江苏苏州市2024年高一下学期期中调研数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司高一期中调研试卷高一期中调研试卷 数数 学学 2024.04注意事项注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本卷共 4 页，包含单项选择题（第 1 题第 8 题）、多项选择题（第 9 题第 11 题）、填空题（第 12 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 19 题）本卷满分 150 分，答题时间为120 分钟答题结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意

2、字体工整，笔迹清楚4请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 一、单项选择题一、单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1i是虚数单位，则复数()()3i4i在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知单位向量a，b的夹角为23，则ab=A1 B2C3D33i是虚数单位，则11 iz=的共轭复数是A11i22+B11i22C1 i D1 i+4已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，

3、b，c，若1a=，135A=，则sinsinbcBC+的值为 A24B22C2D2 25已知向量()3,4a=，()2,0b=，则a在b上的投影向量为 江苏苏州市2024年高一下学期期中调研数学试题含答案 学科网（北京）股份有限公司 A()3,0 B3,02 C3 D6 6下列命题正确的是 AABACBC=B若向量()2023,2024a=，把a向右平移 2 个单位，得到的向量的坐标为()2025,2024 C在ABC 中，0AB AC 是ABC 为锐角三角形的充要条件 D在ABC 中，若为任意实数，且()CPCB CACA CB=+，则 P 点的轨迹经过ABC 的内心 7苏州国际金融中心为地

4、处苏州工业园区湖东 CBD 核心区的一栋摩天大楼，曾获 2020 年度 CTBUH 全球高层建筑卓越奖建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点 Q）一直线上位于 Q 同侧两点 A，B 分别测得金融中心顶部点 P 的仰角依次为 30，45，已知 AB 的长度为 330 米，则金融中心的高度约为 A350 米 B400 米 C450 米 D500 米 8在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，13BFBC=，AF

5、 与 BE 交于点 G，若BAa=，BCb=，则BG=A2177ab+B1277ab+C2155ab+D1255ab+二、多项选择题二、多项选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符有多项符合题目要求全部选对的得合题目要求全部选对的得 6 分分，部分选对的得部分分部分选对的得部分分，有选错的得有选错的得 0 分分 9在ABC 中，下列说法正确的是 A若ABC，则sinsinsinABC B若ABC，则sin2sin2sin2ABC C若ABC，则coscoscosABC，则cos2cos2cos2ABC 101

6、z，2z是复数，下列说法正确的是 学科网（北京）股份有限公司 A若210z，则2212zz 11已知 P 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 内一点（含边界），且APABAF=+，R，则下列正确的是 APCD 的面积为定值 B使得PCPA CCPD 的取值范围是,6 3 DPC 的取值范围是1,3 三、填空题三、填空题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分 12已知a，b为两个不共线的非零向量，若kab+与2ab共线，则 k 的值为 13ABC 中，若3sin45A+=，则sin12A=14已知ABC 的外接圆半径为 1，则AB BC 的最大值为 四、解答题

7、四、解答题：本题共本题共 5 小题小题，共共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）已知复数 z 在复平面上对应点在第一象限，且2z=，2z的虚部为 2（1）求复数 z；（2）设复数 z、2z、2zz在复平面上对应点分别为 A、B、C，求AB AC 的值 16（15 分）已知向量OA，OB 不共线，点 P 满足OPxOAyOB=+，x，yR证明：（1）若12xy=，则点 P 是线段 AB 的中点；（2）1xy+=是 A、B、P 三点共线的充要条件 17（15 分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C满足：A在x轴的正半轴上，C

8、的横坐标是7 210，1OAOBOC=，学科网（北京）股份有限公司 55OA OB=记AOB=，AOC=，是锐角，是钝角（1）求()cos的值；（2）求2的值 18（17 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，已知1AD=，2CD=，ABC 为等边三角形，记ADC=（1）若3=，求ABD 的面积；（2）若,2，求ABD 的面积的取值范围 19（17 分）某高一数学研究小组，在研究边长为 1 的正方形 ABCD 某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象 若 P，Q 分别为边 AB，DA 上的动点，当APQ 的周长为 2 时，PQ 有最小值（图 1）、PCQ

