2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列专题2.1 轴对称与轴对称图形【八大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx

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1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题2.1 轴对称与轴对称图形【八大题型】【苏科版】【题型1 轴对称的相关概念】1【题型2 轴对称图形的相关概念】2【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】3【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】4【题型5 轴对称的操作应用】4【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】6【题型7 与轴对称相关的开放性问题】6【题型8 轴对称的实际应用】8【知识点1 轴对称与轴对称图形】（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称（2）轴对

2、称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条【题型1 轴对称的相关概念】【例1】（2022盐都区月考）如图，在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有 4个【变式1-1】（2022秋丰台区校级期中）观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是（填写序号）【变式1-2】（2022秋香洲区期中）如图，在22的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有 个【变式1-3】（2022秋江都区校级月考）如图，在33的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三

3、角形称为格点三角形，图中ABC是一个格点三角形，在这个正方形格纸中，与ABC成轴对称的格点三角形最多有（）A3个B4个C5个D6个【题型2 轴对称图形的相关概念】【例2】（2022秋永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有 种补法【变式2-1】（2022秋来宾期中）下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有（）A1个B2个C3个D4个【变式2-2】（2022春贵阳期末）如图，是44正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这

4、样的白色小正方形有个【变式2-3】（2022南充一模）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形不同涂法有（）A2种B3种C4种D6种【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】【例3】（2022秋仓山区校级期末）下列图形中，对称轴有6条的图形是（）ABCD【变式3-1】（2022秋平舆县期末）我国传统建筑中，窗框（如图）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（）A1条B2条C3条D4条【变式3-2】（2022秋嘉陵区期末）如图，它的对称轴有条【变式3-3】（2022梅州模拟）如图所示图形是轴对称图形，其对称轴共有（）A

5、1条B2条C4条D无数条【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】【例4】（2022春二道区期末）小明同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（）A70625B70952C70925D52607【变式4-1】如图所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片在镜子里的影像是下列各图中的（）ABCD【变式4-2】（2022春李沧区期末）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 【变式4-3】（2022春成华区期末）如图1，小明晚饭后出门时看见门内上方的圆形挂钟是4点过7分，回来时一开门就看见门对面镜子

6、里的挂钟是7点过5分（如图2），则小明在外边待了分钟【题型5 轴对称的操作应用】【例5】2022六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（）A三角形B梯形C正方形D五边形【变式5-1】（2022春锦州期末）将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（）ABCD【变式5-2】（2022诸暨市二模）把一张长方形纸片按如图、图的方式从右向左连续对折两次后得到图，再在图中挖去一个如图所示的等腰直角三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）ABCD【变式5-3】（2022丽水一模）将一个正方形纸片对折后对折再对折

7、，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）ABCD【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】【例6】下列图中是由字母A和H构成的（把A、H视为轴对称图形）AHHAAHHAAHHA（1）仔细观察其中的变化规律回答下列问题； 第100个字母是什么？图形中的字母A在前2014个字母中一共出现多少次？（2）从左往右在图案中至少取多少个（多于1个）字母能构成一次轴对称？字母个数为多少个（多于 1个）字母能构成轴对称？【变式6-1】（2022秋连城县期末）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案 【变式6-2】（2022秋海珠区校级期中）请在下面这一符号中找出它们所

8、蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形【变式6-3】（2022日照）在日常生活中，你经常会看到一些含有特殊数学规律的汽车车牌号码，例、等，这些牌照中的5个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称美的享受，我们不妨把这样的牌照叫作“数字对称”牌照，如果让你负责制作以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A2000个B1000个C200个D100个【题型7 与轴对称相关的开放性问题】【例7】（2022秋沧州期中）用四块如图所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成一个轴对称图形，请你分别在图、图中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同，可平移和旋转瓷砖）【变式7

