2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）（举一反三）（人教版）含解析.docx

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1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等腰三角形！一解答题（共50小题）1（2022秋勃利县期末）如图：ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DFAC于F，交BC于E，且BDBE，求证：ABC为等腰三角形2（2022秋淮安区期末）如图，在ABC中，ABAC，A50，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求DBC的度数3（2022秋林州市期末）已知ABC的两边长a和b满足a-9+（b4）20（1）若

2、第三边长为c，求c的取值范围（2）若ABC是等腰三角形，求ABC的周长4（2022秋河东区校级期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分ACB与y轴交于D点，CAO90BDO（1）求证：ACBC；（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且DEADBO，求BC+EC的长5（2022秋武冈市期中）已知如图，ABC中，EFBC，交AB、AC于E、F，B的平分线交EF于O点（1）求证：EOBE；（2）若EFBE+CF，求证：OC平分ACB6（2022秋盘龙区期末）如图，在ABC中，ABAC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BECF，BDCE（1）求证

3、：DEF是等腰三角形；（2）当A50时，求DEF的度数7（2022秋大石桥市期末）如图，ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F（1）若AF3，求AD的长；（2）证明：DE2DF8（2022春大埔县期末）如图，ABC是等边三角形，ACE是等腰三角形，AEC120，AECE，F为BC中点，连接AF（1）直接写出BAE的度数为 ；（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由9（2022秋宁明县期末）如图，在ABC中，ACBC，ACB120，CEAB于点D，且DEDC求证：CEB为等边三角形10（2022春二七区校级期中）在ABC中，ABAC，

4、D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AEAD，DAEBAC，连接CE设BAC，BCE（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，角与之间的数量关系是 ；若线段BC2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 ；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，请问（1）中与之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；线段BC、DC、CE之间的数量是 11（2022秋台江区期末）如图，已知ABCADC90，BCCD，CACE（1）求证：ACBACD；（2）过点E作MEAB，交AC的延长线于点M，过点M作MPDC，交DC的延长线于点P连接PE，交AM于点N，证明

5、AM垂直平分PE；点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合12（2022春市南区期末）如图，RtABC中，ACB90，D是AB上一点，BDBC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD13（2022秋平房区期末）如图，点D、E在ABC的边BC上，ADAE，BDCE（1）求证：ABAC；（2）若BAC108，DAE36，直接写出图中除ABC与ADE外所有的等腰三角形14（2022秋河西区期末）如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD，求ABC各角的度数15（2022秋巩义市期末）如图，在RtABC中，C90，A60，AB12cm，若点P从点

6、B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；（2）当t为何值时，APQ是以PQ为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，PQBC？16（2022秋清江浦区校级月考）如图，在ABC中，B90，AB16cm，BC12cm，AC20cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）BP （用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，P

7、QB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？17（2022春渠县校级期末）已知：如图，ABAC，D是AB上一点，DEBC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F求证：ADF是等腰三角形18（2022秋北仑区期中）（1）如图1，ABC中，作ABC、ACB的角平分线相交于点O，过点O作EFBC分别交AB、AC于E、F求证：OEBE；若ABC 的周长是25，BC9，试求出AEF的周长；（2）如图2，若ABC的平分线与ACB外角ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求BAC 与PAC的数量关系式19（2022秋余干县期中）如图，在四边形ABCD

8、中，ABAD，ABCADC求证：BCDC20（2022春焦作期末）如图，在等边三角形ABC中B，C的平分线相交于点O，作BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F小明说：“E，F是BC的三等分点”你同意他的说法吗？请说明理由21（2022秋工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，点E是AC的中点（1）求证：BED是等腰三角形：（2）当BCD 时，BED是等边三角形22（2022春梅州校级期末）如图，在RtABC中，ACB90，A30，BC1将三角板中30角的顶点D放在AB边上移动，使这个30角的两边分别与ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直（1）

9、BDF是什么三角形？请说明理由；（2）设ADx，CFy，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）（3）当移动点D使EFAB时，求AD的长23（2022秋阳新县校级期末）如图1，在RtACB中，ACB90，ABC30AC1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CDn，（1）当n1时，则AF ；（2）当0n1时，如图2，在BA上截取BHAD，连接EH，求证：AEH为等边三角形24（2022宁德一模）如图，已知ABC中，ABCACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点D，E，连接BD，ED（1）写出图中所有的等腰三角

