2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）期末难点特训（二）与圆综合有关的压轴题含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训二（与圆综合有关的压轴题）1与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条公切线叫做这两个圆的内公切线 (1)如图，P、Q只有一个公共点，P与Q的公切线的条数是 (2)如图，A和B分别是P和Q上的点，PAQB连接AB并反向延长，交射线QP于点C，CD与P相切，切点为D求证：CD是P与Q的外公切线(3)如图，P在Q外，用直尺和圆规作图：（在和中任选一题完成）作P和Q的一条外公切线；作P和Q的一条内公切线（保留作图痕迹，不写作法）(4)如图，P

2、在Q外，直线AB是两圆的外公切线，切点分别为A、B，直线CD是两圆的内公切线，切点分别为C、D已知P、Q的半径分别为1和2，若线段AB、CD的长分别为a和b，直接写出a与b之间的相等关系2【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系 【构造模型】（1）如图，已知ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得ADBACB（不写作法，保留作图痕迹）【应用模型】已知ABC是O的内接三角形，O的半径为r，ABC的周长为c（2）如图，若r5，AB8，求c的取值范围（3）如图，已知线段MN，AB是O一

3、条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得cMN（不写作法，保留作图痕迹）3如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）(1)对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果APB45，那么称点P为线段AB的“完美点”设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ，C的半径是 ；y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；(2)若点P在y轴负半轴上运动，则当APB的度数最大时，点P的坐标为 4数学概念若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.理解概念（1）若点是

4、的等角点，且，则的度数是 .（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）如图，如图，深入思考（3）如图，在中，、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：直角三角形的内心是它的等角点；等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；正三角形的中心是它的强等角点；若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）5在某张航海图上

5、，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区（1）某时刻海面上出现一渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45，同时在观测点B测得A位于北偏东30，求观测点B到A船的距离（）（2）若渔船A由（1）中位置向正西方向航行，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答6如图，A、B两点的坐标分别为（0，4），（0，2），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（

6、1，0）运动到点（2，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积7如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其三个顶点的坐标分别为A(2，0)，B(8，0)，C(8，3)，将直线l：以每秒3个单位的速度向右运动，设运动时间为t秒（1）当t 时，直线l经过点A（直接填写答案）；（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，试求S0时S与t的函数关系式；（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的M，在直线l出发的同时，M以每秒2个单位的速度向右运动，如图2，则当t为何值时，直线l与M相切？8定义：如图，的半径为r，若点在射线上，且，则称点是点P关于的“反演点”（1）如图，设射线与交于点A

7、，若点是点P关于的“反演点”，且，求证：点为线段的一个黄金分割点；（2）如图，若点是点P关于的“反演点”，过点作，交于点B，连接，求证：为的切线；（3）如图，在中，以为直径作，若点P为边上一动点，点是点P关于的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段长度的取值范围是_9已知：BD为O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作O的切线交DA的延长线于点F，点C为O上一点，且ABAC，连接BC交AD于点E，连接AC(1)如图1，求证：ABFABC；(2)如图2，点H为O内部一点，连接OH，CH若OHCHCA90时，求证：CHDA；(3)在(2)的条件下，若OH6，O的半径为10，求CE的长10如图1

8、，直线l：与x轴交于点，与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点以点A为圆心，AC长为半径作交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交于点F求直线l的函数表达式和的值；如图2，连结CE，当时，求证：；求点E的坐标；当点C在线段OA上运动时，求的最大值11如图，已知RtABC的直角边AC与RtDEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿CA方向移动DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动设移动时间为t（s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的P与直线AB相交于点M，N，当点

9、F与点A重合时，DEF与点P同时停止移动，在移动过程中：（1）连接ME，当MEAC时，t=_s；（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；（3）是否存在P与RtDEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由 12如图，M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，），点D在x轴上，且点D在点A的右侧（1）求菱形ABCD的周长；（2）若M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，

10、求t的值及MAC的度数；（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值13如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，OE为BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.（1）求抛物线的解析式；（2）等边的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；（3）点为内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.14如图1抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接CQ、CB，点P是抛物

11、线上一点，当DCP=BCQ时，求点P的坐标；(3)若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标15如图甲，在平面直角坐标系中，直线y=x+8分别交x轴、y轴于点A、B，O的半径为2个单位长度点P为直线y=x+8上的动点，过点P作O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PCPD（1）试说明四边形OCPD的形状（要有证明过程）；（2）求点P的坐标；（3）如图乙，若直线y=x+b将O的圆周分成两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值（4）向右移动O（圆心O始终保持在x轴上），试求出当O与直线y=x+8有交点时圆心O的横坐标m的取值范围16如图，在直角坐

