2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）（举一反三）（人教版）含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共60题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与计算的理解！一解答题（共30小题）1（2022辽宁大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在ABC中，点D在AB边上，ABC=ACD.（1）求证：ABCACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的长.2（2022广西贺州九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，点E是AD的中点，CFBE于点F，求FC的长3（2022全国九年级课时练习）如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D

2、求证：ACDABC4（2022上海九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H（1）求HD的长； （2）设BEG的面积为a，求四边形AEFH的面积（用含a的代数式表示）5（2022湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，ABD=C，AD=2, AC=8，求AB6（2022全国九年级专题练习）已知，如图，ABC中，AB4，BC8，D为BC边上一点，BD2求证：ABDCBA7（2022全国九年级专题练习）如图，1=2，ABAE=ACAD，求证：C=D8（2022全国九年级专题练习

3、）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，MPN=90，将MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，MPN的旋转随即停止.（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：ABP PCD（2）如图3，在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由（3）设AE=m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，BPE与PEF相似.9（2022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE=30，求证：ABDDCE10（

4、2022全国九年级专题练习）如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，AB=BC，AD=DE，连接BD，CE，求CEBD的值11（2022全国九年级课时练习）如图，在ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足ADE=B(1)证明：ADBAED；(2)若AE=3，AD=5，求AB的长12（2022全国九年级课时练习）如图，ABC与ADE中，CE，12；（1）证明：ABCADE（2）请你再添加一个条件，使ABCADE你补充的条件为： 13（2022全国九年级单元测试）如图，BD、CE是ABC的高（1）求证：ACEABD；（2）若BD8，AD6，DE5，求BC的长14（

5、2022全国九年级课时练习）如图，AB/EF/CD，E为AD与BC的交点，F在BD上，求证：1AB+1CD=1EF15（2022全国九年级课时练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q则DP DQ（填“”“”或“”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD2，CD4，其他条件不变如图2，若PQ5，求AP长如图3，若BD平分PDQ则DP的长为 16（2022全国九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，BAD=ACB=AED=90，由1+2+BAD=180

6、，2+D+AED=180，可得1=D ；又因为ACB=AED=90，可得ABCDAE，进而得到BCAC=_我们把这个模型称为“一线三等角”模型应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且APD=B求证：ABPPCD；当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长17（2022全国九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且ADE60求证：ADCDEB18（2022全国九年

7、级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B求证：ADFDEC；19（2022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3求证：DOECOB20（2022全国九年级课时练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明21（2022全国九年级专题练习）如图，D、E、F分别是ABC的三边BC,CA,AB的中点求证：DEFABC22（2022福建厦门市第五

8、中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”在ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，ABBD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a2b，和a24c24acab1求a，b之间的等量关系；若AE是ABD的中线求证：ACE是“和谐三角形”23（2022全国九年级专题练习）已知：如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC，点F在边AB上，BC2=BFBA，CF与DE相

9、交于点G（1）求证：DFAB=BCDG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DFEG=AFDG24（2022全国九年级单元测试）如图，在RtABC中，A90，AB20cm，AC15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长25（2022江苏九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：BGFDCF26（2022全国九年级课时练习）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，

10、已知D=DCE（1）求证：ADFECF；（2）若ABCD为平行四边形，AB=6，EF=2AF，求FD的长度27（2022安徽安庆九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F（1）如图，当CEEB=13时，求SCEFSCDF的值；（2）如图，当点E是BC的中点时，过点F作FGBC于点G，求证：CG=12BG28（2022上海市徐汇中学九年级期中）如图，已知ABC中，AB=AC，点E、F在边BC上，满足EAF=C求证：（1）BFCE=AB2 （2）AE2AF2=CEBF29（2022山东泰安中考真题）小明将两个直角三角形纸片如

11、图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB与ECD恰好为对顶角，ABC=CDE=90，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2），小明经过探究，得到结论：BDDF你认为此结论是否成立？_（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BDDF，则点F为线段CE的中点请判断此结论是否成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由问题解决：（3）若AB=6,CE=9，求AD的长30（2022全国九年级课时练习）如图，在ABC中，ABC2C，点E为AC的中点，ADBC于点D，ED延长后交AB的

