2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题24 构造直角三角形利用三角函数求边长小题含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题24 构造直角三角形利用三角函数求边长小题【典例讲解】RtABC中，A=90，BC=4，有一个内角为60，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且ACP=30，则PB的长为_【详解】分两种情况考虑：当ABC=60时，如图所示：CAB=90，BCA=30又PCA=30，PCB=PCA+ACB=60又ABC=60，PCB为等边三角形又BC=4，PB=4当ABC=30时， （i）当P在A的右边时，如图所示：PCA=30，ACB=60，PCB=90又B=30，BC=4，即 （ii）当P在A的左边时，如图所示： PCA=30，ACB=60，BCP

2、=30又B=30，BCP=BCP=BP在RtABC中，B=30，BC=4，AC=BC=2根据勾股定理得：，AP=ABPB=PB在RtAPC中，根据勾股定理得：AC2AP2=CP2=BP2，即22+（PB）2=BP2，解得：BP=综上所述，BP的长为4或或【综合演练】1在ABC中，BC1，B45，C30，则ABC的面积为（）AB1CD12如图，在中，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（）ABCD23如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（）ABCD4如图，AC10，则的面积是（）A42B43C44D455如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的

3、中点，连接AP，则AP的长为（）AB4CD6已知在中，、是锐角，且，则的面积等于 _7ABC中，AB4，AC5，ABC的面积为5，那么A的度数是_8如图，在四边形中，则的长的值为_9如图，在ABC中，A30，B45，AC2，则SABC_10如图，在中，垂足为，的平分线交于点，则的长为_11如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是_平方米.（结果保留根号）12如图，在ABC中，A30，tanB，AC2，AB的长_13如图，等腰直角ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，BDC30，则BDC的面积是_.14已知：在ABC中

4、，AC=a，AB与BC所在直线成45角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是_15在中，为锐角且(1)求的面积；(2)求的值；(3)求的值16如图，在ABC中，sinB，AC5，则ABC的面积为多少？17已知在ABC中，ACB135，AC8，D、E分别是边BC、AB上的一点，若tanDEA2，DE，SDEB4，求四边形ACDE的面积18如图，在RtABC中，C90，D是BC边上一点，BAD45，AC3，AB，求BD的长19如图，的角平分线，、所对的边记为、.（1）当时，求的值；（2）求的面积（用含，的式子表示即可）；（3）求证：，之和等于，之积.20如图

5、，在ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，EBC=45，BE=6，CD=，求DCB的度数专题24 构造直角三角形利用三角函数求边长小题【典例讲解】RtABC中，A=90，BC=4，有一个内角为60，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且ACP=30，则PB的长为_【详解】分两种情况考虑：当ABC=60时，如图所示：CAB=90，BCA=30又PCA=30，PCB=PCA+ACB=60又ABC=60，PCB为等边三角形又BC=4，PB=4当ABC=30时， （i）当P在A的右边时，如图所示：PCA=30，ACB=60，PCB=90又B=30，BC=4，即 （ii）当P在A的左边时，如图所

6、示： PCA=30，ACB=60，BCP=30又B=30，BCP=BCP=BP在RtABC中，B=30，BC=4，AC=BC=2根据勾股定理得：，AP=ABPB=PB在RtAPC中，根据勾股定理得：AC2AP2=CP2=BP2，即22+（PB）2=BP2，解得：BP=综上所述，BP的长为4或或【综合演练】1在ABC中，BC1，B45，C30，则ABC的面积为（）AB1CD1【答案】C【分析】过点A作ADBC，垂足为D在RtABD中和RtACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积【详解】如图，过点A作ADBC，垂足为D在RtABD中，B45，BDAD在RtAC

7、D中，C30，CDADBDCDBC，ADAD1即AD1SABCBCAD（1）故选：C【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.2如图，在中，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（）ABCD2【答案】B【分析】以为斜边向外作等腰直角三角形，得，当在同一直线上时，取得最小值. 在中，利用正弦函数即可求得答案.【详解】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形，当在同一直线上时，取得最小值.在中，.故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到是解题的关键.3如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（）ABCD【答案

8、】B【分析】延长BA，过C作CDBA的延长线于点D，再根据补角的定义求出DAC的度数，由锐角三角函数的定义可求出CD的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积【详解】解：延长BA，过C作CDBA的延长线于点D，BAC=120，DAC=180-120=60，AC=20m，CD=ACsin60=20=10（m），SABC=ABCD=3010=150（m2）故选B【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键4如图，AC10，则的面积是（）A42B43C44D45【答案】A【分析】过点A作ADBC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的

