数学】25简单复合函数的求导法则课件北师大版选修3.pptx

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1、数学】25简单复合函数的求导法则课件北师大版选修(5)目录复合函数的定义与表示复合函数的求导法则复合函数求导法则的应用习题与解析总结与回顾复合函数的定义与表示010102函数是数学上的一个概念，表示两个数集之间的映射关系，通常表示为$y=f(x)$，其中$x$和$y$分别表示自变量和因变量。函数可以分为简单函数和复合函数，复合函数是由多个基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算构成的。函数的定义0102复合函数的表示方法复合函数的表示方法可以用来简化函数的复杂度，使得函数的性质和图像更容易理解和分析。复合函数通常表示为$y=f(u(x)$或$y=f(g(x)$等 形 式，其 中$u(x)$和

2、$g(x)$是 中 间 变 量，$f(x)$是 外 层 函 数，$f(u)$或$f(g)$是复合函数。复合函数与原函数之间存在一种包含关系，即复合函数是由原函数经过一系列的运算得到的。原函数是指不包含其他函数的函数，其导数可以通过基本初等函数的导数计算得到。在求复合函数的导数时，需要先找出复合函数与原函数之间的关系，然后利用链式法则进行求导。复合函数与原函数的关系复合函数的求导法则0201链式法则如果u=g(x)和v=h(u)都可导，则复合函数v=hg(x)的导数为v=hg(x)g(x)。02应用链式法则是复合函数求导的核心，适用于多个中间变量的复合函数。03举例设y=sin(x2)，则y=(

3、cos(x2)(2x)。链式法则应用乘积法则适用于多个函数的乘积的求导。举例设y=(x2)sinx，则y=2xsinx+(x2)cosx。乘积法则如果两个函数的乘积可导，则它们的乘积的导数为(uv)=uv+uv。乘积法则如果u和v都可导，且v不等于0，则函数u/v的导数为(u/v)=(uv-uv)/v2。商的求导法则商的求导法则适用于多个函数的商的求导。应用设y=x2/sinx，则y=2x/sinx-x2cosx/sin2x。举例商的求导法则复合函数的求导法则总结复合函数求导的关键是理解中间变量和复合关系，并正确应用链式法则、乘积法则和商的求导法则。掌握这些法则对于解决复杂的复合函数问题至关重

4、要，是微积分学习中的重要基础。复合函数求导法则的应用0301切线斜率02曲线的凹凸性导数在几何中可以用来求切线的斜率，对于曲线上的某一点，其切线的斜率等于该点处函数的导数值。通过分析函数的二阶导数，可以判断曲线的凹凸性，二阶导数大于0表示曲线为凹，小于0表示曲线为凸。导数在几何中的应用极值的判定利用导数可以判断函数在某一点的极值，当一阶导数等于0且二阶导数大于0时，函数在该点取得极小值；当一阶导数等于0且二阶导数小于0时，函数在该点取得极大值。最值问题通过求导数并分析其符号变化，可以找到函数在某个区间内的最大值或最小值。导数在极值问题中的应用利用导数的符号变化可以证明函数的单调性，如果函数在某

5、个区间内单调递增或递减，则其导数在此区间内非负或非正。单调性证明通过求导数并分析其符号变化，可以对不等式进行放缩，从而证明某些不等式。不等式放缩导数在不等式证明中的应用习题与解析04求 函 数$y=(x2+1)3$的导数。基础习题1基础习题2基础习题3求函数$y=sin(x2)$的导数。求函数$y=ln(x2)$的导数。030201基础习题求函数$y=x2 cdotsin(x)$的导数。进阶习题1求函数$y=fracx2ln(x)$的导数。进阶习题2求函数$y=x2 cdotln(x)$的导数。进阶习题3进阶习题 综合习题综合习题1求函数$y=sin(x)cdotln(x)$的导数。综合习题2求函数$y=x2cdotcos(x)$的导数。综合习题3求函数$y=fracsin(x)x$的导数。总结与回顾05复合函数的定义与表示方法常见函数的导数公式复合函数的求导法则导数在研究函数中的应用本章重点回顾01深入理解复合函数的求导法则，掌握常见函数的导数公式，能够熟练运用导数研究函数的性质。02通过练习和习题巩固所学知识，提高解题能力和技巧。03预习下一章内容，了解导数在实际问题中的应用，为后续学习做好准备。学习建议与展望