2024年初中升学考试九年级数学专题复习反比例函数综合题.docx

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1、反比例函数综合题14（2023连云港）【问题情境 建构函数】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB4，M是CD的中点，AEBM，垂足为E设BCx，AEy，试用含x的代数式表示y【由数想形 新知初探】（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图象如图2所示若x取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象【数形结合 深度探究】（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：函数值y随x的增大而增大；函数值y的取值范围是42y42；存在一条直线与该函数图象有四个交点；在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形其中正确的是 （

2、写出所有正确结论的序号）【抽象回归 拓展总结】（4）若将（1）中的“AB4”改成“AB2k”，此时y关于x的函数表达式是 y=2kxx2+k2x2+k2（x0，k0）；一般地，当k0，x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）【考点】反比例函数综合题版权所有【分析】（1）证得RtABERtBMC，得出ABBM=AEBC，由题意CM=12CD=12AB2，利用勾股定理求得，BM=x2+4，即可得到4x2+4=yx，从而得到y=4xx2+4=4xx2+4x2+4（x0）；（2）把P点的对称点Q（a，b）代入解析式也成立，即可证明函数图象

3、是否具有对称性；（3）观察图象即可判断；（4）分析函数的解析式即可得出函数的性质【解答】解：（1）在矩形ABCD中，ABCBCM90，ABE+MBC90，AEBM，AEB90，BAE+ABE90，AEBBCM，MBCBAE，RtABERtBMC，ABBM=AEBC，AB4，点M是CD的中点，CM=12CD=12AB2，在RtBMC中，BM=BC2+CM2=x2+22=x2+4，4x2+4=yx，y=4xx2+4=4xx2+4x2+4（x0）；（2）x取任意实数时，对应的函数图象关于原点对称理由如下：若P（a，b）为图象上任意一点，则b=4aa2+4a2+4，设P（a，b）关于原点的对称点为Q，

4、则Q（a，b），当xa时，y=4(a)(a)2+4(a)2+4=4aa2+4a2+4，Q（a，b）也在函数y=4xx2+4x2+4的图象上，当x取任意实数时，函数y=4xx2+4x2+4的图象关于原点对称；（3）观察图象，函数值y随x的增大而增大；故正确，函数值y的取值范围是4y4；故错误，存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误，在图象上存在四点A、B、C、D，使得四边形ABCD是平行四边形，故正确故答案为：；（4）y关于x的函数表达式为y=2kxx2+k2x2+k2（x0，k0），当k0，x取任意实数时，有如下相关性质：当k0时，图象经过第一、三象限，函数值y随x的增大而增大，y的取值范

5、围为2ky2k；当k0时，图象经过第二、四象限，函数值y随x的增大而减小，y的哦值范围为水2ky2k；函数图象经过原点；函数图象关于原点对称；故答案为：y=2kxx2+k2x2+k2（x0，k0）【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形相似的判定和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键15（2023泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：ykx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mx（x0）的图象相交于点C，已知OA1，点C的横坐标为2（1）求k，m的值；（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的

6、四边形为平行四边形，求点D的坐标【考点】反比例函数综合题版权所有【分析】（1）根据题意求出点A的坐标，进而求出k，再求出点C的坐标，求出m；（2）分2n+212n=2、2n+212n=2两种情况，计算即可【解答】解：（1）OA1，点A的坐标为（1，0），则k+20，解得：k2，直线l的解析式为y2x+2，点C在直线l上，点C的横坐标为2，点C的纵坐标为22+26，点C的坐标为（2，6），m2612；（2）设点D的坐标为（n，2n+2），则点E的坐标为（n，12n），DE|2n+212n|，OBDE，当OBDE时，以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，直线y2x+2与y轴交于点B，OB2，

7、|2n+212n|2，当2n+212n=2时，n1=6，n2=6（舍去），此时，点D的坐标为（6，26+2），当2n+212n=2时，n1=71，n2=71（舍去），此时，点D的坐标为（71，27），综上所述：以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（6，26+2）或（71，27）【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键反比例函数综合题14（2023眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y=mx在第四象限内的图象交于点C（6，a）（1）求反比例

