上海市宝山区2024届高三下学期二模试题 数学含答案.pdf

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1、2023 学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1本试卷共 21 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟；2本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4可使用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分1.抛物线

2、yx42的焦点坐标为_.2.已知3tan，则4tan_.3.将02aaa其中化为有理数指数幂的形式为_.4.已知向量2,2ma，1,1mb，若10ba，则实数m.5.设实数yx、满足i1ii 42iiyxyx为虚数单位i，则 yx.6.有一组数从小到大排列为：3，5，x，8，9，10.若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_.7.已知集合3,12aaA，且A1，则实数a的值为.8.在数列 na中，21lg,211nnnaaann且，则100a_.9.某公司为了了解某商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表

3、：月销售单价x（元/件）1015202530月销售量y（万件）1110865由表中数据可得回归方程yaxb中0.32a，试预测当月销售单价为40元/件时，月销售量为万件.10.已知双曲线0,012222babyax，以双曲线的右顶点A为圆心，b为半径作圆，圆A与双曲线的一条渐近线交于NM、两点，若60MAN，则双曲线的离心率为_.上海市宝山区上海市宝山区2024届高三下学期二模试题届高三下学期二模试题11.某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设 1：警戒区域为空旷的扇环形平地11nnA A B B；假设 2：视探照灯为点M，

4、且距离地面20米；假设 3：探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M以某一俯角从1kkA A侧扫描到1kkB B侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环,.3,2,1kSk.由此，通过调整M的俯角，逐次扫描形成扇环1S、2S、3S L.第一次扫描时，光斑的长轴为EF，|30OE 米，此时在探照灯M处测得点F的俯角为30（如下右图）.记1|kkkA Ad，经测量知1|80nA A 米，且kd是公差约为1.0米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.12.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a、b满足：2a b，|1b，且存在实数t，使得|2|0aa

5、tb成立，则由a构成的空间几何体的体积是 .二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 18 分，第分，第 1314 题每题题每题 4 分，第分，第 1516 题每题题每题 5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.13.已知0 ba，则 （）.A22ba Bba22 C2121ba Dba2121loglog14.已知随机变量X服从正态分布20，N.

6、若65 aXP，则 aXP（）.A32 B21 C31 D6115.已知直线nml、与平面、，则下列命题中正确的是 （）.A若/，l，n，则nl/B若，l，则lC若l，/l，则 D若nl，nm，则ml/16.数列 na中，nS是其前n项的和，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得mnaS，则称数列 na为“某数列”.现有如下两个命题：等比数列 n2为“某数列”；对任意的等差数列 na，总存在两个“某数列”nb和 nc，使得nnncba.则下列选项中正确的是 （）.A为真命题，为真命题B为真命题，为假命题C为假命题，为真命题D为假命题，为假命题三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题

7、，满分题，满分 78 分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤17（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）在ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，已知CABCAsinsinsinsinsin222.（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为3，求ca的最小值，并判断此时ABC的形状.18（本题满分（本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分）分）如图，已知点P在

8、圆柱1OO的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径.（1）求证：PABP1；（2）若,60,2BOPOA圆柱的体积为216，求异面直线AP与BA1所成角的大小.19（本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 3 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 7 分）分）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得 2 分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为21，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为21，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为53，若前一次没投进，则该次投进的概率为52.(1)求甲投篮3次得

9、2分的概率；(2)若乙投篮3次得分为X,求X的分布和期望；(3)比较甲、乙的比赛结果.20（本题满分（本题满分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 3 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 7 分）分）已知双曲线1222yx的左、右顶点分别为BA、，设点P在第一象限且在双曲线上，O为坐标原点.（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；（2）若,9PBPA求OP的取值范围；（3）椭圆C的长轴长为22，且短轴的端点恰好是BA、两点，直线AP与椭圆的另一个交点为Q记POA、QAB的面积分别为1S、2S.求2221SS的最小值，并写出取最小值时点P的坐标.21

10、（本题满分（本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满分小题满分 8 分）分）函数()yg x的表达式为()sin()g xx0.（1）若1，直线l与曲线()yg x相切于点(,1)2，求直线l的方程；（2）函数()yg x的最小正周期是2，令()()lnh xx g xx，将函数()yh x的零点由小到大依次记为12,nx xx(1,)nnN，证明：数列sinnx是严格减数列；（3）已知定义在R上的奇函数()yf x满足(2)()0f xaf xa，对任意0,2 xa，当xa时，都有()()f xf a且()1f

11、a.记()()()F xf xg x，1()()()2G xf xg x.当 时，是否存在12xxR、，使得12()()4F xG x成立？若存在，求出符合题意的12xx、；若不存在，请说明理由.参考答案1.1,0 2.21 3.45a 4.2 5.2 6.5.77.0 8.4 9.6.1 10.332 11.15 12.8912.解：由已知得22|4|aatb，所以2223|84|0ata btb 所以存在实数t，使得不等式224163|0tta有解，则0，解得4|3a 又因为2a b 且|1b，所以a在b方向上的数量投影是 2，所以，a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为 2，母线长为43

