2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题04 二次函数中的等腰直角三角形含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题04 二次函数中的等腰直角三角形1如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC90，二次函数的图象经过C点，求二次函数的解析式2设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形（1）当ABC为等腰直角三角形时，求b24ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，求b24ac的值3已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2(1+2c)x+c（c，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC(1)

2、证明：BOC是等腰直角三角形；(2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值4已知二次函数的图象与x轴仅有一个公共点A(1)求m的值；(2)过点（0，3）作直线l平行于x轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点P，过点P向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在点D，使得PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形请求出点P的横坐标5如图，二次函数yax2+bx3（x3）的图象过点A（1，0），B（3，0），C（0，c），记为L将L沿直线x3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A，C（1）求a，b，c的值；（2）在平面直角坐标系中描出点A，C

3、，并画出“部分抛物线”K；（3）求“部分抛物线”K的解析式；（4）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线ym和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）直接写出m的取值范围；若MNB为等腰直角三角形，求m的值6已知：二次函数（1）该二次函数一定经过的两个点的坐标为(，)，(，)；（2）若不同于、的点也在该二次函数图象上，则以下判断正确的是；（只要填写序号即可），并就其中一个正确的判断说明理由；（3）当是等腰直角三角形时，求的值7已知二次函数中的，满足下表01230（l）_，_；（2）函数图象对称轴是_；（3）如果点，是图象上点，则_；（4）函数图象与轴交于点、点

4、，是等腰直角三角形，则点坐标为_8已知二次函数（1）若此函数经过（1,0），求k的值；（2）设二次函数，与轴交于，两点（点A在B的左侧），顶点为C， 若k0，直接写出A,B两点的坐标（用含k的代数式表示）； 当是等腰直角三角形时，求k的值9已知，抛物线C1:y=- x2+mx+m+ （1）当m=1时，抛物线与x轴的交点坐标为_;当m=2时，抛物线与x轴的交点坐标为_;（2）无论m取何值，抛物线经过定点P_;随着m的取值的变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，记为函数C2， 则函数C2的关系式为：_；（3）如图，若抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，直接写出此时抛物线C1的函数关系式；请在

5、图中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，在x轴上任取一点C，过点C作平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若PAB为等腰直角三角形，求点C的坐标；（4）二次函数的图象C2与y轴交于点N，连接PN，若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，直接写出m的取值范围10如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点，的横坐标分别为，与轴负半轴交于点下列结论：；其中正确的是_；若是等腰直角三角形，求的值11已知二次函数y=a(x-m)2-2a(x-m)（a,m为常数，且a0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当A

6、BC是等腰直角三角形时，求a的值12抛物线与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点(1)求抛物线的解析式；(2)直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的值13如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值14如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为点是抛物线上一个动点，且在直线的上方(1)求这个二次函数及直

7、线的表达式(2)过点做轴交直线于点，求的最大值(3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由15次函数的图象交x轴于点A（1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒(1)求二次函数的表达式；(2)连接BD，当时，求DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标16已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左

8、侧），顶点为D(1)直接写出函数图象的对称轴：_；(2)若是等腰直角三角形，求的值；(3)当时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围17如图，二次函数yax2+bx3（x3）的图象过点A（1，0），B（3，0），C（0，c），记为L将L沿直线x3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A，C(1)求a，b，c的值；(2)画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式；(3)某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线ym和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）直接写出m的取值范围；若MNB为等腰直角三角形，求m的值专题04 二次函数中

9、的等腰直角三角形1如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC90，二次函数的图象经过C点，求二次函数的解析式【答案】y=x2-2x-2【分析】过C点作x轴垂线，通过AOBCDA得出C点横纵坐标，再通过待定系数法求得b【详解】如图所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD=90，OBA+OAB=90，OAB+CAD=90，OAB=ACD，OBA=CAD在AOB与CDA中， ，AOBCDA（ASA），CD=OA=1，AD=OB=2，OD=OA+AD=3，C（3，1），点C（3，1）在抛物线y=x2+bx-2上，1=9+3b-2，解得：b=-2，抛物线的解析式为：y=x2-2