12、延长线于点F，求证：AEFABC31（2022浙江杭州模拟预测）如图，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，且BACDAE点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN（1）求证：CAEBAD；（2）求证：AMNABC；（3）若AC6，AE4，EAC60，求AN的长32（2022全国九年级课时练习）在DPPB=CPPA，BAP=CDP，DPAB=CDPB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明问题：如图，四边形ABCD的两条对角线交于P点，若 （填序号）求证：ABPDCP33（2022全国九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABC=90，且AB是

13、AD，BC的比例中项，求证：BDAC34（2022甘肃兰州中考真题）如图，在ABC中，过点C作CD/AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF(1)求证：四边形AFCD是平行四边形(2)若GB=3，BC=6，BF=32，求AB的长35（2022全国九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DFAE于点F(1)求证：AFBE=ADAE(2)已知AB=8,BC=12，求AF的长36（2022全国九年级课时练习）如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON1(1)求证：DMNBCN；(2)求BD的长

14、；(3)若DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积37（2022全国九年级课时练习）在菱形ABCD中，ABC=120，点E、F分别是边AB、AD上两点，满足AE=DF，BF与DE相交于点G（1）如图1，连接BD求证：DAEBDF；（2）如图2，连接CG求证：BG+DG=CG；若FG=m，GC=n，求线段DG的长（用含m、n的代数式表示）38（2022全国九年级课时练习）将一副三角尺如图1放置，其中AD为RtABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N(1)求证：AMDCND；(2)如图2，将RtDEF绕点D旋转，此时EFBC，且E，A，F共线，判断AEADAMAN是否成立，

15、并给出证明39（2022全国九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分BAD，点P是AC延长线上一点，且PDAD（1）证明：BDC=PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长40（2022全国九年级课时练习）如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点，（1）若BK73KC，求CDAB的值；（2）联结BE，若BE平分ABC，则当AE12AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；（3）试探究：当BE平分ABC，且AE1nAD（n2）时，线段AB、BC，CD三者之间有怎样的数

16、量关系？请直接写出你的结论，不必证明41（2022山东济宁中考真题）如图,在ABC中,AB=AC，点P在BC上(1)求作:PCD,使点D在AC上，且PCDABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若APC=2ABC，求证:PD/AB42（2022浙江杭州中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AGBC于点G，AFDE于点F，EAF=GAC（1）求证：ADEABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG的值43（2022浙江杭州中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DEAC，EFAB（1）求证：BDEEFC

17、（2）设AFFC=12，若BC12，求线段BE的长；若EFC的面积是20，求ABC的面积44（2022全国九年级专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BFDE于F点，交AC于H点，交CD于G点(1)求证：BGCDGF；(2)求证：GDAB=DFBG；(3)若点G是DC中点，求GFCE的值45（2022全国九年级专题练习）如图，在RtABC中，C90，AC4 cm，BC5 cm，点D在BC上，且CD3 cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PEB

18、C交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为t s（t0）(1)CP_，CQ_（用含t的代数式表示）(2)连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？46（2022河南洛阳九年级期中）在ABC中，BAC90，ABAC，点D在边BC上，BD=13BC 将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF (1)如图 1，当180时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；(2)当0180时，如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断

19、四边形AECF的形状，并说明理由47（2022全国九年级课时练习）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的点连接AE.作BFAE垂足为H，交CD于F作CG/AE，交BF于G.求证：(1)CG=BH；(2)FC2=BFGF48（2022山东淄博八年级期末）如图1，已知矩形ABCD对角线AC和BD相交于点O，点E是边AB上一点，CE与BD相交于点F，连结OE(1)若点E为AB的中点，求OFFB的值(2)如图2，若点F为OB中点，求证：AE2BE(3)如图2，若OEAC，BE1，且OFkBF，请用k的代数式表示AC249（2022全国九年级课时练习）【操作发现】如图，在正方形ABCD中，点N、M分

