2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题6.2 一次函数与正比例函数-重难点题型（举一反三）含解析.docx

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1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题6.2 一次函数与正比例函数-重难点题型【苏科版】【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。【题型1 一次函数的概念】【例1】（2021春娄星区期末）在下列函数中：y8x；y=32x+1；y=x+1；y8x2+5；y0.5x1，一次函数有（）A1个B2个C3个D4个【变式1-1】（2020秋肥西县校级月考）下列函数：（1）y3x；（2）y2x1；（3

2、）y=1x；（4）yx21；（5）y=-x8中，是一次函数的有（）个A4B3C2D1【变式1-2】（2021春汉阴县期末）在y8x：y=-3x：y=x+1；y5x2+1：y0.5x3中，一次函数有（）A1个B2个C3个D4个【变式1-3】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系A

3、1B4C3D2【题型2 利用一次函数的概念求值】【例2】（2021春昭通期末）若y（k2）x|k1|+1表示一次函数，则k等于（）A0B2C0或2D2或0【变式2-1】（2021春雨花区期中）若函数y（m+2）x|m|15是一次函数，则m的值为（）A2B2C2D1【变式2-2】（2021春杨浦区期末）如果ykx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是 【变式2-3】已知y（k1）x|k|+（k24）是一次函数（1）求k的值；（2）求x3时，y的值；（3）当y0时，x的值【题型3 正比例函数的概念】【例3】（2021春萝北县期末）若y（m+2）x+m24是关于x的正比例函数，则常数m 【变式3-1

4、】函数y（k+1）xk2是正比例函数，则常数k的值为 【变式3-2】已知函数ymx+25m是正比例函数，则该函数的表达式为 【变式3-3】已知函数y2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a 【知识点2 正比例函数和一次函数解析式的确定】确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。【题型4 用待定系数法求一次函数解析式】【例4】已知y+2与x1成正比例，且当x3时，y4（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当y1时，求x的值【变式4-1】已知y1与x+2成正比例，且x1时，y3

5、（1）求y与x之间的关系式；（2）它的图象经过点（m1，m+1），求m的值【变式4-2】直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，4）（1）求直线AB的解析式（2）若直线CD与AB平行，且直线CD与y轴的交点与B点相距2个单位，则直线CD的解析式为 【变式4-3】已知一次函数ykx+b，当x2时y的值是1，当x1时y的值是5（1）求此一次函数的解析式；（2）若点P（m，n）是此函数图象上的一点，3m2，求n的最大值【题型5 用待定系数法求正比例函数解析式】【例5】（2020秋青山区期中）已知正比例函数过点A（2，4），点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B（0，4）且三角形

6、ABP的面积为8求：（1）过点A的正比例函数关系式；（2）点P的坐标【变式5-1】已知函数ymx+25m是正比例函数，则该函数的表达式为 【变式5-2】若yy1+y2且y1与x成正比例，y2与（x3）成正比例，当x1时y3，当x1时y9，当x3时y的值【变式5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（2，2），且一次函数的图象与y轴相交于点Q（0，4）（1）求这两个函数的解析式（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象（3）求出POQ的面积【题型6 一次函数解析式与三角形面积问题】【例6】（2021春赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线AB交y轴于点A，直线AC与

7、x轴交于点C，直线AB与x轴交于点B，已知A（0，4），B（2，0）（1）求直线AB的解析式；（2）若SABC12，求点C的坐标【变式6-1】（2021春阿荣旗期末）已知：一次函数的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）（1）求一次函数的解析式；（2）若直线AB上的有一点C，且SBOC2，求点C的坐标【变式6-2】（2020秋泰兴市期末）如图，已知一次函数ykx+b的图象经过A（2，1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D（1）求该一次函数的表达式；（2）求AOB的面积【变式6-3】（2021春雄县期末）如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，2），点B的坐标为

8、（4，2），点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合）直线l2：ykx+2k经过点P，并与l1交于点M，过点P作PNl2，交l1于点N（1）求l1的函数表达式；（2）当k=49时，求点M的坐标；求SAPM专题6.2 一次函数与正比例函数-重难点题型【苏科版】【知识点1 一次函数和正比例函数的概念】一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。【题型1 一次函数的概念】【例1】（2021春娄星区期末）在下列函数中：y8x；y=32x+1；y=x+

9、1；y8x2+5；y0.5x1，一次函数有（）A1个B2个C3个D4个【解题思路】根据一次函数的解析式ykx+b（k0）判定一次函数即可【解答过程】解：一次函数的解析式为ykx+b（k0），y8x，y=32x+1，y0.5x1符合一次函数解析式形式，一次函数有，故选：C【变式1-1】（2020秋肥西县校级月考）下列函数：（1）y3x；（2）y2x1；（3）y=1x；（4）yx21；（5）y=-x8中，是一次函数的有（）个A4B3C2D1【解题思路】直接利用一次函数的定义分析得出答案【解答过程】解：（1）y3x是正比例函数，也是一次函数；（2）y2x1是一次函数；（3）y=1x的分母含有自变量x