9、长度【详解】过点A作ADBC于点D，sinC ，ADACsinC6，由勾股定理可知：BC8，cosB ，B45，BDAD6，BC14，ABC的面积为BCAD61442故选A【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BC的长度.5如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（）AB4CD【答案】C【详解】试题分析：如图，连接AE，在正六边形中，F=（62）180=120AF=EF，AEF=EAF=（180120）=30AEP=12030=90AE=22cos30=22点P是ED的中点，EP=2=1在RtAEP中，故选C6已知在中，、是锐角

10、，且，则的面积等于 _【答案】220【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积【详解】解：如图：过点作的垂线，垂足为点，设，可设，由，得，则故故答案是：220【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键7ABC中，AB4，AC5，ABC的面积为5，那么A的度数是_【答案】60或120#120或60【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据A的三角函数值可得A的度数，注意需要分情况讨论【详解】解：当A是锐角时，如图，过点B作BDAC于D，AC5

11、，ABC的面积为5，BD5252，在中，sinA，A60当A是钝角时，如图，过点B作BDAC，交CA的延长线于D，AC5，ABC的面积为5，BD5252，在RtABD中，sinBADsinA，BAD60BAC18060120故答案为60或120【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线8如图，在四边形中，则的长的值为_【答案】【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解【详解】解：如图，延长BC，AD交于E，,BC=BE-CE=，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确

12、添加辅助线构造直角三角形是解题的关键9如图，在ABC中，A30，B45，AC2，则SABC_【答案】【分析】如图，过点C作CDAB于点D通过解直角ACD求得CD、AD的长度，通过解直角BCD求得BD的长度；则易求ABADBD；然后由三角形面积公式进行解答【详解】如图，过点C作CDAB于点D在直角ACD中，A30，AC2，ADACcos3023，CDAC在直角BCD中，B45，CD，BDCD，ABADBD3，SABCABCD（3）故答案是：【点睛】本题考查了解直角三角形对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角进而求面积，

13、在转化时，尽量不要破坏所给条件10如图，在中，垂足为，的平分线交于点，则的长为_【答案】【分析】由图象可得两个直角三角形,分别为45等腰直角三角形和30直角三角形,先在RtADC中算出AD,再RtADB中,算出BD,根据角平分线的性质可得RtEBD为30特殊直角三角形,再求出DE,即可求出AE的长.【详解】解：，.在中，在中， 平分，.在中，【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质.11如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是_平方米.（结果保留根号）【答案】【分析】过点作，交的延长线于点，

14、根据解直角三角形的方法即可求解.【详解】如解图，过点作，交的延长线于点，.在中，.，（平方米）.【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.12如图，在ABC中，A30，tanB，AC2，AB的长_【答案】5【分析】作CDAB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=，AD=3，再在RtBCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可【详解】解：作CDAB于D，如图，在RtACD中，A30，AC2，CDAC，ADCD3，在RtBCD中，tanB，BD2，ABAD+BD3+25.【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素

15、的过程就是解直角三角形13如图，等腰直角ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，BDC30，则BDC的面积是_.【答案】【分析】作BHAC于H想办法求出ADBH即可解决问题【详解】解：如图，作BHAC于H等腰直角ABC的面积为16,BA=BC=，BA=BC=，ABC=90，BHAC，,在RtBDH中，BHD=90，BDC =30，,.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型14已知：在ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是_【答案】或

16、【详解】解：分两种情况：ABC为锐角三角形时，如图1作ABC的高AD，BE为AC边的中线在直角ACD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a在直角ABD中，ABD=45，BD=AD=a，BC=BD+CD=a在BCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BCECcosCBE=；ABC为钝角三角形时，如图2作ABC的高AD，BE为AC边的中线在直角ACD中，AC=a，cosC=，CD=a，AD=a在直角ABD中，ABD=45，BD=AD=a，BC=BD+CD=a在BCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BCECcosCBE=综上可知AC边上的中线长是或15在中，为锐角且(1)求

17、的面积；(2)求的值；(3)求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积；（2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出；（3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值（1）解：过点作，垂足为，为锐角且，在，的面积为（2），在中，的值为（3）在中，的值为【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键16如图，在ABC中，sinB，AC5，则ABC的面积为多少？【答案】10.5【分析】作ADBC，根据cosC

