2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题12 手拉手模型证相似含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题12 手拉手模型证相似1如图，且，、交于点则下列四个结论中，；、四点在同一个圆上，一定成立的有A1个B2个C3个D4个2如图，已知求证：3如图，在和中，（1）和相似吗？为什么？（2）如果，则成立，据此你能说明和相似吗？4如图，在公共顶点为的与中，直角边，若求证：5如图，与有公共的顶点，且点、分别为、的中点（1）如图1，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由6为等边三角形，为边上一点，为射线上一点，（1）求证：；（2），且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的长7在和中，、分

2、别为、的中点，连接、（1）如图1，当时，的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数为 ；（2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数；（3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、在同一直线上时的值8（1）如图，将绕点旋转任意角度得到，连接、，证明：（2）如图，四边形和四边形均为正方形，连接，求的值9在中，为边上一点，点，分别在边，上，（1）如图1，当为中点时，；（2）如图2，若，求的值10已知：点、在同一条直线上，线段、交于点（1）如图1，若，问线段与有怎样的数量关系？并说明理由；求的大小（用表示）；（2）如图2，若，则线段与的数量关系为 ，（用表示）；（3）在

3、（2）的条件下，把绕点逆时针旋转，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接并延长交于点则（用表示）11若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”（1）知识理解：如图1，与互为“旋转位似图形”若，则；若，则（2）知识运用：如图2，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”（3）拓展提高：如图3，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”若，求的值12（1）问题发现（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点填空：的度数是；线段，之间的数量关系为；（2）类比探究如图2，和均为等

4、腰直角三角形，直线和直线交于点请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图3，在中，点在边上，于点，将绕着点在平面内旋转，请直接写出直线经过点时，点到直线的距离13如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填“是”或“不是” “旋转位似图形”；如图1，和互为“旋转位似图形”，若，则；若，则；（2）知识运用：如图2，在四边形中，于，求证：和互为“旋转位似图形”；（3）拓展提高：如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，求出和

5、的值14已知正方形，动点在上运动，过点作射线于点，连接（1）如图1，在上取一点，使，连接，求证：；（2）如图2，点在延长线上，求证：；（3）如图3，若把正方形改为矩形，且，其他条件不变，请猜想，和的数量关系，直接写出结论，不必证明15（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点，在同一直线上，连接线段，之间的数量关系为；的度数为（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，点，在同一直线上，连接，求的值及的度数；（3）解决问题：如图3，在正方形中，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离16图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究如图（1），已知

6、和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且（1）观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，如图（2），当的延长线恰好经过点时，的值为 ；的度数为 度；（2）类比探究如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，设的延长线交于点，请求出的值及的度数，并说明理由（3）拓展延伸若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长专题12 手拉手模型证相似1如图，且，、交于点则下列四个结论中，；、四点在同一个圆上，一定成立的有A1个B2个C3个D4个【解答】解：且，故正确；，即，故正确；，故正确；，即，、四点在同一个圆上，故正确故选：二解答题（共15小题）2如图，已知求证：【解答】证明：，又，3如图，在和中，（1

7、）和相似吗？为什么？（2）如果，则成立，据此你能说明和相似吗？【解答】解：（1）；（2），4如图，在公共顶点为的与中，直角边，若求证：【解答】证明：如图，设交于，延长交于，连接，又，、四点共圆，于，5如图，与有公共的顶点，且点、分别为、的中点（1）如图1，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当时，猜想线段与的数量关系，并说明理由【解答】解：（1）连接、，；点、分别为、的中点，根据中位线定理可得，（2）连接、，点、分别为、的中点，根据中位线定理可得，即得6为等边三角形，为边上一点，为射线上一点，（1）求证：；（2），且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的长【解答】（1

8、）证明：如图1中，延长到，使得，连接，是等边三角形，是等边三角形，（2）解：如图2中，取的中点，连接，作于，于由（1）可知，四边形是平行四边形，是等边三角形，是等边三角形，设，则，在中，即，在中，在中，7在和中，、分别为、的中点，连接、（1）如图1，当时，的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数为 ；（2）如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数；（3）如图3，当时，若点为的中点，点在直线上，请直接写出点、在同一直线上时的值【解答】解：（1）如图1，连接，并延长交于，设直线与的交点为，是等边三角形，又，是等边三角形，、分别为、的中点，故答案为：，；（2）如图2，连接，并延长交于

