2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题06 二次函数中的特殊四边形含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题06 二次函数中的特殊四边形1如图，已知抛物线的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点(1)求抛物线的表达式；(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标2已知抛物线与轴交于A（2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上一个点，点Q是平面内一点，当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形时，求点P的坐标3如图，在平面直

2、角坐标系中抛物线L：yx2bxc的图象与x轴的一个交点为A（3，0），顶点B的横坐标为1(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标4已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC2，直线BD交y轴于点A(1)求抛物线的解析式；(2)求点A的坐标；(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）5在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，

3、且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点(1)求抛物线的表达式；(2)将平移后得到抛物线，点D，E在上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线的解析式6已知二次函数的图象与x轴相交于点A和点，与y轴相交于点，抛物线的对称轴是直线(1)求二次函数的表达式及A点的坐标；(2)D是抛物线的顶点，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线BE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由7如图，抛物线yx2bxc的对称轴为直线x，其图象与直线yx2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F(1

4、)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由8已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点(1)抛物线的解析式；(2)若点是轴左侧抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，则是否存在点，使得以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由9如图,在坐标系中ABC是等腰直角三角形,BAC =90,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C. (1)求该抛物线的解析式；(2)求点C的坐标(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？

5、若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.10在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A（0，-1），B（4，7）(1)求抛物线的函数表达式；(2)把抛物线y=x2+bx+c向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得新抛物线在新抛物线上是否存在一点M、新抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得以AB为边，且点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标，若不存在，请说明理由11如图，抛物线与x轴交于点A(-2，0)，与反比例函数图象交于点B，过点B作BQy轴于点Q，BQ=1(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是抛物线对称轴上一点，当BP+OP的值最小时，求线段

6、QP的长；(3)若点M是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点D，使得以A，B，D，M为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由12综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C点M是y轴右侧抛物线上一动点，过点M作的平行线，交直线于点D，交x轴于点E(1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的解析式；(2)当时，求点D的坐标；(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A，C，E，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标，若不存在说明理由13综合与探究如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(2，0)

7、，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PEx轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F(1)求二次函数的表达式(2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标(3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由14如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、

8、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由15如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，点P的横坐标为m(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当平行四边形CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为 ；(3)当平行四边形CPBD是菱形时，求m的值16如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接(1)求该二次函数

9、的表达式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围；(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由17如图，抛物线与轴交于点，抛物线经过点，点是轴上一动点(1)求此抛物线的函数表达式；(2)抛物线上是否存在点，使得以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由18如图，抛物线yx22x3与y轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴

10、相较于点C，顶点为D(1)直接写出A、B、C三点的坐标；(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式19已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，顶点为D(1)求这个二次函数的解析式；(2)求经过A、D两点的直线的表达式；(3)设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标20如图，直线交横轴、纵轴分别于、两点，且直线的表达式为：，点为横轴上原

11、点右侧的一点，且满足，抛物线经过点、(1)点、的坐标分别为_、_、_；(2)求抛物线表达式；(3)如图，点为直线上方、抛物线上一点，过点作矩形，且轴，求当矩形为正方形时点的坐标21如图，已知直线与抛物线交于点P(，4)，与轴交于点A，与轴交于点 C，PB轴于点B，且AC=BC，若抛物线的对称轴为，且SPBC=8(1)求直线和抛物线的函数解析式；(2)物线上是否存在点D，使以B、C、P、D为顶点的四边形是为菱形?如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由专题06 二次函数中的特殊四边形1如图，已知抛物线的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点(

12、1)求抛物线的表达式；(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标【答案】(1)(2)M（2，1），y2x5(3)P、Q的坐标分别为(6，1)或(2，1)、(4，3)或(4，1)或(4，5)【分析】（1）函数表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；（2）、，则点，设直线的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；（3）分当是平行四边形的一条边、是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可（1）解：函数表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：；（2）解：、，点，设直线的表达式

13、为：，将点坐标代入上式得：，解得：，故直线的表达式为：；（3）解：设点、点，当是平行四边形的一条边时，当点在的下方时，点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，即：，解得：，即点的坐标为、点的坐标为，故当点在点上方时，同理可得点的坐标为、点的坐标为，当是平行四边形的对角线时，由中点定理得：，解得：，故点、的坐标分别为、；综上，、的坐标分别为或，或或【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏2已知抛物线与轴交于A（2，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）(1)求抛物线的解析

