2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列专题4.4 角【十大题型】（举一反三）（人教版）含解析.docx

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1、2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列专题4.4 角【十大题型】【人教版】【题型1 角的概念及角的度量】2【题型2 角的单位及其换算】2【题型3 角的计数问题】3【题型4 钟面上角的特征】4【题型5 方向角】5【题型6 与角平分线相关的角的运算】7【题型7 与角n等分线相关的角的运算】8【题型8 在三角板中的角的运算】11【题型9 余角和补角的计算】13【题型10 同（等）角的余角和补角相等的运用】14【知识点1 角的概念】定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分

2、是角的内部【知识点2 角的表示方法】表示方法A图例记法适用范围用三个大写字母表示BOAOB或BOA任何情况下都适应.表示端点的字母必须写在中间.用一个大写字母表示AA以这个点为顶点的角只有一个.用数字表示11任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊字母.用希腊字母表示aa【题型1 角的概念及角的度量】【例1】（2022甘肃兰州七年级期末）下列说法中正确的是（）A由两条射线组成的图形叫做角B角的大小与角的两边长度有关C角的两边是两条射线D用放大镜看一个角，角的度数变大了【变式1-1】（2022山东淄博期中）ACB的两边分别是（）A射线AC、BCB射线CA，CBC

3、线段AC，BCD直线CA，CB【变式1-2】（2022全国七年级专题练习）如图，用量角器度量AOB，可以读出AOB的度数为_【变式1-3】（2022全国七年级专题练习）如图，下列说法错误的是（）AAOB也可用O来表示B与BOC是同一个角C图中共有三个角：AOB，AOC，BOCD1与AOB是同一个角【题型2 角的单位及其换算】【例2】（2022山东烟台期中）若1=2515，2=251330，3=25.35，则（）A312B213C132D123【变式2-1】（2022全国七年级单元测试）下面等式成立的是（）A83.5=8350B90572327=323733C154836+372759=5216

4、35D41.25=4115【变式2-2】（2022江苏江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：(1)4510213520；(2)4839+67312117；(3)4216+18232【变式2-3】（2022天津南开七年级期末）如图1是一个14的圆（AOB=90），芳芳第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分成4份，第三次由加了四条线，将图1等分成8份，第四次又加了八条线，将图1等分成16份，如图2所示，则第n（n1）次可将图1等分成_份，当n=5时，图1中的每份的角度是_（用度，分，秒表示）【题型3 角的计数问题】【例3】（2022福建龙岩七年级期末）在锐角

5、AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（）A165B186C199D210【变式3-1】（2022山东泰安市泰山区树人外国语学校期中）如图所示，AOB=90，则图中锐角有（）A12个B14个C15个D16个【变式3-2】（2022黑龙江牡丹江七年级期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则nm的值为（）A4B3C2D1【变式3-3】（2022湖南娄底七年级期末）在一幅七巧板中，有我们学过的（）A8个锐角，6个直角，2个钝角B12个锐角，9个直角，2个钝角

6、C8个锐角，10个直角，2个钝角D6个锐角，8个直角，2个钝角【知识点3 钟表上有关夹角问题】钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30的角，分针1分钟转6，时针每小时转30，时针1分钟转0.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【题型4 钟面上角的特征】【例4】（2022贵州仁怀市周林学校七年级阶段练习）下列说法中正确的是（）A3时30分，时针与分针的夹角是90B6时30分，时针与分针重合C8时45分，时针与分针的夹角是30D9时整，时针与分针的夹角是90【变式4-1】（2022河南洛阳七年级期末）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（）度A20B120C9

7、0D150【变式4-2】（2022山东烟台期中）当分针指向12，时针这时恰好与分针成120的角，此时的时刻是 _【变式4-3】（2022全国七年级单元测试）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角一天24小时中，当钟面角为0时，时针与分针重合_次【知识点4 方向角】在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线OA的方向是北偏东60；射线OB的方向是南偏西30这里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方向角【题型5 方向角】【例5】（2022山东烟台期末）如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（）A南偏东40B北偏东50C

8、南偏西40D北偏西50【变式5-1】（2022全国七年级课时练习）如图，甲从A点出发向北偏东70方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15方向走到点C，则BAC的度数是（）A85B105C125D160【变式5-2】（2022全国八年级课时练习）如图，渔船A的方向可以由距小岛20 km和在小岛的西南方向这两个数据来确定问：(1)渔船B相对小岛的位置应怎样表述？(2)小岛的北偏东30方向，距离小岛30 km处是哪艘渔船？【变式5-3】（2022重庆綦江七年级期中）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“红军”两方蓝军的指挥所在A地，红军的指挥所地B地，A地在B地的正西边（