10、，不是一次函数；（4）yx21是二次函数，不是一次函数；（5）y=-x8是正比例函数，也是一次函数是一次函数的有3个，故选：B【变式1-2】（2021春汉阴县期末）在y8x：y=-3x：y=x+1；y5x2+1：y0.5x3中，一次函数有（）A1个B2个C3个D4个【解题思路】根据一次函数的定义解答即可【解答过程】解：在y8x：y=-3x：y=x+1；y5x2+1：y0.5x3中，一次函数有y8x；y0.5x3故选：B【变式1-3】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径

11、x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系A1B4C3D2【解题思路】根据一次函数的定义逐个判断即可【解答过程】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系，是一次函数；圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系，是一次函数；某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的

12、关系，是一次函数，所以共3个一次函数，故选：C【题型2 利用一次函数的概念求值】【例2】（2021春昭通期末）若y（k2）x|k1|+1表示一次函数，则k等于（）A0B2C0或2D2或0【解题思路】依据一次函数的定义可知|k1|1且k20，从而可求得k的值【解答过程】解：函数y（k2）x|k1|+3是一次函数，|k1|1且（k2）0，解得：k0故选：A【变式2-1】（2021春雨花区期中）若函数y（m+2）x|m|15是一次函数，则m的值为（）A2B2C2D1【解题思路】根据一次函数ykx+b（k0）求解【解答过程】解：|m|11，m2，又m+20，m2，m2，故选：B【变式2-2】（2021

13、春杨浦区期末）如果ykx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是 k1【解题思路】根据一次函数的定义条件直接解答即可【解答过程】解：ykx+x+k是一次函数，k+10故答案为：k1【变式2-3】已知y（k1）x|k|+（k24）是一次函数（1）求k的值；（2）求x3时，y的值；（3）当y0时，x的值【解题思路】（1）直接利用一次函数的定义得出k的值即可；（2）利用（1）中所求，再利用x3时，求出y的值即可；（3）利用（1）中所求，再利用y0时，求出x的值即可【解答过程】解：（1）由题意可得：|k|1，k10，解得：k1；（2）当x3时，y2x39；（3）当y0时，02x3，解得：x=-32【题型

14、3 正比例函数的概念】【例3】（2021春萝北县期末）若y（m+2）x+m24是关于x的正比例函数，则常数m2【解题思路】依据正比例函数的定义求解即可【解答过程】解：y（m+2）x+m24是关于x的正比例函数，m+20，m240，解得：m2故答案为：2【变式3-1】函数y（k+1）xk2是正比例函数，则常数k的值为1【解题思路】根据正比例函数的定义可得出关于k的方程，即可得出k的值【解答过程】解：k+10，k21，k1故填1【变式3-2】已知函数ymx+25m是正比例函数，则该函数的表达式为y25x【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可【解答过程】解：由题意，得25m0，解得m25，该函数的

15、表达式为y25x，故答案为：y25x【变式3-3】已知函数y2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a23【解题思路】根据正比例函数的定义进行选择即可【解答过程】解：函数y2x2a+b+a+2b是正比例函数，2a+b1，a+2b0，解得a=23，故答案为23【知识点2 正比例函数和一次函数解析式的确定】确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。【题型4 用待定系数法求一次函数解析式】【例4】已知y+2与x1成正比例，且当x3时，y4（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当y1

16、时，求x的值【解题思路】（1）已知y+2与x1成正比例，即可以设y+2k（x1），把x3，y4代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；（2）在解析式中令y1即可求得x的值【解答过程】解：（1）设y+2k（x1），把x3，y4代入得：4+2k（31）解得：k3，则函数的解析式是：y+23（x1）即y3x5；（2）当y1时，3x51解得x2【变式4-1】已知y1与x+2成正比例，且x1时，y3（1）求y与x之间的关系式；（2）它的图象经过点（m1，m+1），求m的值【解题思路】（1）根据y1与x+2成正比例，设y1k（x+2），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出关系式；（2）把点（m1，m+1

17、）代入一次函数解析式求出m的值即可【解答过程】解：（1）根据题意：设y1k（x+2），把x1，y3代入得：31k（1+2），解得：k2则y与x函数关系式为y2（x+2）+12x+5；（2）把点（m1，m+1）代入y2x+5得：m+12（m1）+5解得m2【变式4-2】直线AB与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，4）（1）求直线AB的解析式（2）若直线CD与AB平行，且直线CD与y轴的交点与B点相距2个单位，则直线CD的解析式为y2x2或y2x6【解题思路】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（2）找出在y轴上与B点相距2个单位的点的坐标，再结合直线CD与A

