2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列专题1.3 全等三角形中的经典模型【六大题型】（苏科版）含解析.docx

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1、2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题1.3 全等三角形的判定【六大题型】【苏科版】【题型1 平移模型】1【题型2 轴对称模型】4【题型3 旋转模型】6【题型4 一线三等角模型】9【题型5 倍长中线模型】13【题型6 截长补短模型】16【知识点1 平移模型】【模型解读】把ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到DEF与ABC称为平移型全等三角形，图，图是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【题型1 平移模型】【例1】（2022义马市期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，AEBF，ACBD，且ACBD，求证：ACFBDE【变式1-1】（2022曾都区期末）如图，点B，E，C，F在一

2、条直线上，ABDE，ACDF老师说：还添加一个条件就可使ABCDEF下面是课堂上三个同学的发言：甲：添加BECF，乙：添加ACDF，丙：添加AD（1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是 ；（2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明【变式1-2】（2022春东坡区校级期末）如图，ABC中，AB13cm，BC11cm，AC6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将DBE沿着BA方向向左平移至ADF的位置，则四边形DECF的周长为 cm【变式1-3】（2022富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，ABCD，DEAF，且DEAF，求证：AFCDEB如果将BD沿着AD边的方向平行移动，

3、如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由【知识点2 轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】 【题型2 轴对称模型】【例2】（2022安丘市期末）如图，已知ACFDBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，A50，F40（1）求DBE各内角的度数；（2）若AD16，BC10，求AB的长【变式2-1】（2022陇县一模）如图，在ABC中，已知CDAB于点D，BEAC于点E，DCBEBC求证：ADAE【变式2-2】

4、（2022句容市期末）如图，已知AODBOC求证：ACBD【变式2-3】（2022海珠区校级期中）如图，PBAB，PCAC，PBPC，D是AP上一点求证：BDPCDP【知识点3 旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】 【题型3 旋转模型】【例3】（2022环江县期中）如图，ABAE，ABDE，170，D110求证：ABCEAD证明：170， （ ）又D110， （ ）ABDE， （ ）在ABC和EAD中，()()AB=AE，ABCEAD（AAS）

5、【变式3-1】（2022春济南期末）如图1，ABE是等腰三角形，ABAE，BAE45，过点B作BCAE于点C，在BC上截取CDCE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：ADBE；（2）试说明AD平分BAE；（3）如图2，将CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由【变式3-2】（2022高港区校级月考）已知，如图，AD、BF相交于O点，点E、C在BF上，且BEFC，ACDE，ABDF求证：（1）AODO；（2）ACDE【变式3-3】（2022锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（图1），ABD不动（1）若将ACE绕点A逆时

6、针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MBMC（2）若将图1中的CE向上平移，CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系（3）在（2）中，若CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由【知识点4 一线三等角模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BDDE，ABAC，CEDE，那么一定有B=CAE. 【题型4 一线三等角模型】【例4】（2022春香坊区期末）已知，在ABC中，ABAC，D，A，E三点都在直线m上，且DE9cm，BDAAECBAC（1）如图，若ABA

7、C，则BD与AE的数量关系为 BDAE，CE与AD的数量关系为 CEAD；（2）如图，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系；（3）如图，若只保持BDAAEC，BDEF7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）是否存在x，使得ABD与EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由【变式4-1】（2022东至县期末）如图，在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC，若DE10，BD3，求CE的长【变式4-2】（2022春历下区期中）CD是经过BCA定

8、点C的一条直线，CACB，E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA（1）若直线CD经过BCA内部，且E、F在射线CD上，若BCA90，90，例如图1，则BE CF，EF |BEAF|（填“”，“”，“”）；若0BCA180，且+BCA180，例如图2，中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过BCA外部，且BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）【变式4-3】（2022余杭区月考）如图，点B、C在MAN的边AM、AN上，点E，F在MAN内部的射线AD上，1、2分别是ABE、CAF的外角已知ABAC，12BAC求证：ABECAF应用：如图，在ABC中，

9、ABAC，ABBC，点D在边BC上，且CD2BD，点E，F在线段AD上12BAC，若ABC的面积为15，求ABE与CDF的面积之和【知识点5 倍长中线模型模型】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法【常见模型】 【题型5 倍长中线模型】【例5】（2022秋博兴县期末）如图，BD是ABC的中线，AB6，BC4，求中线BD的取值范围 【变式5-1】（2022涪城区校级月考）如图，在ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE

10、AC，BE的延长线交AC于F，求证：AEFEAF【变式5-2】（2022浠水县校级模拟）（1）在ABC中，AD为ABC的中线，AB6，AC4，则AD的取值范围是 ；（2）如图，在ABC中，AD为ABC的中线，点E在中线AD上，且BEAC，连接并延长BE交AC于点F求证：AFFE【变式5-3】（2022丹阳市期中）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧【探究与发现】（1）如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E，使EDAD，连接BE，写出图中全等的两个三角形 【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是DEF的中线，若EF5，DE3，设EPx，则x的取值范围是

11、（3）已知：如图3，AD是ABC的中线，BACACB，点Q在BC的延长线上，QCBC，求证：AQ2AD【知识点6 截长补短模型】【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知线段;补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程【题型6 截长补短模型】【例6】（2022秋西岗区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，AD平分BAC，ABC2C求证：ACAB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在A

12、C上截取AE，使得AEAB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题方法二：如图3，延长AB到点E，使得BEBD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题（1）根据阅读材料，任选一种方法证明ACAB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EAED，DCB2B，DAE+B90，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明【变式6-1】（2022蕲春县期中）已知：如图，在ABC中，ABC60，ABC的角平分线AD、CE交于点O求证：ACAE+CD【变式6-2】（2022新抚区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB90，E是AB的

13、中点，DE平分ADC（1）求证：CE平分BCD；（2）求证：AD+BCCD；（3）若AB12，CD13，求SCDE【变式6-3】（2022黄石期末）已知ABC和DEF为等腰三角形，ABAC，DEDF，BACEDF，点E在AB上，点F在射线AC上（1）如图1，若BAC60，点F与点C重合，求证：AFAE+AD；（2）如图2，若ADAB，求证：AFAE+BC专题1.3 全等三角形的判定【六大题型】【苏科版】【题型1 平移模型】1【题型2 轴对称模型】5【题型3 旋转模型】8【题型4 一线三等角模型】14【题型5 倍长中线模型】20【题型6 截长补短模型】26【知识点1 平移模型】【模型解读】把AB

14、C沿着某一条直线l平行移动，所得到DEF与ABC称为平移型全等三角形，图，图是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【题型1 平移模型】【例1】（2022义马市期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，AEBF，ACBD，且ACBD，求证：ACFBDE【分析】根据平行线的性质得到CAFDBE，根据SAS证明ACFBDE即可【解答】证明：AEBF，AE+EFBF+EF，即AFBE；ACBD，CAFDBE，又ACBD，在ACF与BDE中，AC=BDCAF=DBEAF=BE，ACFBDE（SAS）【变式1-1】（2022曾都区期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，ABDE，ACDF老师说：还添加一个

15、条件就可使ABCDEF下面是课堂上三个同学的发言：甲：添加BECF，乙：添加ACDF，丙：添加AD（1）甲、乙、丙三个同学的说法正确的是甲、丙；（2）请你从正确的说法中，选取一种给予证明【分析】（1）加上条件BECF或AD的条件即可证明两个三角形全等，添加ACDF不能证明ABCDEF；（2）添加BECF可得BCEF，利用SSS判定ABCDEF即可,添加AD,可用SAS证明ABCDEF【解答】解：（1）说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）选甲的做法，证明：BECF，BCEF，在ABC和DEF中，AB=DEAC=DFBC=EF，ABCDEF（SSS）选丙的做法,在ABC和DEF中,AB=

16、DEA=DAC=DF,ABCDEF（SAS）【变式1-2】（2022春东坡区校级期末）如图，ABC中，AB13cm，BC11cm，AC6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将DBE沿着BA方向向左平移至ADF的位置，则四边形DECF的周长为 cm【分析】连接EF，证明CEFDFE（ASA），推出DECF，可得结论【解答】解：连接EF由平移的性质可知，AFDEEFAD，AFDE，EFAD，DFBC，CEFDFE，CFEDEF，在CEF和DFE中，CEF=EFDEF=FECFE=DEF，CEFDFE（ASA），DECF，AFCFDE3cmE是BC的中点，ECEBDF5.5cm，四边形DEC

17、F的周长2（3+5.5）17cm故答案为：17【变式1-3】（2022富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，ABCD，DEAF，且DEAF，求证：AFCDEB如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由【分析】可以根据已知利用SAS判定AFCDEB如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2）、（3）时，其余条件不变，结论仍然成立可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证【解答】解：ABCD，AB+BCCD+BC，即ACBDDEAF，AD在AFC和DEB中，AF=DEA=DAC=DB，AFCDEB（SA