10、形；（2）若AED114，求ABD和ACB的度数25（2022秋平舆县期末）如图，在ABC中，ABC45，点P为边BC上的一点，BC3BP，且PAB15，点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又APC的PC边上的高为AH（1）求BPD的大小；（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；（3）证明：BAPCAH26（2022春本溪县期中）如图，ABC中，ADBC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BDDE（1）若BAE40，求C的度数；（2）若ABC周长为20cm，AC8cm，求DC长27（2022秋澧县期末）如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时

11、到达B处分别从A、B处望灯塔C，测得NAC42，NBC84度求B处与灯塔C距离28（2022春西安期末）如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE5cm，ABD的周长为17cm，求ABC的周长29（2022春嵩县期末）如图所示点P在AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F（1）若MN20cm，求PEF的周长（2）若AOB35，求EPF的度数30（2022秋沂南县期末）如图，AD为ABC的角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，连接EF交AD于点O（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若BAC60，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明31（

12、2022秋张家港市校级期末）如图：AD为ABC的高，B2C，用轴对称图形说明：CDAB+BD32（2022春锦江区校级期末）操作实验：如图，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成的两个三角形成轴对称所以ABDACD，所以BC归纳结论：如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等根据上述内容，回答下列问题：思考验证：如图（4），在ABC中，ABAC试说明BC的理由；探究应用：如图（5），CBAB，垂足为B，DAAB，垂足为AE为AB的中点，ABBC，CEBD（1）BE与AD是否相等，为什么？（2）小明认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）DBC与D

13、CB相等吗？试说明理由33（2022海丰县模拟）如图，在ABC中，ABAC，点D是BC的中点，点E在AD上求证：BECE（要求：不用三角形全等的方法）34（2022春余杭区期末）如图，已知ABC中，ABAC，BC6，AM平分BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=12BC（1）求ME的长；（2）求证：DMC是等腰三角形35（2022白城校级模拟）在ABC中，ABAC，点D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使ADAE，DAEBAC，连接CE（1）如图1，如果BAC90，则BCE ；（2）如图2，设BAC，BCE当点D在线段BC上移动时，请写出，之

14、间的数量关系，请说明理由36（2022秋乐亭县期末）若a、b是ABC的两边且|a3|+（b4）20（1）试求a、b的值，并求第三边c的取值范围（2）若ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长（3）若另一等腰DEF，其中一内角为x，另一个内角为（2x20）试求此三角形各内角度数37（2022秋盂县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD求证：CDO是等腰三角形38（2022秋龙门县期中）如图，在ABC中，ABAC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BECF，BDCE

15、（1）求证：DEF是等腰三角形；（2）求证：BDEF；（3）当A40时，求DEF的度数39（2022春静安区校级期末）已知：如图，在ABC中，ABC3C，12，BEAE求证：ACAB2BE40（2022秋秦淮区校级期中）在ABC中，ABC2C，BD平分ABC，交AC于D，AEBD，垂足为E求证：AC2BE41（2022秋滑县校级期末）已知ABC为等边三角形，D为AC的中点，EDF120，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F（1）如图（1），求证：DEDF；（2）如图（2），若BE3AE，求证：CF=14BC（3）如图（3），若BE=13AE，则CF BC；在图（1）中，若BE4AE，则CF

16、BC42（2022春峄城区期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F（1）求证：CEF是等腰三角形；（2）若CD2，求DF的长43（2022秋红山区期末）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则CMQ变

17、化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数44（2022南京模拟）数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几对全等三角形？丁图中有几对等边三角形？45（2022秋五河县期末）如图，过等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，且PACQ，连PQ交AC边于D（1）求证：PDDQ；（2）若ABC的边长为1，求DE的长46（2022南京模拟）如图，BAC30，点P是BAC的平分线上的一点，PDAC于D，PEAC交AB于E，已知AE10cm，求PD的长度47（2022春青浦区校级期末）如图，在ABC中，BAC90，ABAC，AE是过A的一条直线，且

