2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题15.4 分式方程的应用【八大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx

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1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题15.4 分式方程的应用【八大题型】【人教版】【题型1 行程问题】1【题型2 工程问题】2【题型3 销售利润问题】3【题型4 航行问题】4【题型5 和、差、倍、分问题】5【题型6 数字问题】5【题型7 图形问题】6【题型8 方案问题】7【题型1 行程问题】【例1】（2022河南许昌八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院（1）求两人的速度（2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/min.

2、【变式1-1】（2022重庆四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟(1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？(2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的57，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的54，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这

3、段坡路的总路程是多少米？【变式1-2】（2022全国八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时间共用4分钟（1）小明步行的速度是每分钟多少米？（2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由【变式1-3】（2022湖北襄阳八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为

4、4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？小明的跑步速度为_米/分（直接用含m，n的式子表示）【题型2 工程问题】【例2】（2022全国七年级专题练习）湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州市环卫处每天需负责市区范围420千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马路清扫方式.已知20名环卫工人和1辆道

5、路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人和3辆道路清扫车每小时可以清扫42千米的马路.（1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日的420千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车每天工作时间为6小时）？（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作2018年6月市环卫处扩大清扫范围60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，此时环卫工人

6、和清扫车每日工作时间仍与5月份相同，那么2018年5月环卫处增加了多少名环卫工人参与直接清扫？【变式2-1】（2022黑龙江哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的34。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？【变式2-2】（2022辽宁大石桥市石佛中学八年级期末）大石桥市政府为了落实“暖冬惠民工程”，计划对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化带等公共设施进行全面更新改造该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍 ， 若甲队先做

7、10天，剩下两队合作30天完成（1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙对每天的施工费用为5.6万元，工程施工的预算费用为500万元，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请说明理由【变式2-3】（2022广西贵港八年级期中）某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队进场施工，计划用30天完成整个工程当一号施工队施工10天后，由于实际需要，要求整个工程比原计划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程(1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需

8、要多少天？(2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？【题型3 销售利润问题】【变式3-1】（2022四川南充八年级期末）超市用2500元购进某品牌苹果，以每千克8元的单价试销销售良好，超市又安排4500元补货补货进价比上次每千克少0.5元，数量是上次的2倍（1）求两次进货的单价分别是多少元（2）当售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求两次销售苹果的毛利【变式3-2】（2022湖南邵阳市第六中学八年级阶段练习）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全国各地

9、2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元 （1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量的1.2倍为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到

10、2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为多少元？【变式3-3】（2022浙江八年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用16000元和40000购两批口罩，8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元，且数量是7月份购进数量的2倍（1）求7月份购进了口罩多少盒？（2）该药店在7，8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为150元已知7月份两店按标价各卖出a盒后，甲店剩余口罩按标价的八折出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同用含b的代

11、数式表示a8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n箱后，剩余口罩全部捐献给医院若至少捐赠96盒口罩，且预计乙店7，8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为2000元，求a,b,n所有可能的值【题型4 航行问题】【例4】（2022福建省福州教育学院附属中学模拟预测）已知A,B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时(1)若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的23，求该轮船在静水中的航行速度；(2)记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并

12、说明理由【变式4-1】（2022新疆吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）一艘轮船在静水中的最大航速为40千米/时，它沿江以最大航速顺流航行70千米所用时间，与以最大航速逆流航行30千米所用时间相等求江水的流速为多少千米/时【变式4-2】（2022吉林四平七年级期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h（1）2h后两船相距多远？（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？（3）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是 【变式4-3】（2022全国八年级单元测

13、试）一小船由A港到B港顺流航行需6小时，由B港到A港逆流航行需8小时.小船从早晨6时由A港到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生圈.问：（1）小船由A港漂流到B港需要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？【题型5 和、差、倍、分问题】【例5】（2022江苏淮安八年级期末）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？【变式5-1】（2022江苏仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）某生态示范村种植基地计划种植一

14、批葡萄，原计划总产量要达到36万斤为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了8万斤，种植亩数减少了20亩，则改良后平均每亩产量是多少万斤？【变式5-2】（2022北京八中八年级期中）“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续 航里程之比则为 14经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度

