2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题6.4 相似三角形的性质【十大题型】（举一反三）（苏科版）含解析.docx

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1、2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列专题6.4 相似三角形的性质【十大题型】【苏科版】 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】2【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】2【题型3 利用相似三角形的性质求面积】3【题型4 利用相似三角形的性质求周长】4【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】4【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】6【题型7 尺规作图作相似三角形】7【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】8【题型9 新定义中的相似三角形】9【题型10 相似与函数综合探究】11【知识点1 相似三角形的性质】相似三角形的对应角相等如图，则有相似三角形的

2、对应边成比例如图，则有（为相似比）相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比如图，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有相似三角形周长的比等于相似比如图，则有相似三角形面积的比等于相似比的平方如图，则有【题型1 利用相似三角形的性质求角度】【例1】（2022湖南永州柳子中学九年级期中）已知ABCDEF，若A=50，E=70，则F的度数为（）A30B60C70D80【变式1-1】（2022江苏常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，ABCDAC，B31，D117，则BCD的度数是（）A32B48C64D86【变式1-2】（2022

3、全国九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC和EDF，则ABC+ACB的度数为（）A135B90C60D45【变式1-3】（2022云南楚雄九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，PBC是等边三角形，当PABDPC时，APD的度数为（）A120B100C110D125【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】【例2】（2022全国九年级课时练习）如图，在ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使CBFABE，则DF的长是（）A8.2B6.4C5D1.8【变式2-1】（2022全国九年级专题练习）如图，ABCDEF，相似比为12，若BC1，则EF

4、的长是（）A1B2C3D4【变式2-2】（2022全国九年级专题练习）已知ABCDEF， ABC的三边长分别为2，14，3， DEF的其中的两边长分别为1和7，则第三边长为_【变式2-3】（2022吉林长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=_【题型3 利用相似三角形的性质求面积】【例3】（2022陕西渭南九年级阶段练习）若ABCDEF，ABC与DEF的面积比为25:36，则ABC与DEF的对应边的比是（）A5:6B6:5C25:36D36:25【变式3-1】（2022河南新乡九年级期末）ABC与ABC的位似比是1:2，已知ABC的面积是3，则ABC的面积是（）A3B6C9D12【变式3-2

5、】（2022河北石家庄九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的_倍【变式3-3】（2022河南鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在RtABC中，BAC90，AB3，BC5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作ADE，使ADEABC，则ADE的最小面积等于_【题型4 利用相似三角形的性质求周长】【例4】（2022湖南株洲九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（）A425B845C21D28【变式4-1】（2022重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网

6、络，ABC与A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且ABCA1B1C1，则ABC与A1B1C1的周长之比是（）A1：2B1：4C2：3D4：9【变式4-2】（2022辽宁阜新市第四中学九年级阶段练习）已知ABCDEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么DEF的周长是_【变式4-3】（2022辽宁鞍山二模）已知ABCABC，且AB=2AB若ABC的周长是18cm，那么ABC的周长是_cm【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】【例5】（2022北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分BAC，ABAD=AEAC(1)求证：E=C；(2)若AB=9，AD

7、=5，DC=3，求BE的长【变式5-1】（2022上海测试编辑教研五八年级期末）如图，在ABC中，点D、点E分别在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且A=EPB=ECB(1)求证：BEBA=BPBD；(2)若ACB=90，求证：CPBD【变式5-2】（2022山东东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E分别在ABC的边BC，AC上，连接AD，DE（1）若C=BAD，AB=5，求BDBC的值；（2）若点E是AC的中点，AD=2AE， 求证：1=C【变式5-3】（2022湖北恩施二模）如图，在ABC中，D、E、F分别是边AC，AB，BC上的点，DEBC，DFAB(1)

8、求证：B=EDF(2)若CF13BC，求SDFCSAED的值【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】【例6】（2022全国九年级课时练习）如图，已知ADE的顶点E在ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，FEA=B，DAF=EAC(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求证：DFDE=CECB【变式6-1】（2022江苏九年级专题练习）已知矩形ABCD的一条边AD8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA（1）求证：OCPD=OPAP；（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长【变式6-2】（2022全国九年级专题

9、练习）如图，在ABC中，AB=AC，D是边BC的延长线上一点，E是边AC上一点，且EBC=D求证：CEAB=BCBD；【变式6-3】（2022湖南益阳九年级期末）如图，在ABC中，BAC90，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EFAB，EGAC，垂足分别为F，G(1)求证：EGAD=CGCD；(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；【题型7 尺规作图作相似三角形】【例7】（2022山东烟台八年级期末）尺规作图：如图，已知ABC，且ABAC（只保留作图痕迹，不要求写出作法）(1)在AB边上求作点D，使DB=DC；(2)在AC边上求作点E，使

