2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题10.3 分式方程【十大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx

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1、2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列专题10.3 分式方程【十大题型】【苏科版】【题型1 解分式方程的一般方法】1【题型2 换元法解分式方程】2【题型3 裂项法解分式方程】3【题型4 根据分式方程的解求值】4【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】4【题型6 已知分式方程有增根求参数】5【题型7 已知分式方程有整数解求参数】5【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】6【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】6【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】8【知识点1 分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程

2、先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。（3）分式方程解方程的步骤：利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程解整式方程验根-检验整式方程解得的根是否符合分式方程作答【题型1 解分式方程的一般方法】【例1】（2022广东平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1x2+3=4x2的解是_.【变式1-1】（2022广西贵港八年级期中）解下列分式方程：(1)2xx+2xx1=1；(2)1x+323x=12x29【变式1-2】（2022山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=_时，分式x8x7与分式17x互为相反数【变式1-3】（2022上海上外附中七年级期末）解方程：x+5x+4+x+2x+

3、1=x+3x+2+x+4x+3【知识点2 换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程： 另（xy）=u，则原方程转换为： 方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。【题型2 换元法解分式方程】【例2】（2022河南南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：解方程：x1x4xx1=0解：设y=x1x，则原方程化为：y4y=0，方程两边同时乘以y得：y240，解得：y2，经检验：

4、y2都是方程y4y=0的解，当y2时，x1x=2，解得x1；当y2时，x1x=2，解得：x=13经检验：x1或x=13都是原分式方程的解，原分式方程的解为x1或x=13上述这种解分式方程的方法称为换元法问题：(1)若在方程x1x+xx1=52中，设 y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；(2)模仿上述换元法解方程：x1x+23x110【变式2-1】（2022上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程x2+1xx3x2+1+1=0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是（）A3y2+3y1=0B3y23y1=0C3y2y+1=0D3y2y1=0【变式2-2】（2022上

5、海八年级课时练习）如果16x28x+1=0，那么4x的值是（）A1B-1C1D4【变式2-3】（2022上海九年级专题练习）解方程组：1x+12xy=33x12xy=1 【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3 裂项法解分式方程】【例3】（2022山东烟台八年级期中）观察下面的变形规律：112=1112；123=1213；134=1314；解答下面的问题：(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将1n(n+1)写成上面式子形式；(2)说明你（1）中式子的正确性；(3)直接写出112+123+134+ +120212022的结果；(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整

6、数）的分式方程：113+135+157+1(2n1)(2n+1)=n+1002n+202【变式3-1】（2022山东济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段练习）观察下面的变形规律：112=112,123=1213,134=1314,145=1415，回答问题：若1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+1(x+99)(x+100)1x+100，则x的值为 _【变式3-2】（2022江苏镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：16=123=1213,112=134=1314,120=145=1415.(1)由此可推断：142=_；(2)请用含字母m(m为正整数)的等

7、式表示(1)中的一般规律_；(3)仿照以上方法解方程：3(x1)(x4)=1x-1【变式3-3】（2022湖南岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题观察下列算式：16=123=1213112=134=1314120=145=1415(1)填空：142；(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律：(3)请用（2）中的规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+9)(x+10)=1(x+10)【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】（1）方程无解，即方程的根为增根；（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根0，求解出字

8、母取值范围；（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根0，求解出字母取值范围【题型4 根据分式方程的解求值】【例4】（2022河北南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程2axax=83的解为x=1，则a等于（）A1B1C4D8【变式4-1】（2022湖南溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程3x1=x+axx1的增根是x=1，则字母a的值为（）A1B1C2D2【变式4-2】（2022北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程2xmx3=3的解，则m的值为_【变式4-3】（2022全国八年级专题练习）若关于x的方程axx+1+3x+1+3x=2有增根x=1，则2a3