18、B平行，即可得出直线CD的解析式【解答过程】解：（1）设直线AB的解析式为ykx+b（k0），将点A（2，0）、B（0，4）代入ykx+b中，2k+b=0b=-4，解得：k=2b=-4，直线AB的解析式为y2x4（2）在y轴上与B点相距2个单位的点的坐标为（0，2）或（0，6）又直线CD与AB平行，直线CD的解析式为y2x2或y2x6故答案为：y2x2或y2x6【变式4-3】已知一次函数ykx+b，当x2时y的值是1，当x1时y的值是5（1）求此一次函数的解析式；（2）若点P（m，n）是此函数图象上的一点，3m2，求n的最大值【解题思路】（1）把x2，y1代入函数ykx+b，得出方程组，求出方

19、程组的解即可；（2）根据函数的性质得出m3时n最大，代入求出即可【解答过程】解：（1）依题意得：2k+b=-1-k+b=5，解得：k=-2b=3.，所以一次函数的解析式是y2x+3；（2）由（1）可得，y2x+3，k20，y随x的增大而减小，又点P （m，n ） 是此函数图象上的一点，3m2，把m3代入得出n的最大值是2（3）+39，即n的最大值是9【题型5 用待定系数法求正比例函数解析式】【例5】（2020秋青山区期中）已知正比例函数过点A（2，4），点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B（0，4）且三角形ABP的面积为8求：（1）过点A的正比例函数关系式；（2）点P的坐标【解题思路

20、】（1）设正比例函数的解析式为ykx（k0），再把A（2，4）代入即可求出k的值；（2）设出P点坐标，再分x0与x0两种情况进行讨论【解答过程】解：（1）设正比例函数为ykx（k0），A（2，4），42k，解得k2，正比例函数的解析式为：y2x（2）设P（x，2x）如图1所示，当x0时，SABPSPBO+SABO4x2+4228，解得x2，P（2，4）；如图2所示，当x0时 SABPSPBOSABO4x24228，解得x6P（6，12）综上所述，P点坐标为（2，4），（6，12）【变式5-1】已知函数ymx+25m是正比例函数，则该函数的表达式为y25x【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可

21、【解过程答】解：由题意，得25m0，解得m25，该函数的表达式为y25x，故答案为：y25x【变式5-2】若yy1+y2且y1与x成正比例，y2与（x3）成正比例，当x1时y3，当x1时y9，当x3时y的值【解题思路】设y1ax，y2k（x3），由当x1时y3，当x1时y9可得关于a、k的两个等式，联立方程组即可求出a，k，得出y关于x的函数关系式，再把x3代入，求解即可【解答过程】解：设y1ax，y2k（x3），yax+k（x3）由当x1时y3，当x1时y9可得，3=a+k(1-3)9=-a+k(-1-3)，解得：a=-1k=-2，y与x之间的关系式为：yx2（x3），即y3x+6；当x3时

22、，y33+63【变式5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（2，2），且一次函数的图象与y轴相交于点Q（0，4）（1）求这两个函数的解析式（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象（3）求出POQ的面积【解题思路】（1）设正比例函数解析式为ymx，一次函数解析式为ynx+4，将（2，2）代入可得出两个解析式（2）运用两点法确定直线所在的位置（3）面积=12|OQ|P横坐标|，由此可得出面积【解答过程】解：设正比例函数解析式为ymx，一次函数解析式为ynx+4，将（2，2）代入可得22m，22n+4，解得：m1，n1，函数解析式为：yx；yx+4（2）根据过点（2.2）及（0

23、，4）可画出一次函数图象，根据（0，0）及（2，2）可画出正比例函数图象（3）面积=12|OQ|P横坐标|=12244【题型6 一次函数解析式与三角形面积问题】【例6】（2021春赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与直线AB交y轴于点A，直线AC与x轴交于点C，直线AB与x轴交于点B，已知A（0，4），B（2，0）（1）求直线AB的解析式；（2）若SABC12，求点C的坐标【解题思路】（1）利用待定系数法求直线AB的关系式；（2）根据SABC12，可求出OC，进而确定点C坐标【解答过程】解：（1）设直线AB的关系式为ykx+b，将A（0，4），B（2，0）代入得，b4，2k+b0，即

24、k2，b4，直线AB的关系式为y2x+4；（2）SABC12，12BCOA12，又OA4，OB2，BC6，OCBCOB624，点C（4，0）【变式6-1】（2021春阿荣旗期末）已知：一次函数的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）（1）求一次函数的解析式；（2）若直线AB上的有一点C，且SBOC2，求点C的坐标【解题思路】（1）设直线AB的解析式为ykx+b，将点A（1，0）、点B（0，2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及SBOC2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标【解答过程】解：