9、，设直线与的交点为，过点作于，、分别为、的中点，直线与直线相交所成的较小角的度数为；（3）如图3，当点在线段上时，连接，点为的中点，、分别为、的中点，又点是中点，当点在线段上时，同理可求，综上所述：的值为或8（1）如图，将绕点旋转任意角度得到，连接、，证明：（2）如图，四边形和四边形均为正方形，连接，求的值【解答】证明：（1）将绕点旋转任意角度得到，；（2）连接和，四边形和四边形均为正方形，则，9在中，为边上一点，点，分别在边，上，（1）如图1，当为中点时，；（2）如图2，若，求的值【解答】解：（1）过点作，垂足为，为中点，故答案为：；（2）过点作，垂足为，的值为10已知：点、在同一条直线上，

10、线段、交于点（1）如图1，若，问线段与有怎样的数量关系？并说明理由；求的大小（用表示）；（2）如图2，若，则线段与的数量关系为 ，（用表示）；（3）在（2）的条件下，把绕点逆时针旋转，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接并延长交于点则（用表示）【解答】解：（1）如图1，理由如下：，同理可得：，即：在与中，；，；（2）如图2，同理可得：，即：，在与中，；，故答案为：，；（3）如右图，同理可得：，即，在与中，故答案为：11若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”（1）知识理解：如图1，与互为“旋转位似图形”若，则；若，则（2）知识运用

11、：如图2，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”（3）拓展提高：如图3，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”若，求的值【解答】解：（1）和互为“旋转位似图形”，又，；，故答案为：；（2），即，又，又，绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形，和互为“旋转位似图形”； （3），由题意得：，由勾股定理可得，12（1）问题发现（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点填空：的度数是；线段，之间的数量关系为；（2）类比探究如图2，和均为等腰直角三角形，直线和直线交于点请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题如图

12、3，在中，点在边上，于点，将绕着点在平面内旋转，请直接写出直线经过点时，点到直线的距离【解答】解：（1）如图1中，和均为等边三角形，设交于点，故答案为，（2）结论：，理由：如图2中，（3）如图3中，四点共圆，在中，点到直线的距离等于如图4中，当，在同一直线上时，同法可知，点到直线的距离等于综上所述，点到直线的距离等于13如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 是（填“是”或“不是” “旋转位似图形”；如图1，和互为“旋转位似图形”，若，则；若，则；（2）知识运用：如图2，在四边形中，于，求证：和互为“旋转

13、位似图形”；（3）拓展提高：如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，求出和的值【解答】解：（1）两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形，把其中一个三角形绕公共顶点旋转后构成位似图形，故它们互为“旋转位似图形”；和互为“旋转位似图形”，又，；，故答案为：是；（2）证明：，即，又，又，和互为“旋转位似图形”；（3），代入求得：如图3，过作于，根据勾股定理，得；综上，14已知正方形，动点在上运动，过点作射线于点，连接（1）如图1，在上取一点，使，连接，求证：；（2）如图2，点在延长线上，求证：；（3）如图3，若把正方形改为矩形，且

14、，其他条件不变，请猜想，和的数量关系，直接写出结论，不必证明【解答】（1）证明：四边形是正方形，；（2）证明：如图2，过点作交的延长线于，四边形是正方形，；（3）解：；证明：如图3，过点作交于，四边形是矩形，同（1）的方法得，四边形是矩形，在中，根据勾股定理得，15（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点，在同一直线上，连接线段，之间的数量关系为；的度数为（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，点，在同一直线上，连接，求的值及的度数；（3）解决问题：如图3，在正方形中，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离【解答】解：（1）和均为等边三角形，在和中，；，；故答案为：，；（2）和均为等

15、腰直角三角形，即，故，；（3）点满足，点在以为圆心，为半径的圆上，点在以为直径的圆上，如图3，点是两圆的交点，若点在上方，连接，过点作于，过点作于，四边形是矩形，在和中，在中，即，解得：或点到直线的距离为或16图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且（1）观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，如图（2），当的延长线恰好经过点时，的值为 ；的度数为 度；（2）类比探究如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，设的延长线交于点，请求出的值及的度数，并说明理由（3）拓展延伸若，当所在的直

16、线垂直于时，请你直接写出的长【解答】解：（1）如图（2）中，设交于点，都是等腰直角三角形，故答案为：，45（2）如图（3）中，设交于点，都是等腰直角三角形，（3）如图（4）中，当于时，如图（4）中，当时，延长交于同法可得，综上所述，的长为或专题13 一线三等角模型证相似1如图，在边长为的等边中，为上一点，且，在上，则的长为ABC7D62如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中、分别在、上，若，则小正方形的面积等于 3已知等边，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处（1）求证：；（2）若时，求4如图有一块三角尺，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖求出这个正方形的面积5已知：如图，