10、x-2【点睛】本题考查三角形全等和二次函数图像性质，用方程把二者联系起来建立等式是关键2设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形（1）当ABC为等腰直角三角形时，求b24ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，求b24ac的值【答案】(1)、4；(2)、12【详解】试题分析：(1)、由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b24ac0；可求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b24ac的值

11、；(2)、当ABC为等边三角形时，解直角ACE，得CE=AE=AB，据此列出方程，解方程求出b24ac的值试题解析：(1)、当ABC为等腰直角三角形时，过C作CDAB于D，则AB=2CD；抛物线与x轴有两个交点， 0， |b24ac|=b24ac， AB=，又CD=（a0）， ， b24ac=， b24ac0， b24ac=4(2)、如图，当ABC为等边三角形时， 由（1）可知CE=AE=AB， b24ac0， ， b24ac=12考点：二次函数综合题3已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2(1+2c)x+c（c，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于

12、点C，连接BC(1)证明：BOC是等腰直角三角形；(2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值【答案】(1)见解析(2)当四边形AEBD为正方形时，求c的值为【分析】（1）求得点C(0，c)，再解方程2x2(1+2c)x+c =0，求得点B(c，0)，即可判断BOC是等腰直角三角形；（2）求得点D(，-)，当四边形AEBD为正方形时，只需ABD是等腰直角三角形，得到方程c-=，解方程即可求解(1)证明：令x=0，则y=c，点C(0，c)，令y=0，则2x2(1+2c)x+c =0，(2x-1)(x-c)=0，x1=，x2=c，点B在点A右侧，点B(c，

13、0)，点A(，0)，OB=OC=c，COB=90，BOC是等腰直角三角形；(2)解：y=2x2(1+2c)x+c=2(x-)2-，点D(，-)，设DM交x轴于点M，BOC是等腰直角三角形，OBC=45，点A，B关于DE对称，EA=EB，EAB=EBA=45，AEB=180-45-45=90，ABE是等腰直角三角形，EMAB，EM=AB，当四边形AEBD为正方形时，只需ABD是等腰直角三角形，且ADB=90，DMAB，AB=2DM，点B(c，0)，点A(，0)，AB=c-，点D(，-)，DM=，c-=，整理得：4c2-8c+3=0，即(2c-1)(2c-3)=0，c1=，c2=，c，c=，当四边

14、形AEBD为正方形时，求c的值为【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键4已知二次函数的图象与x轴仅有一个公共点A(1)求m的值；(2)过点（0，3）作直线l平行于x轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点P，过点P向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在点D，使得PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形请求出点P的横坐标【答案】(1)4(2)或【分析】（1）先根据二次函数的定义可得，再根据关于的一元二次方程只有一个实数根即可得；（2）设的中点为点，连接，画出图形，先求出二次函数的对称轴，从

15、而可得点的横坐标，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的横坐标为，从而可得，然后根据等腰直角三角形的性质可得，由此解两个一元二次方程即可得(1)解：二次函数的图象与轴仅有一个公共点，且关于的一元二次方程只有一个实数根，此方程根的判别式，解得或（舍去），即的值为4(2)解：设的中点为点，连接，由题意，画图如下：由（1）可知，则二次函数的对称轴为直线，所以点的横坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的横坐标为，所以，是以为直角顶点的等腰直角三角形，轴，垂直直线，轴，轴，即或，解得或（舍去）或或（舍去），故点的横坐标为或【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系、二次函数的几何应用、等腰直角三角形的

16、性质等知识点，较难的是题（2），正确画出图形，利用等腰直角三角形的性质建立方程是解题关键5如图，二次函数yax2+bx3（x3）的图象过点A（1，0），B（3，0），C（0，c），记为L将L沿直线x3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A，C（1）求a，b，c的值；（2）在平面直角坐标系中描出点A，C，并画出“部分抛物线”K；（3）求“部分抛物线”K的解析式；（4）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线ym和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）直接写出m的取值范围；若MNB为等腰直角三角形，求m的值【答案】（1）a、b、c的值分别为1、2、3