12、标系中，抛物线yax2bx2与x轴交于点A(3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式（2）在抛物线上是否存在点D，使得ABD的面积等于ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值17如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E(1)求证：CDED；(2)连接AD与OC、BC分别交于点F、H若CFCH，如图2，求证：CHCE；若圆的半径为2，BD1，如图3，求AC的值18如图1，已知矩形ABCD中，AD=3

13、，点E为射线BC上一点，连接DE，以DE为直径作O（1）如图2，当BE=1时，求证：AB是O的切线（2）如图3，当点E为BC的中点时，连接AE交O于点F，连接CF，求证：CF=CD（3）当点E在射线BC上运动时，整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值；若不存在，请说明理由期末难点特训二（与圆综合有关的压轴题）1与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条公切线叫做这两个圆的内公切线 (1)如图，P、Q只有一个公共点，P与Q的公切线的条数是 (2)如图，A和B分别是P和Q上的

14、点，PAQB连接AB并反向延长，交射线QP于点C，CD与P相切，切点为D求证：CD是P与Q的外公切线(3)如图，P在Q外，用直尺和圆规作图：（在和中任选一题完成）作P和Q的一条外公切线；作P和Q的一条内公切线（保留作图痕迹，不写作法）(4)如图，P在Q外，直线AB是两圆的外公切线，切点分别为A、B，直线CD是两圆的内公切线，切点分别为C、D已知P、Q的半径分别为1和2，若线段AB、CD的长分别为a和b，直接写出a与b之间的相等关系【答案】(1)3；(2)证明见详解；(3)见详解；(4)a2b28【分析】（1）理解题意，根据题意找到复合的圆的切线即可；（2）连接PD，过点Q作QECD，应用圆的性

15、质，证明DCPECQ即可求证；（3）根据题意作图即可；（4）连接AP、CP、PE、DQ、EQ、BQ，根据切线的性质证明，进而证即可求解；(1)如图，有3条故答案是：3；(2)如图，连接PD，过点Q作QECD，垂足为EPAQB，ACPBCQCD与P相切，切点为D，CDDPQECD，CDPCEQ90DPEQDCPECQAPDP，EQBQ，CD与Q相切，即CD是P与Q的外公切线(3)如图，直线l即为两圆的外公切线；如图，直线m即为两圆的内公切线(4)如图，连接AP、CP、PE、DQ、EQ、BQ则有易证即a2b28【点睛】本题主要考查了圆的性质、三角形的全等、三角形的相似，此题以圆为基础，引申出以圆的

16、性质相关的新概念，解本题的关键在于掌握圆的相关知识，结合三角形的全等、相似进行求解2【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系 【构造模型】（1）如图，已知ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得ADBACB（不写作法，保留作图痕迹）【应用模型】已知ABC是O的内接三角形，O的半径为r，ABC的周长为c（2）如图，若r5，AB8，求c的取值范围（3）如图，已知线段MN，AB是O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得cMN（不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）16c8

17、8；（3）见解析【分析】（1）可找到两个这样的点：当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；两种情况均可利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质证明；（2）考虑最极端的情况：当C与A或B重合时，则，可得此时，根据题意可得，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质可得点D的运动轨迹为一个圆，点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，根据垂径定理及勾股定理

18、可得，当AD为直径时，c最大即可得；（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分线交O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作P；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交P于点E；第5步：连接AE交O于点C，即为所求；方法二：第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；第2步：作的外接圆；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交ABE的外接圆于点F；第5步：连接AF交O于点C，即为所求【详解】（1）如图所示：当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连

19、接AD，即为所求；当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；证明：，；同理可证明；（2）当C与A或B重合时，则，如图，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，同弧所对的圆周角相等，为定角，为定角，点D的运动轨迹为一个圆，当点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，由垂径定理可得：CE垂直平分AB，在中，AD为直径时最长，最长，的周长最长c最长为，c的取值范围为：；（3）方法一：第1步：作AB的垂直平分线交O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作P；第3步：在MN上截取AB的长

20、度；第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交P于点E；第5步：连接AE交O于点C，即为所求；方法二：第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；第2步：作的外接圆；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交ABE的外接圆于点F；第5步：连接AF交O于点C，即为所求【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，勾股定理，垂径定理，角的作法等，理解题意，综合运用各个知识点作图是解题关键3如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）(1)对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果APB45，那么称点P为