14、式；(2)点P是抛物线对称轴上一个点，点Q是平面内一点，当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形时，求点P的坐标【答案】(1)(2)点的坐标为：，【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）设，则，根据以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，可得：或，分两种情况分别建立方程求解即可得出答案（1）解： 抛物线与轴交于，两点，设抛物线解析式为，将代入得：，解得：，该抛物线的解析式为；（2），抛物线对称轴为直线，设，以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，或，当时，解得：，；当时，；综上所述，点的坐标为：，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、菱形性质等

15、知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，运用分类讨论思想是解题关键3如图，在平面直角坐标系中抛物线L：yx2bxc的图象与x轴的一个交点为A（3，0），顶点B的横坐标为1(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P坐标【答案】(1)yx22x+3(2)P点坐标为（2，0）或（0，1）【分析】（1）把顶点B的横坐标1代入对称轴方程，可解得b得值；将b，A（3，0）代入yx2bxc可得c的值，继而可得到抛物线L的函数表达式；（2）由抛物线L与L关于坐标轴上一点

16、P对称，且四边形ABCD为矩形，可得P为矩形ABCD对角线的交点，PAPCPBPD；因为P在坐标轴上，所以本题需分两种情况进行分析当P在x轴上时，设点P坐标为（x，0）当P在y轴上时，设点P坐标为（0，y），然后根据矩形的性质可求解(1)解：顶点B横坐标为1，解得b2；将A（3，0）代入，得09+6+c；解得c3；抛物线L的解析式为yx22x+3(2)解：由（1）可求出B的坐标为（1，4）；抛物线L与L关于坐标轴上一点P对称，且四边形ABCD为矩形；P为矩形ABCD对角线的交点；PAPCPBPD；当P在x轴上时：设点P坐标为（x，0）；PB2（x+1）2+42PA2（x+3）2；解得x2，P（

17、2，0）当P在y轴上时：设点P坐标为（0，y）；PB2（1）2+（4y）2PA2（3）2+y2；解得y1；P（0，1）即综上所述，P点坐标为（2，0）或（0，1）【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及矩形的性质是解题的关键4已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC2，直线BD交y轴于点A(1)求抛物线的解析式；(2)求点A的坐标；(3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）【答案】(1)yx2+3x；(2)（0，4）；(3)（2，1）或（2，1）【分析

18、】（1）将C（4，0）代入yax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为ykx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x0求出y的值，进而得到点A的坐标；（3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DMBCAO分两种情况讨论：当DMBC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；当DMAO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形(1)解：抛物线yax2+3x过点C（4，0），16a+120

19、，解得a ，抛物线的解析式为yx2+3x；(2)解：yx2+3x（x24x）（x2）2+3，顶点D的坐标为（2，3）点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC2， B（4，2）设直线BD的解析式为ykx+b，将B（4，2），D（2，3）代入，得 ，解得，直线BD的解析式为yx+4，当x0时，y4，点A的坐标为（0，4）；(3)解：在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形理由如下：设点M的坐标为（2，y）由AOMD和BCMD都是四边形，得y3分两种情况：如图1所示，DMBC，当DMBC时，四边形BCMD是平行四边形D（2，3），DMBC，3y

20、2，解得y1，当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形，此时，OM ，AD，OMAD，又AODM，AODM，四边形AOMD是等腰梯形；如图2所示，DMAO，当DMAO时，四边形AOMD是平行四边形D（2，3），DMAO，3y4，解得y1，当M的坐标为（2，1）时，四边形AOMD是平行四边形，此时，CM，BD，CMBD，又BCDM，BCDM，四边形BCMD是等腰梯形综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，1）【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次

21、函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大运用数形结合及分类讨论是解题的关键5在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点(1)求抛物线的表达式；(2)将平移后得到抛物线，点D，E在上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线的解析式【答案】(1)(2)、或【分析】(1)由点B是该抛物线的顶点可设抛物线的顶点式，代入点A的坐标，进一步即可得到答案；（2）令，则，得到分AC为正方形的对角线和AC为边两种情况分别画出图形进行求解即可(1)解：点是该抛物线的顶点，可设抛物线