20、别在边BC、CD上，连结AM、AN、MNMAN45，将AMD绕点A顺时针旋转90，点D与点B重合，得到ABE易证：ANMANE，从而得DM+BNMN【实践探究】（1）在图条件下，若CN3，CM4，则正方形ABCD的边长是 （2）如图，点M、N分别在边CD、AB上，且BNDM点E、F分别在BM、DN上，EAF45，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由【拓展】（3）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知MAN45，BN1，求DM的长50（2022全国九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上动点(

21、不与B,C重合)连接AE,过点E作EFAE,交DC于点F(1)求证：ABEECF；(2)连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，BAE=EAF，请证明你的结论51（2022全国九年级课时练习）综合与实践问题情境：在RtABC中，ACB=90，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）(1)操作发现：如图，当AC=BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90得到线段CE，连接DE，BECBE的度数为_；探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；(2)探究证明：如图2，当BC=2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90后并延长为原来的两倍，记为线段CE在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么

22、数量关系？并证明；若AC=2，在点D的运动过程中，当CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时CBE的面积52（2022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，ACB=90，CD是边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于E，F，连接DE，DF(1)求证：OCEOFD(2)当AE=7，BF=24时，求线段EF的长53（2022河南驻马店九年级期末）如图1，在RtABC中，C90，ACBC22，点D、E分别在边AC、AB上，ADDE12AB，连接DE将ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为（1）问题发现当0时，BECD； 当180时，BECD；（2）拓展研究试判断：当0360时，BECD的

23、大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决在旋转过程中，BE的最大值为54（2022福建泉州九年级期中）如图1，设D为锐角ABC内一点，ADB=ACB+90（1）求证：CAD+CBD=90；（2）如图2，过点B作BEBD，BE=BD，连接EC，若ACBD=ADBC，求证：ACDBCE；求ABCDACBD的值55（2022全国九年级专题练习）所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是5-12(1)如图，在ABC中，A36，AB=AC，ACB的平分线CD交腰AB于点D请你根据所学知识证明：点D为腰AB的黄金分割点：(2

24、)如图，在RtABC中，ACB90，CD为斜边AB上的高，ADBD，AB=5+1，若点D是AB的黄金分割点，求BC的长，56（2022山东淄博市临淄区教学研究室八年级期末）在矩形ABCD中，AEBD于点E，点P是边AD上一点（1）若BP平分ABD，交AE于点G，PFBD，如图（1），证明四边形AGFP是菱形；（2）若PEEC，如图（2），求证：AEAB=DEAP57（2022湖南衡阳九年级期末）如图，在ABC中，AD平分BAC，E是AD上一点，且BE=BD（1）求证：ABEACD；（2）若BD=1，CD=2，求AEAD的值58（2022全国九年级专题练习）教材呈现下面是华师大九年级上最数学教材

25、第76页的部分内容如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AFDE于点F，AB=3，AD=2，CE=1，证明AFDDCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）结合图，完成解答过程拓展（1）在图的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图，则FG的长为 ；（2）如图，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连接EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D与点B重合，点A的对称点为点A若AB=4，AD=3，则EF的长为 59（2022江苏苏州九年级专题练习）( 定义：长宽比为n 1（n为正整数）的矩形称为n矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a所示操作1：将正方形ABEF沿过

26、点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD则四边形ABCD为2矩形(1)证明：四边形ABCD为2矩形；(2)点M是边AB上一动点如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OMON，连接MN求ON：OM的值；若AMAD，点N在边BC上，当DMN的周长最小时，求NB：CN的值；连接CM，作BRCM，垂足为R若AB22，则DR的最小值 60（2022四川广元二模）（1）如图1，正方形ABCD与调研直角AEF有公共顶点A，EAF90，连接BE、DF，将AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、

