2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题2.4 角平分线的性质和判定-重难点题型（举一反三）含解析.docx

《2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题2.4 角平分线的性质和判定-重难点题型（举一反三）含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题2.4 角平分线的性质和判定-重难点题型（举一反三）含解析.docx（77页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题2.4 角平分线的性质和判定-重难点题型【苏科版】【知识点1 角平分线的作法】以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.画射线OC.即射线OC即为所求.【题型1 角平分线的作法及应用】【例1】（2020秋曲靖校级月考）如图所示，已知AOB，求作射线OC，使OC平分AOB，作法的合理顺序是 （将重新排列）作射线OC；以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在AOB内，两弧交于点C【变式1-1】（2020连城

2、县模拟）如图，已知MON，点B，C分别在射线OM，ON上，且OBOC（1）用直尺和圆规作出MON的角平分线OP，在射线OP上取一点A，分别连接AB、AC（只需保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下求证：ABAC【变式1-2】（2020秋沛县期中）如图，已知点D在ABC的边AB上，且ADCD，（1）用直尺和圆规作BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程【变式1-3】（2021秋孟州市校级期中）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：根据以上情境，解决下列问题：作法：（如

3、图1）在OA和OB上分别截取OD、OE，使ODOE分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点C作射线OC，则OC就是AOB的平分线小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图2），方法如下：步骤：利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OMON分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P作射线OP，则OP为AOB的平分线小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 小聪的作法正确吗？请说明理由请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法（要求：作出图形，写出作图步骤，不予

4、证明）【知识点2 角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.【题型2 角平分线的性质的应用】【例2】（2021春毕节市期末）如图，已知ABC中，C90o，ACBC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E，且AB10，则DEB的周长为（）A9B5C10D不能确定【变式2-1】（2021春汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，A90，AD3，连接BD，BDCD，垂足是D且ADBC，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A1B2C3D4【变式2-

5、2】（2020秋增城区期末）如图，已知ABC的周长是18cm，ABC和ACB的角平分线交于点O，ODBC于点D，若OD3cm，则ABC的面积是（）cm2A24B27C30D33【变式2-3】（2021春武侯区校级期中）如图，AD是ABC的角平分线，DFAB于点F，且DEDG，SADG24，SAED18，则DEF的面积为（）A2B3C4D6【题型3 角平分线的性质与等积法】【例3】（2020秋云南期末）如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，ABC面积是152cm2，AB20cm，AC18cm，求DE的长【变式3-1】（2021春浦江县期末）如图，在ABC中，BAC9

6、0，AB6，AC8，BC10，若AD平分BAC交BC于点D，求BD的长【变式3-2】（2020春番禺区校级期中）点P为ABC三内角平分线的交点，ACB90，AB10cm，AC6cm，BC8cm，求：点P到三边的距离【变式3-3】（2020秋渝水区校级期中）知识储备：（1）如图1，AD是ABC的高，则ABC的面积SABC=12BCAD比例的性质：若ba=dc=nm，则b+d+na+c+m=ba=dc=nm知识运用：（2）如图2，BE是ABC的角平分线，运用上述知识，求证：ABBC=AECE；知识延展：（3） 如图3，ABC的角平分线BE平分ABC的周长，求证：ABC是等腰三角形【题型4 角平分线

7、的性质与全等】【例4】（2020秋肇源县期末）如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，DEAB于点E，点F在AC上，BEFC求证：BDDF【变式4-1】（2020秋平山县期中）如图，AOB90，OM平分AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由【变式4-2】（2021春盐田区校级期中）已知：如图，OC是AOB的平分线，P是OC上的一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF求证：DFEF【变式4-3】如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，

8、再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M（1）求证：AP平分CAB；（2）若ACD114，求MAB的度数；（3）若CNAM，垂足为N，求证：CANCMN【知识点3 角平分线的判定】角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PEAD于点E，PFBD于点F，PEPF，则PD平分ADB【题型5 角平分线的判定】【例5】（2020秋鼓楼区校级期中）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A1个B2个C3个D无数个【变式5-