12、的圆锥（如图）故由a构成的空间几何体的体积2128239313.A 14.A 15.C 16.C17.解：（1）由正弦定理得acbca222.2 分又由余弦定理得2122cos222acacacbcaB.4 分因为B是三角形内角，所以3B.6 分（2）由三角形面积公式3433sin21sin21acacBacSABC.8 分得4ac.10 分因为42acca，当且仅当2 ca时取等号，.12 分所以ca的最小值为4，此时ABC为等边三角形.14 分18.解：（1）证明：圆柱1OO中，易知OAB圆，从而AP是PA1在圆O上的投影.2 分又AB为圆O的直径，可得APBP.4 分由三垂线定理，就得P

13、ABP1.6 分（2）延长PO交圆O于点Q，连接BQ、QA1、AQ，易知APBQ/，BQA1（或其补角）即为所求的角.8 分由题知2164112AAAAOAV解得241AA.10 分BQA1中，34,6,3211BAQAQB由余弦定理得2134322364812cos1BQA.13 分从而601BQA所以异面直线AP与BA1所成角的大小为60.14 分 19.解：（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率8321121213 Cp.3 分（2）由题意知X的所有可能取值为6,4,2,0则1339025550P X.4 分1231221328225525525525P X.5 分132122123

14、8425525525525P X.6 分1339625550P X.7 分随机变量X的分布为5096258425825090.8 分期望98890246350252550E X.9 分（3）设甲三次投篮的得分Y，则Y=6,4,2,0可求得随机变量Y的分布为816834832810所以 3816834832810YE.11 分 3381683483281022222YD.12 分又可算得 25973509625842582509022222XD.13 分因为 YEXE，YDXD所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定.16 分另解：设甲三次投篮的次数为，3,2,1,0则

15、 23213E设甲的投篮得分为Y，则2Y，从而 322EEYE20.解：（1）两条渐近线方程为02 yx.1 分 1,2,1,221nn设两条直线夹角为，则313312cos.2 分所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为31.3 分（2）设 0,1,1111yxyxP，由已知得0,101BA、，.4 分 11,1yxPA，11,1yxPB，则912121yxPBPA 得 102121 yx.6 分又点P在双曲线上，有122121yx即122121xy从而10122121xx 得421x.又点P是双曲线在第一象限的点，所以4,121x.10,1231221212121212xxxyxOP所以101

16、，OP.9 分（3）椭圆C中1,2ba，焦点在y轴上，标准方程为1222 xy.10 分设 0,0,2222yxyxQ，直线AP的斜率为0,kk则直线AP的方程为1xky联立方程组12122xyxky得02222222kxkxk该方程的两根分别为1和22222kkx 同理可得22122kkx 所以121xx.12 分记2121111yySSPOA 222221yySSQAB.13 分则2522112124142221222122212221xxxxyySS21251225222121xx当且仅当212122xx即221x时取等号，.15 分所以2221SS的最小值为21，此时点P的坐标为22，

17、.16 分另解:1,12211xykxykAQAP因为AQAPkk，所以112211xyxy即22221111xyxy又122121xy，222212xy，代入上式化简得11112211xxxx，整理得121xx21.解（1）1时，()sin,g xx则()cosg xx.1 分从而()cos022kg.3 分所以直线l的方程是1y.4 分（2）由22，可知1，则()sinlnh xxxx（0 x），.5 分当()0h x 时lnsinxxx.6 分 当01x时，lnsin0,0 xxx，此时函数()yh x没有零点；.7 分 当1x 时，因为2ln1 ln()xxxx，可知ln xyx在1,

18、e上严格增，在,)e 严格减又sinyx在1,2上严格增，在,2e严格减，所以1,xe时，xysin在ex 时有最小值sine，xxyln在ex 时有最大值ln1eee因为1sinee所以lnsinxxx在1,e上没有交点，即()sinlnh xxxx在1,e上没有零点.9 分所以函数()yh x的零点nx满足12nexxx，.因为ln xyx在,)e 严格减，所以1212lnlnlnnnxxxxxx.又因为lnsinnnnxxx，所以数列sinnx是严格减数列.10 分（3）因为()(2)(4)(4)f xf xaf xaf xa ，所以()yf x是以4a为周期的周期函数.11 分因为任意

19、0,2 xa，当xa时，都有()()f xf a且()1f a，所以当xa时，()yf x在0,2 a上有唯一的最大值 1.12 分由 得()sing xx，()()sin,()()cosF xf xx G xf xx.13 分假设存在12xxR、，使得12()()4F xG x成立，即1122()sin()cos4f xxf xx成立故，当14xaka kZ时，1()f x取得最大值 1；当122xm mZ时，1sin x取得最大值 1由422akam，可知4182mak时，11max()sin2f xx.15 分又因为()yf x是奇函数，所以当xa 时，()f x在 2 0a，上有唯一的最小值1故，当24xana kZ 时，2()f x取得最小值1；当212xt tZ 时，2cos x取得最小值1由41 2anat ，可知2141tan时22min()cos2f xx.17 分若1122()sin()cos4f xxf xx成立，则由得41218241mtkn，即(41)(41)(21)(82)mntk因为,m n k tZ，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立.18 分