18、S）在（2），（3）中结论依然成立如在（3）中，ABCD，ABBCCDBC，即ACBD，AFDE，AD在ACF和DEB中，AF=DEA=DAC=DB，ACFDEB（SAS）【知识点2 轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】 【题型2 轴对称模型】【例2】（2022安丘市期末）如图，已知ACFDBE，且点A，B，C，D在同一条直线上，A50，F40（1）求DBE各内角的度数；（2）若AD16，BC10，求AB的长【分析】（1）根据全等三角形的性质求出D、

19、E，根据三角形内角和定理求出EBD即可；（2）根据全等三角形的性质得出ACBD，求出ABCD，即可求出答案【解答】解：（1）ACFDBE，A50，F40，DA50，EF40，EBD180DE90；（2）ACFDBE，ACBD，ACBCDBBC，ABCD，AD16，BC10，ABCD=12（ADBC）3【变式2-1】（2022陇县一模）如图，在ABC中，已知CDAB于点D，BEAC于点E，DCBEBC求证：ADAE【分析】由“AAS”可证ADCAEB，可得ADAE【解答】证明：CDAB，BEAC，DCBEBC，DBCECB，ABAC，在ADC和AEB中，A=AADC=AEB=90AC=AB，AD

20、CAEB（AAS），ADAE【变式2-2】（2022句容市期末）如图，已知AODBOC求证：ACBD【分析】根据全等三角形的性质和等式的性质解答即可【解答】证明：AODBOC，AOBO，CODO，AODBOC，AODCODBOCCOD，即AOCBOD， 在AOC和BOD中，AO=BOAOC=BODCO=DO，AOCBOD（SAS），ACBD【变式2-3】（2022海珠区校级期中）如图，PBAB，PCAC，PBPC，D是AP上一点求证：BDPCDP【分析】求出ABPACP90，根据HL推出RtABPRtACP，根据全等三角形的性质得出BPDCPD，根据SAS推出BPDCPD，即可得出答案【解答】

21、证明：PBAB，PCAC，ABPACP90，在RtABP和RtACP中AP=APPB=PC RtABPRtACP（HL），BPDCPD，在BPD和CPD中PB=PCBPD=CPDPD=PD BPDCPD，BDPCDP【知识点3 旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.【常见模型】 【题型3 旋转模型】【例3】（2022环江县期中）如图，ABAE，ABDE，170，D110求证：ABCEAD证明：170，2110（邻补角的性质）又D110，2D（等量代换）ABD

22、E，3E（两直线平行，内错角相等）在ABC和EAD中，()()AB=AE，ABCEAD（AAS）【分析】由邻补角的性质求出2110，由平行线的性质得出3E，根据AAS可证ABCEAD【解答】证明：170，2110（邻补角的性质），又D110，2D（等量代换），ABDE，3E（两直线平行，内错角相等），在ABC和EAD中，2=D3=EAB=AE，ABCEAD（AAS）故答案为：2110；邻补角的性质；2D；等量代换；3E；两直线平行，内错角相等；2D；3E【变式3-1】（2022春济南期末）如图1，ABE是等腰三角形，ABAE，BAE45，过点B作BCAE于点C，在BC上截取CDCE，连接AD、

23、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：ADBE；（2）试说明AD平分BAE；（3）如图2，将CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由【分析】（1）利用SAS证明BCEACD，根据全等三角形的对应边相等得到ADBE（2）根据BCEACD，得到EBCDAC，由BDPADC，得到BPDDCA90，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分BAE；（3）ADBE不发生变化由BCEACD，得到EBCDAC，由对顶角相等得到BFPAFC，根据三角形内角和为180，所以BPFACF90，即ADBE【解答】解：（1）BCAE，BAE45，CBACAB，BCCA，在BCE和

24、ACD中，BC=ACBCE=ACD=90CE=CD，BCEACD（SAS），ADBE（2）BCEACD，EBCDAC，BDPADC，BPDDCA90，ABAE，AD平分BAE（3）ADBE不发生变化如图2，BCEACD，EBCDAC，BFPAFC，BPFACF90，ADBE【变式3-2】（2022高港区校级月考）已知，如图，AD、BF相交于O点，点E、C在BF上，且BEFC，ACDE，ABDF求证：（1）AODO；（2）ACDE【分析】（1）易证ABCDFE，可得BF，可证ABODFO，可得AODO；（2）易证ABCDFE，可得DEFACB，可得ACDE【解答】解：（1）BECF，BCFE，在