8、函数的表达式；（2）当kx+bmx时，直接写出x的取值范围；（3）在双曲线y=mx上是否存在点P，使ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】反比例函数综合题【分析】（1）将A（4，0），B（0，2）代入ykx+b，求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；（3）过点A作AEBC交y轴于点E，证明AOBEOA得出点E的坐标，在求出直线AE的表达式，与反比例函数联立方程组即可【解答】（1）将A（4，0），B（0，2）代入ykx+b得：4k+b=0b=2

9、，解得：k=12b=2，一次函数表达式为：y=12x+2，将C（6，a）代入得：y=126+21，C（6，1），将C（6，1）代入y=mx得：m6，反比例函数的表达式为：y=6x；（2）设一次函数与反比例函数在第二象限交于点D，联立y=12x+2y=6x，解得：x=2y=3或x=6y=1，D（2，3），由图象可知：当x2或0x6时，kx+bmx，（3）存在，理由：过点A作AEBC交y轴于点E，BAO+EAO90，EAO+AEO90，BAOAEO，AOBEOA90，AOBEOA，OBOA=AOEO，24=4OE，OE8，E（0，8），设直线AE的表达式为：yax+b，将（4，0），（0，8）代入

10、得：4a+b=0b=8，解得：a=2b=8，直线AE的表达式为：y2x8，联立：y=2x8y=6x，解得：x=1y=6或x=3y=2，点P的坐标为：（1，6）或（3，2）【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查的有待定系数法求一次函数、反比例函数表达式，相似三角形的判定及性质15（2023凉山州）阅读理解题：阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，AEF是等腰直角三角形，记BAE为、FAD为，若tan=12，则tan=13证明：设BEk，tan=12，AB2k，易证AEBEFC（AAS）EC2k，CFk，FDk，AD3k，tan=DFAD=k3k=13，若+45时，当tan=12，则t

11、an=13同理：若+45时，当tan=13，则tan=12根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y3x9与反比例函数y=mx（x0）的图象交于点A，与x轴交于点B将直线AB绕点A顺时针旋转45后的直线与y轴交于点E，过点A作AMx轴于点M，过点A作ANy轴于点N，已知OA5（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出tanBAM、tanNAE的值；（3）求直线AE的解析式【考点】反比例函数综合题【分析】（1）设A（t，3t9），由OA5，得t2+（3t9）252，可解得A（4，3），再用待定系数法得反比例函数的解析式为y=12x（x0）；（2）求出B（3，0），由A（4，3），得AM3，BMO

12、MOB1，即知tanBAM=BMAM=13，而BAE45，故BAM+NAE45，由阅读材料得tanNAE=12；（3）由tanNAE=12，A（4，3），得NE2，从而E（0，1），再用待定系数法得直线AE解析式为y=12x+1【解答】解：（1）设A（t，3t9），OMt，AM3t9，OA5，t2+（3t9）252，解得t4或t1.4，A（4，3）或（1.4，4.8）（此时A在第四象限，不符合题意，舍去），把A（4，3）代入y=mx（x0）得：3=m4，解得m12，反比例函数的解析式为y=12x（x0）；（2）在y3x9中，令y0得03x9，解得x3，B（3，0），OB3，由（1）知A（4，3

13、），OM4，AM3，BMOMOB431，tanBAM=BMAM=13，ANONOMOMA90，MAN90，BAE45，BAM+NAE45，由若+45时，当tan=13，则tan=12可得：tanNAE=12；（3）由（2）知tanNAE=12，NEAN=12，A（4，3），AN4，ON3，NE4=12，NE2，OEONNE321，E（0，1），设直线AE解析式为ykx+b，把A（4，3），E（0，1）代入得：4k+b=3b=1，解得k=12b=1，直线AE解析式为y=12x+1【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是读懂阅读材料，掌握待定

