2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx

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1、2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列专题17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】【人教版】【题型1 勾股定理的运用】1【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】2【题型3 勾股定理解勾股树问题】2【题型4 勾股定理解动点问题】4【题型5 勾股定理的验证】5【题型6 直角三角形的判定】7【题型7 勾股数问题】8【题型8 格点图中求角的度数】9【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】10【知识点1 勾股定理】在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2【题型1 勾股定理的运用】【例1】（2022和平

2、区三模）如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，CD1.5，BD2.5，则AC的长为（）A5B4C3D2【变式1-1】（2022春上杭县期中）如图在RtABC中，B90，AB8，AC10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A32B74C2D52【变式1-2】（2022春汉阳区期中）如图，在ABC中ABAC10，BC16，若BAD3DAC，则CD 【变式1-3】（2021秋朝阳区校级期末）如图，在ABC中，C90，AB30，D是AC上一点，AD：CD25：7，且DBDA，过AB上一点P，作PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF长是 【题型2 直角三角形中的分类

3、讨论思想】【例2】（2022春长沙月考）已知ABC中，AB13，AC15，BC边上的高为12则ABC的面积为（）A24或84B84C48或84D48【变式2-1】（2022春宁津县期中）ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长是（）A42B32C42或32D42或37【变式2-2】（2022春香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（）A30B119+17C119+17或30D36【变式2-3】（2022春海淀区校级期中）在RtABC中，ACB90，AC4，AB5点P在直线AC上，且BP6，则线段AP的长为 【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】（20

4、21秋南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A4B6C8D12【变式3-1】（2021秋高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，DABBCD90，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4135，S349，则S2（）A184B86C119D81【变式3-2】（2022春泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你

5、计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A2020B2021C2022D2023【变式3-3】（2022春张湾区期中）如图，在ABC中，ACB90，AC：BC4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形图是1次操作后的图形，图是2次操作后的图形如果图中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（） A225B250C275D300【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋开福区校级期末）如图，RtACB中，ACB9

6、0，AB25cm，AC7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当APB为等腰三角形时，t的值为（）A62596或252B252或24或12C62596或24或12D62596或252或24【变式4-1】（2021秋宛城区期末）如图，在RtABC中，ACB90，BC40cm，AC30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动则当运动时间t s时，BPC为直角三角形【变式4-2】（2022春蚌山区校级期中）如图，在ABC中，ACB90，AB10，AC8，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线ABC运动设点P的运动时间为t秒（t0）（1）BC的

7、长是 （2）当点P刚好在BAC的角平分线上时，t的值为 【变式4-3】（2022春河东区期中）如图，已知ABC中，B90，AB16cm，BC12cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，CQB能形成直角三角形？【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法

8、”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB90，求证：a2+b2c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DFECbaS四边形ADCBSACD+SABC=12b2+12ab又S四边形ADCBSADB+SDCB=12c2+12a（ba）12b2+12ab=12c2+12a（ba）a2+b2c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB90求证：a2+b2c2【变式5-1】（2022春巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B

9、是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将ACB裁剪拼接至AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理请你写出该方法证明勾股定理的过程【变式5-2】（2021秋朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+412ab，即（a+b）2c2+412ab，所以a2+b2c2【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图所示，用两个全等的直角三角形拼

10、成一个直角梯形BCDE，其中BCAADE，CD90，根据拼图证明勾股定理【定理应用】在RtABC中，C90，A、B、C所对的边长分别为a、b、c求证：a2c2+a2b2c4b4【变式5-3】（2022春寿光市期中）如图，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图，试验证勾股定理（2）如图，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC3，求该飞镖状图案的面积（3）如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT

11、的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S340，则S2 【知识点2 勾股定理的逆定理】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形【题型6 直角三角形的判定】【例6】（2022春绥宁县期中）若ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断ABC是直角三角形的有（）ABC，A：B：C3：4：5，A90B，AB=12C，a2（b+c）（bc），a：b：c5：12：13A3个B4个C5个D6个【变式6-1】（2022春赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A在ABC中，若a=35c，b=45c则ABC为直角三角形B三边长的平方之比为1：2：

12、3C三内角之比为3：4：5D三边长分别为a，b，c，c1+n2，an21，b2n（n1）【变式6-2】（2022春汉滨区期中）若ABC的三边长a，b，c满足（ac）2b22ac，则（）AA为直角BB为直角CC为直角DABC不是直角三角形【变式6-3】（2022春开州区期中）下列是直角三角形的有（）个ABC中a2c2b2ABC的三内角之比为3：4：7ABC的三边平方之比为1：2：3三角形三边之比为3：4：5A1B2C3D4【题型7 勾股数问题】【例7】（2022春滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中a68101214b815243548c1