22、的表达式是，抛物线过点，得，即即抛物线的表达式是(2)解：令，则，当AC为正方形的对角线时，如图1所示，点的坐标为，点的坐标为设平移后得到抛物线的解析式为，把点E代入得，解得抛物线的解析式是当AC为边时，分两种情况，如图2，第种情况，点，在AC的右上角时，点的坐标为，点的坐标为设，把点E的坐标代入得，解得：抛物线的解析式是第种情况，点，在AC的左下角时，过点作轴，则MAAO90， ACAA，AMAO，（AAS），2，2过作轴，同理可得，2，2OMAOAM4，ONCOCN4，点的坐标为，点的坐标为，设，则 ，解得，即抛物线的解析式是综上所述：的表达式为：，或【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数

23、解析式，正方形的性质，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解决此题的关键6已知二次函数的图象与x轴相交于点A和点，与y轴相交于点，抛物线的对称轴是直线(1)求二次函数的表达式及A点的坐标；(2)D是抛物线的顶点，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线BE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由【答案】(1)，；(2)四边形CDEF是菱形，理由见解析【分析】（1）将点B、C的坐标代入可求出，然后根据对称轴公式可得，然后可求出a，b，得到二次函数解析式，再根据二次函数的对称性可得A点的坐标；（2）连接CE交二次函数对称轴于点H，由轴对称的性质可得E（

24、2，3），EHCH且DFCE，利用待定系数法求出直线BE的解析式，然后可求得F（1，2），再根据二次函数的性质求出点D的坐标，可得HDHF1，再由菱形的判定得出结论（1）解：将点，代入，可得，又抛物线的对称轴是直线，二次函数解析式为：，抛物线的对称轴是直线，；（2）四边形CDEF是菱形，理由：如图，连接CE交二次函数对称轴于点H，点E与点C关于抛物线的对称轴对称，E（2，3），EHCH且DFCE，H（1，3），设直线BE的解析式为，代入，E（2，3）得：，解得：，直线BE的解析式为，当x1时，F（1，2），D（1，4），DH1，HF1，HDHF1，又HEHC，DFEC，四边形CDEF是菱形【点

25、睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，轴对称的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的判定等知识，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键7如图，抛物线yx2bxc的对称轴为直线x，其图象与直线yx2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由【答案】(1)(2)x01或2或【分析】（1）根据对称轴和C点坐标即可确定抛物线解析式；（2）因为OC和PE都垂直于x轴，所以只要PFOC就能确定

26、以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，求出此时x0的值即可（1）解：抛物线yx2+bx+c的对称轴为直线x，对称轴x，b，又直线yx+2与y轴交于C，C（0，2），C点在抛物线上，c2，即抛物线的解析式为；（2）解：点P的横坐标为x0，且在抛物线上，P，F在直线yx+2上，F（x0，x0+2），PFCO，当PFCO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，当0x03时，PF，OC2，解得x011，x022，即当x01或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，当x03时，PF，OC2，解得x03，x04（舍去），即当x0时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，综上当

27、x01或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数及平行四边形的性质等知识点，难点在第二小题中要分情况考虑P点在F点上和下两种情况8已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点(1)抛物线的解析式；(2)若点是轴左侧抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，则是否存在点，使得以，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，点的坐标为或【分析】（1）根据待定系数法建立方程组即可求解；（2）求出点，设，将点的坐标代入可得，根据平行四边形的性质进行解答（1）解：抛物线过，点，解得：，抛物线的解析式为

28、（2）解：如图：抛物线的解析式为，令，则，解得，设，将点的坐标代入得，设点坐标为，则点坐标为，当以、为顶点的四边形是平行四边形时，当时，解得，此时点坐标为；当时，解得：（正数不合题意，舍去），若，则，此时点的坐标为，；综上，存在，点坐标为或，【点睛】本题是二次函数综合题、考查了待定系数法、抛物线与坐标轴的交点、平行四边形的判定和性质，解题的关键是根据平行四边形的判定建立方程9如图,在坐标系中ABC是等腰直角三角形,BAC =90,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C. (1)求该抛物线的解析式；(2)求点C的坐标(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A