27、DF相交所成的角为，则BEDF_；_；（2）如图2，矩形ABCD与RtAEF有公共顶点A，EAF90，且AD2AB，AF2AE，连接BE、DF，将RtAEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为，请求出BEDF的值及的度数，并结合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与AEF有公共项点A，且BADEAF(0180)，ADkAB， AFkAE(k0)，将AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为，则：BEDF_；请直接写出和之间的关系式专题27.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共60题，针对性较高，覆盖面广，选

28、题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与计算的理解！一解答题（共60小题）1（2021辽宁大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在ABC中，点D在AB边上，ABC=ACD.（1）求证：ABCACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的长.【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案（2）根据相似三角形的性质即可求出答案【详解】解：（1）证明：ABC=ACD，A=A，ABCACD；（2）解：ABCACD，ACAD=ABAC，即AC4=9AC，解得：AC=6.【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基础题型2（2022广西贺州九年

29、级期末）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，点E是AD的中点，CFBE于点F，求FC的长【答案】2.4【分析】根据已知可证明ABEFCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答【详解】解：ADBC，AEB=CBF，A=90，CFB=90，ABEFCBABFC=BEBC，BC=3，E是AD的中点，AE=1.5 ，BE=2.5，2FC=2.53，FC=2.4【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解题的关键3（2022全国九年级课时练习）如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D求证：ACDABC【答案】见解析【分析】根据两个角相等的两个

30、三角形相似进行证明即可【详解】证明：CDAB于DADC=ACB=90，A=A，ACDABC【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明4（2021上海九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H（1）求HD的长； （2）设BEG的面积为a，求四边形AEFH的面积（用含a的代数式表示）【答案】（1）2；（2）7a2【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD/BC，根据相似三角形的判定得BEGDEA，BFGDFH，由BE=EF=FD可得出BE

31、ED=12，DFBF=12，根据相似三角形的性质即可求解；（2）由BE=EF可得BEG与EFG的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得SAED与SDFH的值，SAED-SDFH即可得四边形AEFH的面积【详解】解：（1）平行四边形ABCD，BC=8，AD/BC，AD=BC=8，BEGDEA，BFGDFH，BEED=BGAD，DFBF=HDBG，BE=EF=FD，BEED=12，DFBF=12，BG=12AD=4，HD=12BG，HD=2；（2）BE=EF，SBEG=SEFG=a，SBFG=2a，BEGDEA，BFGDFH，BEED=12，DFBF=12，SAED=4a，SDFH=

32、a2，四边形AEFH的面积=SAED-SDFH=7a2【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键5（2021湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，ABD=C，AD=2, AC=8，求AB【答案】4【分析】由AA，ABDC可证明ADBABC，由相似三角形的性质可知ADAB=ABAC，从而可求得AB的长【详解】解：AA，ABDC，ADBABCADAB=ABAC，即2AB=AB8解得：AB4（负值已舍去）AB4【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，由相似三角形的性质得到2AB=AB8是解题的关键6（2022全国九年级专

33、题练习）已知，如图，ABC中，AB4，BC8，D为BC边上一点，BD2求证：ABDCBA【答案】见解析；【分析】由AB4，BC8，BD2可知ABCB=BDBA，再由ABDCBA可得ABDCBA；【详解】证明：AB4，BC8，BD2，ABCB=BDBA，又ABDCBA，ABDCBA【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键7（2021全国九年级专题练习）如图，1=2，ABAE=ACAD，求证：C=D【答案】见解析【分析】根据1=2得到BAC=EAD，结合ABAE=ACAD得到ABCAED，再根据相似三角形对应角相等即可得到C=D【详解】解：1=2，1+CAE=

34、2+CAE，BAC=EAD，且ABAE=ACAD，ABCAED，由相似三角形对应角相等可知：C=D【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，属于基础题，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键8（2021全国九年级专题练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，MPN=90，将MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，MPN的旋转随即停止.（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：ABP PCD（2）如图3，在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由（3）