17、；（2）见解析；（3）yx210x+21（x3）；（4）m0或m4；5【分析】（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，c）代入yax2+bx3，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值即可；（2）先根据点A、C与点A（1，0）、C（0，3）关于直线x3对称，求出点A、C的坐标，再描出点A，C，并画出“部分抛物线”K；（3）由（1）得原抛物线的解析式为yx22x3，将其配成顶点式y（x1）24，则翻折后得到的抛物线的顶点为（5，4），再根据轴对称的性质，可求出“部分抛物线”K的解析式为yx210x+21（x3）；（4）先求出K与L的公共点为B（3，0），再结合图象，确定m的取值范围是m0或m

18、4；按m0和m4两种情况分类讨论，当m0时，先求出直线BM的解析式，再将其与L的解析式组成方程组，求出点M的纵坐标即为m的值；当m4时，则MNB不是等腰直角三角形【详解】解：（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，c）代入yax2+bx3，得，解得，故a、b、c的值分别为1、2、3（2）由（1）得C（0，3），由题意可知，点A、C与点A（1，0）、C（0，3）关于直线x3对称，A（7，0），C（6，3），描出点A（7，0），C（6，3），画出“部分抛物线”K如图1所示（3）由（1）得，L的解析式为yx22x3（x3），yx22x3（x1）24，该抛物线的对称轴为直线x1，顶点坐标为（1，4

19、），将抛物线y（x1）24沿直线x3翻折得到的抛物线的顶点坐标为（5，4），翻折后的抛物线为y（x5）24，即yx210x+21，K与L关于直线x3对称，“部分抛物线”K的解析式为yx210x+21（x3）（4）由得，K与L的公共点为B（3，0），如图2，当直线ym在点B上方，由直线ym与图形W只有两个交点M、N，m0；如图3，当直线ym在点B下方，直线ym经过L、K的顶点M（1，4）、N（5，4），此时直线ym与图形W只有两个交点M、N，m4，综上所述，m0或m4如图2，m0，MNB为等腰直角三角形，设BM交y轴于点D，M（x，x22x3），BMBN，MBN90，BMNBNM45，MNx轴，

20、OBDBMN45，BOD90，OBDODB45，OBOD3，D（0，3），设直线BM的解析式为ykx+3，则3k+30，解得k1，直线BM的解析式为yx+3，点M在直线yx+3上，M（x，x+3），x22x3x+3，解得x12，x23（不符合题意，舍去），M（2，5），m5；如图3，m4，BM2+BN22BM22（31）2+（0+4）240，MN2（51）216，BM2+BN2MN2，此时MNB不是等腰直角三角形，综上所述，m的值是5【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、等腰直角三角形、待定系数法等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键6已知：二次函数（1）该二次函数一定经过的两个点

21、的坐标为(，)，(，)；（2）若不同于、的点也在该二次函数图象上，则以下判断正确的是；（只要填写序号即可），并就其中一个正确的判断说明理由；（3）当是等腰直角三角形时，求的值【答案】（1）1，1，2，2；（2）都正确，见解析；（3）【分析】（1）根据二次函数的解析式可以发现二次函数经过定点（1，1），（2，2）；（2）根据P不同于A、B两点，即可得到且，再由二次函数的定义得到由此即可得到答案；（3）根据等腰直角三角形的性质得到符合题意的P点的坐标6个分别为，再由P在二次函数上，且不同于A、B两点，则且，只有和符合题意，由此求解即可【详解】解：（1）二次函数解析式为，当时，当时，该二次函数一定经

22、过的两个点的坐标为A（1，1），B（2，2），故答案为：1，1，2，2；（2）把点P（m，n）代入二次函数解析式得，P是不同于A、B的一点，且，即，都正确，故答案为：；（3）如图所示，PAB是等腰直角三角形，且A（1，1），B（2，2），根据等腰直角三角形的性质可得符合题意的P点的坐标6个分别为，又P在二次函数上，且不同于A、B两点，且，只有和符合题意，把代入中得，解得，把代入中得，解得，综上所述，a的值为1【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识7已知二次函数中的，满足下表01230（l）_