14、系数法反比例函数综合题33（2023成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）若点C在直线l上，且ABC的面积为5，求点C的坐标；（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画PDE，使它与PAB位似，相似比为m若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值【考点】反比例函数综合题【分析】（1）解方程得到点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入yx+5得，4a+5，求得B（1，4），将B（1，4）代入y=kx得，求得反比例函数的表达式为

15、y=4x；（2）设直线l与y轴交于M，直线yx+5与x轴交于N，解方程得到N（S，0），求得OAON5，根据两点间的距离的结论公式得到AB=(10)2+(45)2=2，求得M（0，3），待定系数法求得直线l的解析式为y4x+3，设点C的坐标为（t，t+3），根据三角形的面积公式列方程得到t4或t6，求得点C的坐标为（6，9）或（4，1）；（3）解方程组求得E（4，1），根据相似三角形的性质得到PABPDE，根据平行线的判定定理得到ABDE，求得直线DE的解析式为yx5，解方程组得到D（1，4），则直线AD的解析式为y9x+5，于是得到P（14，114），根据两点间的距离距离公式即可得到结论【解

16、答】解：（1）令x0，则yx+55，点A的坐标为（0，5），将B（a，4）代入yx+5得，4a+5，a1，B（1，4），将B（1，4）代入y=kx得，4=k1，解得k4，反比例函数的表达式为y=4x；（2）设直线l与y轴交于M，直线yx+5与x轴交于N，令yx+50得，x5，N（5，0），OAON5，AON90，OAN45，A（0，5），B（1，4），AB=(10)2+(45)2=2，直线l是AB的垂线，即ABM90，OAN45，AB=BM=2，AM=AB2+BM2=2，M（0，3），设直线l的解析式为yk1x+b1，将M（0，3），B（1，4）代入yk1x+b1得，k1+b1=4b1=3，解

17、得k1=1b1=3，直线l的解析式为yx+3，设点C的坐标为（t，t+3），SABC=12AM|xBxC|=122|1t|=5，解得t4或t6，当t4时，t+31，当t6时，t+39，点C的坐标为（6，9）或（4，1）；（3）位似图形的对应点与位似中心三点共线，点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，将直线l与双曲线的解析式联立方程组y=4xy=x+3，解得，x=1y=4或x=4y=1，E（4，1），画出图形如图所示，PABPDE，PABPDE，ABDE，直线AB与直线DE的一次项系数相等，设直线DE的解析式为yx+b2，1（4）+b2，b25，直线DE的解析式为yx5，点

18、D在直线DE与双曲线的另一个交点，解方程组y=4xy=x5得，x=1y=4或x=4y=1，D（1，4），则直线AD的解析式为y9x+5，解方程组y=9x+5y=x+3得，x=14y=114，P（14，114），BP=(141)2+(1144)2=542，EP=14(4)2+114(1)2=1542，m=EPBP=3【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键34（2023广安）如图，一次函数ykx+94（k为常数，k0）的图象与反比例函数y=mx（m为常数，m0）的图象在第一象限交于点A（1，n）

19、，与x轴交于点B（3，0）（1）求一次函数和反比例函数的解析式（2）点P在x轴上，ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标【考点】反比例函数综合题【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于k、n的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求得m的值即可；（2）设P（a，0），利用两点间的距离公式和勾股定理以及APAB列出方程，借助于方程求解即可【解答】解：（1）将A（1，n）、B（3，0）分别代入一次函数ykx+94，得k+94=n3k+94=0解得k=34n=3故A（1，3）将其代入反比例函数y=mx，得m1=3解得m3故一次函数的解析式为y=34x+94，反比例函数的解析式为y=3x；（2）由（1）知，A（1，3）、B（3，0），则AB=32+42=5设P（a，0），当ABAP时，5=(1a)2+32解得a5或a3（舍去）故P（5，0）；当ABPB时，5|3a|解得a8或a2故P（8，0）或（2，0）综上所述，符合条件的点P的坐标为：（5，0）或（8，0）或（2，0）【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求得一次函数和反比例函数解析式，勾股定理以及等腰三角形的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用