21、线段AB的“完美点”设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 ，C的半径是 ；y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；(2)若点P在y轴负半轴上运动，则当APB的度数最大时，点P的坐标为 【答案】(1)(4,3)或C(4，3)，(2)【分析】（1）在x轴的上方，作以AB为斜边的等腰直角三角形ACB，易知A，B，P三点在C上，圆心C的坐标为(4,3)，半径为3，根据对称性可知点C(4，3)也满足条件；当圆心为C（4，3）时，过点C作CDy轴于D，则D（0，3），CD=4，根据C的半径得C与y轴相交，设交点为，此时，在y轴的正半轴上，连接

22、、CA，则=CA =r=3，得，即可得；（2）如果点P在y轴的负半轴上，设此时圆心为E，则E在第四象限，在y轴的负半轴上任取一点M(不与点P重合)，连接MA，MB，PA，PB，设MB交于E于点N，连接NA，则APB=ANB，ANB是MAN的外角，ANBAMB，即APBAMB，过点E作EFx轴于F，连接EA，EP，则AF=AB=3，OF=4，四边形OPEF是矩形，OP=EF，PE=OF=4，得，则，即可得(1)如图1中，在x轴的上方，作以AB为斜边的等腰直角三角形ACB，易知A，B，P三点在C上，圆心C的坐标为(4,3)，半径为3，根据对称性可知点C(4,3)也满足条件，故答案是：(4,3)或C

23、(4，3)，y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点”。如图2所示，当圆心为C（4，3）时，过点C作CDy轴于D，则D（0，3），CD=4，C的半径，C与y轴相交，设交点为，此时，在y轴的正半轴上，连接、CA，则=CA =r=3，CDy轴，CD=4，；当圆心为C（4，-3）时，点P在y轴的负半轴上，不符合题意；故答案为：，(2)当过点A，B的圆与y轴负半轴相切于点P时，APB最大，理由如下：如果点P在y轴的负半轴上，设此时圆心为E，则E在第四象限，如图3所示，在y轴的负半轴上任取一点M(不与点P重合)，连接MA，MB，PA，PB，设MB交于E于点N，连接NA，点P，点N在E上，APB=ANB，AN

24、B是MAN的外角，ANBAMB，即APBAMB，此时，过点E作EFx轴于F，连接EA，EP，则AF=AB=3，OF=4，E与y轴相切于点P，则EPy轴，四边形OPEF是矩形，OP=EF，PE=OF=4，E的半径为4，即EA=4，在RtAEF中，即 故答案为：【点睛】本题考查了圆与三角形，勾股定理，三角形的外角，矩形的性质，解题的关键是掌握这些知识点4数学概念若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.理解概念（1）若点是的等角点，且，则的度数是 .（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面

25、的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）如图，如图，深入思考（3）如图，在中，、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：直角三角形的内心是它的等角点；等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；正三角形的中心是它的强等角点；若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）【答案】（1）100、130或160；（2）选择或，理由见解析；（3）见解析；（4）【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可

26、；（2）根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可【详解】（1）（i）若=时，=100（ii）若时，（360）=130；（iii）若=时，360=160，综上所述：=100、130或160故答案为：100、130或160（2）选择：连接，是的等角点选择连接四边形是圆的内接四边形，是的等角点（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，根据垂直平分线的性

27、质和作图方法可得：BD=CD=BCBCD为等边三角形BDC=BCD=DBC=60作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为BCD的外接圆BQC=180BDC=120BD=CDBQD=CQDBQA=CQA=（360BQC）=120BQA=CQA=BQC如图，点即为所求（4）如下图所示，在RtABC中，ABC=90，O为ABC的内心假设BAC=60，ACB=30点O是ABC的内心BAO=CAO=BAC=30，ABO=CBO=ABC=45，ACO=BCO=ACB=15AOC=180CAOACO=135，AOB=180BAOABO=105，BOC=180CBOBCO

28、=120显然AOCAOBBOC，故错误；对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故错误；正三角形的每个中心角都为：3603=120，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故正确；由（3）可知，点Q为ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QBQC，故错误；由（3）可知，当的三个内角都小于时，必存在强等角点如图，在三个内角都小于的内任取一点，连接、，将绕点逆时针旋转到，连接，由旋转得，是等边三角形、是定点，当、四点共线时，最小，即最小而当为的强等角点时，此时便能保证、四点共线，进而使最小故答案为：【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理