23、，_；（2）函数图象对称轴是_；（3）如果点，是图象上点，则_；（4）函数图象与轴交于点、点，是等腰直角三角形，则点坐标为_【答案】（1），；（2）对称轴；（3）；（4）点坐标为或【分析】（1）把(0，a)和(3，b)分别代入即可求出a和b的值；（2）根据即可求出函数图象的对称轴；（3）由，的纵坐标相同，可知，关于对称轴对称，然后根据对称性求解即可；（4）分点M在x轴上方和点M 在x轴下方两种情况求解即可【详解】（1）把(0，a)代入，得把 (3，b)代入，得；（2），对称轴是直线；（3），的纵坐标相同，关于对称轴对称，21=2；（4）如图，当点M在x轴上方时，作MEAB于E，是等腰直角三角形

24、，点M在对称轴上，MAE=45，ME=AE=2，OE=1，M(1，2) 当点M在x轴下方时，同理可求M(1，-2)，综上可知，点M的坐标为(1，2)或(1，-2) 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的对称性，等腰直角三角形的性质，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的图像与性质以及分类讨论是解答本题的关键8已知二次函数（1）若此函数经过（1,0），求k的值；（2）设二次函数，与轴交于，两点（点A在B的左侧），顶点为C， 若k0，直接写出A,B两点的坐标（用含k的代数式表示）； 当是等腰直角三角形时，求k的值【答案】（1），；（2）A（k，0），B（3k，0）；.【分析】

25、（1）将（1，0）代入函数解析式，解方程即可求出k的值；（2）用因式分解法解方程，求出方程的解即可；首先求出顶点C的坐标，然后根据是等腰直角三角形可得AC2+BC2=AB2，根据两点间距离公式列方程求解即可.【详解】解：（1）将（1，0）代入得：，解得：，；（2）令y=0，即，k0，点A在点B的左侧，A（k，0），B（3k，0）；由题意得：顶点C的横坐标为：，顶点C的纵坐标为：，即C（2k，-k2），是等腰直角三角形，AC2+BC2=AB2，由知A（k，0），B（3k，0），整理得：，解得：或（舍去），.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程、顶点坐标公式、勾股定理以及两

26、点间距离公式等知识点，熟练掌握二次函数图象与x轴交点坐标的求法是解题关键.9已知，抛物线C1:y=- x2+mx+m+ （1）当m=1时，抛物线与x轴的交点坐标为_;当m=2时，抛物线与x轴的交点坐标为_;（2）无论m取何值，抛物线经过定点P_;随着m的取值的变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，记为函数C2， 则函数C2的关系式为：_；（3）如图，若抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，直接写出此时抛物线C1的函数关系式；请在图中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，在x轴上任取一点C，过点C作平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若PAB为等腰直角三角形，求点C的坐标；（4）二次

27、函数的图象C2与y轴交于点N，连接PN，若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，直接写出m的取值范围【答案】（1）（1，0）（3，0）；（1，0）（5，0）；（2）（-1，0）； y= (x+1)；（3）点C的坐标为（1，0）或（-3，0）；（4）- m0【分析】（1）把m=1,y=0分别代入抛物线C1，得到一个一元二次方程，解方程即可求出交点横坐标其纵坐标都为0；把中的m=1改为m=2,方法相同； （2）把二次函数的C1化为顶点式即可求得顶点为：M（m，(m+1)2）函数C2的关系式为 y= (x+1)2； （3）当抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，即顶点在x轴上，此时M的纵坐标为0，由此

28、可得 则m， 把m代入C1解析式即可； 分析C1、C2 的解析式可以发现，这两个函数关于x轴对称，可据此画函数的图像； （4） 若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，则其对称轴与线段PN一定有交点，据此即可求出答案【详解】（1）把m=1,y=0分别代入抛物线C1，得到一个一元二次方程，解方程即可求出交点横坐标其纵坐标都为0；把中的m=1改为m=2,方法相同； （2）把二次函数的C1化为顶点式即可求得顶点为：M（m，(m+1)2）函数C2的关系式为 y= (x+1)2；（3）解：如图所示，抛物线C1：y=- x2+mx+m+ 顶点在x轴，则m=-1，抛物线C1：y=- x2-x- =- （x