9、-1】（2022春衡阳县校级期末）如图，请你用几个基本图形设计三个有具体形象的轴对称图形【变式7-2】（2022春炎陵县期末）如图，由4个大小相等的正方形组成的L形图案，（1）请你改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图形；（2）请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形【变式7-3】（2022春盐湖区校级期末）设计下面的图形，使它成为一个轴对称图形【题型8 轴对称的实际应用】【例8】（2022浙江）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）ABCD【变式8-1】（2022汤阴县期中）如图是一个经过改造

10、的规格为35的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（）A1号袋B2号袋C3号袋D4号袋【变式8-2】（20202春兖州区期末）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（）次A6B7C8D9【变式8-3】（2022秋常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿

11、所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（）A点PB点QC点MD点N专题2.1 轴对称与轴对称图形【八大题型】【苏科版】【题型1 轴对称的相关概念】1【题型2 轴对称图形的相关概念】3【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】5【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】7【题型5 轴对称的操作应用】8【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】10【题型7 与轴对称相关的开放性问题】11【题型8 轴对称的实际应用】13【知识点1 轴对称与轴对称图形】（1）轴对称图形的概念：如果一

12、个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条【题型1 轴对称的相关概念】【例1】（2022盐都区月考）如图，在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有 4个【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形故在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，故答案为：4【变式1-1】（2022秋丰

13、台区校级期中）观察下列各组图形，其中成轴对称的图形是（填写序号）【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：第个图形为轴对称图形故答案为：【变式1-2】（2022秋香洲区期中）如图，在22的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有 5个【分析】解答此题首先找到对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可【解答】解：与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有ABG、CDF、AEF、DBH，BCG共5个，故答案为：5【变式1-3】（2022秋江都区校级月考）如图，在33的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形

14、称为格点三角形，图中ABC是一个格点三角形，在这个正方形格纸中，与ABC成轴对称的格点三角形最多有（）A3个B4个C5个D6个【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与ABC成轴对称所以与ABC成轴对称的格点三角形最多有6个故选：D【题型2 轴对称图形的相关概念】【例2】（2022秋永城市期末）在如图所示的图中补一个小正方形，使其成为轴对称图形，共有 4种补法【分析】根据轴对称的性质画出图形即可【解答】解：如图所示：故共有4种补法故答案为：4【变式2-1】（2022秋来宾期中）下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文

15、字母的图形，你认为其中是轴对称图形的有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：B、H是轴对称图形，共2个故选：B【变式2-2】（2022春贵阳期末）如图，是44正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有4个【分析】根据轴对称图形的概念求解即可【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形故答案为：4【变式2-3】（2022南充一模）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形不同涂法有（）A2种B

16、3种C4种D6种【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可【解答】解：如图所示，满足题意的涂色方式有4种，故选：C【题型3 确定轴对称图形对称轴的条数】【例3】（2022秋仓山区校级期末）下列图形中，对称轴有6条的图形是（）ABCD【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴【解答】解：A、有5条对称轴，不符合题意；B、C不是轴对称图形，不符合题意；D、有6条对称轴，符合题意故选：D【变式3-1】（2022秋平舆县期末）我国传统建筑中，窗框（如图）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（）A1条B2条C3条D4条【分

17、析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案【解答】解：如图所示：其对称轴有2条故选：B【变式3-2】（2022秋嘉陵区期末）如图，它的对称轴有2条【分析】根据轴对称图形的概念作出对称轴即可得解【解答】解：如图，共有2条对称轴故答案为：2【变式3-3】（2022梅州模拟）如图所示图形是轴对称图形，其对称轴共有（）A1条B2条C4条D无数条【分析】利用轴对称图形的定义进行分析即可【解答】解：其对称轴共有4条，故选：C【题型4 轴对称在镜面对称中的应用】【例4】（2022春二道区期末）小明同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（）A70625B70952C7

18、0925D52607【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解【解答】解：做轴对称图形得：|70625，【变式4-1】如图所示是一张画有小白兔的卡片，卡片正对一面镜子，这张卡片在镜子里的影像是下列各图中的（）ABCD【分析】根据轴对称的性质判断即可【解答】解：镜子里的影像与原来的图形成轴对称，故选：C故选：A【变式4-2】（2022春李沧区期末）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 12：51【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称【解答】解