13、017263750则当a24时，b+c的值为（）A162B200C242D288【变式7-1】（2022湖北）勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；，若此类勾股数的勾为2m（m3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）【变式7-2】（2022春白云区期末）（1）3k，4k，5k（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数

14、，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由【变式7-3】（2022石家庄三模）已知：整式An2+1，B2n，Cn21，整式C0（1）当n1999时，写出整式A+B的值 （用科学记数法表示结果）；（2）求整式A2B2；（3）嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由【题型8 格点图中求角的度数】【例8】（2021秋伊川县期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则EAF的度数是 【变式8-1】（2022惠山区一模）如图

15、所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则PAB+PBA 【变式8-2】（2022春武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则PABPCD 【变式8-3】（2022春孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，ABC和CDE的顶点都是网格线交点，那么BCA+DCE 【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】【例9】（2021秋蓝田县校级期末）如图，在ABC中，ABAC，D是CA的延长线上一点，连接BD（1）若AC8，AD17，BD15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；（2）若D28，DBC12

16、1，求DAB的度数【变式9-1】（2022春陵城区期中）如图，在ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E（1）若CD4，CE3，AB10，求证：C90；（2）若C90，AD6，BE8，求AB的长【变式9-2】（2021春当涂县期末）如图，在ABC中D是AB边的中点，DEAB于点D，交AC于点E，且AE2CE2BC2，（1）试说明：C90；（2）若DE6，BD8，求CE的长【变式9-3】（2022春汉阳区校级月考）如图，在四边形ABCD中，ABC90，AB6，BC8，CD10，AD102（1）求四边形ABCD的面积（2）求对角线BD的长 专题17.1 勾股定理及其

17、逆定理【九大题型】【人教版】【题型1 勾股定理的运用】1【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】5【题型3 勾股定理解勾股树问题】7【题型4 勾股定理解动点问题】10【题型5 勾股定理的验证】14【题型6 直角三角形的判定】19【题型7 勾股数问题】22【题型8 格点图中求角的度数】24【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】27【知识点1 勾股定理】在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2【题型1 勾股定理的运用】【例1】（2022和平区三模）如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，CD1.5，B

18、D2.5，则AC的长为（）A5B4C3D2【分析】过点D作DEAB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CDDE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设ACAEx，根据勾股定理列式计算即可得解【解答】解：如图，过D作DEAB于E，C90，AD平分CAB，CD1.5，DECD1.5，在RtDEB中，由勾股定理得：BE=BD2DE2=252152=2，ADAD，CDDE，CAED，RtACDRtAED，ACAE，设ACAEx，则ABx+2，由勾股定理得：AB2AC2+CB2，即（x+2）2x2+42，解得x3，AC3故选：C【变式1-1】（2022春上杭县期中）如图在RtABC中，B90，AB

19、8，AC10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）A32B74C2D52【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CDAD，故ABBD+ADBD+CD，设CDx，则BD8x，在RtBCD中根据勾股定理求出x的值即可解答【解答】解：B90，AB8，AC10，BC6，DE是AC的垂直平分线，CDAD，ABBD+ADBD+CD8，设CDx，则BD8x，在RtBCD中，CD2BC2+BD2，即x262+（8x）2，解得x6.25BD86.251.75=74故选：B【变式1-2】（2022春汉阳区期中）如图，在ABC中ABAC10，BC16，若BAD3DAC，则CD 【分析】先

20、作AEBC于点E，作DFAC于点F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到AE的值，AD平分EAC，从而可以得到DEDF，再根据等面积法即可求得CD的长【解答】解：作AEBC于点E，作DFAC于点F，如图所示，ABAC10，BC16，CE8，AD=AC2CE2=10282=6，设CADx，则CAD3x，AEBC，ABAC，BAECAE2x，EADDAC，DEDF，设CDa，则DE8a，CDAE2=ACDF2，a62=10(8a)2，解得a5，即CD5，故答案为：5【变式1-3】（2021秋朝阳区校级期末）如图，在ABC中，C90，AB30，D是AC上一点，AD：CD25：7，且DBDA，

21、过AB上一点P，作PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF长是 【分析】如图作AHBD交BD的延长线于H，设ADBD25k，CD7k，在RtDCB中，BC=BD2CD2=24k，在RtACB中，由AC2+BC2AB2，可得（32k）2+（24k）2302，推出k=34，BC18，由ADHBDC，推出AHBC18，由SABD=12BDAH=12ADPF+12BDPF，推出PE+PFAH18，【解答】解：如图作AHBD交BD的延长线于H，设ADBD25k，CD7k，在RtDCB中，BC=BD2CD2=24k，在RtACB中，AC2+BC2AB2，（32k）2+（24k）2302，k=34，BC18