18、和AC即可求得AD的值，再根据B可以求得ADBD，根据AD，BC即可求得SABC的值【详解】解：过点A作ADBC，垂足为D在RtACD中， AC5，CD=ACcosC5=4由勾股定理得：AD3 sinB，B45BADB45BDAD3SABCBCAD（3+4）310.5【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题目条件构造直角三角形17已知在ABC中，ACB135，AC8，D、E分别是边BC、AB上的一点，若tanDEA2，DE，SDEB4，求四边形ACDE的面积【答案】【分析】作DHAB于H，CNAB于N，BMAC交AC的延长线于M由题意易知tanDBH

19、，可以假设CN2k，BN5k，则BCk，再根据tanA构建方程即可解决问题【详解】解：如图，作DHAB于H，CNAB于N，BMAC交AC的延长线于M在RtDHE中，tanDEH2，DE，DH2，EH1，SDEBEBDH，4EB2，EB4，BH5，tanDBH，可以假设CN2k，BN5k，则BCk，ACB135，MCB45，CMBMk，tanA，解得：k或（舍弃），ABAN+BN，S四边形ACDESABCSDEB【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题18如图，在RtABC中，C90，D是BC边上

20、一点，BAD45，AC3，AB，求BD的长【答案】BD的长是5【分析】过D作DEAB于点E，设DEa，用a表示出AE、BE，在RtABC和RtBDE中分别表示出tanABC，从而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的长，然后用勾股定理即可求出BD.【详解】解：过D作DEAB于点E，如图所示，BAD45，EADEDA45，AEDE，设DEa，则BEABAEa，AC3，AB，C90，BC=，a=，经检验，a=是上面方程的解.DE=，BE=2RtBED中，由勾股定理得：BD2BE2+DE2=，BD5.【点睛】本题考查了三角函数的应用，通过在不同三角形中表示出同一个角的某个三角函数从而列出方程求解是解

21、题关键，这种解法比用相似更简捷，要灵活运用.19如图，的角平分线，、所对的边记为、.（1）当时，求的值；（2）求的面积（用含，的式子表示即可）；（3）求证：，之和等于，之积.【答案】（1）2；（2）；（3）详见解析.【分析】（1）过点作于点，利用直角三角形30度角的性质可知BE长，得，即点E、点D重合，中线与高线重合，可知AB=AC，即；（2）表示方法有两种，可能情形1：过点作于点，过点作延长线于点，解直角三角形可得，利用三角形面积公式可得和的面积相加即可；可能情形2：过点作于点，解直角三角形可得，直接利用三角形面积公式求解即可；（3）由（2）中面积的两种表示方法可直接证得结论.【详解】解：（

22、1）过点作于点平分，.在中，.，点与点重合，.（2）答案不唯一.可能情形1：过点作于点，过点作延长线于点平分，.在中，在中，.可能情形2：过点作于点，用含的式子表示出，于是.（3）从上面两种面积表示方法，可得，化简得，即，之和等于，之积.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用直角三角形中的特殊角与边的关系求线段长是解题的关键.20如图，在ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，EBC=45，BE=6，CD=，求DCB的度数【答案】DCB=30.【分析】首先利用sin45=求出BC的度数，进而利用cosDCB=求出DCB的度数.【详解】在RtBEC中，BEC=90，EBC=45

23、BC=BEsin45=在RtBDC中，BDC=90，cosDCB=DCB=30.专题25 含特殊角三角函数值的混合运算中考最新模拟30道1计算：；2计算：3计算4计算：5计算：(1)sin45cos45tan60sin60；(2)sin30tan245tan230cos60.6计算：7计算：.8计算： 9计算：10计算：11计算：2sin4512计算：13计算14计算：15计算：.16计算：（）12tan45+4sin6017计算：18计算：19计算：20计算：21计算：22计算：23计算：24计算：25计算：26计算：27计算：（）2（）0+|2|+4tan6028计算:29计算30计算：专

24、题25 含特殊角三角函数值的混合运算中考最新模拟30道1计算：；【答案】【分析】针对负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【详解】原式=【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了负整数指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键2计算：【答案】+2【详解】解：原式=2+3 -1 -=+2【点睛】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果3计算【答案】【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.【详解】解

25、：原式 【点睛】本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.4计算：【答案】5【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【详解】原式=32+1+1=5.【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键5计算：(1)sin45cos45tan60sin60；(2)sin30tan245tan230cos60.【答案】(1) 2；(2).【详解】【分析】直接把特殊角的三角函数值代入，再进行运算便可.【详解】解：(1)原式2；(2)原式1