29、，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)（3，1）(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1)【分析】（1）把点（2，-1）代入计算即可；（2）过点C作CD垂直轴于点D，利用全等即可求出C点坐标；（3）分别过A, B, C三点作对边的平行线，分类讨论.（1）把点（2，-1）代入得=该抛物线的解析式为（2）过点C作CD垂直轴于点D ABC是等腰直角三角形,BAC =90BA=AC，1+2=90，3+2=90，1=3BOAADCOA=DC，BO=ADA(1,0),B(0,2),OA=DC=1，BO=AD=2点C的坐标为（3,1）（3）分别过

30、A, B, C三点作对边的平行线，交于P1 、P2 、P3当AP/BC,且AP = BC时，如图:将点C向下平移1个单位向左平移2个单位与点A重合，点B也向下平移1个单位向左平移2个单位与点P1重合，则P1(-2,1)，经检验:点P1在抛物线上，故P1满足条件，当BP/AC,且BP=AC时:由平移可得则P2(2,3)，经检验，P2不在抛物线上；当CP/AB,且CP=AB时，由平移可得则P3(4,-1)，经分析，点P3不在抛物线上，不合题意.综上所述，满足条件的P点只有一个，为(-2,1).【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三

31、角形等知识点试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算10在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A（0，-1），B（4，7）(1)求抛物线的函数表达式；(2)把抛物线y=x2+bx+c向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得新抛物线在新抛物线上是否存在一点M、新抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得以AB为边，且点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2-2x-1；(2)存在，M（6，12），N（2，4）或M（-2，12），N（2，20）【分析】（1）把A（0，-1），B（4，7）代入抛物线

32、y=x2+bx+c解方程组即可；（2）先根据（1）中解析式求出平移后函数解析式y=x2-4x，再N（2，n），然后分若四边形ABMN为平行四边形和若四边形ABNM为平行四边形两种情况，由平移的性质求出M坐标，再根据M在抛物线y=x2-4x上，得到关于n的方程，解方程求出n即可(1)解：抛物线y=x2+bx+c经过A（0，-1），B（4，7），解得：，抛物线的函数表达式为y=x2-2x-1；(2)解：存在，理由如下：y=x2-2x-1=（x-1）2-2，顶点为（1，-2），把抛物线y=x2-2x-1向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则新抛物线顶点为（2，-4），新抛物线解析式为y=（

33、x-2）2-4=x2-4x，点N在对称轴上，设N（2，n），如图1，若四边形ABMN为平行四边形，ABMN，由平移可知，点A向右平移4个单位再向上平移8个单位到B，点N（2，n）向右平移4个单位再向上平移8个单位到M，M（6，n+8），点M在抛物线y=x2-4x上，n+8=62-46，解得，n=4，M（6，12），N（2，4）；如图2，若四边形ABNM为平行四边形，ABMN，由平移知，点B（4，7）向左平移4个单位再向下平移8个单位到A（0，-1），点N（2，n）向左平移4个单位再向下平移8个单位到M（-2，n-8），点M在抛物线y=x2-4x上，n-8=（-2）2-4（-2），解得，n=20

34、，M（-2，12），N（2，20）综上所述，M（6，12），N（2，4）或M（-2，12），N（2，20）【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、平移的性质、平行四边形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识与方法，注意分类讨论11如图，抛物线与x轴交于点A(-2，0)，与反比例函数图象交于点B，过点B作BQy轴于点Q，BQ=1(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是抛物线对称轴上一点，当BP+OP的值最小时，求线段QP的长；(3)若点M是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点D，使得以A，B，D，M为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案

35、】(1)(2)(3)存在，（-1，2）【分析】（1）根据反比例函数的解析式求得点点的坐标，结合点的坐标，待定系数法求解析式即可；（2）设点P的坐标为：（-1，p ）作点关于抛物线称轴的对称点，恰好为点A，连接AB，与抛物线对称轴将才点P，连接OP，PQ求得直线AB的表达式为，将点代入，可得的值，进而求得点的坐标，根据点B的坐标为（1，3），BQy轴，可得点Q的坐标为（0，3），勾股定理即可求解；（3）根据菱形的性质，分类讨论，当为对角线时，当为边时，分别根据勾股定理即可求解(1)解：BQ=1，点B的横坐标为1，B在反比例函数的图象上，点B的纵坐标为3，点B的坐标为（1，3）把点A（-2，0）、