19、：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51故答案为：12：51【变式4-3】（2022春成华区期末）如图1，小明晚饭后出门时看见门内上方的圆形挂钟是4点过7分，回来时一开门就看见门对面镜子里的挂钟是7点过5分（如图2），则小明在外边待了48分钟【分析】利用镜面对称的性质求解镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称【解答】解：根据对面镜子里的挂钟是7点过5分，根据镜面对称得出：分针指在5上与11对称，时针指在7上与5对称，故实际时间是4：55，小明在外边待了：55748分钟故答案为：48【题型5 轴对称的操作应

20、用】【例5】2022六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（）A三角形B梯形C正方形D五边形【分析】动手操作可得结论【解答】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形故选：C【变式5-1】（2022春锦州期末）将一张长方形的纸片对折，然后用笔尖在上面扎出字母“B”，再把它展开铺平后，你可以看到的图形是（）ABCD【分析】根据轴对称的知识可以解答本题【解答】解：由题意可得，展开后的图形呈轴对称，故选：C【变式5-2】（2022诸暨市二模）把一张长方形纸片按如图、图的方式从右向左连续对折两次后得到图，再在图中挖去

21、一个如图所示的等腰直角三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）ABCD【分析】动手操作可得结论【解答】解：重新展开后得到的图形是：故选：C【变式5-3】（2022丽水一模）将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）ABCD【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来【解答】解：将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是：故选：A【题型6 与轴对称相关的探索图形规律问题】【例6】下列图中是由字母A和H构成的（把A、H视为轴对称图形）AHHAAHHAAHHA（1）仔细观察其中的变化规律回答下列问题； 第100个字

22、母是什么？图形中的字母A在前2014个字母中一共出现多少次？（2）从左往右在图案中至少取多少个（多于1个）字母能构成一次轴对称？字母个数为多少个（多于 1个）字母能构成轴对称？【分析】（1）仔细观察可得四个字母一个循环，从而可得第100个字母；每个循环有2个A，求出循环数，即可得出A出现的次数；（2）根据轴对称的性质可得至少4个字母可构成一次轴对称，再由循环数为4，可得字母个数为4n（n1）时，能构成轴对称【解答】解：（1）通过观察可得：4个字母一个循环，则第100个字母是25个循环刚结束，即第100个字母是A；20144=5032，则A出现5032+11007；（2）仔细观察可得：至少取4个

23、字母能构成一次轴对称，字母个数为4n（n1）时，能构成轴对称【变式6-1】（2022秋连城县期末）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案 【分析】观察图形规律，可得空白处应该为字母E和它的轴对称图形，作出图形即可【解答】解：如图所示：【变式6-2】（2022秋海珠区校级期中）请在下面这一符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形正反写的4和6【分析】根据图中所给的数字，从对称性来分析：分别是正反写的4和正反写的6【解答】解：图形为正反写的4和正反写的6【变式6-3】（2022日照）在日常生活中，你经常会看到一些含有特殊数学规律的汽车车牌号码，例、等，这些牌照中

24、的5个数字都是关于中间的一个数字“对称”的，给人以对称美的享受，我们不妨把这样的牌照叫作“数字对称”牌照，如果让你负责制作以8或9开头且有5个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（）A2000个B1000个C200个D100个【分析】分情况讨论：若以8开头，第五位也是8，只需考虑中间3位，又第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，得出有多少种情况同样求出以9开头的数量【解答】解：根据题意：若以8开头，则第五位也是8，只需考虑中间3位，又第二位和第四位是相等的，只需考虑第二位和第三位，共有1010100种情况同样，以9开头的也是有100种情况，所以共有200个故选：C【题型7 与轴对称