15、的优惠专用电费以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比【变式5-3】（2022浙江舟山七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7

16、个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪几种分装方案？【题型6 数字问题】【例6】（2022贵州铜仁市第十一中学八年级期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是47，原来得两位数是_【变式6-1】（2022全国八年级课时练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数【变式6-2】（2022山东潍坊八年级期末

17、）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为47，则这个二位数是_【变式6-3】（2022全国八年级专题练习）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.【题型7 图形问题】【例7】（2022全国七年级单元测试）已知一个长方形的长是40，宽是30，现要把它的长和宽减少相同的长度后，使新的长方形的长和宽之比是7:5，减少的长度是_.【变式7-1】（2022福建省泉州第一中学八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a1)的正方形去掉一个

18、边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg(1)“丰收1号”单位面积产量为 kgm2，“丰收2号”单位面积产量为 kgm2（结果用含a的式子表示）；(2)若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的1.5倍，求a的值【变式7-2】（2022浙江七年级阶段练习）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地

19、面，则B款瓷砖的长为_米，宽为_米【变式7-3】（2022浙江杭州七年级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的长方体纸箱.（加工时接缝材料不计）图1图2（1）若该厂仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将库存的两种纸板全部用完？（2）该工厂原计划用若干天加工纸箱2400个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，问原计划每天加工纸箱多少个？【题型8 方案问题】【例8】（2022四川成都八年

20、级期末）某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作3个月就可以完成这项工程已知若甲队单独做需要10个月可以完成（1）乙队单独完成这项工程需要几个月？（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？【变式8-1】（2022河南南阳三模）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300

21、米的道路所用时间相同若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中ab）现在有两种施工改造方案：方案一：前12S米的道路由甲工程队改造，后12S米的道路由乙工程队改造；方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由【变式8-2】（2022云南大理八年级期末）某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这

22、批产品多用 20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费， 请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由【变式8-3】（2022江西南昌市第八中学八年级阶段练习）某商场购进甲、乙两种空调共50台已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进

23、乙种空调数量的2倍请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台请直接写出该商场购进这50台空调各几台专题15.4 分式方程的应用【八大题型】【人教版】【题型1 行程问题】1【题型2 工程问题】5【题型3 销售利润问题】8【题型4 航行问题】12【题型5 和、差、倍、分问题

24、】15【题型6 数字问题】19【题型7 图形问题】21【题型8 方案问题】25【题型1 行程问题】【例1】（2022河南许昌八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到达剧院（1）求两人的速度（2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/min.【答案】（1）小丽和小颖的速度分别为50 m/min和75 m/min；（2）6.25.【分析】（1）设小丽和小颖的速度分别为2x m/min和3x m/min，根据题意，小丽所用时间-小颖苏勇时间=4分钟，列

25、出分式方程，解答即可.（2）设小丽速度需要提高a m/min，根据题意，小丽所用时间=小颖所用时间，列出分式方程，解答即可.【详解】解：（1）设小丽和小颖的速度分别为2x m/min和3x m/min,根据题意，得:18002x24003x=4解得：x=25经检验x=25是原分式方程的解，则2x=225=50（m/min），3x=325=75（m/min）答：小丽和小颖的速度分别为50m/min和75m/min（2）设小丽速度需要提高a m/min，根据题意，得：180050+a=240075 解得：a=6.25 经检验a=6.25是原分式方程的解答：小丽速度需要提高6.25 m/min.故答

26、案为6.25【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题干，找到等量关系是解题关键.【变式1-1】（2022重庆四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天运动员小伟沿平路从家步行去银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家已知平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回家共用50分钟(1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？(2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的5

27、7，下坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的54，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？【答案】(1)280米/分钟(2)2100米【分析】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟，根据小伟在平路上跑步的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，往返时间共用50分钟，列方程2800x+28004x=50，解得x=70，检验后求出4x=280，回答问题；（2）设这段坡路的下坡路程是y米，根据小伟上坡的平均速度是28057=200，下坡的平均速度是28054=350，上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用时9分钟，列方程2y200+y350=9，解得y=700，推出这段坡路的总路