9、1】（2020秋长垣市月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（）A1个B2个C3个D4个【变式5-2】（2020秋夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是BOA的角平分线”他这样做的依据是（）A角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B角平分线上的点到这个角两边的距离相等C三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D以上均不正确【变式5-3】（2

10、021春道县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：点P在BAC的平分线上；点P在CBE的平分线上；点P在BCD的平分线上；点P在BAC，CBE，BCD的平分线的交点上其中正确的是（）ABCD【题型6 角平分线的性质与判定综合】【例6】（2020秋朝阳区校级期中）如图，OD平分AOB，OAOB，P是OD上一点，PMBD于点M，PNAD于点N求证：PMPN【变式6-1】（2020秋临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是ABC的外角平分线，PMAB于点M，PNAC于点N求证：PA平分MAN【变式6-2】（2020秋常熟市期中）如图，ABC中，点D在BC边上，BAD100，AB

11、C的平分线交AC于点E，过点E作EFAB，垂足为F，且AEF50，连接DE（1）求CAD的度数；（2）求证：DE平分ADC；（3）若AB7，AD4，CD8，且SACD15，求ABE的面积【变式6-3】（2020秋庆阳期中）如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点P，PDAC于点D，PHBA于点H（1）若PH8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在HAC的平分线上专题2.4 角平分线的性质和判定-重难点题型【苏科版】【知识点1 角平分线的作法】以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.画

12、射线OC.即射线OC即为所求.【题型1 角平分线的作法及应用】【例1】（2020秋曲靖校级月考）如图所示，已知AOB，求作射线OC，使OC平分AOB，作法的合理顺序是 （将重新排列）作射线OC；以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在AOB内，两弧交于点C【解题思路】根据角平分线的作法进行解答【解答过程】解：作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，在AOB内，两弧交于点C，（3）作射线OC，所以OC就是所求作的AOB的平分线故题中的作法应重新排列为：故答案为：

13、【变式1-1】（2020连城县模拟）如图，已知MON，点B，C分别在射线OM，ON上，且OBOC（1）用直尺和圆规作出MON的角平分线OP，在射线OP上取一点A，分别连接AB、AC（只需保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下求证：ABAC【解题思路】（1）根据作角平分线的方法画图即可；（2）先判断出POBPOC，进而根据全等三角形的判定定理和性质即可得到结论【解答过程】解：（1）如图所示：射线OP即为所求；（2）由（1）知，OP是MON的角平分线，POBPOC，在ABO与ACO中OB=OCAOB=AOCOA=OA，ABOACO（SAS），ABAC【变式1-2】（2020秋沛县期中）

14、如图，已知点D在ABC的边AB上，且ADCD，（1）用直尺和圆规作BDC的平分线DE，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，判断DE与AC的位置关系，并写出证明过程【解题思路】（1）根据角平分线的尺规作图可得；（2）先由ADCD知ADCA，继而得BDCA+DCA2A，再由DE平分BDC知BDC2BDE，从而得BDEA，从而得证【解答过程】解：（1）如图所示，DE即为所求（2）DEAC理由如下：因为ADCD，所以ADCA，所以BDCA+DCA2A，因为DE平分BDC，所以BDC2BDE，所以BDEA，所以DEAC【变式1-3】（2021秋孟州市校级期中）数学课上，探讨角

15、平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：根据以上情境，解决下列问题：作法：（如图1）在OA和OB上分别截取OD、OE，使ODOE分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点C作射线OC，则OC就是AOB的平分线小聪只带来直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线（如图2），方法如下：步骤：利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OMON分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P作射线OP，则OP为AOB的平分线小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 小聪的作