9、的值为（）A2B3C4D6【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】【例5】（2022黑龙江黑龙江三模）关于x的分式方程1axx2+2=12x有解，则a的取值范围是_【变式5-1】（2022湖南八年级单元测试）若关于x的分式方程1x2+x+mx24=3x+2无解，则m的值为()A-6B-10C0或-6D-6或-10【变式5-2】（2022河北邢台市第六中学八年级阶段练习）已知关于x的分式方程xx2+2m2x=3m无解，则m的值是（）A1或13B1或3C13D1【变式5-3】（2022重庆二模）若关于x的不等式组2xm132(x+23)+129有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程my4y2=23

10、y22y有解，则所有满足条件的整数m的和是（）A7B10C13D21【知识点5 增根的讨论】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。【题型6 已知分式方程有增根求参数】【例6】（2022湖南永州市冷水滩区京华中学八年级期中）如果方程5x42x4=2x+k3x6有增根，则k是 _【变式6-1】（2022浙江宁波七年级期末）用去分母的方法解关于x的分式方程2xx3=a3x2时会产生增根，则a的值是_【变式6-2】（2022江西省石城二中九年级阶段练习）解关于x的方程xx-1kx2-1=xx+1不会产生增根，则k的值是（）A2B

11、1Ck2且k2D无法确定【变式6-3】（2022全国八年级）若关于x的方程mx29+2x+3=1x3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值【题型7 已知分式方程有整数解求参数】【例7】（2022重庆四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）若关于x的不等式组x342x+332x+a2512x，有且仅有四个整数解，且使关于y的分成方程ay+2=2y1y+2+1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A2B3C5D10【变式7-1】（2022安徽九年级专题练习）若整数a使关于x的分式方程8ax2x2xx2有整数解，则符合条件的所有a之和为（）A7B11C12D13【变式7-2】（202

12、2重庆一中八年级阶段练习）关于x的不等式组a+x3x+1313(x1)14+2x有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程3y+153y+2ayy3=2的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为（）A4B8C11D15【变式7-3】（2022全国八年级专题练习）若关于x的不等式组x3(x2)2a+x203x+15x1有解，且关于y的方程2ay3=4ya3y的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A8B4C3D1【变式8-1】（2022山东龙口市教学研究室八年级期中）若关于x的分式方程2x+m=3x+3有负数解，则m的取值范围为_【变式8-2】（2022江苏宿迁八年级阶段练习）关于x的方程x

13、1x3=2+kx3的解大于1，则k的取值范围为_【变式8-3】（2022山东济南八年级期中）若关于x的分式方程x+ax2+2a2x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+21，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A18B16C12D6【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】【例9】（2022山东聊城八年级期末）已知：x+2x3可转化为x+12x1+2，解得x11，x22，x+6x5可转化为x+23x2+3，解得x12，x23，x+12x7可转化为x+34x3+4，解得x13，x24，根据以上规律，关于x的方程x+n2+nx32n+4的解为_【变式9-1】（2022湖南岳阳市第十九中学八年级阶段

14、练习）解方程1x+1=2x+11的解是x=0；2x+1=4x+11的解是x=1；3x+1=6x+11的解是x= ；4x+1=8x+11的解是x= ；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表述上述规律，并写出它的解【变式9-2】（2022江苏无锡八年级期中）阅读下列材料：方程1x+11x=1x21x3的解为x=1，方程1x1x1=1x31x4的解为x=2，方程1x11x2=1x41x5的解为x=3，(1)请直接写出方程1x41x5=1x71x8的解为_；(2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为5的分式方程：_；(3)观察上述议程

15、与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解：_；_【变式9-3】（2022四川遂宁八年级期末）先阅读下面的材料，然后解答问题通过计算，发现：方程x+1x=2+12的解为x12，x2=12；方程x+1x=3+13的解为x13，x2=13；方程x+1x=4+14的解为x14，x2=14；(1)观察猜想：关于x的方程x+1x=n+1n的解是 ；(2)利用你猜想的结论，解关于x的方程x+1x3=a+1a3；(3)实践运用：对关于x的方程x1x=m1m的解，小明观察得“x1=m”是该方程的一个解，则方程的另一个解x2= ，请利用上面的规律，求关于x的方程x2x1x1=m1m1的