17、是等边三角形，点、分别在边、上，（1）求证：；（2）如果，求的长6如图，在矩形中，是边上的任意一点与、不重合），作，交于点（1）判断与是否相似，并说明理由（2）连接，若，试求出此时的长7如图1，在中，点在边上从向运动以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接（1）求证：（2）当时（如图，求和的长（3）设点在边上从向运动的过程中，直接写出点运动的路径长8在中，点、在边上，点在边上，连接、，（1）如图1，点、重合，时若平分，求证：；若，则；（2）如图2，点、不重合若，求的值9已知：在中，且点，分别在矩形的边，上（1）如图1，填空：当点在上，且，则；（2）如图2，若是的中点，与相交于点，连接，

18、求证：；（3）如图3，若，分别交于点，求证：10在中，点为直线上一动点（不与点、重合），连接，将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，再将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与直线相交于点（1）当点在线段上，当时，如图1，直接判断的大小；（2）当点在线段上，当时，如图2，试判断线段的大小，并说明理由；（3）当点在直线上，当，时，请利用备用图探究面积的大小（直接写出结果即可）11如图，在中，已知，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点，与交于点（1）求证：；（2）当时，求的长；直接写出重叠部分的面积；（3）在运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求的

19、长12如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为（1）求的度数；（2）求的长；（3）已知点为双曲线上的一点，当时，求点的坐标13【感知】如图，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点易证：（不需要证明）【探究】如图，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点（1）求证：（2）若，为的中点，求的长【应用】如图，在中，为边上一点（点不与点、重合），连结，过点作交于点当为等腰三角形时，的长为 14如图1，已知正方形在直线的上方，在直线上，是射线上一点，以为边在直线的上方作正方形（1）连接，观察并猜测的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形改为矩形，为常数），是射线上一动点（不含端点，以为边在直线

20、的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上，当点沿射线运动时，请用含，的代数式表示的值15如图1，在矩形中，点是边上的动点，点从点出发，运动到点停止，是边上一动点，在运动过程中，始终保持，设，（1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围 ；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图利用描点法画出此抛物线，直接写出； 23456782332（3）结合图象，指出、在运动过程中，当达到最大值时，的值是 ；并写出在整个运动过程中，点运动的总路程 16【基础巩固】（1）如图1，在中，直线过点，分别过、两点作，垂足分别为、求证：【尝试应用】（2）如图2，在中，是上一点，过作的垂线交于点若，求的长【拓展

21、提高】（3）如图3，在平行四边形中，在上取点，使得，若，求平行四边形的面积17感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，由，可得；又因为，可得，进而得到我们把这个模型称为“一线三等角”模型应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在中，点是边上的一个动点（不与、重合），点是边上的一个动点，且求证：；当点为中点时，求的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当为等腰三角形时，请直接写出的长专题13 一线三等角模型证相似1如图，在边长为的等边中，为上一点，且，在上，则的长为ABC7D6【解答】解：是等边三角形，故选：2如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中

22、、分别在、上，若，则小正方形的面积等于 【解答】解：正方形的边长为，四边形和均为正方形，小正方形的面积等于：故答案为：三解答题（共15小题）3已知等边，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处（1）求证：；（2）若时，求【解答】解：（1）证明：等边将沿折叠，点落在边上的处又；（2）设，则，翻折，设，由得：由得：由解得：，4如图有一块三角尺，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖求出这个正方形的面积【解答】解：，四边形是正方形，设，则，答：这个正方形的面积为：5已知：如图，是等边三角形，点、分别在边、上，（1）求证：；（2）如果，求的长【解答】（1）证明：是等边三角形，；（2）解：由（1）

23、证得，设，则，或，或6如图，在矩形中，是边上的任意一点与、不重合），作，交于点（1）判断与是否相似，并说明理由（2）连接，若，试求出此时的长【解答】解：（1）与相似，理由如下：四边形是矩形，；（2）连接，如图所示：由（1）知，在矩形中，7如图1，在中，点在边上从向运动以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接（1）求证：（2）当时（如图，求和的长（3）设点在边上从向运动的过程中，直接写出点运动的路径长【解答】（1）证明：，又，；（2）解：如图，过点作交于点，由（1）得，过点作于点，；（3）解：点随着点的运动而运动，在线段上，点的轨迹也是一条线段，如图，当与点重合时，点在的位置，当点与点重

24、合时，点在的位置，为点的运动路径，即，在中，即，是等腰三角形，与都是等腰三角形，由（2）得，点运动的路径长为8在中，点、在边上，点在边上，连接、，（1）如图1，点、重合，时若平分，求证：；若，则或；（2）如图2，点、不重合若，求的值【解答】解：（1），平分，且，且，；如图1，过作于，过作，交于，设，则，即，设，则，或，或，故答案为：或；（2）如图2，过作，交于，过作于，过作，交于，设，同理由（1）得：，即，中，9已知：在中，且点，分别在矩形的边，上（1）如图1，填空：当点在上，且，则；（2）如图2，若是的中点，与相交于点，连接，求证：；（3）如图3，若，分别交于点，求证：【解答】（1）解：，又