28、程是700+2700=2100【详解】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟,根据题意得，2800x+28004x=50，解得，x=70，经检验，x=70是所列方程的解，且符合题意，4x=280，答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟；（2）设这段坡路的下坡路程是y米，上坡的平均速度是，28057=200，下坡的平均速度是28054=350，根据题意得，2y200+y350=9，解得，y=700，700+2700=2100，答：这段坡路的总路程是2100米【点睛】本题主要考查了分式方程与一元一次方程的应用行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程和速度与时间的关系，列代数式列方程解

29、答，解分式方程注意检验，应用题注意设未知数和回答问题【变式1-2】（2022全国八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时间共用4分钟（1）小明步行的速度是每分钟多少米？（2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由【答案】（1）小明步行的速度为76米/分钟；（2）小明能在表演开始前赶到科技馆，理由见详解【分析】（1）设小明步行的速度是每分钟x米，则小明骑车的速

30、度是每分钟5x米，根据时间路程速度结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用时间路程速度结合小明进家取票时间共用4分钟，即可得出小明回家取票后到达科技馆所需时间，将其与23分钟比较后即可得出结论【详解】解：1设小明步行的速度为x米/分钟，则小明骑车的速度为5x米/分钟根据题意，得1900x19005x=20，解得：x=76经检验，x=76是原分式方程的解答：小明步行的速度为76米/分钟（2）1900576+12190076+4=21.523，所以小明能在表演开始前赶到科技馆【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确

31、列出分式方程是解题的关键【变式1-3】（2022湖北襄阳八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？小明的跑步速度为_米/分（直接用含m，n的式子表示）【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为

32、300米/分；（2）小强跑的时间为3分；1000(m1)mn【分析】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；（2）设小明的速度为y米/分，由m3，n6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.【详解】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据题意得：1200x4500x+220解得：x80经检验，x80是原方程的根，且符合题意x+220300答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300

33、米/分（2）设小明的速度为y米/分，m3，n6，1000y10003y=6，解之得y=10009.经检验，y=10009是原方程的解，且符合题意，小强跑的时间为：1000(310009)=3（分）小强跑的时间：nm1分钟，小明跑的时间：nm1+n=mnm1分钟，小明的跑步速度为： 1000mnm1=1000(m1)mn分 故答案为：1000(m1)mn【点睛】此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.【题型2 工程问题】【例2】（2022全国七年级专题练习）湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州市环卫处每天需负责市区范围42

34、0千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马路清扫方式.已知20名环卫工人和1辆道路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人和3辆道路清扫车每小时可以清扫42千米的马路.（1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日的420千米清扫工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车每天工作时间为6小时）？（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，同时又增加了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清

35、扫工作2018年6月市环卫处扩大清扫范围60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5月份相同，那么2018年5月环卫处增加了多少名环卫工人参与直接清扫？【答案】（1）1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；（2）派出5辆道路清扫车参与工作；（3）2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.【分析】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和y千米，由题意可得20x+y=2030x+3y=42，进行求解即可；（2）设派出m辆道路清扫车参与工作，则(500.6+8m)6=420，进行求解即可；（3）设2018

36、年5月环卫处增加了n名环卫工人参与直接清扫，由题意写出分式方程进行求解即可.【详解】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和y千米，由题意可得20x+y=2030x+3y=42，解得x=0.6y=8，答：1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；（2）设派出m辆道路清扫车参与工作,则(500.6+8m)6=420，解得m=5，答：派出5辆道路清扫车参与工作；（3）设2018年5月环卫处增加了n名环卫工人参与直接清扫，由题意得4200.650+n+68=420+600.650+n+20+68；解得:n=10.答：2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直

37、接清扫.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，分式方程的应用.综合性强，有一定难度.关键是理解题文，列出方程求解.这里涉及到工作效率问题以及合作问题，要求学生对这类模型比较熟练.【变式2-1】（2022黑龙江哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的34。假设这些工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？【答案】应该先安排2名工人工作【分析】设安排x人先做2h，然后根据先后两个时段完成这项工作的34，可列方程求解【详解】解：设应该先安排x名工人工作， 由题意得：

