C P与n不共线，因此1C P不垂直于平面BEF，B 错误；对于 C，由1BB 平面ABCD知，点 P 到直线1BB的距离等于点 P 到点B的距离，因此点 P 到点B的距离等于点 P 到直线 AD 的距离，由抛物线的定义知点 P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确；对于 D，取BC的中点G，连接11,AG AD DG，如图所示：由,E F分别是棱111,AA AD的中点，得1/EF AD，1AD 平面BEF，EF 平面BEF，则1/AD平面BEF，由1/D FBG且1D FBG，得1D FBG为平行四边形，则1/DG BF，又1DG 平面BEF，BF平面BEF，于是1/D

20、G平面BEF，而111ADDGD，11,AD DG 平面1AGD，因此平面/BEF平面1AGD，由1D P与平面BEF无公共点，1D 平面1AGD，得1D P 平面1AGD，又点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，平面1AGD 平面ABCDAG，则AG是点P在底面ABCD内的轨迹，2222215AGABBG，所以点P的轨迹长度为5，D 正确.故选：BCD12|02xx【详解】因为 021220 xxMxxx x，222log1loglog 202Nxxxxxx，所以MN|02xx.1325/0.4【详解】3 个人中至少 2 人在规定时间内完成任务，即在规定时间内 3 人中恰有 2 人完成任

21、务或 3 人都完成任务概率为221221221221(1)(1)(1)534534534534P 251453【详解】如图，直线1FP的斜率为ab.由22211122F MF PF F，得点M为1PF的中点，又21F MFP，所以2F M是线段1FP的垂直平分线，所以2122PFFFc，过点O作1ONPF于点N，由已知得1tanaNF Ob，所以2212122211cos1tan1bbNFONFOcabab，所以111sincostanb aaNFONFONFOc bc，所以11sinONaNFOOFc，即ONa，所以221NFcab，又/ON2MF，O为12FF的中点，所以1122MFNFb

22、，所以14PFb，#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#第 4 页 共 7 页由双曲线的定义可得12422PFPFbca，即2bca，所以224()bca，可得2224()caca，整理得223250caca，即23250ee，解得53e 或1e （舍去），又题中直线与C的右支有交点，所以baab，即22ba，所以222caa，即222ca，所以222ca，即2e，所以C的离心率为53.15.【详解】（1）设 na的公差为d，因为15535()5852aaSa1 分所以317a 2 分又617aa，所以1737 172dd，

23、解得6d 4 分所以33173661naandnn5 分125613222nnn aannSnn6 分（2）15551161656 6165nnnba annnn8 分所以5 111111116 511111767616165nTnnnn11 分5 116 56565nnn13 分16.【详解】(1)由()=32+2+1，1 分有(1)=3+2+1=0，2 分又有+2=1，3 分解得：=1，=2，5 分此时()=3 22+1，()=32 4+1=(1)(3 1)，令()0，可得 1 或 13；令()0，可得13 3127或 1，所以，实数的取值范围为(,1)(3127,+)15 分17.【详解

24、】（1）证明：如图，取AD的中点K，连接,PK BK，PAD为正三角形，2AD，3PK 且PKAD，1 分22ADBC，K为AD的中点，DKBC，#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#第 5 页 共 7 页又底面ABCD为直角梯形，/AD BC即/DK BC，故四边形BKDC为平行四边形，而ADDC，所以四边形BKDC为矩形，3 分,3BKAD BKCD.4 分2226,PBPKBKPBPKBK5 分,PKAD BKADK BK AD平面ABCD，PK 平面ABCD，6 分PK 平面PAD，平面PAD 平面ABCD；7 分（

25、2）由（1）得,PKAD PKKB，由（1）又可得BKAD，如图，以K为坐标原点,KA KB KP所在直线为,x y z轴建立空间直角坐标系，8 分则(0,0,3),(0,3,0),(1,3,0),(1,0,0)PBCD，133(,)222M，133(0,3,0),(1,0,3),(,)222CDPDBM ，10 分设平面PCD的法向量为(,)nx y z，由00n CDn PD ，得3030yxz，令3x，则0,1yz，(3,0,1)n,12 分设BM与平面PCD所成的角为，则2222332221sincos,7|133()()31222BM nBM nBMn ，14 分BM与平面PCD所成

26、角的正弦值为21.715 分18.【详解】（1）因为椭圆过点(2,1)A，焦距为2 3，1 分所以222222411633aabbab，3 分（a，b，c 各 1 分）所以椭圆的标准方程为22163xy.4 分（2）证明：设121122121211,22yyC x yD xykkxx，直线CD的斜率一定存在，设为3yk x，则221633xyyk x，消去y得到222221121860kxkk5 分2222124 21 1860kkk，2212122212186,2121kkxxx xkk，6 分#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFA

27、BAA=#第 6 页 共 7 页121212313122k xk xkkxx12121212122512424kx xxxxxx xxx22244124824618124812222222222kkkkkkkkk8 分故21kk是定值.9 分（3）设存在实数，使CDECDFSS恒成立，由11123,13ykxEkx ，22123,13ykxFkx ，11 分设E到直线CD的距离为2d，F到直线CD的距离为1d，则211222313313,11kkkkkkddkk，13 分因为CDECDFSS，所以211122CDdCDd，14 分把代入并化简可得2111kk，16 分由上问可知112222kk

28、kk ，代入上式可得1111kk，所以1.17 分19.【详解】（1）函数 f x的定义域是0,.由已知得，2111xaxaxxaafxxaxxx1 分当01a时，由0)(xf 得，0 xa或1x，f x的单调增区间为0,a，1,，2 分当1a 时，当0 x 时，0fx，所以 f x单调增区间为0,3 分当1a 时，由 0fx得：01x或xa，f x的单调增区间为0,1，,a4 分综上，当01a时，函数 f x单调递增区间为0,a，1,；当1a 时，函数 f x单调递增区间为0,；当1a 时，函数 f x单调递增区间为0,1，,a.（2）当1a 时，213ln222fxxxx.由（1）知，函数

29、 f x在0,上单调递增且 10f；5 分令 2213132ln2ln 222 22222g xfxfxxxxxxx222ln221ln 111xxxxxx，02x，6 分#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#第 7 页 共 7 页令 ln10F xxxx，111xFxxx 令 0Fx，解得01x；令 0Fx，解得1x，所以 F x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 10F xF，所以ln1xx，7 分令210,1xt，则10,1t，则ln 111ttt ，故ln 10tt，所以 20g xf xfx恒成立，8 分不

30、妨设1201xx，则 1120f xfx，9 分所以 112f xfx，所以212f xfx，因为121x，21x，而 f x在0,单调递增，所以212xx，所以122xx10 分（3）由（2）知，1x 时，213ln21022fxxxxf，11 分即222ln432ln(2)10 xxxxx，故22ln(2)1xx在1x 时恒成立，14 分所以222202ln(22)2ln1111，15 分2233312ln22ln12222，2244422ln22ln13333，2211112ln22ln1nnnnnnnn，16 分相加得2112ln1niinni.17 分#QQABKQSAogAAAIBAARgCQQ2iCEEQkBECACoGgFAAIAABCAFABAA=#