10、ADEACB【变式7-1】（2022山东济宁二模）如图，在ABC中，BAC=90,BD平分ABC(1)求作CDE使点E在BC上，且CDECBD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若BA=3,ABC=60，求CE长【变式7-2】（2022陕西宝鸡一模）如图，在等腰ABC中，ABAC，点D是AC边上一定点请用尺规作图法在BC上求作一点P，使得ABCPCD（保留作图痕迹，不写作法）【变式7-3】（2022江苏省锡山高级中学实验学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，A=B(1)请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： 过点D作AB的平行线交BC于点

11、F； P为AB边上的一点，且DAPPBC，请找出所有满足条件的点；(2)在（1）的条件下，若AD2，BC3，AB6，则AP 【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】【例8】（2022安徽合肥二模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O(1)请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“”符号写出这对相似三角形：(2)线段AO的长为_【变式8-1】（2022河南南阳九年级期末）（1）如图，ABC的三个顶点都在方格纸的格点上在方格纸内画ABC，使ABCABC，相似比为2:1，且顶点都在格点上（2）AB

12、C的面积是_【变式8-2】（2022浙江温州九年级专题练习）请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段AB的中垂线(2)如图2，在线段AB上找出点C，使AC:CB=1:2【变式8-3】（2022浙江温州九年级期中）如图，在88的方格中，ABC的三个顶点都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上(1)请在图1中画一个三角形，使它与ABC相似，且相似比为2：1(2)请在图2中画一个三角形，使它与ABC相似，且面积比为2：1【题型9 新定义中的相似三角形】【例9】（2022陕西渭南九年级期末）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果

13、这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”(1)如图1，在四边形ABCD中，ABC=70，AB=AD，ADBC，当ADC=145时求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；(2)如图2，四边形ABCD中，CA平分BCD，BC=3，CD=2，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，求AC的长【变式9-1】（2022福建厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”在ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，ABBD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆

14、规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a2b，和a24c24acab1求a，b之间的等量关系；若AE是ABD的中线求证：ACE是“和谐三角形”【变式9-2】（2022江苏常州九年级期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”(1)在ABC中，A=30如图1，若B=100，请过顶点C画出ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；如图2，若B =90，BC=1，则ABC的“形似线段”的长是 (2) 如图3，在

15、DEF中，DE=4，EF=6，DF=8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长【变式9-3】（2022安徽合肥二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题请通过这种方法解答下列问题：(1)如图1，ABC中，AD是角平分线，且AB2=BDBC，求证：ABC是倍角三角形；(2)如图2，已知ABC是倍角三角形，且A=2C，AB=8，BC=10，求AC的长；(3)如图3，已知ABC中，A=3C，

16、AB=8，BC=10，求AC的长【题型10 相似与函数综合探究】【例10】（2022辽宁大连九年级期末）如图，RtABC中，C90，AB10，AC8点D是线段AC上的一点，点E在射线CB上且CDEB(1)求BC的长；(2)若ADx，CDE的面积与ABC重合部分的面积是y，求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围【变式10-1】（2022全国九年级）如图，ABBD，CDBD，B、D分别为垂足(1)已知：APC90，求证：ABPPDC(2)已知：AB2，CD3，BD7，点P是线段BD上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求线段PB的值(3)已知：AB2，CD3，

17、点P是直线BD上的一动点，设PBx，BDy，使点P分别与A、B和C、D构成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式【变式10-2】（2022广东茂名二模）如图，在矩形OABC中，OA=3，AB=4，反比例函数y=kxk0的图像与矩形的边AB、BC分别交于点D、E，且BD=2AD(1)求点D的坐标及k的值；(2)点Pm,0m2是线段OC上的一个动点，当AOPPCE时，求BP的长【变式10-3】（2022四川成都三模）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，且AC12cm，BD16cm点P从点B出发，速度为1cm/s；同时，点Q沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AD，BD，Q，F；当直线E

18、F停止运动时，点P也停止运动连接PF（s）（0t8）解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？(2)设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD17：40？若存在，求出t的值，并求出此时PE的长度；若不存在，请说明理由专题6.4 相似三角形的性质【十大题型】【苏科版】 【题型1 利用相似三角形的性质求角度】2【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】4【题型3 利用相似三角形的性质求面积】6【题型4 利用相似三角形的性质求周长】8【题型5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】10【题型6 利