9、如图）部队司令部在C地C在A的北偏东60方向上、在B的北偏东30方向上(1)BAC=_；(2)演习前，司令部要蓝军、红军派人到C地汇报各自的准备情况红军一辆吉普车从B地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从A地出发，它们同时到达C地已知吉普车行驶了18分钟A到C的距离是B到C的距离的1.7倍越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米求越野车、吉普车的速度及B地到C地的距离（速度单位用：千米/时）【知识点5 角的比较与运算】角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种方法1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小方法2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较如比较A

10、OB和AOB的大小： 如下图，由图（1）可得AOBAOB；由图(2)可得AOBAOB；由图(3)可得AOBAOB【知识点6 角的和、差关系】如图所示，AOB是1与2的和，记作：AOB1+2；1是AOB与2的差，记作：1AOB-2【知识点7 角平分线】从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线如图所示，OC是AOB的角平分线，AOB2AOC2BOC，AOCBOC =12AOB【题型6 与角平分线相关的角的运算】【例6】（2022江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，AOB=90，BOC=(0180)，OD，OE分别是AOB，BOC的平分线(1)如图1，当OC在

11、OB左侧，且=80时，DOE的度数是_；(2)当OC的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究DOE的大小与的数量关系；(3)当DOE的度数为36时，请直接写出的度数【变式6-1】（2022山东烟台期末）有公共顶点的两个角，AOB=COD，且OE为BOC的角平分线(1)如图1，请探索AOE和DOE的大小关系，并说明理由；(2)如图2，AOE和DOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由；(3)若AOB=90，AOC=64，求出BOE的度数【变式6-2】（2022山东济南七年级期末）如图1，已知AOB60，OM平分AOB(1)BOM_；(2)若在图1中画射线OC，使得BOC20，ON平分BO

12、C，求MON的大小；(3)如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，AOB60，在时针与分针转动过程中，OM始终平分AOB，则经过多少分钟后，BOM的度数第一次等于50【变式6-3】（2022内蒙古察哈尔右翼前旗教学研究室七年级期末）已知AOB内部有三条射线，其中，OE平分BOC，OF平分AOC（1）如图1，若AOB=90，AOC=30，求EOF的度数；（2）如图2，若AOB=，求EOF的度数（用含的式子表示）；（3）若将题中的“平分”条件改为“3EOB=COB，3COF=2COA”，且AOB=，用含的式子表示EOF的度数为 【题型7 与角n等分线相关的角的运算】【例7】（

13、2022贵州毕节七年级阶段练习）如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，DCE13ECA，FCE13ECB(1)求DCF的大小，并说明理由；(2)当DCE1nECA，FCE1nECB时，直接写出DCF的大小（用含n的代数式表示）【变式7-1】（2022湖南长沙七年级期末）如图，在AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若AOC70，BOE1nBOC，BOD1nAOB，则DOE_（用含n的代数式表示）【变式7-2】（2022全国七年级单元测试）已知:AOB和COD是直角（1）如图，当射线OB在COD内部时，请探究AOD和BOC之间的关系；（2）如图2，当射线OA,射线OB

14、都在COD外部时，过点作射线OE，射线OF，满足BOE=13BOC，DOF=23AOD，求EOF的度数（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得GOF:GOE=2:3，若不存在，请说明理由，若存在，求出GOF的度数【变式7-3】（2022江苏淮安七年级期末）【阅读理解】射线OC是AOB内部的一条射线，若AOC12BOC，则称射线OC是射线OA在AOB内的一条“友好线”如图1，若AOB75，AOC25，则AOC12BOC，所以射线OC是射线OA在AOB内的一条“友好线”【解决问题】(1)在图1中，若作BOC的平分线OD，则射线OD （填“是”或“不是”）射线OB在AOB内的一

15、条“友好线”；(2)如图2，AOB的度数为n，射线OM是射线OB在AOB内的一条“友好线”，ON平分AOB，则MON的度数为 （用含n的代数式表示）；(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？【题型8 在三角板中的角的运算】【例8】（2022陕西西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）将一副三角板如图

16、1摆放AOB=60，COD=45，OM平分AOD，ON平分COB(1)MON= _ ；(2)将图1中的三角板OCD绕点D旋转到图2的位置，求MON；(3)将图1中的三角板OCD绕点D旋转到图3的位置，求MON【变式8-1】（2022山东枣庄七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究(1)如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是ACB的平分线，请你猜想此时CB是不是ECD的平分线，并简述理由；(2)如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CB始终在DCE的内部，请猜想ACE与DCB是否相等，并简述理由【变式8-2】（2022福建福州七年级期末）在一次数学