25、（1）设直线AB的解析式为ykx+b（k0），直线AB过点A（1，0）、点B（0，2），k+b=0b=-2，解得k=2b=-2，直线AB的解析式为y2x2（2）设点C的坐标为（x，y），SBOC2，122|x|2，解得x2，y2222或y2（2）26，点C的坐标是（2，2）或（2，6）【变式6-2】（2020秋泰兴市期末）如图，已知一次函数ykx+b的图象经过A（2，1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D（1）求该一次函数的表达式；（2）求AOB的面积【解题思路】（1）先把A点和B点坐标代入ykx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；（2

26、）先确定D点坐标，然后根据三角形面积公式和AOB的面积SAOD+SBOD进行计算【解答过程】解：（1）把A（2，1），B（1，3）代入ykx+b得-2k+b=-1k+b=3，解得k=43b=53所以一次函数解析式为y=43x+53；（2）把x0代入y=43x+53，得y=53，所以D点坐标为（0，53），所以AOB的面积SAOD+SBOD=12532+12531=52【变式6-3】（2021春雄县期末）如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，2），点B的坐标为（4，2），点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合）直线l2：ykx+2k经过点P，并与l1交于点M，过点P作PNl2，交l1于点N

27、（1）求l1的函数表达式；（2）当k=49时，求点M的坐标；求SAPM【解题思路】（1）设l1的函数表达式为yk1x+b（k0），把点A与点C的坐标代入即可求出l1函数表达式；（2）把k的值代入求出l2表达式，与l1联立方程组求解，即可得到点M的坐标；把y2代入l2求出x的值，得到点P的坐标，求出点M到AP的距离，即可求出APM的面积【解答过程】解：（1）设l1的函数表达式为yk1x+b（k0），将点A（0，2）和C（6，2）代入得：b=26k1+b=-2，解得k1=-23b=2，l1的表达式为y=-23x+2；（2）当k=49时，l2的表达式为y=49x+89，联立得：y=-23x+2y=4

28、9x+89，解得x=1y=43，则交点M（1，43）；当y2时，有2=49x+89，解得：x=52，P（52，2），点M到直线AP的距离是2-43=23，SAPM=125223=56专题6.3 一次函数的图象与性质-重难点题型【苏科版】【知识点1 一次函数与正比例函数的图象】1、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线2、一次函数、正比例函数图像的主要特征：k的符号b的符号函数图像图像特征k0b0图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b0 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。k0图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（

29、2）当k0时，y随x的增大而增大（2）当k0b0图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b0 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。k0图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小b0图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。【题型1 一次函数的图象】【例1】（2021萧山区模拟）若实数a，b，c满足a+b+c0，且abc，则函数ycxa的图象可能是（）ABCD【解题思路】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解【解答过程】解：a+b+c0，且abc

30、，a0，c0，（b的正负情况不能确定），a0，c0，函数ycxa的图象经过二、一、四象限故选：B【变式1-1】函数yax+b2的图象如图所示，则函数yaxb的大致图象是（）ABCD【解题思路】根据一次函数的图象的性质确定a和b的符号，进而解答即可【解答过程】解：由函数yax+b2的图象可得：a0，b20，a0，b20，所以函数yaxb的大致图象经过第一、四、三象限，故选：C【变式1-2】（2019杭州）已知一次函数y1ax+b和y2bx+a（ab），函数y1和y2的图象可能是（）ABCD【解题思路】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断【解答过程】解

31、：A、由图可知：直线y1ax+b，a0，b0直线y2bx+a经过一、二、三象限，故A正确；B、由图可知：直线y1ax+b，a0，b0直线y2bx+a经过一、四、三象限，故B错误；C、由图可知：直线y1ax+b，a0，b0直线y2bx+a经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由图可知：直线y1ax+b，a0，b0，直线y2bx+a经过二、三、四象限，故D错误故选：A【变式1-3】函数y|x2|的图象大致是（）ABCD【解题思路】由绝对值的性质知，该图象的函数值y0，且函数图象经过点（2，0），由此得到正确的函数图象【解答过程】解：y|x2|0选项A、D错误又函数图象经过点（2，0），选项B错误，选项C正确故选：C【题型2 正比例函数的图象】【例2】如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：yax，ybx，ycx，将a，b，c从小到大排列并用“”连接为（）AabcBcabCcbaDacb【解题思路】根据直线所过象限可得a0，b0，c0，再根据直线陡的情况可判断出bc，进而得到答案【解答过程】解：根据三个函数图象所在象限可得a0，b0，c0，再根据直线越陡，|k|越大，则bc则bca，即acb故选：D【变式2-1】（2020秋达川区期末）如图，四个一次函数yax，ybx，ycx+1，ydx3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A