16、解【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】【例10】（2022辽宁大连八年级期末）当ab时，定义一种新运算：F(a,b)=2ab,ab2bba,ab，例如：F(3,1)=231=1，F(1,4)=244(1)=85（1）直接写出F(a+1,a)=_；（2）若F(m,2)F(2,m)=1，求出m的值【变式10-1】（2022广西北海市实验学校八年级期中）对于非零的两个有理数a，b，规定ab1b1a，若22x10，则x的值为（）A56B54C32D16【变式10-2】（2022全国七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b(其中a0)，都有a*b1aaba，等式右边是通常的加法、减法及除法

17、运算，比如：2*1122120.(1)求5*4的值；(2)若x*21(其中x0)，求x的值【变式10-3】（2022江苏扬州八年级期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术对方程一词给出的注释对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”（1）判断一元一次方程321x=4x与分式方程2x+12x11=44x21是否是“相似方程”，并说明理由；（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正

18、整数m的值.专题10.3 分式方程【十大题型】【苏科版】【题型1 解分式方程的一般方法】1【题型2 换元法解分式方程】4【题型3 裂项法解分式方程】7【题型4 根据分式方程的解求值】11【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】13【题型6 已知分式方程有增根求参数】16【题型7 已知分式方程有整数解求参数】18【题型8 根据分式方程解的取值范围求参数的范围】22【题型9 解分式方程的运用（规律问题）】25【题型10 解分式方程的运用（新定义问题）】29【知识点1 分式方程】（1）分式方程：分母中含有未知数的方程（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按

19、照整式方程的技巧求解方程。（3）分式方程解方程的步骤：利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程解整式方程验根-检验整式方程解得的根是否符合分式方程作答【题型1 解分式方程的一般方法】【例1】（2022广东平洲一中八年级阶段练习）分式方程：1x2+3=4x2的解是_.【答案】3【分析】根据解分式方程的步骤解答即可【详解】解：1x2+3=4x21+3（x-2）=41+3x-6=43x=4+6-13x=9x=3检验，当x=3时，x-2=10，故x=3是分式方程的解故答案为3【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的一般步骤为将分式方程化成整式方程、解整式方程、检验【变式1-1】（2022广

20、西贵港八年级期中）解下列分式方程：(1)2xx+2xx1=1；(2)1x+323x=12x29【答案】(1)x=25(2)分式方程无解【分析】（1）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可；（2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1和检验解分式方程即可【详解】（1）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x1)得2x(x1)x(x+2)=(x+2)(x1)2x22xx22x=x2+x25x=2x=25检验：当x=25 时，(x+2)(x1)0，x=25是原方程的的解（2）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+3)(x3)得x3+2(x+3)=12，x3+2x

21、+6=12，3x=9，x=3检验：当x=3时，x+3x3=0， x=3是原方程的增根，分式方程无解【点睛】本题考查解分式方程熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键注意验根【变式1-2】（2022山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当x=_时，分式x8x7与分式17x互为相反数【答案】9【分析】根据相反数的性质可得x8x7+17x=0，解分式方程即可得出结果【详解】解：分式x8x7与分式17x互为相反数，x8x7+17x=0，整理得：x8x71x7=0，去分母得：x81=0，解得：x=9，经检验x=9是x8x7+17x=0的解，x=9时，分式x8x7与分式17x互为相反数，故答案为：9【点睛】本题

22、考查了相反数的性质以及解分式方程，根据互为相反数的两个数相加得0列出分式方程是解本题的关键，注意分式方程需要检验【变式1-3】（2022上海上外附中七年级期末）解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3【答案】x=52.【分析】先将原方程变形1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，再进一步化简转化为整式方程求解即可.【详解】解:原方程可变形为，1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，化简得，1x+4+1x+1=1x+2+1x+3，即2x+5(x+4)(x+1)=2x+5(x+2)(x+3)，2x+5=0，解得，x=52,检验，把x=52代入(