17、活动课上，李磊同学将一副宜角三角板ABC、ADE按如图1放置，点A、C、D在同一直线上，（EAD=30、BAC=45），并将三角板ABC绕点A顺时针旋转一定角度，且始终保持012B213C132D123【答案】A【分析】首先1、2已经是度、分、秒的形式，故将3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论【详解】1=2515，2=251330，3=25.35=2521，312故选A【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键【变式2-1】（2022全国七年级单元测试）下面等式成立的是（）A83.5=8350B90572327

18、=323733C154836+372759=521635D41.25=4115【答案】D【分析】根据角度的运算法则，以及角的换算，即可得到答案.【详解】解：A、83.5=8330，故A错误；B、90572327=323633，故B错误；C、154836+372759=531635，故C错误；D、41.25=4115故D正确；故选：D.【点睛】本题考查了角度的加减运算，以及角的单位换算，解题的关键是掌握角度的运算法则和角度的60进位制.【变式2-2】（2022江苏江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：(1)4510213520；(2)4839+67312117；(3)4216+18232【答

19、案】(1)233440(2)9453(3)792【分析】（1）根据度分秒之间的进率即可解答；（2）根据度分秒之间的进率即可解答；（3）先计算乘法，再计算加法即可（1）解：4510213520=233440（2）解：4839+67312117=11610-2117=9453（3）解：4216+18232=4216+3646=792【点睛】本题考查度分秒的计算，1=60，1=60，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键【变式2-3】（2022天津南开七年级期末）如图1是一个14的圆（AOB=90），芳芳第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分成4份，第三次由加了四条

20、线，将图1等分成8份，第四次又加了八条线，将图1等分成16份，如图2所示，则第n（n1）次可将图1等分成_份，当n=5时，图1中的每份的角度是_（用度，分，秒表示）【答案】 2n， 24845【分析】从特殊到一般，探究规律后即可解决问题【详解】第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分4=22份，第三次由加了四条线，将图1等分成8=23份，第四次又加了八条线，将图1等分成16=24份，第n（n1）次可将图1等分成2n份当n=5时，图1中的每份的角度是90125=24845故答案为2n，24845【点睛】本题考查了度分秒的换算、规律型：图形变化类等知识，解题的关键

21、是掌握从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型【题型3 角的计数问题】【例3】（2022福建龙岩七年级期末）在锐角AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（）A165B186C199D210【答案】D【分析】根据已知条件得出规律为从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是12(n+1)(n+2) ，代入即可得到答案【详解】在锐角AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角； 从一个角的内

22、部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+(n+1)=12(n+1)(n+2) 画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为12(19+1)(19+2)=210 故选：D【点睛】本题考查了角的概念，解题的关键是找到规律【变式3-1】（2022山东泰安市泰山区树人外国语学校期中）如图所示，AOB=90，则图中锐角有（）A12个B14个C15个D16个【答案】B【分析】根据角的分类求解即可，顺时针方向数，以OB为边可得4个锐角，以OC为边可得4个锐角，以OD为边可得3个锐角，以OE为边可得2个锐角，以OF为边可得1个锐角，即可求得答案【详解】解：顺时针方向数，以OB为边可得4个锐角，以OC为边可得

23、4个锐角，以OD为边可得3个锐角，以OE为边可得2个锐角，以OF为边可得1个锐角，共有锐角4+4+3+2+1=14个故选B【点睛】本题考查了交点分类，角的个数，分类讨论是解题的关键，注意数角的个数时，不要将直角算进去【变式3-2】（2022黑龙江牡丹江七年级期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则nm的值为（）A4B3C2D1【答案】D【分析】根据线段的定义和小于平角的角的性质得出m，n的值，再代入求解即可【详解】由题意得m=7，n=8故nm=87=1故答案为：D【点睛】本题考查了线段和平角的问题，掌握线段的定义和平角的定义是解题的关键【变式3-3】（2022湖南娄底七年级期末）在

24、一幅七巧板中，有我们学过的（）A8个锐角，6个直角，2个钝角B12个锐角，9个直角，2个钝角C8个锐角，10个直角，2个钝角D6个锐角，8个直角，2个钝角【答案】B【分析】根据一副七巧板图形，查出锐角，直角和钝角的个数即可【详解】5个等腰直角三角形，5个直角，10个锐角，1个正方形，4个直角，1个平行四边形，2个钝角，2个锐角，在一幅七巧板中根据12个锐角，9个直角，2个钝角故选择B【点睛】本题考查角的分类，平面图形，掌握角的分类，平面图形是解题关键【知识点3 钟表上有关夹角问题】钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30的角，分针1分钟转6，时针每小时转30，时针1分钟转0.5，