18、B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BDAE于D，CEAE于E，求证：BDDE+CE48（2022秋龙华区期末）如图，已知直线l1l2l3，点E、F分别在l3、l1上，RtABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且BAC25，BAE25（1）求证：ABD是等腰三角形；（2）求BCF的度数49（2022春电白区期末）如图，已知ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则（1）BP cm，BQ cm（用含t

19、的代数式表示）（2）当t为何值时，PBQ是直角三角形？50（2022南京模拟）如图，在等边ABC的三边上分别取点D、E、F，使ADBECF（1）试说明DEF是等边三角形；（2）连接AE、BF、CD，两两相交于点P、Q、R，则PQR为何种三角形？试说明理由专题13.6 等腰三角形的证明及计算大题专项训练（50道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对等腰三角形工具的应用及构造等腰三角形！一解答题（共50小题）1（2022秋勃利县期末）如图：ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DFAC于F，交BC于E，且BDBE，求证：ABC为等腰三角形

20、【分析】要证ABC为等腰三角形，须证AC，而由题中已知条件，DFAC，BDBE，因此，可以通过角的加减求得A与C相等，从而判断ABC为等腰三角形【详解】证明：DFAC，DFAEFC90ADFAD，CEFCCEF，BDBE，BEDDBEDCEF，DCEFACABC为等腰三角形【点睛】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键2（2022秋淮安区期末）如图，在ABC中，ABAC，A50，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求DBC的度数【分析】分别求出ABC，ABD，可得结论【详解】解：ABC中，ABAC，A50，ABCC=12（180A）65，AB的垂直平分线M

21、N交AC于D，ADBD，ABDA50，DBCABCABD655015【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，灵活运用所学知识解决问题3（2022秋林州市期末）已知ABC的两边长a和b满足a-9+（b4）20（1）若第三边长为c，求c的取值范围（2）若ABC是等腰三角形，求ABC的周长【分析】（1）利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；（2）分腰长为9或4两种情况进行计算；【详解】解：（1）a-9+（b4）20，a90，b40，解得a9，b4，94c9+4，即5c13；（2）当腰长为9时，此时三角形的三边为9

22、、9、4，满足三角形三边关系，周长为22；当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、9，4+49，不满足三角形三边关系综上可知，ABC的周长为22【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键4（2022秋河东区校级期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分ACB与y轴交于D点，CAO90BDO（1）求证：ACBC；（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且DEADBO，求BC+EC的长【分析】（1）由题意CAO90BDO，可知CAOCBD，CD平分ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明ACDBCD，由全等

23、三角形的性质可得ACBC；（2）过D作DNAC于N点，可证明RtBDORtEDN、DOCDNC，因此，BOEN、OCNC，所以，BC+ECBO+OC+NCNE2OC，即可得BC+EC的长【详解】（1）证明：CAO90BDO，CAOCBD在ACD和BCD中ACD=BCDCAO=CBDCD=CD，ACDBCD（AAS）ACBC；（2）由（1）知CADDEADBO，BDADDE，过D作DNAC于N点，如右图所示：ACDBCD，DODN，在RtBDO和RtEDN中BD=DEDO=DN，RtBDORtEDN（HL），BOEN在DOC和DNC中，DOC=DNC=90OCD=NCDDC=DCDOCDNC（A

24、AS），可知：OCNC；BC+ECBO+OC+NCNE2OC8【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键5（2022秋武冈市期中）已知如图，ABC中，EFBC，交AB、AC于E、F，B的平分线交EF于O点（1）求证：EOBE；（2）若EFBE+CF，求证：OC平分ACB【分析】（1）利用平行线以及角平分线的定义证明EOBEBO即可（2）想办法证明OCFOCB即可【详解】证明：（1）EFBC，交AB、AC于E、FBOECBO，COFBCO，B的平分线交EF于O点，EBOCBO，EBOBOE，EOBE（2）EFBE+CF，且EFOE+OF，O

25、E+OFBE+CF，EOBE，OFCF，COFFCO，COFBCO，BCOFCO，OC平分ACB【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识进行线段的等量代换是正确解答本题的关键6（2022秋盘龙区期末）如图，在ABC中，ABAC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BECF，BDCE（1）求证：DEF是等腰三角形；（2）当A50时，求DEF的度数【分析】（1）根据等边对等角可得BC，利用“边角边”证明BDE和CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DEEF，再根据等腰三角形的定义证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得BDECEF，然后求出BED+CE