25、ABC和DFE中，AB=DFAC=DEBC=FE，ABCDFE（SSS），BF，在ABO和DFO中，DOF=AOBB=FAB=DF，ABODFO（AAS），AODO；（2）ABCDFE，DEFACB，ACDE【变式3-3】（2022锦州模拟）如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE拼在一起（图1），ABD不动（1）若将ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MBMC（2）若将图1中的CE向上平移，CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系（3）在（2）中，若CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则

26、（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得ADAE，ABAC，全等三角形对应角相等可得BADCAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到MADMAE，然后利用“边角边”证明ABM和ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BDBE，然后求出MBAE，再根据两直线平行，内错角相等求出MBCCAE，同理求出MCAD，根据两直线平行，同位角相等求出BCMBAD，然后求出MBCBCM，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相

27、等可得MDBMEF，MBDMFE，然后利用“角角边”证明MDB和MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MBMF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可【解答】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得ABDACE，ADAE，ABAC，BADCAE，MDME，MADMAE，MADBADMAECAE，即BAMCAM，在ABM和ACM中，AB=ACBAM=CAMAM=AM，ABMACM（SAS），MBMC；（2）MBMC理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E，延长EC交AD于F，BDBE，CECF，M是ED的中点，B是DE的中点，MBAE，MBCCAE，同理：MCAD，BCMBAD，B

28、ADCAE，MBCBCM，MBMC；解法二：如图3中，延长CM交BD于点TECDT，CEMTDM，在ECM和DTM中，CEM=TDMEM=DMEMC=DMT，ECMDTM（ASA），CMMT，CBT90，BMCMMT（3）MBMC还成立如图4，延长BM交CE于F，CEBD，MDBMEF，MBDMFE，又M是DE的中点，MDME，在MDB和MEF中，MDB=MEFMBD=MFEMD=ME，MDBMEF（AAS），MBMF，ACE90，BCF90，MBMC【知识点4 一线三等角模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BDDE，ABAC，CEDE，那么一定有B=CAE. 【题型4 一线三等角

29、模型】【例4】（2022春香坊区期末）已知，在ABC中，ABAC，D，A，E三点都在直线m上，且DE9cm，BDAAECBAC（1）如图，若ABAC，则BD与AE的数量关系为 BDAE，CE与AD的数量关系为 CEAD；（2）如图，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系；（3）如图，若只保持BDAAEC，BDEF7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）是否存在x，使得ABD与EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得CAEAB

30、D，再利用AAS证明ABDCAE，得BDAE，CEAD；（2）由（1）同理可得ABDCAE，得BDAE，CEAD，可得答案；（3）分DABECA或DABEAC两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题【解答】解：（1）BDAAECBAC，BAD+CAEBAD+ABD，CAEABD，BDAAEC，BACA，ABDCAE（AAS），BDAE，CEAD，故答案为：BDAE，CEAD；（2）DEBD+CE，由（1）同理可得ABDCAE（AAS），BDAE，CEAD，DEBD+CE；（3）存在，当DABECA时，ADCE2cm，BDAE7cm，t1，此时x2；当DABEAC时，ADAE4.5cm，DB

31、EC7cm，t=AD2=94，x794=289，综上：t1，x2或t=94，x=289【变式4-1】（2022东至县期末）如图，在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC，若DE10，BD3，求CE的长【分析】由AECBAC，推出ECABAD，再根据AAS证明BADACE得CEAD，AEBD3，即可得出结果【解答】解：AECBAC，ECA+CAE180，BAD+CAE180，ECABAD，在BAD与ACE中，BDA=AECBAD=ACEAB=AC，BADACE（AAS），CEAD，AEBD3，DEAD+AE10，ADDEAEDEBD1037CE7【变式4-2】（

32、2022春历下区期中）CD是经过BCA定点C的一条直线，CACB，E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA（1）若直线CD经过BCA内部，且E、F在射线CD上，若BCA90，90，例如图1，则BE CF，EF |BEAF|（填“”，“”，“”）；若0BCA180，且+BCA180，例如图2，中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过BCA外部，且BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）【分析】（1）求出BECAFC90，CBEACF，根据AAS证BCECAF，推出BECF，CEAF即可；求出BECAFC，CBEACF，根据AAS证BCECAF，推出B