25、相关的开放性问题】【例7】（2022秋沧州期中）用四块如图所示的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成一个轴对称图形，请你分别在图、图中各画一种拼法（要求两种拼法各不相同，可平移和旋转瓷砖）【分析】根据轴对称图形的概念，平移和旋转即可作出图形【解答】解：拼法如下：【变式7-1】（2022春衡阳县校级期末）如图，请你用几个基本图形设计三个有具体形象的轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念、结合实际解答【解答】解：【变式7-2】（2022春炎陵县期末）如图，由4个大小相等的正方形组成的L形图案，（1）请你改变1个正方形的位置，使它变成轴对称图形；（2）请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形【分析】

26、根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出【解答】解：答案不唯一，（1）（2）【变式7-3】（2022春盐湖区校级期末）设计下面的图形，使它成为一个轴对称图形【分析】直接利用轴对称图形的性质得出答案【解答】解：如图所示（答案不唯一）：【题型8 轴对称的实际应用】【例8】（2022浙江）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）ABCD【分析】入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可【解答】解：如图，求最后落入球

27、洞；故选：A【变式8-1】（2022汤阴县期中）如图是一个经过改造的规格为35的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（）A1号袋B2号袋C3号袋D4号袋【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：所以球最后将落入的球袋是1号袋，故选：A【变式8-2】（20202春兖州区期末）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊图1中回弹次数为1次，图2

28、中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（）次A6B7C8D9【分析】根据题意画出图形，然后即可作出判断【解答】解：根据图形可得总共反射了7次故选：B【变式8-3】（2022秋常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（）A点PB点QC点MD点N【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和

29、余数的情况确定所对应的点的位置即可【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，20226337，当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，故选：A专题2.2 轴对称的性质【八大题型】【苏科版】【题型1 游戏中的轴对称】1【题型2 利用轴对称的性质求角度】3【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】4【题型4 在格点中作轴对称图形】6【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】8【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】11【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】13【题型8 轴对称图案的设计】18【知识点1 轴对称的性质】（1

30、）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线由轴对称的性质得到一下结论：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线【题型1 游戏中的轴对称】【例1】（2022春余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长8cm，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点6cm、与直线l的距

31、离为3cm，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4点以l对称轴跳至P5点；（1）棋子跳至P6点时，与点P1的距离是 ；（2）棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点B的距离是 【变式1-1】（2022云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子如图，已共下了7枚棋子，棋盘中心黑子的位置用（1，0）表示，其右下角黑子的位置用（0，1）表示甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形他放的位置是（）A（1，1）B（2，1）C（1，2）D（1，2）【变式1-2】（2022潍

32、坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形则下列下子方法不正确的是（），说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）A黑（3，7）；白（5，3）B黑（4，7）；白（6，2）C黑（2，7）；白（5，3）D黑（3，7）；白（2，6）【变式1-3】（2022绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步【

33、题型2 利用轴对称的性质求角度】【例2】（2022秋河东区期末）如图，ABC中，B58，C55，点D为BC边上一动点分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF则EAF的度数等于 【变式2-1】（2022春寿阳县期末）如图，ABC中，B60，C50，点D是BC上任一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则EAF的度数是（）A140B135C120D100【变式2-2】（2022秋台江区期中）如图，四边形ABCD中，ABAD，ABC沿着AC翻折，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，若B度，则D的度数是 度【变式2-3】（2022秋房山区期末）如图，点P是AO

34、B外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果PMO33，PNO70，求QPN的度数【题型3 利用轴对称的性质求线段长度】【例3】（2022秋土默特左旗期中）如图，点P在AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若PEF的周长为15，求MN的长【变式3-1】（2022春洛宁县期末）如图，点P在AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若PEF的周长为20，求MN的长【变式3-2】（2022春驿城区期末）如图，点P是AOB外的一点，点M，N分别是AOB两边上的