25、利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【题型4 钟面上角的特征】【例4】（2022贵州仁怀市周林学校七年级阶段练习）下列说法中正确的是（）A3时30分，时针与分针的夹角是90B6时30分，时针与分针重合C8时45分，时针与分针的夹角是30D9时整，时针与分针的夹角是90【答案】D【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案【详解】解：A、3时30分时，时针在3与4中间位置，分针在6上，可以得出分针与时针的夹角是2.5大格，所以分针与时针的夹角是2.530=75，故本选项错误；B、6时30分，时针与分针的夹角等于15，故本选项错误；C、8时45分，时针与分针的夹角是3014

26、=7.5，故本选项错误；D、9时整，钟面上的时针与分针的夹角=330=90，故本选项正确；故选：D【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键【变式4-1】（2022河南洛阳七年级期末）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（）度A20B120C90D150【答案】B【分析】根据时钟上一大格是30，进行计算即可解答【详解】解：由题意得：430=120，时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了120度，故选：B【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30是解题的关键【变式4-2】（2022山东烟台期中）当分针指向12，时针这时恰好与分针成120的角，此时的时刻是

27、 _【答案】8点钟或4点钟【分析】根据钟表上每一个大格之间的夹角是30，当分针指向12，时针这时恰好与分针成120的角，应该得出，时针距分针应该是4个格，应考虑两种情况【详解】解：钟表上每一个大格之间的夹角是30，当分针指向12，时针这时恰好与分针成120的角时，距分针成120的角时针应该有两种情况，即距时针4个格，只有8点钟或4点钟是符合要求故答案为：8点钟或4点钟【点睛】本题主要考查了钟面角的有关知识距分针成120的角时针应该有两种情况，分类讨论的应用是解决问题的关键【变式4-3】（2022全国七年级单元测试）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角一天24小时中，当钟面角为0时，时针与分针重合

28、_次【答案】22【分析】求出相邻两次钟面角为0之间间隔的时间，即可得出答案【详解】钟面上，分针转一圈即360需要60分钟，即分针的速度是每分钟6，时针转一圈需要12个小时，时针的速度是每分钟3606012=0.5，则相邻两次钟面角为0之间间隔的时间是：36060.565.45（分钟），一天有2460=1440（分钟），则钟面角为0的次数为：144065.4522.0015，故答案为：22【点睛】本题考查了钟面角问题求出相邻两次钟面角为0之间间隔的时间是解答本题的关键【知识点4 方向角】在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线OA的方向是北偏东60；射线OB的方向是南偏西30这

29、里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方向角【题型5 方向角】【例5】（2022山东烟台期末）如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（）A南偏东40B北偏东50C南偏西40D北偏西50【答案】C【分析】根据B在A的北偏东40方向，即可得出直线AB与B点正南方向的夹角为40，再根据A的位置即可得到答案【详解】解：B在A的北偏东40方向，小岛A相对于小岛B的方向是南偏西40，故选：C【点睛】本题考查位置和方向，解题的关键是熟练掌握位置和方向的判断方法【变式5-1】（2022全国七年级课时练习）如图，甲从A点出发向北偏东70方向走到

30、点B，乙从点A出发向南偏西15方向走到点C，则BAC的度数是（）A85B105C125D160【答案】C【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解【详解】根据题意得：BAC（9070）+15+90125，故选：C【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键【变式5-2】（2022全国八年级课时练习）如图，渔船A的方向可以由距小岛20 km和在小岛的西南方向这两个数据来确定问：(1)渔船B相对小岛的位置应怎样表述？(2)小岛的北偏东30方向，距离小岛30 km处是哪艘渔船？【答案】(1)渔船B在小岛南偏东60方向的25 km处(2)渔船D【分析】（1）根据渔船B和小岛的位置，距

31、离关系即可解答.(2）根据图像查找即可解答.【详解】(1)根据题中给的形式可得渔船B在小岛南偏东60方向的25 km处.(2）根据图像可得小岛的北偏东30方向，距离小岛30 km处是渔船D.【变式5-3】（2022重庆綦江七年级期中）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“红军”两方蓝军的指挥所在A地，红军的指挥所地B地，A地在B地的正西边（如图）部队司令部在C地C在A的北偏东60方向上、在B的北偏东30方向上(1)BAC=_；(2)演习前，司令部要蓝军、红军派人到C地汇报各自的准备情况红军一辆吉普车从B地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从A地出发，它们同时

32、到达C地已知吉普车行驶了18分钟A到C的距离是B到C的距离的1.7倍越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米求越野车、吉普车的速度及B地到C地的距离（速度单位用：千米/时）【答案】(1)30(2)越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，B地到C地的距离为30千米【分析】（1）BAC=9060；（2）设吉普车的速度为x千米/时，越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为1860x千米，A到C的距离为1.71860x千米，根据题意列出方程并计算即可（1）解：BAC=9060=30，故答案为：30（2）解：设吉普车的速度为x千米/时，则越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为1860x千米，A到C的距离为1.71860x千米，由题意，得1.7