23、x+4)(x+1) (x+2)(x+3)0，原方程的解为x=52.【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键.【知识点2 换元法解分式方程】换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系例解方程： 另（xy）=u，则原方程转换为： 方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。【题型2 换元法解分式方程】【例2】（2022河南南阳市第十三中学校八年级阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：解方程：x1x4

24、xx1=0解：设y=x1x，则原方程化为：y4y=0，方程两边同时乘以y得：y240，解得：y2，经检验：y2都是方程y4y=0的解，当y2时，x1x=2，解得x1；当y2时，x1x=2，解得：x=13经检验：x1或x=13都是原分式方程的解，原分式方程的解为x1或x=13上述这种解分式方程的方法称为换元法问题：(1)若在方程x1x+xx1=52中，设 y，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；(2)模仿上述换元法解方程：x1x+23x110【答案】(1)x1x， y+1y=52， x=12或x1(2)x=12【分析】（1 ）根据换元法设x1x=y，可得关于y的分式方程，解分式方程，再解分式方程即

25、可得原方程的解；（ 2）根据分式的加减，可得：x1x+2x+2x1=0，根据换元法，可得答案(1)解：设x1x=y，则原方程化为：y+1y=52，方程两边同时乘以2y得：2y25y+20，解得：y=12或2，经检验：y=12和2都是方程y+1y=52的解当y=12时，x1x=12，解得x2；当y2时，x1x=2，解得：x1经检验：x=12和x1是原分式方程的解，故答案为:x1x，y+1y=52，x=12或x1(2)解：原方程化为：x1x+2x+2x1=0，设y=x1x+2，则原方程化为：y1y=0，方程两边同时乘以y得：y210，解得：y1，经检验：y1都是方程y1y=0的解当y1时，x1x+

26、2=1，该方程无解；当y1时，x1x+2=1，解得：x=12经检验：x=12是原分式方程的解，原分式方程的解为x=12【点睛】本题考查了用换元法解一类特殊的分式方程，关键是根据方程特点正确换元，注意两次解分式方程都要检验【变式2-1】（2022上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程x2+1xx3x2+1+1=0，如果设x2+1x=y，那么原方程化为关于y的整式方程是（）A3y2+3y1=0B3y23y1=0C3y2y+1=0D3y2y1=0【答案】A【分析】由x2+1x=y，原方程可化为y13y+1=0，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案【详解】解：设x2+1x=y，分式

27、方程x2+1xx3x2+1+1=0可化为y13y+1=0，化为整式方程：3y2+3y1=0，故选：A【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键【变式2-2】（2022上海八年级课时练习）如果16x28x+1=0，那么4x的值是（）A1B-1C1D4【答案】A【分析】先将方程16x28x+1=0变形为(4x)28x+1=0，再利用完全平方公式化为(4x1)2=0，从而求得4x=1.【详解】解：方程16x28x+1=0可变形为(4x)28x+1=0(4x1)2=04x=1故选A.【点睛】本题考查了解分式方程中整体思想的运用，对方程进行变形然后利用完全

28、平方公式解题是关键.【变式2-3】（2022上海九年级专题练习）解方程组：1x+12xy=33x12xy=1 【答案】x=1y=32【分析】将原方程组转换成整式方程组，设1x=u，12xy=v，求出u、v的值，然后再求x、y的值，同时解分式方程一定注意要验根【详解】解：设1x=u，12xy=v，则原方程组可化为u+v=33uv=1解这个方程组，得u=1v=2于是，得1x=112xy=2，即x=12xy=12解方程组得 x=1y=32经检验x=1y=32是原方程组的解所以，原方程组的解是x=1y=32【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解