22、，在ADH和BDC中，ADH=BDCH=C=90AD=BD，ADHBDC，AHBC18，SABD=12BDAH=12ADPF+12BDPF，PE+PFAH18，故答案为18【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】【例2】（2022春长沙月考）已知ABC中，AB13，AC15，BC边上的高为12则ABC的面积为（）A24或84B84C48或84D48【分析】在RtABD和RtACD中分别进行计算，求出BD和CD，再根据三角形的面积公式即可求解【解答】解：AB13，AC15，BC边上的高AD12，在RtABD中，BD=AB2AD2=5，在RtACD中，DC=AC2AD2=9，BCBD+DC14，BC

23、DCBD4，ABC的面积=12141284，或=12412=24；故选：A【变式2-1】（2022春宁津县期中）ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长是（）A42B32C42或32D42或37【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当ABC为锐角三角形时，在RtABD和RtACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将ABC的周长求出；（2）当ABC为钝角三角形时，在RtABD和RtACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将ABC的周长求出【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当ABC为锐角三角形时，在RtAB

24、D中，BD=AB2AD2=9，在RtACD中，CD=AC2AD2=5BC5+914ABC的周长为：15+13+1442；（2）当ABC为钝角三角形时，在RtABD中，BD9，在RtACD中，CD5，BC954ABC的周长为：15+13+432当ABC为锐角三角形时，ABC的周长为42；当ABC为钝角三角形时，ABC的周长为32综上所述，ABC的周长是42或32故选：C【变式2-2】（2022春香河县期中）已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（）A30B119+17C119+17或30D36【分析】先设RtABC的第三边长为x，由于12是直角边还是斜边不能确定，故应分12是斜边或

25、x为斜边两种情况讨论【解答】解：设RtABC的第三边长为x，当12为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x=52+122=13，此时这个三角形的周长5+12+1330；当12为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=12252=119，此时这个三角形的周长5+12+119=119+17，综上所述，该三角形的周长为30或119+17故选：C【变式2-3】（2022春海淀区校级期中）在RtABC中，ACB90，AC4，AB5点P在直线AC上，且BP6，则线段AP的长为 【分析】当点P在CA延长线上时，当点P在AC延长线上时，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：在RtABC中，A

26、CB90，AC4，AB5，BC=AB2AC2=3，当点P在CA延长线上时，BP6，BC6，CP=BP2BC2=6232=33，APCPAC334；当点P在AC延长线上时，BP6，BC3，CP33，AC+CP4+33，综上所述，线段AP的长为334或33+4；故答案为：334或33+4【题型3 勾股定理解勾股树问题】【例3】（2021秋南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A4B6C8D12【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形BS正方形E，S正方形DS正方形CS正方形E解得即可

27、【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形BS正方形E，S正方形DS正方形CS正方形E，S正方形A+S正方形BS正方形DS正方形C正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，24S正方形C6+10，S正方形C8故选：C【变式3-1】（2021秋高新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，DABBCD90，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4135，S349，则S2（）A184B86C119D81【分析】利用勾股定理的几何意义解答【解答】解：由题意可知：S1AB2，S2BC2，S3CD2，S4AD2，连接BD，在直角ABD和BCD中，BD2AD2+AB2CD2+BC2，即S1+S4

28、S3+S2，因此S21354986，故选：B【变式3-2】（2022春泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（）A2020B2021C2022D2023【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可【解答】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积1，“生长”了1次

29、后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023故选：D【变式3-3】（2022春张湾区期中）如图，在ABC中，ACB90，AC：BC4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形图是1次操作后的图形，图是2次操作后的图形如果图中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（） A

30、225B250C275D300【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC4，BC3，AB5，根据勾股定理计算得出规律，根据规律解答即可【解答】解：设AC4x，则BC3x，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=5x，ABC的周长为12，3x+4x+5x12，解得：x1，AC4，BC3，AB5，第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+5225+50，第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52252+50，第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52253+50，第10次操作后的

31、图形中所有正方形的面积和为：2510+50300，故选：D【题型4 勾股定理解动点问题】【例4】（2021秋开福区校级期末）如图，RtACB中，ACB90，AB25cm，AC7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当APB为等腰三角形时，t的值为（）A62596或252B252或24或12C62596或24或12D62596或252或24【分析】当ABP为等腰三角形时，分三种情况：当ABBP时；当ABAP时；当BPAP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值【解答】解：C90，AB25cm，AC7cm，BC24cm当BPBA25时，t=252当ABAP时，BP

32、2BC48cm，t24当PBPA时，PBPA2t cm，CP（242t）cm，AC7cm，在RtACP中，AP2AC2+CP2，（2t）272+（242t）2，解得t=62596综上，当ABP为等腰三角形时，t=252或24或62596，故选：D【变式4-1】（2021秋宛城区期末）如图，在RtABC中，ACB90，BC40cm，AC30cm，动点P从点B出发沿射线BA以2cm/s的速度运动则当运动时间t s时，BPC为直角三角形【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CD，再分两种情况进行讨论：当BCP为直角时，当BPC为直角时，分别求出此时的t值即可【解答

