2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题15.2 分式的运算【十大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx

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1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题15.2 分式的运算【十大题型】【人教版】【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】2【题型2 分式的加减混合运算】2【题型3 整式与分式的相加减运算】3【题型4 分式加减的实际应用】3【题型5 比较分式的大小】4【题型6 分式的混合运算及化简求值】4【题型7 分式中的新定义问题】5【题型8 分式运算的规律探究】6【题型9 整数指数幂的运算】8【题型10 科学计数法表示小数】8【知识点1 分式的乘除法法则】分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似：1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即：abcd=a

2、cbd2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即：abcd=abdc=adbc3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ab）n=anbn4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括号外的。注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式【知识点2 分式的加减法则】1）同分母分式：分母不变，分子相加减acbc=abc2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减abdc=acbcbdbc=acbdbc 注：计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘除或乘方运算，先算乘除

3、、乘方运算，最后算加减运算。【题型1 含乘方的分式乘除混合运算】【例1】（2022全国八年级课时练习）a+bab2a+bab2a+bab的结果是（）Aaba+bBa+babCa+bab2D1【变式1-1】（2022全国八年级课时练习）（1）n22m4m25n3=_；（2）(a2b)5(b2a)6(1ab)7=_；（3）(3ab3c2)2(3b2ca)3=_； （4）(y2x)2(3x2y)3(3x2ay)2=_；（5）(c3a2b)2(c4a3b)2(ac)4=_【变式1-2】（2022全国八年级专题练习）a7b23(a+b)(a2b2)4a2a2(ba)23【变式1-3】（2022湖南长沙七

4、年级阶段练习）已知a，b，c，d，x，y，z，w是互不相等的非零实数，且a2b2a2y2+b2x2=b2c2b2z2+c2y2=c2d2c2w2+d2z2=abcdxyzw，则a2x2+b2y2+c2z2+d2w2的值为_ 【题型2 分式的加减混合运算】【例2】（2022浙江杭州九年级专题练习）对于任意的x值都有2x+7x2+x2=Mx+2+Nx1，则M，N值为（）AM1，N3BM1，N3CM2，N4DM1，N4【变式2-1】（2022上海市久隆模范中学七年级期中）计算：2y2+3y+2y+1y2y5y+23y24y5y2+2y28y+5y3【变式2-2】（2022全国中考模拟）计算下列各式：

5、（1）1ab+1a+b+2aa2+b2+4a3a4+b4 ；（2）x2+yzx2+(yz)xyz+y2zxy2+(z+x)y+zx+z2+xyz2(xy)zxy ；（3）x31x3+2x2+2x+1+x3+1x32x2+2x12(x2+1)x21 （4）(yx)(zx)(x2y+z)(x+y2z)+(zy)(xy)(x+y2z)(y+z2x)+(xz)(yz)(y+z2x)(x2y+z) 【变式2-3】（2022河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x76，且zx+y+xy+z+yz+x11，则x+y+z的值为（）A12B14C727D9【题型3 整式

6、与分式的相加减运算】【例3】（2022贵州铜仁八年级期末）计算：11x1x的结果是_【变式3-1】（2022山东临沂中考模拟）化简：（a+2+52a）2a4a+3=_【变式3-2】（2022福建福州八年级期末）已知：P=x+1，Q= 4xx+1(1)当x0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；(2)设y=3PQ2，若x是整数，求y的整数值【变式3-3】（2022河北中考真题）由1+c2+c12值的正负可以比较A=1+c2+c与12的大小，下列正确的是（）A当c=2时，A=12B当c=0时，A12C当c12D当c0时，A12【题型4 分式加减的实际应用】【例4】（2022全国八年级单元测试）

7、某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为t1；如果风速度为p0pv，则飞行器顺风飞行速度为v+p，逆风飞行速度为vp，往返所需时间为t2则t1、t2的大小关系为（）At1y0时，M和N的大小关系是（）AMNBM=NCM1，M=nn1，N=n1n，P=nn+1，则M、N、P的大小关系为_【变式5-2】（2022全国九年级竞赛）已知x，y，z是三个互不相同的非零实数，设a=x2+y2+z2，b=xy+yz+zx，c=1x2+1y2+1z2，d=1xy+1yz+1zx则a与b的大小关系是_；c与d的大小关系是_【变式5-3】（2022内蒙古呼和浩特市国飞中