26、FBED+BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出BDEF【详解】（1）证明：ABAC，BC，在BDE和CEF中，BD=CEB=CBE=CF，BDECEF（SAS），DEEF，DEF是等腰三角形；（2）解：BDECEF，BDECEF，BED+CEFBED+BDE，B+（BED+BDE）180，DEF+（BED+BDE）180，BDEF，A50，ABAC，B=12（18050）65，DEF65【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键7（2022秋大石桥市期末）如图，ABC是等边三角形，延长BC到点E，使

27、CE=12BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F（1）若AF3，求AD的长；（2）证明：DE2DF【分析】（1）根据已知条件，易证CDCE，从而求出ECDE30，然后再根据B60，求出AFD90，最后放在直角三角形AFD中，即可解答；（2）根据等腰三角形的三线合一性质，想到连接BD，易证BDDE，然后放在直角三角形BFD中，即可解答【详解】（1）解：ABC为等边三角形，ACBC，AACB60，D为AC中点，CDAD=12AC，CE=12BC，CDCE，ECDE，ACBE+CDE，ECDE30，ADFCDE30，A60AFD180AADF90，AF3AD2AF6；（2）证明：连接BD

28、，ABC为等边三角形，D为AC中点，BD平分ABC，ABC60，DBCABD=12ABC30，BFD90BD2DFDBCE30BDDEDE2DF【点睛】本题考查了等边三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一添加辅助线是解题的关键8（2022春大埔县期末）如图，ABC是等边三角形，ACE是等腰三角形，AEC120，AECE，F为BC中点，连接AF（1）直接写出BAE的度数为90；（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由【分析】（1）分别求出BAC，CAE即可解决问题（2）证明AFBCECBC即可判断【详解】解：（1）ABC是等边三角形，BACACB60，EAEC，AEC120，EACECA30，

29、BAEBAC+CAE90故答案为90（2）结论：AFEC理由：ABAC，BFCF，AFBC，ACB60，ACE30，BCE90，ECBC，AFEC【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9（2022秋宁明县期末）如图，在ABC中，ACBC，ACB120，CEAB于点D，且DEDC求证：CEB为等边三角形【分析】根据CEAB于点D，且DEDC得出BCBE，根据角的关系得出ECB60，即可证得CEB为等边三角形【详解】证明：CEAB于点D，且DEDC，BCBE，ACBC，ACB120，CEAB于点D，ECB60，CEB为

30、等边三角形【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键10（2022春二七区校级期中）在ABC中，ABAC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AEAD，DAEBAC，连接CE设BAC，BCE（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，角与之间的数量关系是 +180；若线段BC2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是 8；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，请问（1）中与之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；线段BC、DC、CE之间的数量是 CEBC+CD【分析】（1）先证CAEBAD，再证明AB

31、DACE，得出对应角相等ABDACE，即可得出结论；根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论；（2）如图2，根据等式的性质就可以得出CAEBAD，就可以得出ABDACE就可以得出ABDACE，就可以得出结论；根据全等三角形的性质即可得到结论【详解】解：（1）+180；理由如下：DAEBAC，DAEDACBACDACCAEBAD，在ABD和ACE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，ABDACE（SAS），ABDACE，BAC+ABD+ACB180，BAC+ACE+ACB180，BAC+BCE180，即+180，故答案为：+180；由知，ABDACE，BDCE，ADAE，CD+CEB

32、D+CDBC2，当ADBC时，AD最短，即四边形ADCE周长的值最小，点A到直线BC的距离是3，ADAE3，四边形ADCE周长的最小值是2+3+38，故答案为：8；（2）成立，理由如下：DAEBAC，DAE+CADBAC+CAD，BADCAE，在BAD和CAE中，AB=ACBAD=CAEAD=AE，ABDACE（SAS），ABDACE，ACDABD+BACACE+DCE，BACDCE，BAC+BCEDCE+BCE180，即+180；ABDACE（SAS），ABDACE，BDCE，BDBC+CD，CEBC+CD，故答案为：CEBC+CD【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；