19、用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】14【题型7 尺规作图作相似三角形】19【题型8 在网格中画与已知三角形相似的三角形】23【题型9 新定义中的相似三角形】29【题型10 相似与函数综合探究】37【知识点1 相似三角形的性质】相似三角形的对应角相等如图，则有相似三角形的对应边成比例如图，则有（为相似比）相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比如图，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有相似三角形周长的比等于相似比如图，则有相似三角形面积的比等于相似比的平方如图，则有【题型1 利用相似三角形的性质求角度】【例1】（2022

20、湖南永州柳子中学九年级期中）已知ABCDEF，若A=50，E=70，则F的度数为（）A30B60C70D80【答案】B【分析】根据相似三角形的对应角相等求出AD50，然后根据三角形内角和定理求解即可【详解】解：ABCDEF，AD50，F180DE180507060，故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例【变式1-1】（2022江苏常州市金坛良常初级中学九年级阶段练习）如图，ABCDAC，B31，D117，则BCD的度数是（）A32B48C64D86【答案】C【分析】根据相似三角形的性质得到DAC=B=31，BAC=D=117，BCA=ACD，根据三角

21、形内角和定理计算即可【详解】解：ABCDAC，B=31，D=117，DAC=B=31，BAC=D=117，BCA=ACD，BCD=BCA+ACD=2(180-31-117)=64，故选：C【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键【变式1-2】（2022全国九年级专题练习）如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC和EDF，则ABC+ACB的度数为（）A135B90C60D45【答案】D【分析】根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于180，即可得出【详解】解：ABCEDF，BACDEF，又DEF90+45135，BAC135，ABC+ACB=180-BA

22、C=180-135=45故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系【变式1-3】（2022云南楚雄九年级期末）如图，点A、B、C、D四点共线，PBC是等边三角形，当PABDPC时，APD的度数为（）A120B100C110D125【答案】A【分析】根据PABDPC得出A=DPC，根据PBC是等边三角形得出PBC=BPC=60，根据外角的性质得出A+APB=PBC=60，可推出APB+DPC=60，从而即可得到答案.【详解】 PABDPC A=DPC PBC是等边三角形 PBC=BPC=60 A+APB=PBC=60 APB+DPC=60APD=APB

23、+PBC+DPC=120故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.【题型2 利用相似三角形的性质求线段长度】【例2】（2022全国九年级课时练习）如图，在ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在CD上取一点F，使CBFABE，则DF的长是（）A8.2B6.4C5D1.8【答案】A【分析】E是AD的中点可求得AE，根据三角形相似的性质可得CFAE=BCBA，可得CF的长即可求解【详解】解：E是AD的中点，AD=6，AE=12AD=3，又CBFABE，CFAE=BCBA，即CF3=610，解得CF=1.8，DF=DC-

24、CF=10-1.8=8.2，故选：A【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键【变式2-1】（2022全国九年级专题练习）如图，ABCDEF，相似比为12，若BC1，则EF的长是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】根据已知条件得到BCEF12，即可得到EF2BC2，问题得解【详解】解：ABCDEF，相似比为12，BCEF12，EF2BC2故选：B【点睛】本题考查了相似的性质，熟知相似三角形的性质是解题关键【变式2-2】（2022全国九年级专题练习）已知ABCDEF， ABC的三边长分别为2，14，3， DEF的其中的两边长分别为1和7，则第三边长为_【

25、答案】332【分析】先求得相似比，再列式计算求得【详解】设 DEF的第三边长为x，ABCDEF且 ABC的三边长分别为2，14，3， DEF的其中的两边长分别为1和7，12=714=x3， x332， DEF的第三边长为332故答案为：332【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键【变式2-3】（2022吉林长春市赫行实验学校二模）如图所示，图中x=_【答案】22【分析】先根据三角形内角和定理求出C的度数，由相似三角形的判定定理可判断出ABCDEF，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答【详解】解：ABC中，A=45，B=30，C=180-A-B=180-45-30=105，E

26、=B=30，C=F，ABCDEF， BCEF=ACDF，即24=2x，x=22故答案为：22【点睛】本题涉及到三角形内角和定理、相似三角形的判定及性质，比较简单【题型3 利用相似三角形的性质求面积】【例3】（2022陕西渭南九年级阶段练习）若ABCDEF，ABC与DEF的面积比为25:36，则ABC与DEF的对应边的比是（）A5:6B6:5C25:36D36:25【答案】A【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC与DEF的相似比即可【详解】解：ABCDEF且ABC与DEF的面积比为25:36它们的相似比为5：6故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面