8、学八年级期末）若a0，M=a+1a+2，N=a+2a+3（1）当a=3时，计算M与N的值；（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想【题型6 分式的混合运算及化简求值】【例6】（2022天津东丽八年级期末）计算（1）4a3bb2a41a2（2）aa1a2aa211a1【变式6-1】（2022广东惠州模拟预测）先化简，再求值：1x2yx+yx24xy+4y2x2y2，其中x2，y12【变式6-2】（2022江苏南京玄武外国语学校八年级期中）已知分式 A =(a+13a1)a24a+4a1（1）化简这个分式；（2）当 a2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式

9、 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和【变式6-3】（2022全国八年级单元测试）已知 x,y 为整数，且满足 1x+1y1x2+1y2=231x41y4 ，求 x+y 的值【题型7 分式中的新定义问题】【例7】（2022北京昌平八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：x+1x1=x1+2x1=x1x1+2x1=1+2x1，则x+1x1是“和谐分式”(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；x+33x5xx1x+2x+1

10、x2(2)请将“和谐分式”x2+6x+3x+3化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；(3)应用：先化简xxx+1x23xx29x+1x2+6x，并求x取什么整数时，该式的值为整数【变式7-1】（2022江苏八年级）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如分式3x+1与3x1+x互为“3阶分式”.（1）分式10x3+2x与 互为“5阶分式”；（2）设正数x,y互为倒数，求证：分式2xx+y2与2yy+x2互为“2阶分式”；（3）若分式aa+4b2与2ba2+2b互为“1阶分式”（其中a,b为正数），求ab的值.【变式7-2】（2022江

11、苏灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即MN=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”如1x+1与1x+2，因为1x+11x+2=1x+1x+2，1x+11x+2=1x+1x+2，所以1x+2是1x+1的“关联分式”(1)已知分式2a21，则2a2+1_2a21的“关联分式”（填“是”或“不是”）；(2)小明在求分式1x2+y2的“关联分式”时，用了以下方法：设1x2+y2的“关联分式”为N，则1x2+y2N=1x2+y2N，1x2+y2+1N=1x2+y2，N=1x2+y2+1请你仿照小明的方法求分式ab2a+3b的“关联分式”(3)观察（1）（2）的结

12、果，寻找规律，直接写出分式yx的“关联分式”：_； 用发现的规律解决问题：若4n2mx+m是4m+2mx+n的“关联分式”，求实数m，n的值【变式7-3】（2022江西南昌八年级期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n和分式”例如：5x+1+5xx+1=5，我们称两个分式5x+1与5xx+1互为“5和分式”解答下列问题：（1）分式4x+1与分式_互为“4和分式”；（2）分式2xx+y与分式2yx+y互为“_和分式”；（3）已知xy=1，两个分式1x+1与1y+1是否是“n和分式”？如果是，请求出n的值；如果不是，请说明理由；（4）若分式3xx+y2与3yx2+y互为

13、“3和分式”（其中x，y为正数），求xy的值【题型8 分式运算的规律探究】【例8】（2022江苏苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）11+x，例如：f（3）11+3=14，f（13）=131+13=114，计算：f（12006）+ f（12005）+ f（12004）+ f（13）+ f（12）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）_【变式8-1】（2022安徽安庆七年级期末）观察以下等式：第1个等式：23242141=21；第2个等式：44242242=22；第3个等式：65242343=23；第4个等式

14、：86242444=24；第5个等式：107242545=25；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：_；(2)写出你猜想的第n个等式：_（用含n的等式表示），并证明【变式8-2】（2022江苏泰州八年级期中）【探究思考】（1）探究一：观察分式x1x的变形过程和结果，x1x=xx+1x=11x填空：若x为小于10的正整数，则当x=_时，分式x1x的值最大（2）探究二：观察分式a2+2a2a1的变形过程和结果，a2+2a2a1=a12+4a3a1=a12+4a1+1a1=a1+4+1a1=a+3+1a1模仿以上分式的变形过程和结果求出分式x2+2x1x1的变形结果【问题解决】（3）当

15、2x1时，求分式x22x1x2的最小值【变式8-3】（2022安徽合肥市第四十五中学七年级阶段练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等例1：分解因式x2+2xx2+2x+2+1解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x=y原式=yy+2+1=y2+2y+1=y+12=x2+2x+12=x+14例2：已知ab=1，求11+a+11+b的值解：11+a+11+b=abab+a+11+b=