9、 为定值（图2）、C 到 PQ 的距离为定值（图 3）请你分别解以上问题（1）如图 1，求 PQ 的最小值；图 1（2）如图 2，证明：PCQ 为定值；图 2 学科网（北京）股份有限公司（3）如图 3，证明：C 到 PQ 的距离为定值 图 3 学科网（北京）股份有限公司 高一期中调研试卷高一期中调研试卷 数学参考答案数学参考答案 2024.04 一、单项选择题一、单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C A D C B 二、选择题二、选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共

10、共 18 分分 题号 9 10 11 答案 ACD AC AC 三、填空题三、填空题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分 1212；134 3310；1412 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分 15解：（1）设izab=+，则22zab=+，()()2222i2izababab=+=+，因为22zab=+，2z的虚部为 2，所以22222abab+=，解得：11ab=或11ab=，又复数 z 在复平面上对应点在第一象限，所以11ab=，故1 iz=+（2）因为1 iz=+，所以()221 i2iz=+=，21 i2i1 i

11、zz=+=，所以()1,1A，()0,2B，()1,1C()()1,10,22AB AC=16证明：（1）因为12xy=的，所以1122OPOAOB=+，即2OPOAOB=+，所以OPOAOBOP=，所以APPB=学科网（北京）股份有限公司 所以 P 是线段 AB 的中点（2）充分性：若1xy+=，则1yx=，所以()1OPxOAx OB=+，所以OPOBxOAxOB=所以()BPx OAOBxBA=，所以 A、B、P 三点共线 必要性：因为 A、B、P 三点共线，所以存在实数 x 满足：BPxBA=所以()OPOBx OAOB=，即OPOBxOAxOB=所以()1OPxOAx OB=+，所以

12、1xy+=综上所述，1xy+=是 A、B、P 三点共线的充要条件 17解：（1）因为1OAOB=，点()cos,sinB，所以5cos5OA OB=，所以5cos5=，又为锐角，所以22 5sin1 cos5=，因为钝角的终边与单位圆 O 的交点 C 的横坐标是7 210，所以7 2cos10=，22sin1 cos10=，所以()57 22 5210coscoscossinsin51051010=+=+=学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知2 5sin5=，5cos5=，2sin10=，7 2cos10=，所以2 554sin22sincos2555=，2253cos22cos1215

13、5=所以()237 242sin2sincos2cossin21051052=因为为锐角，所以02，所以02，又cos20，所以2,2 又,2，所以2,2 2 ，所以24=18解：（1）在ACD 中，由余弦定理，2222cos142 2 cos33ACADCDAD CD=+=+=，所以3AC=，所以90DAC=，又因为ABC 为等边三角形，所以3ABAC=，且150BADBACDAC=+=，所以113sin3 1 sin150224ABDSAB ADBAD=学科网（北京）股份有限公司 （2）不妨设DAC=在ACD 中，由余弦定理，2222cos142 2 cos54cosACADCDAD CD

14、=+=+=，22254cos1 41 2coscos22ACADDCAC ADACAC+=在ACD 中，由正弦定理，sinsinACCDADCDAC=，即2sinsinAC=，所以2sinsinAC=所以11113sinsinsincos223222ABDSAB ADBADACAC=+=+()133sin1 2cossin2434=+=+，又因为,2，所以2,363，所以323 43sin,3444+，即ABD 的面积的取值范围为23 43,44+19解：（1）设QPA=，因为APQ 的周长为 2 所以sincos2PQPQPQ+=学科网（北京）股份有限公司 所以22sincos12sin14

15、PQ=+，因为0,2 所以2sin124+，所以12sin24+，所以22 2221PQ=+即 PQ 的最小值为2 22 图 1（2）设PCB=，QCD=，则tanPB=，tanDQ=，所以1tanAP=，1tanAQ=，()()221tan1tanPQ=+因为APQ 的周长为 2，所以()()2221tan1tan1tan1tan=+()()22tantan1tan1tan+=+所以tantan1tantan+=即()tan1+=，因为02，02，所以0+，学科网（北京）股份有限公司 所以4+=所以()24PCQ=+=（3）因为11sin22CPQSPQ CECQ CPPCQ=所以22PQ CECQ CP=，因为1tanAP=，1tanAQ=，所以()()222tantantantanPQAPAQ=+=+又1cosCP=，1cosCQ=所以()112tantancoscos2CE+=所以sincoscossin112coscoscoscos2CE+=所以()sin112coscoscoscos2CE+=因为4+=，所以21122coscoscoscos2CE=所以1CE=，即 C 到 PQ 的距离的定值为 1 图 3