33、证明三角形全等得出对应角相等、对应边相等是解决问题的关键11（2022秋台江区期末）如图，已知ABCADC90，BCCD，CACE（1）求证：ACBACD；（2）过点E作MEAB，交AC的延长线于点M，过点M作MPDC，交DC的延长线于点P连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合【分析】（1）证明RtABCRtADC（HL）即可；（2）证明NECNPC（SAS）即可；延长PD、ME交于Q点，结合推导出EPDDQE30，则PEEQ，则ME+PEQE+MEMQ，此时ME+PE的值最小，再由点O是直线AE上的动点，可得当MO+P

34、O的值最小时，E点与O点重合【详解】证明：（1）ABCADC90，BCCD，ACAC，RtABCRtADC（HL），ACBACD；（2）RtABCRtADC，BACCAD，CACE，CAECEA，EBA90，BEABACCAE30，PDAE，MPPD，AEMP，PMCMAE30，MEAB，MEBABE90，MEA90+30120，MAE30，EMA30，CPMP，CEME，MCPMCE60，NECNPC（SAS），ENPN，N是EP的中点，NCPE，AM垂直平分PE；延长PD、ME交于Q点，由知，BEA30，MEB90，MEA120，DEQ60，PDAE，EDQ90，EQD30，CPN30，E

35、PDDQE，PEEQ，ME+PEQE+MEMQ，此时ME+PE的值最小，点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，E点与O点重合【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称求最短距离是解题的关键12（2022春市南区期末）如图，RtABC中，ACB90，D是AB上一点，BDBC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD【分析】证明RtBDERtBCE，根据全等三角形的性质得到EDEC，根据线段垂直平分线的判定定理证明【详解】证明：ACB90，DEAB，ACBBDE90，在RtBDE和Rt

36、BCE中，BD=BCBE=BE，RtBDERtBCE，EDEC，EDEC，BDBC，BE垂直平分CD【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键13（2022秋平房区期末）如图，点D、E在ABC的边BC上，ADAE，BDCE（1）求证：ABAC；（2）若BAC108，DAE36，直接写出图中除ABC与ADE外所有的等腰三角形【分析】（1）首先过点A作AFBC于点F，由ADAE，根据三线合一的性质，可得DFEF，又由BDCE，可得BFCF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得ABAC（2）根据等腰三角形的判定解答即可【详解】证明：（1

37、）过点A作AFBC于点F，ADAE，DFEF，BDCE，BFCF，ABAC（2）BBAD，CEAC，BAEBEA，ADCDAC，除ABC与ADE外所有的等腰三角形为：ABD、AEC、ABE、ADC，【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用14（2022秋河西区期末）如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD，求ABC各角的度数【分析】设Ax，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数【详解】解：设AxADBD，ABDAx；BDBC，BCDBDCABD+A2x；ABAC，ABCBCD2x，DBCx；x+2x

38、+2x180，x36，A36，ABCACB72【点睛】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键15（2022秋巩义市期末）如图，在RtABC中，C90，A60，AB12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts（1）用含t的式子表示线段AP、AQ的长；（2）当t为何值时，APQ是以PQ为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，PQBC？【分析】（1）由题意，可知B30，AC6cmBP2t，APABBP，AQt（2）若APQ是以PQ为底的等

39、腰三角形，则有APAQ，即122tt，求出t即可（3）先根据直角三角形的性质求出B的度数，再由平行线的性质得出QPA的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论【详解】解：（1）RtABC中，C90，A60，B30又AB12cm，AC6cm，BP2t，APABBP122t，AQt；（2）APQ是以PQ为底的等腰三角形，APAQ，即122tt，当t4时，APQ是以PQ为底边的等腰三角形；（3）当PQAC时，PQBCC90，A60，B30PQBC，QPA30AQ=12AP，t=12（122t），解得t3，当t3时，PQBC【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定及平行线的判定与性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键16（2022秋清江浦区校级月考）如图，在ABC中，B90，AB16cm，BC12cm，AC20cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）BP（16t）cm（用t的代数式表示）（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，PQB是等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，出发 11秒或12秒后，BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；（2）结合（