29、、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键5在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0）、B（6，0）、C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区（1）某时刻海面上出现一渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45，同时在观测点B测得A位于北偏东30，求观测点B到A船的距离（）（2）若渔船A由（1）中位置向正西方向航行，是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答【答案】（1）16.2；（2）不会【分析】（1）过点A作AD轴于点D，依题意，得BAD=30在RtABD中，设B

30、D=，则AB=2，由勾股定理得：AD= ，根据图形得到OD=OB+BD=6+x，故AB=2x=6()16.2（2）过点A作AGy轴于点G过点O作OEOB于点E，并延长EO交AG于点F由垂径定理得，OE=BE=3在RtOOE中，由勾股定理得，OE=4所以OF=5+35.【详解】（1）过点A作AD轴于点D，依题意，得BAD=30在RtABD中，设BD=，则AB=2，由勾股定理得：AD= ，由题意知：OD=OB+BD=6+在RtAOD中，OD=AD，6+=3（+1），AB=2=6（+1）16.2即：观测点B到A船的距离为16.2（2）连接CB，CO，则CBy轴，CBO=90，设O为由O、B、C三点所

31、确定圆的圆心则OC为O的直径由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=半径OO=5过点A作AGy轴于点G过点O作OEOB于点E，并延长EO交AG于点F由垂径定理得：OE=BE=3，在RtOOE中，由勾股定理得：OE=4四边形FEDA为矩形，EF=DA，而AD=9+3OF=9+3-4=5+35+35，即OFr直线AG与O相离，A船不会进入海洋生物保护区【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，点与圆的位置关系，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的应用，点与圆的位置关系.6如图，A、B两点的坐标分别为（0，4），（0，2），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交

32、于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（1，0）运动到点（2，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积【答案】（1）见解析；（2）（2，6）；（3）.【详解】试题分析：（1）连接AM、BM，由APQ和BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点，可得AMBMPM=QM，从而问题得证；(2) 作MGy轴于G，MCx轴于C，由已知求得MCOG3，确定出在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为3，从而确定点Q的纵坐标始终为6， 当M与x轴相切时则PQx轴，作QHy轴于H，由BOPQHB，根据相似

33、三角形的性质即可得；（3）由相似可得：当点P在P1（1，0）时，Q1（8，6）则M1（ ，3），当点P在P2（2，0）时，Q2（4，6），则M2（3，3），根据线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1，根据梯形的面积公式进行计算即可得.试题解析：（1）连接AM、BM，APQ和BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点，AMBMPM=QM= PQ，A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；(2) 作MGy轴于G，MCx轴于C，AMBM，G是AB的中点，由A（0，4），B（0，2）可得MCOG3，在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为3，则点Q到x轴的距离始终为6，即点Q的纵坐标始终为6， 当

34、M与x轴相切时则PQx轴，作QHy轴于H，HB624，设OPHQx，由BOPQHB，得x 2248，x2，点Q的坐标为（2，6）；（3）由相似可得：当点P在P1（1，0）时，Q1（8，6），则M1（ ，3），当点P在P2（2，0）时，Q2（4，6），则M2（3，3），M1M2 3 ，Q1Q2844，线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1，其面积为：( 4 )3.【点睛】本题考查了圆的综合题、涉及到四点共圆、相似三角形的判定与性质、切线的性质等知识，根据题意正确画出图形，添加辅助线是解决问题的关键.7如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其三个顶点的坐标分别为A(2，0)，B(8，0)

35、，C(8，3)，将直线l：以每秒3个单位的速度向右运动，设运动时间为t秒（1）当t 时，直线l经过点A（直接填写答案）；（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，试求S0时S与t的函数关系式；（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的M，在直线l出发的同时，M以每秒2个单位的速度向右运动，如图2，则当t为何值时，直线l与M相切？【答案】（1）1; （2）当1t时,S; 当t3时,S9t; 当3t时,S (3t10)218; 当t时,S18; （3）t5或t5【详解】试题分析:（1）y3x3与x轴交点坐标是（-1,0）,直线l经过点A（2,0）,故向右平移3个单位长度,直线l:y3x