35、设AE=m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，BPE与PEF相似.【答案】（1）见解析；（2）PEPF的值是定值，该定值为12 ；（3）当m=0或32时，BPE与PEF相似【分析】（1）因为在矩形中，所以只要再证明BAP=CPD即可；（2）证明边比为定值，考虑相似三角形，过点F作FGBC于G，创造PGF并证明其与EBP 相似；（3）使BPE PFE，那么BEPE=BPPF，算出m值，反证相似.【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形B=C=90BAP+BPA=90MPN=90CPD+BPA=90 BAP=CPDABP PCD（2）过点F作FGBC于GFGP=90 FGP=B，PFG+FP

36、G=90易知四边形ABGF是矩形，FG=AB=2MPN=90 EPB+FPG=90EPB=FPGEBP PGFPEPF=BPFG=12PEPF的值是定值，该定值为12（3）AE=mBE=2-m当BEPE=BPPF时，B=EPF=90 BPE PFEBEBP=PEPF2-m1=12m=32当BPPE=BEPF时，B=EPF=90 BPE PEFBPBE=PEPF 12-m=12 m=0综上，当m=0或32时，BPE与PEF相似.【点睛】本题考察了相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等以及性质定理：对应角相等，对应边成比例

37、.9（2022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE=30，求证：ABDDCE【答案】见解析【分析】利用三角形的外角性质证明EDC=DAB，即可证明ABDDCE【详解】证明：AB=AC，且BAC=120，ABD=ACB=30，ADE=30，ABD=ADE=30，ADC=ADE+EDC=ABD+DAB，EDC=DAB，ABDDCE【点睛】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明EDC=DAB是解题的关键10（2022全国九年级专题练习）如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，A

38、BC=ADE=90，AB=BC，AD=DE，连接BD，CE，求CEBD的值【答案】2【分析】由等腰直角三角形的性质可推出DAE=BAC=45，AE=2AD,AC=2AB，从而可得出EAC=DAB，AEAD=ACAB=2，即证明DABEAC，得出CEBD=2【详解】解：ABC和ADE都是等腰直角三角形，DAE=BAC=45，AE=2AD，AC=2AB，EAC=DAB，AEAD=ACAB=2，DABEAC，CEBD=2【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质掌握三角形相似的判定条件是解题关键11（2022全国九年级课时练习）如图，在ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，

39、且满足ADE=B(1)证明：ADBAED；(2)若AE=3，AD=5，求AB的长【答案】(1)见解析(2)253【分析】（1）证出BAD=EAD根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出ADAE=ABAD，则可得出答案（1）AD是BAC的角平分线，BAD=EADADE=B，ADBAED（2）ADBAED，ADAE=ABAD，AE=3，AD=5，53=AB5，AB=253【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键12（2022全国九年级课时练习）如图，ABC与ADE中，CE，12；（1）证明：ABCADE（

40、2）请你再添加一个条件，使ABCADE你补充的条件为： 【答案】(1)证明见解析；(2)见解析.【分析】(1)由1=2,证出BAC=DAE.再由C=E,即可得出结论; (2)由AAS证明ABCADE即可.【详解】(1)1=2，1+DAC=2+DAC，BAC=DAEC=E，ABCADE(2)补充的条件为：AB=AD（答案不唯一）；理由如下：由(1)得：BAC=DAE，在ABC和ADE中， BAC=DAEC=EAB=AD，ABCADE；故答案为AB=AD（答案不唯一）【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定.13（2022全国九年级单元测试）如图，BD、CE是ABC的高（1）求证：A

41、CEABD；（2）若BD8，AD6，DE5，求BC的长【答案】（1）见解析；（2）BC253【分析】（1）BD、CE是ABC的高，可得ADB=AEC=90，进而可以证明ACEABD；（2）在RtABD中，BD=8，AD=6，根据勾股定理可得AB=10，结合（1）ACEABD，对应边成比例，进而证明AEDACB，对应边成比例即可求出BC的长【详解】解：（1）证明：BD、CE是ABC的高，ADB=AEC=90，A=A，ACEABD；（2）在RtABD中，BD=8，AD=6，根据勾股定理，得AB=AD2+BD2=10，ACEABD， ACAB=AEAD，A=A，AEDACB， DEBC=ADAB，DE=5，BC=5106=253【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质14（202