2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题18 阿氏圆小题含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题18 阿氏圆小题1如图，在中，点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于A4BCD2如图，已知菱形的边长为8，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 3如图，正方形的边长为4，为的中点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接、，则的最小值为 4如图，扇形中，是的中点，是上一点，是上一动点，则的最小值为 5如图所示的平面直角坐标系中，是第一象限内一动点，连接、，则的最小值是 6如图，在中，点、点在上，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 7如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆，为

2、圆上一动点，则的最小值为 8如图，在中，以点为圆心，3为半径做，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 9如图，在中，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，则的最小值为 10如图，在中，则的最大值为 11如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，则的最小值为 12【新知探究】新定义：平面内两定点，所有满足为定值）的点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在中，则面积的最大值为 13如图所示，半径为2的圆内切于为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 三解答题（共2小题）14如图，在每个小正方形的

3、边长为1的网格中，的顶点，均在格点上，点在上，且点也在格点上的值为；（）是以点为圆心，2为半径的一段圆弧在如图所示的网格中，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为连接，当的值最小时，请用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）15阅读以下材料，并按要求完成相应的任务已知平面上两点、，则所有符合且的点会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆阿氏圆基本解法：构造三角形相似【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的

4、最小值下面是该题的解答过程（部分）解：在上取点，使得，又，任务：（1）将以上解答过程补充完整（2）如图2，在中，为内一动点，满足，利用（1）中的结论，请直接写出的最小值专题18 阿氏圆小题1如图，在中，点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于A4BCD【解答】解：在上截取，连接，点、分别是边、的中点，点是以为圆心、以为半径的圆弧上的动点，在中，的最小值，故选：2如图，已知菱形的边长为8，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 【解答】解：连接，在上取一点，使得，连接，过点作交的延长线于，四边形是菱形，在中，的最大值为3如图，正方形的边长为4，为的中点，

5、以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接、，则的最小值为 5【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，四边形是正方形，的最小值为5，故答案为：54如图，扇形中，是的中点，是上一点，是上一动点，则的最小值为 【解答】解：如图，延长使，连接，分别是的中点，且，当点，点，点三点共线时，的值最小，的最小值为13，的值最小值为故答案为：5如图所示的平面直角坐标系中，是第一象限内一动点，连接、，则的最小值是 【解答】解：如图，取点，连接，的最小值为故答案为：6如图，在中，点、点在上，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 【解答】解：延长到，使得，连接，又在中，的最小值为，答案为7如图，边长

6、为4的正方形，内切圆记为圆，为圆上一动点，则的最小值为 【解答】解：设半径为，取的中点，连接，是公共角，当、在一条直线上时，最小，作于，最小值，的最小值是故答案是8如图，在中，以点为圆心，3为半径做，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 【解答】解：在上截取，连接，当、三点共线时，的值最小，在中，的最小值，故答案为：9如图，在中，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，则的最小值为 【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，的最小值为，故答案为10如图，在中，则的最大值为 【解答】解：，求的最大值就是求的最大值，过作于，延长到，使得，由勾股定理得：，为定值，是定值，点在的外接圆

7、上，当为直径时，最大，即，解得，故答案为：11如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，则的最小值为 【解答】解：如图，在轴上取点，连接，点，点，点，当点在上时，有最小值为的长，故答案为：12【新知探究】新定义：平面内两定点，所有满足为定值）的点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在中，则面积的最大值为 【解答】解：以为顶点，为边，在外部作，与的延长线交于点，解得：，即点为定点，点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆上，如图，过点作的垂线，交圆与点，此时点到的距离最大，即的面积最大，故答案为：13如图所示，半径为2的圆内切于为圆上一动点，

8、过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 【解答】解：作于，作于，当与相切时，取得最大和最小，如图1，连接，可得：四边形是正方形，在中，在中，如图2，由上知：，三解答题（共2小题）14如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均在格点上，点在上，且点也在格点上的值为；（）是以点为圆心，2为半径的一段圆弧在如图所示的网格中，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为连接，当的值最小时，请用无刻度的直尺画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）【解答】解：（1）由题意，故答案为：（2）如图，取格点，连接交于，连接交于，连接，点即为所求故答案为：通过取格点、，使得，构造相似三角形将