16、法正确吗？请说明理由请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）【解题思路】根据全等三角形的判定即可求解；根据HL可证RtOMPRtONP，再根据全等三角形的性质即可作出判断；根据用刻度尺作角平分线的方法作出图形，写出作图步骤即可【解答过程】解：李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法SSS；故答案为SSS；小聪的作法正确理由：PMOM，PNONOMPONP90，在RtOMP和RtONP中，OP=OPOM=ON，RtOMPRtONP（HL），MOPNOP，OP平分AOB如图所示：步骤：利用刻度尺在OA、OB上分别截取OGOH，连接GH，利用刻度尺

17、作出GH的中点Q，作射线OQ，则OQ为AOB的平分线【知识点2 角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.【题型2 角平分线的性质的应用】【例2】（2021春毕节市期末）如图，已知ABC中，C90o，ACBC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E，且AB10，则DEB的周长为（）A9B5C10D不能确定【解题思路】先利用角平分线的性质得到DEDC，再证明RtACDRtAED得到ACAE，然后利用等线段代换得到DEB的周长AB【解答过程】解：A

18、D平分CAB，DEAB，DCAC，DEDC，在RtACD和RtAED中，AD=ADDC=DE，RtACDRtAED（HL），ACAE，ACBC，BCAE，DEB的周长BD+DE+BEBD+CD+BEBC+BEAE+BEAB10故选：C【变式2-1】（2021春汉寿县期中）如图，四边形ABCD中，A90，AD3，连接BD，BDCD，垂足是D且ADBC，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A1B2C3D4【解题思路】根据等角的余角相等求出ABDCBD，再根据垂线段最短可知DPBC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DPAD【解答过程】解：BDCD，A90ABD+ADB9

19、0，CBD+C90，ABDCBD，由垂线段最短得，DPBC时DP最小，此时，DPAD3故选：C【变式2-2】（2020秋增城区期末）如图，已知ABC的周长是18cm，ABC和ACB的角平分线交于点O，ODBC于点D，若OD3cm，则ABC的面积是（）cm2A24B27C30D33【解题思路】过O点作OEAB于E，OFAC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OEOD3，OFOD3，由于SABCSOAB+SOBC+SOAC，所以根据三角形的面积公式可计算出ABC的面积【解答过程】解：过O点作OEAB于E，OFAC于F，连接OA，如图，OB平分ABC，ODBC，OEAB，OEOD3，同理可得O

20、FOD3，SABCSOAB+SOBC+SOAC=12OEAB+12ODBC+12OFAC=32（AB+BC+AC），ABC的周长是18，SABC=321827（cm2）故选：B【变式2-3】（2021春武侯区校级期中）如图，AD是ABC的角平分线，DFAB于点F，且DEDG，SADG24，SAED18，则DEF的面积为（）A2B3C4D6【解题思路】过点D作DHAC于H，根据角平分线的性质得到DHDF，进而证明RtDEFRtDGH，根据全等三角形的性质得到DEF的面积DGH的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案【解答过程】解：过点D作DHAC于H，AD是ABC的角平分线，DFAB，DHAC，

21、DHDF，在RtDEF和RtDGH中，DF=DHDE=DG，RtDEFRtDGH（HL），DEF的面积DGH的面积，设DEF的面积DGH的面积S，同理可证，RtADFRtADH，ADF的面积ADH的面积，24S18+S，解得，S3，故选：B【题型3 角平分线的性质与等积法】【例3】（2020秋云南期末）如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，ABC面积是152cm2，AB20cm，AC18cm，求DE的长【解题思路】根据SABCSABD+SACD，再利用角平分线的性质即可解决问题【解答过程】解：AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，DEDF，SABCSA

22、BD+SACD，SABC=12ABDE+12ACDF，ABC面积是152cm2，AB20cm，AC18cm，152=1220DE+1218DF，10DE+9DF152，DEDF，19DE152，DE8【变式3-1】（2021春浦江县期末）如图，在ABC中，BAC90，AB6，AC8，BC10，若AD平分BAC交BC于点D，求BD的长【解题思路】过A点作AHBC于H，过D点作DEAB于E，DFAC于F，如图，利用面积法先求出AH=245，再根据角平分线的性质得到DEDF，接着利用面积法得到12ABDE+12ACDF=12ABAC，则可求出DE=247，然后利用12AHBD=12ABDE可求出BD