29、是解决本题的关键【知识点3 分式的运算技巧-裂项法】解题技巧：裂项相消法：【题型3 裂项法解分式方程】【例3】（2022山东烟台八年级期中）观察下面的变形规律：112=1112；123=1213；134=1314；解答下面的问题：(1)已知n为正整数，结合你的发现，请将1n(n+1)写成上面式子形式；(2)说明你（1）中式子的正确性；(3)直接写出112+123+134+ +120212022的结果；(4)类比你发现的规律，解关于n（n为正整数）的分式方程：113+135+157+1(2n1)(2n+1)=n+1002n+202【答案】(1)1n(n+1)=1n1n+1(2)见解析(3)202

30、12022(4)n=100【分析】（1）根据题干信息是探究提示，总结出规律即可；（2）把等式的右边通分，再进行计算即可证明规律；（3）利用规律把原式化为112+1213+1314+1202112022，再进行计算即可；（4）利用规律把原方程化为12(1113+1315+1517+12n112n+1)=n+1002n+202，再解方程即可（1）解：112=1112；123=1213；134=1314；1n(n+1)=1n1n+1（2）右边=1n1n+1=n+1n(n+1)nn(n+1)=n+1nn(n+1)=1n(n+1)=左边，（1）中式子正确（3）112+123+134+ +12021202

31、2=112+1213+1314+1202112022 =112022=20212022.（4）方程变形为：12(1113+1315+1517+12n112n+1)=n+1002n+202，即：12(112n+1)=n+1002n+202，n2n+1=n+1002n+202, 去分母得：2n2+202n=(2n+1)(n+100)解得：n=100检验：因为n为正整数，原方程分母不会为零 所以原方程的根是n=100【点睛】本题考查的是数的运算规律的探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键，同时考查了分式的加减运算，分式方程的解法【变式3-1】（2022山东济南市天桥区泺口实验学校八年级阶段

32、练习）观察下面的变形规律：112=112,123=1213,134=1314,145=1415，回答问题：若1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+1(x+99)(x+100)1x+100，则x的值为 _【答案】98【分析】根据题目中给出的等式可以找到规律，找出规律，即第n个等式为1n(n+1)=1n1n+1，本题得以解决【详解】解：分式方程变形得：1x+11x+2+1x+21x+3+1x+31x+4+1x+991x+100=1x+100，化简得：1x+11x+100=1x+100，即1x+1=2x+100，去分母得：x+1002x+2，解得：x98，检验：把x

33、98代入得：（x+1）（x+2）（x+3）（x+100）0，分式方程的解为x98故答案为：98【点睛】本题考查了规律题数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式【变式3-2】（2022江苏镇江市江南学校八年级阶段练习）观察下列算式：16=123=1213,112=134=1314,120=145=1415.(1)由此可推断：142=_；(2)请用含字母m(m为正整数)的等式表示(1)中的一般规律_；(3)仿照以上方法解方程：3(x1)(x4)=1x-1【答案】（1）16-17；（2）1(m1)(m2)=1m1-1m2；（3）7【分析】1）根据题

34、意将42分解为67得出答案；（2）利用（1）中数据变化规律得出答案；（3）利用（2）中规律化简方程，进而求出即可【详解】(1) 142=167=16-17；故答案为16-17；(2)用含字母m的等式表示(1)中一般规律为：1(m1)(m2)=1m1-1m2 .故答案为1(m1)(m2)=1m1-1m2；（3）方程整理得：1x41x1=1x1 ，即1x4=2x1 去分母得：x1=2x8，解得：x=7，经检验x=7是分式方程的解.【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，解题关键在于找到规律.【变式3-3】（2022湖南岳阳市第十九中学八年级阶段练习）阅读理解并回答问题观察下列算式：16=

35、123=1213112=134=1314120=145=1415(1)填空：142；(2)请用含有m（m表示整数）的代数式表示上述式子特点的一般规律：(3)请用（2）中的规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+9)(x+10)=1(x+10)【答案】(1)167,1617(2)1m(m+1)=1m1m+1(3)x10【分析】（1）观察已知算式计算格式，计算即可得结果；（2）观察给出的算式，可得规律：1m(m+1)=1m1m+1；（3）由（2）中的规律，可将原方程化为1x1x+1+1x+11x+2+1x+91x+10=1x+10，即1x=2x+10可得，解此方程即可求得答案（