36、3以每秒3个单位的速度向右运动,所以t=1;（2）求出直线l:y=3x+9t3,再分情况讨论;（3）分两种情况讨论,借助三角形相似即可试题解析:(1)y3x3与x轴交点坐标是（-1,0）,直线l经过点A（2,0）,故向右平移3个单位长度,直线l:y3x3以每秒3个单位的速度向右运动,所以t=1;（2）由题意,可知矩形ABCD顶点D的坐标为(2,3) 由一次函数的性质可知,当t由小到大变化时,直线l:y=3(x3t)-3=3x+9t3向右平移,依次扫过矩形ABCD的不同部分 可得当直线经过A(2,0)时,t=1;当直线经过D(2,3)时,t=;当直线经过B(8,0)时,t=3;当直线经过C(8,

37、3)时,t= 当1t时, 如图所示 设直线l:y=-3x+9t3与x轴交于点P,与AD交于点Q令y=0,可得x=3t1,AP=3t3; 令x=2,可得y=9t9,AQ=9t9 S=SAPQ=APAQ=(3t3)( 9t9)=;当t3时,如图所示 设直线l:y=-3x+9t3与x轴交于点P,与CD交于点Q 令y=0,可得x=3t1,AP=3t3; 令y=3,可得x=3t2,DQ=3t4 S=S梯形APQD=(DQ+AP)AD=9t;当3t时,如图所示 设直线l:y=-3x+9t3与BC交于点P,与CD交于点Q 令x=8,可得y=9t27,BP=9t27,CP=309t; 令y=3,可得x= 3t

38、2,DQ= 3t4,CQ=103t S=S矩形ABCDSPQC=18CPCQ=(3t10)218;当t时,S=S矩形ABCD=18综上所述, S与t的函数关系式为:;(3)若直线l:y=3x+9t3与M相切,如图所示,应有两条符合条件的切线设直线与x轴、y轴交于A、B点,则A(3t1,0)、B(0,9t3),OB=3OA由题意,可知M与x轴相切,设切点为D,连接MD; 设直线与M的一个切点为P,连接MP并延长交x轴于点G;过P点作PNMD于点N,PHx轴于点H 易证PMNBAO,PN:MN=OB:OA=3,PN=3MN 在RtPMN中,由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得: MN=,PN

39、=, PH=ND=MDMN=3,OH=ODHD=ODPN=2t+3,P(2t+3,3),代入直线解析式求得:t=5; 同理,当切线位于另外一侧时,可求得:t=5+考点:动点问题8定义：如图，的半径为r，若点在射线上，且，则称点是点P关于的“反演点”（1）如图，设射线与交于点A，若点是点P关于的“反演点”，且，求证：点为线段的一个黄金分割点；（2）如图，若点是点P关于的“反演点”，过点作，交于点B，连接，求证：为的切线；（3）如图，在中，以为直径作，若点P为边上一动点，点是点P关于的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段长度的取值范围是_【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）先

40、证明PPr，再根据“反演点”的定义可知：OPOPr2，化成比例式可得结论；（2）先证明，得OBPOPB90，根据切线的判定可得结论；（3）过点O作OHCD于H，连接OD，根据“反演点”的定义确定OP和OP的关系：OP，根据三角函数和勾股定理计算OH和OD的长，根据OHOPOD，列不等式组可得结论【详解】（1）证明：OPPA，PPPA+APOP+PAr，由已知得OPOPr2，OPOPPP2，即点P为线段OP的一个黄金分割点；（2）证明：PBOP，OPB90，点P是点P关于O的“反演点”，又，PBOB，PB为O的切线；（3）解：如图，过点O作OHCD于H，连接OD， CE6，O的半径为3，即r3，

41、点P是点P关于O的“反演点”，OPOP329，OP，CEB90，CE6，DE8，CD=10，sinC，sinCOHOC，由勾股定理得：OD，OP，OHOPOD，故答案为：【点睛】本题是圆的综合题，考查了新定义：反演点，圆的切线的判定，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义等知识，第一问的求解，是在理解新定义的基础上直接引用，根据黄金分割的定义解决问题；第二问根据切线的判定解决问题；第三问有难度，正确作出辅助线是本题的关键9已知：BD为O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作O的切线交DA的延长线于点F，点C为O上一点，且ABAC，连接BC交AD于点E，连接AC(1)如图1，求证：ABFAB

42、C；(2)如图2，点H为O内部一点，连接OH，CH若OHCHCA90时，求证：CHDA；(3)在(2)的条件下，若OH6，O的半径为10，求CE的长【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）.【分析】由BD为的直径，得到，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换即可得到结论；如图2，连接OC，根据平行线的判定和性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据射影定理得到，根据相交弦定理即可得到结论【详解】为的直径，是的切线，；如图2，连接OC，即，；由知，的半径为10，在与中，BC交于E，【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线