23、的长【解答过程】解：过A点作AHBC于H，过D点作DEAB于E，DFAC于F，如图，12AHBC=12ACAB，AH=6810=245，AD平分BAC，DEDF，12ABDE+12ACDF=12ABAC，3DE+4DF24，DE=247，SABD=12AHBD=12ABDE，BD=6247245=307【变式3-2】（2020春番禺区校级期中）点P为ABC三内角平分线的交点，ACB90，AB10cm，AC6cm，BC8cm，求：点P到三边的距离【解题思路】根据点P为三角形三个内角平分线的交点，作PDBC于D，PEAC于E，PFAB于F，连接PA，PB，PC，可得PDPEPF，根据三角形的面积公

24、式即可求出点P到三边的距离【解答过程】解：点P为三角形三个内角平分线的交点，作PDBC于D，PEAC于E，PFAB于F，连接PA，PB，PC，如图，PDPEPF，设PDPEPFR，由三角形的面积公式得：SACBSAPC+SAPB+SBPC，12ACBC=12ACR+12BCR+12ABR，686R+8R+10R，R2，即PD2cm答：点P到三边的距离为2cm【变式3-3】（2020秋渝水区校级期中）知识储备：（1）如图1，AD是ABC的高，则ABC的面积SABC=12BCAD比例的性质：若ba=dc=nm，则b+d+na+c+m=ba=dc=nm知识运用：（2）如图2，BE是ABC的角平分线，

25、运用上述知识，求证：ABBC=AECE；知识延展：（4） 如图3，ABC的角平分线BE平分ABC的周长，求证：ABC是等腰三角形【解题思路】2作EFAB，EGBC，BHAC，垂足分别是F，G，H，根据角平分线的性质得到EFEG，根据三角形的面积公式即可得到结论；3由（1）得到ABBC=AECE，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论【解答过程】2证明：作EFAB，EGBC，BHAC，垂足分别是F，G，H，BE平分ABC，EFEG，SABE=12ABEF，SBCE=12BCEG，SABESBCE=ABBC，SABE=12AEBH，SBCE=12CEBH，SABESBCE=AECE，ABBC=AEC

26、E，3证明：由（1）知ABBC=AECE，ABBC=AE+ABCE+BC，AB+AEBC+CE，ABBC=1，ABBC，ABC是等腰三角形【题型4 角平分线的性质与全等】【例4】（2020秋肇源县期末）如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，DEAB于点E，点F在AC上，BEFC求证：BDDF【解题思路】因为C90，DEAB，所以CDEB，又因为AD平分BAC，所以CDDE，已知BEFC，则可根据SAS判定CDFEDB，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答过程】证明：AD平分BAC，DEAB，C90，DCDE，在DCF和DEB中，DC=DEC=BEDCF=BE，DCFDEB，（SAS），B

27、DDF【变式4-1】（2020秋平山县期中）如图，AOB90，OM平分AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由【解题思路】先过点P作PEOA于点E，PFOB于点F，构造全等三角形：RtPCE和RtPDF，这两个三角形已具备两个条件：90的角以及PEPF，只需再证EPCFPD，根据已知，两个角都等于90减去CPF，那么三角形全等就可证【解答过程】解：PC与PD相等理由如下：过点P作PEOA于点E，PFOB于点FOM平分AOB，点P在OM上，PEOA，PFOB，PEPF（角平分线上的点到角两边的距离相等）又AOB90，PE