35、点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上若PM3cm，PN4cm，MN4.5cm，则线段QR的长为 【变式3-3】（2022秋淮安月考）如图，在ABC中，AB12cm，AC6cm，BC10cm，点D，E分别在AC，AB上，且BCD和BED关于BD对称（1）求AE的长；（2）求ADE的周长【题型4 在格点中作轴对称图形】【例4】（2022秋密山市校级期末）如图所示，（1）写出顶点C的坐标；（2）作ABC关于y轴对称的A1B1C1，并写出B1的坐标；（3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求ab的值【变式4-1】（2022秋自贡期末）如图，在直角坐

36、标系中，A、B、C、D各点的坐标分别为（7，7）、（7，1）、（3，1）、（1，4）（1）在给出的图形中，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1； （不写作法）（2）写出点A1和C1的坐标；（3）求四边形A1B1C1D1的面积【变式4-2】（2022秋嵊州市期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，B的坐标分别是（6，7），（4，3）（1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系（2）请画出ABC关于y轴对称的A1B1C1【变式4-3】（2022春铜仁市期末）如图，已知点A（4，3），B（3，1），C（1

37、，2），请解决下列问题：（1）若把ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到A1B1C1，请画出平移后的图形并写出A1，B1，C1的坐标；（2）若A2B2C2是ABC关于x轴对称的图形，请画出A2B2C2并写出A2，B2，C2的坐标【题型5 利用轴对称的性质解决折叠问题】【例5】（2022春广陵区校级期中）发现（1）如图1，把ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，请你判断1+2与A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由思考（2）如图2，BI平分ABC，CI平分ACB，把ABC折叠，使点A与点I重合，若1+2100，求BIC的度数；拓展（3）如图3，在锐角ABC中，BFAC于点F，CGA

38、B于点G，BF、CG交于点H，把ABC折叠使点A和点H重合，试探索BHC与1+2的关系，并证明你的结论【变式5-1】（2022春杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN（1）求线段CN长 （2）连接FN，并求FN的长【变式5-2】（2022秋成都期末）如图，四边形ABCD中，ABCD，ADAB，AB6，ADCD3，点E、F分别在线段AB、AD上，将AEF沿EF翻折，点A的落点记为P当P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值等于 【变式5-3】（2022惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片ABCD，ABCD，ADBC1，ABC

39、D5在长方形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK（1）请你动手操作，判断MNK的形状一定是 ；（2）问MNK的面积能否小于12？试说明理由；（3）如何折叠能够使MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值【题型6 利用轴对称的性质解决最短路径问题】【例6】（2022春崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据

40、说海伦略加思索就解决了它从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题如图2，作B关于直线l的对称点B，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置证明：如图3，在直线l上另取任一点C，连接AC，BC，BC，直线l是点B，B的对称轴，点C，C在l上，CBCB，CBCB，AC+CBAC+ 在ACB中，ABAC+CBAC+CBAC+CB即AC+CB最小本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB与l的交点上，即A、C、B三点

41、共线）本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型【简单应用】（1）如图4，在等边ABC中，AB6，ADBC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连接BM，EM+MC的最小值就是线段BE的长度，则EM+MC的最小值是 ；（2）如图5，在四边形ABCD中，BAD130，BD90，在BC，CD上分别找一点M、N当AMN周长最小时，AMN+ANM 【拓展应用】如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，AOB30，OA1千米，OB2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船

42、应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程【变式6-1】在ABC中，ACB90，B60，AC6，点D，E在AB边上，ADCD，点E关于AC，CD的对称点分别为F，G，则线段FG的最小值等于（）A2B3C4D5【变式6-2】（2022秋双流区校级期中）在ABC中，A45，AC8，BDAC，BD6，点E为边BC上的一个动点E1，E2分别为点E关于直线AC，AB的对称点，连接E1E2，则线段E1E2长度的最小值是 【变式6-3】（2022春青羊区期末）如图，ABC中，B45，C75，AB4，D为BC上一动点，过D作DEAC于点E，作DFAB于点F，连接EF，则EF的最小值为 【题型7 利用轴对称的性质解决探究性问题】【例7】（2022春二道区期末）解答下列各题：（1）【问题引入】：如图，在ABC中，BAC70，点D在