27、积的比等于相似比的平方是解答本题的关键【变式3-1】（2022河南新乡九年级期末）ABC与ABC的位似比是1:2，已知ABC的面积是3，则ABC的面积是（）A3B6C9D12【答案】D【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意计算即可【详解】解：ABCABC，相似比为1：2，ABC与ABC的面积比为1：4，ABC的面积是3，ABC的面积是12，故选：D【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键【变式3-2】（2022河北石家庄九年级期末）把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的_倍【答案】9【

28、分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出即可【详解】解：把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，面积扩大为原来的9倍，故答案为：9【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，能正确运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比【变式3-3】（2022河南鹤壁市淇滨中学九年级期中）如图，在RtABC中，BAC90，AB3，BC5，点D是线段BC上一动点，连结AD，以AD为边作ADE，使ADEABC，则ADE的最小面积等于_【答案】9625【分析】根据勾股定理得到AC4，当ADBC时，ADE的面积最小，根据三角形的面积 公式得

29、到ADABACBC=345=125，根据相似三角形的性质得到AE165，由此三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：在RtABC中，BAC90，AB3，BC5，AC4，ADEABC，ADAB=AEAC，即AD3=AE4AE=43AD，SADE=12ADAE=23AD2，当ADBC时，ADE的面积最小，此时有SABC=12ABAC=12BCAD ADABACBC=345=125，ADE的最小面积=231252=9625；故答案为9625【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键【题型4 利用相似三角形的性质求周长】【例4】（2022湖南

30、株洲九年级期末）有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长是（）A425B845C21D28【答案】D【分析】根据题意求出三角形的周长，根据相似三角形的周长比等于相似比列式计算即可【详解】解：设另一个直角三角形的周长为x，三角形的边长分别为3，4，5，周长为：34512，两个三角形相似，12x=37，解得：x28，故D正确故选：D【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键【变式4-1】（2022重庆实验外国语学校八年级期末）如图是一个边长为1的正方形组成的网络，ABC与A1B1C1都是格

31、点三角形（顶点在网格交点处），并且ABCA1B1C1，则ABC与A1B1C1的周长之比是（）A1：2B1：4C2：3D4：9【答案】C【分析】根据相似三角形的性质即可求解【详解】解：ABCA1B1C1，AB=2,A1B1=3，ABC与A1B1C1的周长之比ABA1B1=23故选C【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键【变式4-2】（2022辽宁阜新市第四中学九年级阶段练习）已知ABCDEF，其中AB=12，BC=6，CA=9，DE=3，那么DEF的周长是_【答案】274【分析】根据两个三角形相似，相似三角形的周长比等于相似比，即可解出DEF的周长【详解】ABCDE

32、F相似三角形的周长比等于相似比CABCCDEF=ABDE=12312+6+9CDEF=123CDEF=274故答案为：274【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的周长比等于相似比【变式4-3】（2022辽宁鞍山二模）已知ABCABC，且AB=2AB若ABC的周长是18cm，那么ABC的周长是_cm【答案】9【分析】利用相似三角形的周长的比等于相似比求解即可【详解】解：ABCABC，ABC的周长：ABC的周长AB:AB2：1，ABC的周长是18cm，ABC的周长是9cm故答案为：9【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，用到的知识点为：相似三角形周长的比等于相似比【题型

33、5 利用相似三角形的判定与性质证明角度相等】【例5】（2022北京市第一五六中学九年级期中）如图，已知AE平分BAC，ABAD=AEAC(1)求证：E=C；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长【答案】(1)见解析(2)BE=275【分析】（1）根据角平分线的定义可得BAE=DAC，结合已知条件得出BAEDAC，根据相似三角形的性质即可得证；（2）根据BAEDAC列出比例式，代入数据计算即可求解（1）证明：AE平分BAC，BAE=DAC，又ABAD=AEAC，BAEDAC，E=C；（2）BAEDAC，ABAD=BEDC，AB=9，AD=5，DC=3，95=BE3,解得BE=275【点