36、1）解：142=167=1617，故答案为：167,1617；（2）解：由题中给出的算式可得：1m(m+1)=1m1m+1；故答案为：1m(m+1)=1m1m+1；（3）解：原方程变形为：1x1x+1+1x+11x+2+1x+91x+10=1x+10即1x=2x+10，x+102x，解得：x10，检验：左边110，右边110，即x10是原分式方程的解，原分式方程的解为：x10【点睛】此题考查了分式的加减运算与分式方程的解法此题难度适中，解题的关键是得到规律：1m(m+1)=1m1m+1【知识点4 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】（1）方程无解，即方程的根为增根；（2）方程的解为正值

37、，先求解出含有字母的方程根，令这个根0，求解出字母取值范围；（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根0，求解出字母取值范围【题型4 根据分式方程的解求值】【例4】（2022河北南皮县桂和中学八年级阶段练习）若关于x的方程2axax=83的解为x=1，则a等于（）A1B1C4D8【答案】C【分析】将x=1代入方程可得一个关于a的分式方程，解方程即可得【详解】解：x=1是方程2axax=83的解，2aa1=83，6a=8a1，6a=8a8，解得a=4，经检验，a=4是方程的解，故选：C【点睛】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键【变式4-1】（20

38、22湖南溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于x的方程3x1=x+axx1的增根是x=1，则字母a的值为（）A1B1C2D2【答案】C【分析】把分式方程化为整式方程后，把x=1代入，即可求得结果【详解】方程两边同时乘以xx1得：3x=x+a，把x=1代入得：31=1+a，解得：a=2故选：C【点睛】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义是解决问题的关键【变式4-2】（2022北京市第九中学八年级期中）若x=4是关于x的方程2xmx3=3的解，则m的值为_【答案】5【分析】把x=4代入方程2xmx3=3，得到关于m的一元一次方程，再解方程即可.【详解】解： x=4是关于x的方程2xmx3=

39、3的解，24m43=3，8m=3，解得：m=5，故答案为：5【点睛】本题考查了分式方程的解的定义，理解分式方程的解的定义是解题的关键使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解【变式4-3】（2022全国八年级专题练习）若关于x的方程axx+1+3x+1+3x=2有增根x=1，则2a3的值为（）A2B3C4D6【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把增根x=-1代入整式方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值【详解】解：分式方程去分母得：ax2+3x+3（x+1）=2x（x+1），把x=-1代入整式方程得：a=3，则2a-3=6-3=3故选：B【点睛】此题考查了分式方程的增根，增

40、根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值【题型5 已知分式方程有解或无解求参数】【例5】（2022黑龙江黑龙江三模）关于x的分式方程1axx2+2=12x有解，则a的取值范围是_【答案】a1且a2【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围【详解】解：1axx2+2=12x，a=2x2x，1axx2+2=12x有解，则x20或2x0，x2，当x=2时，a=2x2x=2222=1，故a的取值是1，当x2时，1axx2+2=12x，两边同乘(x2)，1ax+2(x2)=1，x=22a，当2-a=0时，方程

41、无解，此时a=2，故答案为：a1且a2【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键【变式5-1】（2022湖南八年级单元测试）若关于x的分式方程1x2+x+mx24=3x+2无解，则m的值为()A-6B-10C0或-6D-6或-10【答案】D【分析】先把方程化成整式方程，再确定分式无解的x的值，把值代入整式方程确定待求字母的值即可【详解】 1x2+x+mx24=3x+2，1x2+x+m(x+2)(x2)=3x+2方程两边同时乘以（x-2）（x+2），得x+2+x+m=3(x-2)，整理，得x=m+8， 当x+2=0或x-2=0时，分式是无意义的，故当x=-2时，-2= m+8，解得m=-10；当x=2时，2= m+8，解得m=-6；故m=-6或-10，故选D【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，灵活计算求解是解题的关键【