28、OPFO90，四边形OEPF为矩形，EPF90，EPC+CPF90，又CPD90，CPF+FPD90，EPCFPD90CPF在PCE与PDF中，PEC=PFDPE=PFEPC=FPD，PCEPDF（ASA），PCPD【变式4-2】（2021春盐田区校级期中）已知：如图，OC是AOB的平分线，P是OC上的一点，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF求证：DFEF【解题思路】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PDPE，利用“HL”证明RtOPD和RtOPE全等，根据全等三角形对应边相等可得ODOE，再利用“边角边”证明ODF和OEF全等，然后利用全等三角形

29、对应边相等证明即可【解答过程】证明：OC是AOB的平分线，PDOA，PEOB，PDPE，在RtOPD和RtOPE中，OP=OPPD=PE，RtOPDRtOPE（HL），ODOE，OC是AOB的平分线，DOFEOF，在ODF和OEF中，OD=OEDOF=EOFOF=OF，ODFOEF（SAS），DFEF【变式4-3】如图，ABCD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M（1）求证：AP平分CAB；（2）若ACD114，求MAB的度数；（3）若CNAM，垂足为N，求证：CANC

30、MN【解题思路】（1）利用基本作图得到AEAF，PEPF，则可根据“SSS“判断AEPAFP，从而得到EAPFAP；（2）利用平行线的性质可计算出BAC66，然后利用角平分线的定义可计算出MAB的度数；（3）利用CDAB得到BAMCMA，加上CAMBAM，所以CAMCMA，则CACM，则可利用“AAS”判断CANCMN【解答过程】（1）证明：连接PE、PF，如图，由作法得AEAF，PEPF，而APAP，AEPAFP（SSS），EAPFAP，即AP平分CAB；（2）解：CDAB，BAC+ACD180，BAC18011466，AP平分CAB，MAB=12BAC33；（3）解：CDAB，BAMCMA

31、，CAMBAM，CAMCMA，CACM，CNAM，CNACNM，在CAN和CMN中CAN=CMNANC=MNCAC=CM CANCMN（AAS）【知识点3 角平分线的判定】角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判定：若PEAD于点E，PFBD于点F，PEPF，则PD平分ADB【题型5 角平分线的判定】【例5】（2020秋鼓楼区校级期中）如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（）A1个B2个C3个D无数个【解题思路】根据角平分线的性质可作直线l2与l3夹角的平分线与直线l1

32、的交点即为符合条件的点【解答过程】解：作直线l2与l3夹角的平分线OA，OB，交直线l1于A，B两点，则在l1上到另两条公路的距离相等的位置有点A和点B两个位置故选：B【变式5-1】（2020秋长垣市月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（）A1个B2个C3个D4个【解题思路】从已知提供的条件结合角平分线的性质进行思考，在三角形内部三条角平分线相交于同一点，三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的交点，共有三个；【解答过程】解：在三角形内部三条角平分线相交于同一点，三外角平分线有三交点，除去深水湖泊那里的交点，共有

33、三个，故选：C【变式5-2】（2020秋夏津县期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是BOA的角平分线”他这样做的依据是（）A角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B角平分线上的点到这个角两边的距离相等C三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D以上均不正确【解题思路】过两把直尺的交点P作PEAO，PFBO，根据题意可得PEPF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分AOB；【解答过程】解：如图所

34、示：过两把直尺的交点P作PEAO，PFBO，两把完全相同的长方形直尺，PEPF，OP平分AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A【变式5-3】（2021春道县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：点P在BAC的平分线上；点P在CBE的平分线上；点P在BCD的平分线上；点P在BAC，CBE，BCD的平分线的交点上其中正确的是（）ABCD【解题思路】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解【解答过程】解：点P到AE、AD、BC的距离相等，点P在BAC的平分线上，故正确；点P在CBE的平分线上，故正确；点P在BCD