33、】解：在RtABC中，ACB90，BC40cm，AC30cm，AB=BC2+AC2=402+302=50（cm）如图，作AB边上的高CDSABC=12ABCD=12ACBC，CD=ACBCAB=304050=24（cm）当BCP为直角时，点P与点A重合，BPBA50cm，t50225（秒）当BPC为直角时，P与D重合，BP2tcm，CP24cm，BC40cm，在RtBCP中，BP2+CP2BC2，（2t）2+242402，解得t16综上，当t25或16秒时，BPC为直角三角形故答案为：25或16【变式4-2】（2022春蚌山区校级期中）如图，在ABC中，ACB90，AB10，AC8，点P从点A

34、出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线ABC运动设点P的运动时间为t秒（t0）（1）BC的长是 （2）当点P刚好在BAC的角平分线上时，t的值为 【分析】（1）由勾股定理可直接求解；（2）过点P作PDAB，结合题意，由角平分线的性质可推得BP，PD，BD的长，再根据勾股定理即可求解【解答】解：（1）在ABC中，ACB90，AB10，AC8，BC=AB2AC2=6，故答案为：6；（2）当点P在BAC的角平分线上时，过点P作PDAB，如图AP平分BAC，BCAC，PDAB，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线ABC运动PDPC162t，BP2t10，ADAC8，BD2在RtBDP中，由勾股

35、定理得22+（162t）2（2t10）2，解得t=203，故答案为：203【变式4-3】（2022春河东区期中）如图，已知ABC中，B90，AB16cm，BC12cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，同时停止（1）P、Q出发4秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，CQB能形成直角三角形？【分析】（1）根据题意可以先求出BQ和BP的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长；（2）根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可【解答】解：（1）由题意可得

36、，BQ248（cm），BPABAP161412（cm），B90，PQ=BP2+BQ2=122+82=413（cm），即PQ的长为413cm；（2）当BQAC时，BQC90，B90，AB16cm，BC12cm，AC=AB2+BC2=162+122=20（cm），ABBC2=ACBQ2，16122=20BQ2，解得BQ=485cm，CQ=BC2BQ2=122(485)2=365（cm），当CQB是直角三角形时，经过的时间为：（12+365）29.6（秒）；当CBQ90时，点Q运动到点A，此时运动的时间为：（12+20）216（秒）；由上可得，当点Q在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，CQB能

37、形成直角三角形【题型5 勾股定理的验证】【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB90，求证：a2+b2c2证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DFECbaS四边形ADCBSACD+SABC=12b2+12ab又S四边形ADCBSADB+SDCB=12c2+12a（ba）12b2+12ab=12c2+12a（ba）a2+b2c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明将两个全

38、等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB90求证：a2+b2c2【分析】首先连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BFba，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证【解答】证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BFba，S五边形ACBEDSACB+SABE+SADE=12ab+12b2+12ab，又S五边形ACBEDSACB+SABD+SBDE=12ab+12c2+12a（ba），12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（ba），a2+b2c2【变式5-1】（2022春巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法某同学提出了一种证明勾股定理的

39、方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将ACB裁剪拼接至AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理请你写出该方法证明勾股定理的过程【分析】连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明【解答】证明：如图，连接BF，ACb，正方形ACDE的面积为b2，CDDEACb，BCa，EFBCa，BDCDBCba，DFDE+EFa+b，CAE90，BAC+BAE90，BACEAF，EAF+BA

40、E90，BAE为等腰直角三角形，四边形ABDF的面积为：12c2+12（ba）（a+b）=12c2+12（b2a2），正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，b2=12c2+12（b2a2），b2=12c2+12b212a2，12a2+12b2=12c2，a2+b2c2【变式5-2】（2021秋朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+412ab，即（a+b）2c2+412ab，所以a2+b2c2【尝试

41、探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中BCAADE，CD90，根据拼图证明勾股定理【定理应用】在RtABC中，C90，A、B、C所对的边长分别为a、b、c求证：a2c2+a2b2c4b4【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为ab+12（a2+b2）ab+12c2，即可证得a2+b2c2；【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S=12（a+b）（b+a）ab+12（a2+b2），利用分割法，梯形的面积为SABC+SABE+SADE=12ab+12c2+12abab+12c2，ab+12（a2+b2）ab+12c2，a2+b2c2；【定理应用】a2c2+a2b2a2（c2+b2），c4b4（c2+b2）（c2b2）（c2+b2）a2，a2c2+a2b2c4b4【变式5-3】（2022春寿光市期中）如图，美丽的弦图，蕴含着四