9、转化为，利用两点之间线段最短即可解决问题15阅读以下材料，并按要求完成相应的任务已知平面上两点、，则所有符合且的点会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆阿氏圆基本解法：构造三角形相似【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值下面是该题的解答过程（部分）解：在上取点，使得，又，任务：（1）将以上解答过程补充完整（2）如图2，在中，为内一动点，满足，利用（1）中的结论，请直接写出的最小值【解答】解（1）在上取点，使得，又，当

10、取最小值时，有最小值，即，三点共线时有最小值，利用勾股定理得（2），在上取一点，使得，的最小值为专题19 瓜豆小题1如图，线段为的直径，点在的延长线上，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为2如图，当点在上运动时，作等腰，则，两点间距离的最小值为3如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为4如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点是以为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形当点在上运动一周时，点运动的路径长是5如图，正方形的边长为8，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以

11、为边向右侧作等边，连接，则的最小值为6如图，菱形的边长为4，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为7已知边长为6的等边中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动的过程中，当线段长度的最小值时，的长度为8如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是 9如图，在中，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 10如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则

12、的最小值为 11如图，已知点，动点在线段上，点、按逆时针顺序排列，且，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为12如图，在中，点在边上，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 13如图，的直径，为上动点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最大值为 14如图，矩形中，点为对角线上一动点，于点，连接，当最小时，的长为 二解答题（共4小题）15如图，在等边中，垂足为，点为边上中点，点为直线上一点当点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出 的面积16若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接（1

13、）如图1，取点，使为等腰直角三角形，将点绕点顺时针旋转得到点的轨迹是（填“线段”或者“圆” ；的最小值是；（2）如图2，以为边作等边（点、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为17如图，的半径为2，到定点的距离为5，点在上，点是线段的中点，若在上运动一周（1）点的运动路径是一个圆；（2）始终是一个等边三角形，直接写出长的取值范围（1）思路引导要证点运动的路径是一个圆，只要证点到定点的距离等于定长，由图中的定点、定长可以发现，18如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点（1）求二次函数的表达式（2

14、）当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标（3）如图，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由专题19 瓜豆小题1如图，线段为的直径，点在的延长线上，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为【解答】解：如图，作，使得，则，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上，的最大值为，故答案为2如图，当点在上运动时，作等腰，则，两点间距离的最小值为【解答】解：，点在上运动时，为主动点，为从动点，为定点，由“瓜豆原理”， 在上运动，则在垂直的直线上运

15、动，当时，如答图：过作于，交于，则直线即为的运动轨迹，的长为，两点间距离的最小值，而，在中可得，中可得，故答案为：3如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为【解答】解：如图1，过点作于点，于点，连接，根据题意知，又是等腰直角三角形，且，在与中，点在所在的直线上运动为边上的一个动点，如图2，当点与点重合时，点的位置如图所示当点与点重合时，记点的位置为点的运动轨迹为线段过点作于点正方形的边长为2，故答案是：4如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点是以为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形当点在上运动

16、一周时，点运动的路径长是【解答】解：如图，连接、，将绕点逆时针旋转，得线段，连接、，为正三角形，为正三角形，在与中，即为动点运动的路径，当点在上运动一周时，点运动的路径长是，5如图，正方形的边长为8，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为5【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，于，又，四边形是矩形，是等边三角形，是等边三角形，在和中，当时，有最小值，即有最小值，点与点重合时，故答案为56如图，菱形的边长为4，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为【解答】解：如图取的中点，连接，延长交于，作于

17、四边形是菱形，是等边三角形，点在直线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，在中，的最小值为，故答案为7已知边长为6的等边中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动的过程中，当线段长度的最小值时，的长度为【解答】解：连接，等边，线段绕点逆时针旋转得到，点在直线上运动，点在直线上运动，当时，最小，故答案为8如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是 【解答】解：连接，四边形是矩形，是等边三角形，是等边三角形，又，点在射线上运动，且，当点在线段上从点至点运动时，点的运动路