16、b1+b+11+b=1请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式x26x+8x26x+10+1进行因式分解；(2)计算：12320212+3+202212320222+3+2021=_(3)已知ab=1，求11+a2+11+b2的值；若abc=1，直接写出5aab+a+1+5bbc+b+1+5cca+c+1的值【知识点3 整数指数幂的运算】1.整数负指数幂：。2.若，且a0，则m=n；反之，若a0，且m=n，则。据此，可解决某些条件求值问题。【题型9 整数指数幂的运算】【例9】（2022湖南师大附中博才实验中学八年级期末）（1）计算：4x2yxy23y；（

17、2）化简：xy2y34x2【变式9-1】（2022甘肃陇南八年级期末）计算：（2a2b）22a8b3_【变式9-2】（2022河北唐山市第三十三中学八年级阶段练习）已知a2am3=a4，则m的值为_【变式9-3】（2022贵州铜仁伟才学校八年级阶段练习）化简下列式子，使结果只含有正整数指数幂：（-2a2b3）2（2a4b3）=_（a0，b0）【题型10 科学计数法表示小数】【例10】（2022辽宁锦州七年级期中）生活在海洋中的蓝鲸，又叫长须鲸或剃刀鲸，它的体重达到150吨，它体重的万亿分之一用科学记数法可表示为（）A1.51010吨B1.51011吨C151012吨D1.5109吨【变式10-

18、1】（2022江苏盐城七年级阶段练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为6.710nmm（n为负整数），则n的值为（）A-5B-6C-7D-8【变式10-2】（2022河北卢龙县教育和体育局教研室七年级期末）把0.00258写成a10n（1a0时，判断P-Q与0的大小关系，并说明理由；(2)设y=3PQ2，若x是整数，求y的整数值【答案】(1)P-Q0，理由见解析；(2)y的整数值为：-7，-3，-1，3【分析】（1）先求差，再比较差与0的大小关系；（2）先表示y，再求y的整数值(1)解：P-Q0，理由如下：P-Q= x+14xx+1=(x

19、+1)2x+14xx+1=x2+2x+14xx+1=(x1)2x+1，x0，x+10，（x-1）20P-Q0；(2)解：y=3x+12xx+1=32xx+1=2(x+1)+5x+1=2+5x+1，x，y是整数，x+1是5的因数x+1=1，5对应的y值为：y=-2+5=3或y=-2+（-5）=-7或y=-2+1=-1或y=-2+（-1）=-3y的整数值为：-7，-3，-1，3【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键【变式3-3】（2022河北中考真题）由1+c2+c12值的正负可以比较A=1+c2+c与12的大小，下列正确的是（）A当c=2时，A=12B当c=0

20、时，A12C当c12D当c0时，A12【答案】C【分析】先计算1+c2+c12的值，再根c的正负判断1+c2+c12的正负，再判断A与12的大小即可【详解】解：1+c2+c12=c4+2c，当c=2时，2+c=0，A无意义，故A选项错误，不符合题意；当c=0时，c4+2c=0，A=12，故B选项错误，不符合题意；当c0，A12，故C选项正确，符合题意；当2c0时，c4+2c0，A12；当c0，A12，故D选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断【题型4 分式加减的实际应用】【例4】（2022全国八年级单元

21、测试）某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行在没有风时，飞行器的速度为v，往返所需时间为t1；如果风速度为p0pv，则飞行器顺风飞行速度为v+p，逆风飞行速度为vp，往返所需时间为t2则t1、t2的大小关系为（）At1t2Bt1t2Ct1t2D无法确定【答案】A【分析】直接根据题意表示出t1，t2的值，进而利用分式的性质的计算求出答案【详解】解：t1=2mv，t2=mv+p+mvp=2mvv2p2，t1 t2=2mv2mvv2p2=2mp2v(v2p2)，0pv，t1 t2 0，t1 t2故选：A【点睛】本题考查了列代数式，熟练的掌握正确的分式加减运算是解题的关键【变式4-1】（2022全国

22、八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为ma+nbm+n（平均价）现有甲乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由100元A种糖和100元B种糖混合而成你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为x甲和x乙（用a、b的代数式表示）；(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将x甲与x乙

23、进行作差比较，即计算x甲x乙的差与0比较来确定大小；(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）选择哪种方式？请简要说明理由【答案】(1)x甲 =12(a+b)，x乙 =2aba+b(2)甲糖的单价较高，理由见解析(3)方式二更合算【分析】（1）根据单价=总价数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；（2）根据作差法比较大小即可求解；（3）由探究的结果进行分析即可（1）解：甲糖单价为：x甲=(10a+10b)20=12(a+b)（元），乙糖单价为：x乙=(100+100)(100a+100b)=2aba+b（元）；（2）