36、B（1，3）分别代入y=ax2+bx解得抛物线的表达式为(2)由题意可知，该抛物线的对称轴为直线x=-1，设点P的坐标为：（-1，p ）如解图，作点关于抛物线称轴的对称点，恰好为点A，连接AB，与抛物线对称轴交于点P，连接OP，PQAP=OP，BP+OP=BP+AP，BP+OP的最小值为AB的长设直线AB的表达式为y=kx+d，将点A(-2，0)，B(1，3)代入可得，解得直线AB的表达式为将点P的坐标代入直线AB的表达式可得，p=-1+2=1点P的坐标为（-1，1）点B的坐标为（1，3），BQy轴，点Q的坐标为（0，3），；(3)，设则，当为对角线时，解得当为边时，时，解得（），（），时，解

37、得（），（），综上所述（），（），（），（），（-1，2）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，反比例函数，轴对称求最短线段和，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键12综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C点M是y轴右侧抛物线上一动点，过点M作的平行线，交直线于点D，交x轴于点E(1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的解析式；(2)当时，求点D的坐标；(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A，C，E，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标，若不存在说明理由【答案】(1)，(2)点(3)存在，点M的坐标为（3,4）或【分析】（1）令抛物线y=

38、0，得，进行计算即可得点A，点B的坐标，令抛物线x=0，得，即可得点C的坐标，令直线的解析式为，将点B的坐标和点C的坐标代入即可得；（2）过点D作轴，垂足为F，根据平行线的性质得，根据轴，可得，即可得，根据相似三角形的性质得，在直角中，根据勾股定理得，AC=5，则，设点D横坐标为t，则，即可得出EF，DE，根据，求解出t即可；（3）分情况讨论，过点C作轴交抛物线于点M，作，则四边形AEMC为平行四边形，此时点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，即当y=4时，进行计算求出满足要求的解；当且时，四边形AEMC为平行四边形，此时M的横坐标为-4，即y=-4时，计算求出满足要求的解即可（1）解：令抛物线y=

39、0，得，解得，令抛物线x=0，得，令直线的解析式为，将点和点代入得，解得，直线BC的解析式为：；（2）解：过点D作轴，垂足为F，轴，在直角中，根据勾股定理得，设点D横坐标为t，则，解得，当时，点（3）解：过点C作轴交抛物线于点M，作，则四边形AEMC为平行四边形，此时点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，当y=4时，整理得解得，（舍），；如图所示，当且时，四边形AEMC为平行四边形，此时M的纵坐标为-4，y=-4时，整理得解得，（不合题意，舍去），点M的坐标为；综上，M的坐标为（3,4）或【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键在于对知识的熟练

40、掌握13综合与探究如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PEx轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F(1)求二次函数的表达式(2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标(3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)(3)存在，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）利用待定系数法求得直线BC的表

41、达式为，用m表示点P、E、F的坐标，根据，列方程求解即可；（3）分当FP=FC和FP=PC时，两种情况讨论，建立方程，解方程即可求解(1)解：二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(2，0)，B(4，0)，解得，二次函数的表达式为y=-；(2)解：令，得，点C(0，4)B(4，0)，C(0，4)，设直线BC的表达式为，解得，直线BC的表达式为；设点的横坐标为，则，当时，解得，（舍去）当时，点坐标为；(3)解：由（2）得，C(0，4)，当FP=FC时，=，整理得：m2-(4-2)m=0或m2-(4+2)m=0，解得：m=0(舍去)或m=4-2或m=4+2，CQ=PF=4-4或4+4

42、，如图，当点Q在点C上方时，点Q(0，4)；如图，当点Q在点C下方时，点Q(0，-4)；当FP=PC时，=，整理得：m2-2m=0，解得：m=0(舍去)或m=2，CQ=PF=2，点Q(0，2)；综上，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质14如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，点P的坐标为或或【分析】（1）先根据一次函数求出B，C点的坐标，再代入，解二元一次方程组即可；（2）先求出抛物线的对称轴，进而求出点F