34、睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键【变式5-1】（2022上海测试编辑教研五八年级期末）如图，在ABC中，点D、点E分别在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点F，且A=EPB=ECB(1)求证：BEBA=BPBD；(2)若ACB=90，求证：CPBD【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明PBE和ABD相似，即可证明（2）先证明ABCCBE，再证明PBCCBD，得到BPC=BCD=90，即可证明（1）证明：A=EPB，PBE=ABD，PBEABD，BEBD=BPBABEBA=BPBD（2）证明：A=ECB，ABC=CBE

35、，ABCCBE，BCBE=BABC，BEBA=BC2，又BEBA=BPBD，BC2=BPBD，BCBD=BPBC，PBC=CBD，PBCCBD，ACB=90，BPC=BCD=90，CPBD【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式【变式5-2】（2022山东东平县江河国际实验学校二模）如图，点D，E分别在ABC的边BC，AC上，连接AD，DE（1）若C=BAD，AB=5，求BDBC的值；（2）若点E是AC的中点，AD=2AE， 求证：1=C【答案】（1）25；（2）见解析【分

36、析】（1）由C=BAD、ABD=CBA可得出ABDCBA，根据相似三角形的性质可得出 ABBC=BDAB，进而即可得到结论； （2）由点E是AC的中点、AD= 2AE，可得出 ADAC=AEAD，结合DAE=CAD可证出DAECAD，再根据相似三角形的性质可证出1=C【详解】解：（1）C=BAD，B=B, ABDCBA ABBC=BDAB,AB=5 BDBC=AB2=25.（2）点E是AC的中点，AC=2AE.AD=2AE.ADAC=2AE2AE=22，AEAD=AE2AE=12=22，,ADAC=AEAD.，又DAE=CAD(公共角).，DAECAD，1=C【点睛】本题考查了相似三角形的性质

37、，解题的关键是：（1）根据相似三角形的性质找出等积式；（2）由边与边之间的关系找出 两边对应成比例，结合夹角相等证明三角形相似【变式5-3】（2022湖北恩施二模）如图，在ABC中，D、E、F分别是边AC，AB，BC上的点，DEBC，DFAB(1)求证：B=EDF(2)若CF13BC，求SDFCSAED的值【答案】(1)证明见解析(2)14【分析】（1）证明四边形BEDF为平行四边形，从而得到B=EDF；（2）证明DFCAED，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解(1)证明： DE/BC，DF/AB，四边形BEDF是平行四边形， B=EDF(2)解： CF=13BC， BF=23BC四

38、边形BEDF是平行四边形， ED=BF=23BC DE/BC，DF/AB，C=ADE，CDF=A， DFCAED， SDFCSAED=CFED2=122=14【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是将相似三角形的面积之比转化为相似比的平方【题型6 利用相似三角形的判定与性质证明对应线段成比例】【例6】（2022全国九年级课时练习）如图，已知ADE的顶点E在ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，FEA=B，DAF=EAC(1)若AF=BF=4，求AE；(2)求证：DFDE=CECB【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据FEA=B，BAE=E

39、AF，证明BAEEAF，然后根据相似三角形对应边成比例得到AE2=AFAB，即可得到结论；（2）首先由DAF=CAE，得到DAE=CAF，然后进一步证明DAECAB，根据相似三角形对应边成比例和对应角相等得到DEBC=ADAC，D=C，然后根据两角对应相等证明DAFCAE，得到DFEC=ADAC，然后根据线段之间的转化即可证明出DFDE=CECB（1）解：FEA=B，BAE=EAF，BAEEAF，AEAF=ABAE，AE2=AFAB，AF=BF=4，AE2=44+4=32，AE=42；（2）证明：DAF=CAE，FAE=FAE，DAE=CAF，FEA=B，DAECAB，DEBC=ADAC，D=

40、C，DAF=EAC，DAFCAE，DFEC=ADAC，DEBC=DFEC，CEBC=DFDE【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等相似三角形的判定方法：两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三组边对应成比例的两个三角形相似【变式6-1】（2022江苏九年级专题练习）已知矩形ABCD的一条边AD8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA（1）求证：OCPD=OPAP；（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长【答案】（1）见解析；（2）10【分析】（1）根据折叠的性质得到APO=B=90，根据相似三角形的判定定理证明OCPPDA，进而解答即可；（2）根据相似三角形的相似比得出PC=12AD，再利用勾股定理求解【详解】证明：（1）由折叠的性质可知，APO=B=90，APD+OPC=90，又POC+OPC=90，APD=POC，又D=C=90，OCPPDA， OCPD=OPAP；（2）OP与PA的比为1：2，PC=12AD=4，设AB=x，则DC=x，AP=x，DP=x-4，在RtAP