38、2x80+8(x+5)80=34解得x=2，经检验x=2是原方程的解且符合题意，应该先安排2名工人工作，答：应该先安排2名工人工作【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于准确理解题意列出方程求解【变式2-2】（2022辽宁大石桥市石佛中学八年级期末）大石桥市政府为了落实“暖冬惠民工程”，计划对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化带等公共设施进行全面更新改造该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍 ， 若甲队先做10天，剩下两队合作30天完成（1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙对每天的施工

39、费用为5.6万元，工程施工的预算费用为500万元，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请说明理由【答案】（1）甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天；（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率根据工作量工作效率工作时间列方程求解；（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断【详解】（1）设此工程甲队单独完成需x天，则乙队单独完成这项工程需1.5x天由题意：10+30x+301.5x=1解得：x=60

40、经检验，x=60是原方程的解，且适合题意1.5x=1.560=90答：甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天（2）因为需要缩短工期并高效完成工程，所以需两队合作完成，设两队合作这项工程需 y天，根据题意得： y60+y90=1解得：y=36所以需要施工费用36（8.4+5.6）=504（万元）因为504500，所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元【点睛】本题考查了分式方程的应用，涉及方案决策问题，综合性较强【变式2-3】（2022广西贵港八年级期中）某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队进场施工，计划用30天完成整个工程当一号施工队施工10天后

41、，由于实际需要，要求整个工程比原计划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个工程(1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？(2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？【答案】(1)x=45(2)若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列出分式方程进行求解即可；（2）直接列算式求解即可【详解】（1）解：设二号施工队单独施工需要x天，根据题意得：30830+30810x=1，解得：x=45，经检验，x=45是原分式方程的解答：若由二号施工队单独施工

42、，完成整个工期需要45天（2）根据题意得：1130+145=18（天），答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天【点睛】本题考查分式方程的应用根据题意正确的列出分式方程是解题的关键注意验根.【题型3 销售利润问题】【例3】（2022重庆巴蜀中学九年级阶段练习）飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱某商家购进了海绵和橡胶两种飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍(1)求一个海绵飞盘的进价是多少元；(2)

43、商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个，但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个橡胶飞盘？【答案】(1)50元，；(2)11.【分析】（1）设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，由题意：购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍列出分式方程，解方程即可；（2）设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买(80a)个海绵飞盘，由题意：海绵飞盘的进价

44、比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可（1）解：设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，由题意得：4000x=3200x+302，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，答：一个海绵飞盘的进价为50元；（2）设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买(80a)个海绵飞盘，由题意得：50(1+16%)(80a)+800.9a4800解得：a1137a是整数，a最大值为11，答：此次最多可购买11个橡胶飞盘【点睛】此题考查分式方程的应用以

45、及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系与不等关系，正确列出分式方程和一元一次不等式【变式3-1】（2022四川南充八年级期末）超市用2500元购进某品牌苹果，以每千克8元的单价试销销售良好，超市又安排4500元补货补货进价比上次每千克少0.5元，数量是上次的2倍（1）求两次进货的单价分别是多少元（2）当售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求两次销售苹果的毛利【答案】（1）第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元；（2）4600【分析】（1）设第一次进货的单价是x元，则第二次进货的单价是(x0.5)元，根据题意，列方程求解即可；（2）求出两次的购进数量，根据毛利=收

46、入-成本，可求出结果【详解】解：（1）设第一次进货的单价是x元，则第二次进货的单价是(x0.5)元，根据题意，得2500x2=4500x0.5解得x=5经检验：x=5是原方程的解第二次进货的单价是：50.5=4.5().答：第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元.（2）两次销售苹果的毛利：(25005+45004.5200)8+20080.7525004500=4600（元）答：两次销售苹果的毛利为4600元.【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是根据这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹果的数量是上次的2倍，列出方程求出每千克多少元，然后总千克数，根据毛利公式，从而求出解【变式3-2】（2022湖南邵阳市第六中学八年级阶段练习）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组