26、21.【点睛】本题考核知识点：锐角三角函数. 解题关键点：熟记特殊角的三角函数值.6计算：【答案】4【详解】解：原式=2-4+2+2 =47计算：.【答案】2【详解】分析：代入45角的余弦函数值，结合“负整数指数幂和零指数幂的意义及绝对值的意义”进行计算即可.详解：原式=，=.点睛：熟记“特殊角的三角函数值，理解负整数指数幂的意义、零指数幂的意义和绝对值的意义”是正确解答本题的关键.8计算： 【答案】1【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和完全平方公式分别化简求出答案【详解】解：= =1【点睛】本题考查了绝对值的化简、特殊角的三角函数值、0次幂等，熟练掌握相关知识和准确计算是解题

27、的关键9计算：【答案】【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60=，求出各项的值即可【详解】解：原式【点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值10计算：【答案】【详解】试题分析：原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果 试题解析：原式=考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值11计算：2sin45【答案】【分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案【详解】解：原式2+131【点睛】此题主要考

28、查了实数运算，正确化简各数是解题关键12计算：【答案】-1【分析】直接利用绝对值、算术平方根、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案.【详解】=2-3=-1.【点睛】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.13计算【答案】3+【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【详解】原式1+2+23+【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键14计算：【答案】6【分析】将特殊锐角三角函数值代入、计算绝对值、零指数幂、化简二次根式，再进一步计算可得.【详解】解：原式41+1+42+46【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关

29、键是掌握特殊锐角三角函数值、绝对值性质、零指数幂、二次根式性质.15计算：.【答案】5.【分析】将60的正切值代入，再依次计算零次幂，负指数幂，化简二次根式，最后算加减法.【详解】解：原式=【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值，掌握零次幂，负指数幂和二次根式的化简是解决本题的关键.16计算：（）12tan45+4sin60【答案】0【分析】根据实数的性质进行化简即可求解.【详解】原式221+4222+220【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质.17计算：【答案】5.【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【

30、详解】【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用18计算：【答案】3.【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案【详解】解：原式3【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键19计算：【答案】0.【分析】利用特殊三角函数值、根号运算、负指数运算、零次幂运算规则化简每项，然后再运算即可【详解】解：221+10【点睛】

31、本题考查特殊三角函数值、根号运算、负指数运算、零次幂运算规则，掌握实数基本运算方法是解题关键20计算：【答案】3.【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案.【详解】原式【点睛】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则.21计算：【答案】4【分析】先算幂的运算和开方，并代入特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减.【详解】解：原式= =4【点睛】考核知识点：含有特殊三角函数值的运算.掌握实数运算法则，熟记特殊三角函数值是关键.22计算：【答案】-2【分析】根据零次幂的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂分别化简后再相加减.【详解】=-2.

32、【点睛】此题考查计算能力，掌握零次幂的定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键.23计算：【答案】1【分析】先计算特殊角的三角函数，然后合并即可.【详解】解：原式【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值.24计算：【答案】-3【分析】按顺序化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，进行0次幂运算，负指数幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】解： -=- =-3【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算等，正确把握各运算的运算法则是解题的关键.25计算：【答案】【分析】根据绝对值的意义、特殊角的锐角三角函数、负整指数幂和零指数幂进行计算

33、即可【详解】解：【点睛】本题考查了绝对值的意义、特殊角的锐角三角函数、负整指数幂和零指数幂，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键26计算：【答案】3【分析】根据特殊角三角函数、0指数幂、负整数指数幂计算，最后求和即可【详解】解：=1-1+1+2=3【点睛】本题考查了特殊角三角函数、0指数幂、负整数指数幂等知识，熟知相关知识点是解题关键27计算：（）2（）0+|2|+4tan60【答案】10+3【分析】首先计算负整指数幂和零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，然后计算加减法，求出算式的值是多少即可【详解】解：（）0+|2|+4tan6091+2+410+3【点睛】本题考查了负整指数幂和零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键28计算:【答案】【分析】根据算术平方根、零次幂、负整数指数幂以及特殊角三角函数值对各项进行运算，然后再进行加减运算即可【详解】=2-1+4-2=3【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键29计算【答案】【分析】根据特殊三角函数值化简即可求解【详解】=【点睛】此题主要考查不同特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值30计算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案【详解】解：原式= 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键