35、的平分线上，故正确；点P在BAC，CBE，BCD的平分线的交点上，故正确，综上所述，正确的是故选：A【题型6 角平分线的性质与判定综合】【例6】（2020秋朝阳区校级期中）如图，OD平分AOB，OAOB，P是OD上一点，PMBD于点M，PNAD于点N求证：PMPN【解题思路】由已知容易求证OBDOAD（SAS），可得34，再根据角平分线性质的逆定理，可证PMPN【解答过程】证明：OD平分AOB，12在OBD和OAD中，OB=OA1=2OD=OD，OBDOAD（SAS）34PMBD，PNAD，PMPN【变式6-1】（2020秋临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是ABC的外角平分线，PMAB于

36、点M，PNAC于点N求证：PA平分MAN【解题思路】作PDBC于点D，根据角平分线的性质得到PMPD，PNPD，得到PMPN，根据角平分线的判定定理证明即可【解答过程】证明：作PDBC于点D，BP是ABC的外角平分线，PMAB，PDBC，PMPD，同理，PNPD，PMPN，又PMAB，PNAC，PA平分MAN【变式6-2】（2020秋常熟市期中）如图，ABC中，点D在BC边上，BAD100，ABC的平分线交AC于点E，过点E作EFAB，垂足为F，且AEF50，连接DE（1）求CAD的度数；（2）求证：DE平分ADC；（3）若AB7，AD4，CD8，且SACD15，求ABE的面积【解题思路】（1

37、）根据直角三角形的性质求出FAE，根据补角的定义计算，得到答案；（2）过点E作EGAD于G，EHBC于H，根据角平分线的性质得到EFEG，EFEH，等量代换得到EGEH，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）根据三角形的面积公式求出EG，再根据三角形的面积公式计算，得到答案【解答过程】（1）解：EFAB，AEF50，FAE905040，BAD100，CAD1801004040；（2）证明：过点E作EGAD于G，EHBC于H，FAEDAE40，EFBF，EGAD，EFEG，BE平分ABC，EFBF，EHBC，EFEH，EGEH，EGAD，EHBC，DE平分ADC；（3）解：SACD15，12AD

38、EG+12CDEH15，即124EG+128EG15，解得，EGEH=52，EFEH=52，ABE的面积=12ABEF=12752=354【变式6-3】（2020秋庆阳期中）如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点P，PDAC于点D，PHBA于点H（1）若PH8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在HAC的平分线上【解题思路】（1）作PQBE于Q，如图，利用角平分线的性质得到PHPQ8cm；（2）根据角平分线的性质得到PDPQ，PHPQ，则PDPH，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论【解答过程】（1）解：作PQBE于Q，如图，BP平分ABC，PHPQ8，即点

39、P到直线BC的距离为8cm；（2）证明：PC平分ACE，PDPQ，而PHPQ，PDPH，点P在HAC的平分线上 专题2.5 等腰三角形-重难点题型【苏科版】【知识点1 等腰三角形】（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.【题型1 等腰三角形的性质（角度问题）】【例1】（2021绍兴）如图，在ABC中，A4

40、0，点D，E分别在边AB，AC上，BDBCCE，连结CD，BE（1）若ABC80，求BDC，ABE的度数；（2）写出BEC与BDC之间的关系，并说明理由【变式1-1】（2020春益阳期末）如图，已知ABC、ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EFBC（1）若ABC50，ACB60，求BOC的度数；（2）若BOC130，1：23：2，求ABC、ACB的度数【变式1-2】（2020春宁德期末）如图，已知等腰ABC中，ABAC，A90，CD是ABC的高，BE是ABC的角平分线，CD与BE交于点P当A的大小变化时，EPC的形状也随之改变（1）当A44时，求BPD的度数；（2）设Ax，EPCy，求变量y与x的关系式；（3）当EPC是等腰三角形时，请直接写出A的度数【变式1-3】（2020秋仓山区期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，ACAD，BACBDC，CAD（1）求证：ABDADC；（2）当AED65时，求2的度数；（3）+2180时，求证：BDCD【题型2 等腰三角形的性质（周长问题）】【例2】（2020秋罗庄区期中）如图，在ABC中，ABBC，中