29、+1）2， P（-1，0），由知，函数C2的关系式为y= (x+1)2；抛物线C1与C2关于x轴对称，PAB为等腰直角三角形，直角顶点只能是点P， 且PC=BC=AC， 设B（n， (n+1)2），C（n， 0），BC= (n+1)2， PC=|n+1|， (n+1)2=|n+1|，n=-1（舍）或n=1或n=-3点C的坐标为（1，0）或（-3，0）（4）解：- m0解：（1）（1，0）（3，0）；（1，0）（5，0）；（2）抛物线C1：y=- x2+mx+m+ =- x2+m（x+1）+ 当x+1=0时，无论m为何值，抛物线经过定点P， x=-1，y=0，定点P（-1，0），故答案为-1，0

30、；抛物线C1：y=- x2+mx+m+ =- (x-m)2+ (m+1)2 M（m， (m+1)2），函数C2的关系式为y= (x+1)2；故答案为y= (x+1)2【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握计算法则是解题关键10如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点，的横坐标分别为，与轴负半轴交于点下列结论：；其中正确的是_；若是等腰直角三角形，求的值【答案】(1)(2)a=【分析】（1）先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进

31、行推理，进而对所得结论进行判断；（2）作于点，根据题意可得，根据是等腰直角三角形，可得，继而可得点D的坐标是，再根据待定系数法即可求得a的值.【详解】（1）图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3，AB=4，对称轴x=-=1，即2a+b=0，故错误；根据图示知，当x=1时，y0，即a+b+c0，故错误；A点坐标为（-1，0），a-b+c=0，而b=-2a，a+2a+c=0，即c=-3a，故正确，故答案为；如图，作于点，是等腰直角三角形，则的坐标是设二次函数的解析式是，把代入得，解得：【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质等，熟练掌握相关的知识是解题

32、的关键.11已知二次函数y=a(x-m)2-2a(x-m)（a,m为常数，且a0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当ABC是等腰直角三角形时，求a的值【答案】（1）见解析；（2）.【详解】试题分析：(1)二次函数和x轴有两个交点，判别式0即可；（2）先求出顶点坐标，由ABC是等腰直角三角形，可以得出AB边上高等于1，即可得出a的值.试题解析：（1）证明：y=a(x-m)2-2a(x-m)=ax2-(2am+2a)x+am2+2am当a0时,=（2am+2a）2-4a(am2+2am)不论a与m为何值，该函数

33、的图象与x轴总有两个公共点（2）y=a(x-m)2-2a(x-m)=a(x-m-1)2-aC(m+1,-a)当y=0时，解得x1=m，x2=m+2.AB=（m+2）-m=2.当ABC是等腰直角三角形时，可求出AB边上高等于1考点：二次函数综合题.12抛物线与轴相交于点，且抛物线的对称轴为，为对称轴与轴的交点(1)求抛物线的解析式；(2)直线与抛物线从左到右依次交于、两点，若是等腰直角三角形，求的值【答案】(1)(2)或【分析】（1）与轴相交于点，得到，再根据抛物线的对称轴为，可求得的值，进而可得解析式； （2）直线与抛物线从左到右依次交于、两点，可知、两点关于对称轴对称，是等腰直角三角形可得，

34、设，分轴上方和下方两种情况讨论，根据等腰直角三角形的性质列出式子，即可求得的值（1）解：由抛物线与轴相交于点，可得，又抛物线的对称轴为，即，解得，抛物线的解析式为：；（2）解：如图，当直线与抛物线从左到右依次交于、两点，且直线位于轴上方时：作轴交轴于点，是等腰直角三角形，又轴，为等腰直角三角形，点坐标为，设，则，又，即，解得（舍负），；如图，当直线与抛物线从左到右依次交于、两点，且直线位于轴下方时：作轴交轴于点，是等腰直角三角形，又轴，为等腰直角三角形，点坐标为，设，则，又，即，解得（舍负），综上：或【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数解析式的求解、二次函数的性质、等腰直角三角形的

