数学】312函数的极值课件北师大版选修2.pptx

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1、数学】312函数的极值课件北师大版选修(2)引言函数的极值条件极值的计算方法极值在实际问题中的应用极值的扩展知识contents目录01引言函数在某点的邻域内取得最大值或最小值，称为该函数的极值。极值定义极值点处函数的一阶导数由正变负或由负变正，即函数在极值点处由单调递增变为单调递减或由单调递减变为单调递增。单调性在一定区间内，函数的极值点是唯一的，即函数在某区间内只有一个极大值和一个极小值。唯一性极值只是函数在极值点附近的一个局部性质，不影响函数在其他点处的值。局部性极值的定义与性质极值在数学中的应用极值理论是解决优化问题的关键工具，如最大值、最小值问题等。在数据拟合中，可以利用极值理论找到

2、最佳拟合曲线。极值理论是微分学中的重要概念，是研究函数行为的关键。在经济学中，极值理论可以用于研究成本最小化、利润最大化等问题。优化问题曲线拟合微分学经济学02函数的极值条件一阶导数判定法是判断函数极值点的常用方法，通过求函数的一阶导数并令其为零，找到可能的极值点，再通过判断二阶导数的符号确定是否为极值点。总结词一阶导数判定法基于极值的必要条件，即函数在极值点处的一阶导数为零。首先求函数的一阶导数，然后令一阶导数为零，解得可能的极值点。接着判断二阶导数的符号，如果二阶导数大于零，则一阶导数为零的点是极小值点；如果二阶导数小于零，则一阶导数为零的点是极大值点。详细描述一阶导数判定法二阶导数判定法

3、二阶导数判定法是通过判断函数二阶导数的符号变化来确定函数极值点的方法。如果二阶导数在某点的左侧小于零，右侧大于零，则该点为极小值点；反之则为极大值点。总结词二阶导数判定法基于函数的二阶导数性质。首先求函数的二阶导数，然后分析二阶导数的符号变化。如果二阶导数在某点的左侧小于零，右侧大于零，则该点为极小值点；如果二阶导数在某点的左侧大于零，右侧小于零，则该点为极大值点。这种方法适用于判断函数是否存在极值点以及确定极值点的位置。详细描述总结词极值的充分条件是判断函数极值的充分条件，包括费马定理、一阶导数和二阶导数的符号变化等。这些条件可以帮助我们确定函数是否达到极值以及极值的类型。详细描述极值的充分

4、条件包括费马定理、一阶导数和二阶导数的符号变化等。费马定理指出函数在某点的导数为零是该点为极值点的必要条件。同时，通过分析一阶导数和二阶导数的符号变化，可以进一步确定极值的类型。此外，还有其他一些充分条件，如三阶导数的符号变化、泰勒展开式等，也可以用于判断函数是否达到极值以及极值的类型。这些充分条件为我们提供了更加全面的理论依据，帮助我们更好地理解和应用函数的极值概念。极值的充分条件03极值的计算方法如果函数在某点的导数等于0，则该点可能是极值点。定义应用注意事项通过求导找到可能的极值点，然后判断该点是否为极值点。一阶导数为0的点不一定是极值点，需要进一步判断。030201极值的一阶导数方法如

5、果函数在某点的二阶导数大于0，则该点是极小值点；如果二阶导数小于0，则该点是极大值点。定义通过求二阶导数判断函数的极值类型。应用二阶导数判断法仅适用于具有连续二阶导数的函数。注意事项极值的二阶导数方法利用泰勒公式将函数展开，通过展开式判断函数在某点的极值情况。定义将函数在某点处展开，并观察展开式中各项的系数，从而判断该点是否为极值点以及是极大值还是极小值。应用泰勒展开法适用于具有足够阶导数的函数，且展开的项数越多，判断越准确。注意事项极值的泰勒展开法04极值在实际问题中的应用在生产和销售中，企业希望在一定成本下实现利润最大化。这可以通过求解利润函数的一阶导数并找到极值点来实现。利润最大化对于给

6、定的生产任务，企业需要最小化生产成本。通过构建成本函数并寻找其极值点，可以找到最优的成本方案。成本最小化经济问题中的极值应用在物理问题中，如弹性碰撞、振荡等，系统往往趋向于能量最小的状态。极值条件可以用来求解这些问题的稳定状态。在力学问题中，如物体运动轨迹的规划，可以通过求解极值条件来找到最优的运动路径。物理问题中的极值应用最优路径能量最小化在资源分配问题中，如最大化产量或最小化成本，可以使用线性规划方法找到最优解。这涉及到求解目标函数的极值。线性规划对于更复杂的问题，如航空航天设计、化学反应优化等，需要使用非线性规划方法来寻找最优解。这同样涉及到极值条件的求解。非线性规划优化问题中的极值应用

7、05极值的扩展知识 多变量函数的极值定义多变量函数在某点的偏导数等于零，则该点称为多变量函数的极值点。判定方法海森矩阵判别法，即通过计算函数在极值点处的海森矩阵，判断其正定性、负定性和不定性，从而确定极值点的性质。应用多变量函数的极值在优化问题、经济模型等领域有广泛应用。判定方法利用极限的性质和函数的变化趋势来判断。定义对于在无穷区间上定义的函数，如果存在一个有限的数，使得函数值趋于无穷大或无穷小，则称该数为无穷函数的极值。应用无穷函数的极值在解决物理问题和工程问题中具有重要应用。无穷函数的极值判定方法通过分析分段函数在极值点处的左右极限和函数值的突变情况来判断。应用分段函数的极值在处理离散数据和解决实际问题中具有重要应用。定义分段函数在某点的左右极限存在且相等，但函数值在该点发生突变，则该点称为分段函数的极值点。分段函数的极值感谢观看THANKS