18、程是，在中，设，则，解得（负值舍去），即点的运动路程为，故答案为：9如图，在中，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 【解答】解：，连接，是直径，即，取，的中点和，连接，在中，为、的中点，在中，点、为、的中点，即，点在以为直径的半圆上，点的运动路径长为，故答案为：10如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 【解答】解：将线段绕顺时针旋转至，连接，过作于，过作于，如图：，在和中，在射线上运动，的长度即是的最小值，四边形为矩形，中，故答案为：11如图，已知点，动点在线段上，点、按逆时针顺序排列，

19、且，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为6【解答】解：点，动点在线段上，为主动点，为从动点，为定点，由“瓜豆原理”得运动路径与运动路径之比等于，点运动的路径长为，故答案为：612如图，在中，点在边上，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转得到，在和中，当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可得：当时，有最小值，此时，四边形是矩形，故答案为：13如图，的直径，为上动点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最大值为 【解答】解：如图，以为边在的下方作等腰直角三角形，连接

20、，将绕点逆时针旋转得到，是等腰直角三角形，又，当有最大值时，有最大值，当点，点，点三点共线时，有最大值为，的最大值为，故答案为：14如图，矩形中，点为对角线上一动点，于点，连接，当最小时，的长为 【解答】解：如图，过点作于点，连接，即在点的运动过程中，的大小不变且等于，当时，最小，设此时，代入，解得，故答案为：二解答题（共4小题）15如图，在等边中，垂足为，点为边上中点，点为直线上一点当点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出 的面积【解答】解：以为顶点，为一边，作，交于点，过点作于点，设交于点，如图，中，最小即最小，此时、共线，将线段

21、绕点顺时针旋转得到线段，在射线上运动，则点在上运动，根据“瓜豆原理”， 为主动点，是从动点，为定点，则、轨迹的夹角，四边形为矩形，等边中，又，等边中，点为的中点，点为中点，中，中，16若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，将点绕点顺时针旋转得到点的轨迹是圆（填“线段”或者“圆” ；的最小值是；（2）如图2，以为边作等边（点、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为【解答】解：（1）连接、，如图1所示：是等腰直角三角形，由旋转的性质得：，在和中，即点到点的距离等于定长，点的轨

22、迹是以为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；是等腰直角三角形，当点在线段上时，最小；故答案为：；（2）以为边长作等边，连接、，如图2所示：和是等边三角形，在和中，当、三点共线时，有最大值；（3）如图3所示：点的轨迹是以为直径的一个圆，则，则是梯形的中位线，连接，则，是等腰直角三角形，；故答案为：17如图，的半径为2，到定点的距离为5，点在上，点是线段的中点，若在上运动一周（1）点的运动路径是一个圆；（2）始终是一个等边三角形，直接写出长的取值范围（1）思路引导要证点运动的路径是一个圆，只要证点到定点的距离等于定长，由图中的定点、定长可以发现，【解答】（1）解：连接、，取的中点，连接，如图1所示：

23、则是的中位线，点到点的距离固定为1，在上运动一周，点运动的路径是以点为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接并延长交于点、，如图2所示：是等边三角形，点是线段的中点，当点运动到点位置时，点运动到点位置，最短，；当点运动到点位置时，点运动到点位置，最长，；长的取值范围是18如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点（1）求二次函数的表达式（2）当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标（3）如图，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由【解答】解：（1）二次函数经过，代入得，解得，所以二次函数的表达式为（2）如图所示，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可得，设点，点的坐标可表示为，为二次函数与轴交点，可得的解析式为，在上，解得或如图所示，当在轴下方时，同理可求出点的横坐标为或，当点横坐标为时，在抛物线的段，综上所述，点的横坐标为或或（3）如图所示，以为底在轴上方作等腰直角三角形，连接，过点作轴于点，和均为等腰直角三角形，两条平行线之间的距离相等，在运动时，到的距离保持不变，其距离都等于的长，在等腰直角三角形中，综上所述，的面积不变，为4