35、性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键13如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出，代入抛物线的解析式可得，从而可得，再利用一元二次方程根的判别式可得，据此求出的值，由此即可得；（2）先求出，再判断出，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，将其代入抛物线的解析式即可得（1）解：，将代入得：，解得，方程恰好有两个相等的实数根，这个

36、方程根的判别式，即，解得或（不符题意，舍去），则抛物线的解析式为（2）解：抛物线向右平移个单位后的抛物线的解析式为，恰好为等腰直角三角形，只能是，如图，过点作于点，将点代入抛物线得：，解得或（不符题意，舍去），即的值为2【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、一元二次方程根的判别式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键14如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为点是抛物线上一个动点，且在直线的上方(1)求这个二次函数及直线的表达式(2)过点做轴交直线于点，求的最大值(3)点为抛物线对称轴上的点，问在

37、抛物线上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)二次函数的表达式为，直线的表达式为；(2)(3)存在，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数和直线BC的解析式；（2）设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD，由二次函数的性质可得出答案；（3）分情况讨论：当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NEMF于点E，证明MENOFM（AAS），可得OFEM1，设点M坐标为（1，a），可得NEMFa，则N（1-a，1+a），把点N坐标代入二次

38、函数解析式求出a的值，可得此时点的坐标；当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，同理可求点的坐标（1）解：把点B，点C的坐标代入解析式中，得：，解得：，二次函数得表达式为；设BC的函数表达式为y=kx+b，把点B，点C的坐标代入可得：，解得：，直线BC的函数表达式为：；（2）如图，轴，点P和点D的横坐标相同，设动点P的坐标为（x，），则点D的坐标为（x，），PD，当x=时，PD有最大值；（3）分情况讨论：当点M在x轴上方，点N在对称轴左侧时，如图1，设对称轴与x轴交于点F，过点N作NEMF于点E，为等腰直角三角形，且为直

39、角，NMMO，NMO90，NMEOMF90，NMEMNE90，MNEOMF，又MENOFM90，MENOFM（AAS），OFEM，MFNE，二次函数的对称轴为直线，OFEM1，设点M坐标为（1，a），则NEMFa，N（1-a，1+a），点N在抛物线上，整理得：，解得：，N（，），当点M在x轴上方，点N在对称轴右侧时，如图2，同理可得：点N坐标为（，）；当点M在x轴下方，点N在对称轴左侧时，如图3，同理可得：点N坐标为（，）；当点M在x轴下方，点N在对称轴右侧时，如图4，同理可得：点N坐标为（，）；综上，点的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定

40、系数法的应用，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，其中第（3）问有一定难度，能够正确分类讨论是解题的关键15次函数的图象交x轴于点A（1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒(1)求二次函数的表达式；(2)连接BD，当时，求DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标【答案】(1)(2)(3)P（1，1）或（3，3）【分析】（1）将A、

41、B两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数a与b即可；（2）先求出BC的解析式，再将x=2代入和，得出D、N的坐标即可求出DN的值，再根据三角形的面积公式计算出答案即可；（3）由BM的值得出M的坐标，因此设P（2t-1，m），由勾股定理可得，根据题意PB=PC，所以，得出P的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得t=1或t=2，代入求值即得出答案（1）解：将A(-1, 0)，B(4, 0)代入中，得： ，解得： 二次函数的表达式为（2）解：连接BD，如图所示，AM=3又，设直线BC的表达式为，将点C（0，2），B（4，0）代入得：，解得：，直线BC的解析式为：将x=2代入和，得D(2，3)，N（2，1），（3）解：，设P（2t-1，m），则，PB=PC，PCPB，将代入整理得：，解得：t=1或t=2将t=1或t=2分别代入中，P（1，1）或（3，3）【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，根据点的坐标求平面内三角形的面积，以及根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算16已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为D(1)直接写出函数图象的对称轴：_；(2)若是等腰直角三角形，求的值；(3)当时，y的最大值m减去y的最小值