25、，故答案为：；（2）证明：延长、交于点，点为的中点，；（3）证明：如图，过点作交的延长线于，同（1）同理得，在中，10在中，点为直线上一动点（不与点、重合），连接，将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，再将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，直线与直线相交于点（1）当点在线段上，当时，如图1，直接判断的大小；（2）当点在线段上，当时，如图2，试判断线段的大小，并说明理由；（3）当点在直线上，当，时，请利用备用图探究面积的大小（直接写出结果即可）【解答】解：（1）如图1，连接，是等边三角形，将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，再将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，点，点，点，点四点共

26、圆，是等边三角形，；（2），理由如下：如图2，连接，将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，再将线段所在的直线绕点顺时针旋转得到直线，点，点，点，点四点共圆，又，；（3），点不在线段上，当点在点的右侧时，如图3，过点作于，由（2）可知，；当点在点的左侧时，如图4，过点作于，由（2）可知，；综上所述：面积为或11如图，在中，已知，且，将与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的方向运动，且始终经过点，与交于点（1）求证：；（2）当时，求的长；直接写出重叠部分的面积；（3）在运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求的长【解答】（1）证明：，；（2）当时，在中，；在中，重叠部分的面积为；（3

27、）当时，当时，则，即，；当时，点与点重合，即，此时重叠部分图形不能构成三角形；或12如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为（1）求的度数；（2）求的长；（3）已知点为双曲线上的一点，当时，求点的坐标【解答】解：（1）设直线与轴交于点，如图所示：当时，即点当时，即点（2）过点作轴，垂足为，如图所示设点坐标为：且，即：或（舍即：（3）过作，点在轴上，再过点作于点，如图所示设，且是一内角的外角即：13【感知】如图，在正方形中，为边上一点，连结，过点作交于点易证：（不需要证明）【探究】如图，在矩形中，为边上一点，连结，过点作交于点（1）求证：（2）若，为的中点，求的长【应用】如图，在中，为边上一点（

28、点不与点、重合），连结，过点作交于点当为等腰三角形时，的长为 或2【解答】【探究】（1）证明：四边形是矩形，又，；（2）解：为的中点，由（1）知，即，；【应用】解：如果，则，则点与点重合，点与点重合，不符合题意，如果，则，为的外角，又，；如果，则，在中，又，点为的中点，综上，的长为或2，故答案为：或214如图1，已知正方形在直线的上方，在直线上，是射线上一点，以为边在直线的上方作正方形（1）连接，观察并猜测的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形改为矩形，为常数），是射线上一动点（不含端点，以为边在直线的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上，当点沿射线运动时，请用含，的代数式表示的值【解答】

29、解：（1），理由是：如图1，作于，在和中，；（2）如图（2）作于由已知可得，结合（1）易得，又在射线上，在和中，在中，当点沿射线运动时，15如图1，在矩形中，点是边上的动点，点从点出发，运动到点停止，是边上一动点，在运动过程中，始终保持，设，（1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围 ；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图利用描点法画出此抛物线，直接写出； 23456782332（3）结合图象，指出、在运动过程中，当达到最大值时，的值是 ；并写出在整个运动过程中，点运动的总路程 【解答】解：（1）四边形是矩形，点是边上的动点，点从点出发，运动到点停止，故答案为：；（2）当时

30、，代入中得：，故答案为：，画出的抛物线如图所示：（3），当时，最大，当达到最大值时，的值是5；，在整个运动过程中，点运动的总路程为，故答案为：5，16【基础巩固】（1）如图1，在中，直线过点，分别过、两点作，垂足分别为、求证：【尝试应用】（2）如图2，在中，是上一点，过作的垂线交于点若，求的长【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形中，在上取点，使得，若，求平行四边形的面积【解答】（1）证明：，（2）解：过点作于点由（1）得，（3）解：过点作于点，过点作的延长线于点四边形是平行四边形，设，由（1）得，平行四边形的面积17感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，由，可得；又因为，可得，进而得到我们把这个模型称为“一线三等角”模型应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在中，点是边上的一个动点（不与、重合），点是边上的一个动点，且求证：；当点为中点时，求的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当为等腰三角形时，请直接写出的长【解答】（1）解：，故答案为：；（2）证明：，；解：，点为中点，即，解得：；（3）解：当时，；当时，不合题意，；当时，即，解得：，综上所述：当为等腰三角形时，的长为2或