33、ECF，CEAF即可；（2）求出BECAFC，CBEACF，根据AAS证BCECAF，推出BECF，CEAF即可【解答】解：（1）如图1，E点在F点的左侧，BECD，AFCD，ACB90，BECAFC90，BCE+ACF90，CBE+BCE90，CBEACF，在BCE和CAF中，EBC=ACFBEC=AFCBC=AC，BCECAF（AAS），BECF，CEAF，EFCFCEBEAF，当E在F的右侧时，同理可证EFAFBE，EF|BEAF|；故答案为，：中两个结论仍然成立；证明：如图2，BECCFAa，+ACB180，CBEACF，在BCE和CAF中，EBC=ACFBEC=AFCBC=AC，BC

34、ECAF（AAS），BECF，CEAF，EFCFCEBEAF，当E在F的右侧时，如图3，同理可证EFAFBE，EF|BEAF|；（2）EFBE+AF理由是：如图4，BECCFAa，aBCA，又EBC+BCE+BEC180，BCE+ACF+ACB180，EBC+BCEBCE+ACF，EBCACF，在BEC和CFA中，EBC=ACFBEC=AFCBC=AC，BECCFA（AAS），AFCE，BECF，EFCE+CF，EFBE+AF【变式4-3】（2022余杭区月考）如图，点B、C在MAN的边AM、AN上，点E，F在MAN内部的射线AD上，1、2分别是ABE、CAF的外角已知ABAC，12BAC求证

35、：ABECAF应用：如图，在ABC中，ABAC，ABBC，点D在边BC上，且CD2BD，点E，F在线段AD上12BAC，若ABC的面积为15，求ABE与CDF的面积之和【分析】（1）由“ASA”可证ABECAF；（2）由“ASA”可证ABECAF，由全等三角形的性质可得SABESCAF，由三角形的面积关系可求解【解答】证明：（1）12BAC，且1BAE+ABE，2FAC+FCA，BACBAE+FAC，BAEFCA，ABEFAC，且ABAC，ABECAF（ASA）（2）12BAC，且1BAE+ABE，2FAC+FCA，BACBAE+FAC，BAEFCA，ABEFAC，且ABAC，ABECAF（A

36、SA）SABESCAF，CD2BD，ABC的面积为15，SACD10SABE+SCDF【知识点5 倍长中线模型模型】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法【常见模型】 【题型5 倍长中线模型】【例5】（2022秋博兴县期末）如图，BD是ABC的中线，AB6，BC4，求中线BD的取值范围【分析】延长BD到E，使DEBD，证明两边之和大于BE2BD，两边之差小于BE2BD，证明三角形全等，得到线段相等，等量代换得1BD5【解答】

37、解：如图所示，延长BD到E，使DEBD，连接AE，BD是ABC的中线，ADCD，在ADE和CDB中，AD=CDADE=CDBBD=ED，ADECDB（SAS），AEBC，在ABE中，有ABAEBEAB+AE，即22BD10，1BD5【变式5-1】（2022涪城区校级月考）如图，在ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BEAC，BE的延长线交AC于F，求证：AEFEAF【分析】延长AD到G使DGAD，连接BG，通过ACDGBD，根据全等三角形的性质得到CADG，ACBG，等量代换得到BEBG，由等腰三角形的性质得到GBEG，即可得到结论【解答】解：如图，延长AD到G使DGAD，连接BG，在

38、ACD与GBD中，CD=BDADC=BDGAD=DG，ACDGBD，CADG，ACBG，BEAC，BEBG，GBEG，BEGAEF，AEFEAF【变式5-2】（2022浠水县校级模拟）（1）在ABC中，AD为ABC的中线，AB6，AC4，则AD的取值范围是1AD5；（2）如图，在ABC中，AD为ABC的中线，点E在中线AD上，且BEAC，连接并延长BE交AC于点F求证：AFFE【分析】（1）延长AD到E，使DEAD，连接BE，利用“边角边”证明ACD和EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得BEAC，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后求解即可（2）延长AD到点G，使DGDE，连接CG证明BDECDG（SAS）由全等三角形的性质可得出BECG，BEDG得出GGAC，AEFGAC，则可得出结论【解答】（1）解：如图，延长AD到E，使DEAD，连接BE，AD为ABC的中线，BDCD，在ACD和EBD中，DE=ADADC=EDBBD=CD，ACDEBD（SAS），BEAC，由三角形三边关系得，64AE6+4，