江苏省决胜新高考2024届高三下学期4月大联考数学试题含答案.pdf

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1、高三数学第 1页（共 4 页）决胜新高考2024 届高三年级大联考数学一、单选题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2 3，b(2ab)=18，则 a 与 b 的夹角等于A30B60C120D1502.若复数cosisinz，则22iz 的最大值是A2 21B2 21C21D2 233.已知甲、乙两支篮球队各 6 名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下：甲队：7，12，12，20，20 x，31；乙队：8，9，10+y，19，25，28.这两组数据的中位数相等，且平均值也相

2、等，则xy的值为A 3B4C5D64.已知1124xx，222log4xx，则12xx的值为A2B3C4D55.若3sin4cos5，则tan()4A7B7C17D176.经过抛物线24Cyx：焦点F的直线与C交于A，B两点，与抛物线 C 的准线交于点P，若AF，AP，BF成等差数列，则AB A2 3B2 6C83D163注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，包含单选题（18）多选题 912，填空题（第 13 题第 16 题，共 80 分）、解答题（第 1722 题，共 70 分）。本次考试时间 120 分钟，满分 150 分、考试结束后，请将答题卡交回。2

3、答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。4如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=#QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#江苏省决胜新高考2024届高三下学期4月大联考数学试题含答案高三数学

4、第 2页（共 4 页）7.贝塞尔曲线(Bezier curve)是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数()f x的图象是可由 A，B，C，D 四点确定的贝塞尔曲线，其中 A，D在()f x的图象上，()f x在点 A，D 处的切线分别过点 B，C.若(0 0)A，(11)B，(2 2)C，(1 0)D，则()f x A3254xxxB333xxC3234xxxD3232xxx8.已知函数2()8f xxx，且点()P xy，满足()()2f xfy3，()0f y，若记点P构成的图形为，则的面积是A6416 33B6416 33C6416 3D64

5、 16 3二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.若2102320012320(2)xxaa xa xa xa x，则A01024a B11a C1910aD13519512aaaa 10.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记 A 表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指

6、标服从正态分布2(5.40,0.05)N，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间(5.35,5.55)，则下列说法正确的是（若2(,)N，则()0.6826,(33)0.9974PP）A P B AP BBP A BP A BC5.355.550.84PD45P m 取得最大值时，M的估计值为 5311.若正实数a b，满足12abab，则A12b B有序数对*()()a b a bN，有 6 个Cab的最小值是124 3D222241210abab#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=#QQABYQa8x

7、gAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#高三数学第 3页（共 4 页）三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上12.将函数()sin(2)f xx图象上的每个点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移6个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的的值13.已知定义在 R 上的 f x满足1()02f，且()()()4f xyf x f yxy，则(0)f14.已知一个顶点为 P，底面中心为O的圆锥的体积为9，该圆锥的顶点P和底面圆周均在球1O上

8、.若圆锥的高为3，则球1O的半径为；球1O的体积的最小值是.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤。15.(13 分)如图所示，已知正方体1 111ABCDA B C D的棱长为3 E F，分别是1BD DD，的中点，M是1 1A B上一点，且BM平面1EFA.(1)求1MA；(2)求直线1EC与平面1EFA所成角的正弦值.16.(15 分)已知函数2()ln3f xaxx在1x 处的切线经过原点.（1）判断函数()f x的单调性；（2）求证：函数()f x的图像与直线5yx有且只有一个交点.17.(15 分)在ABC中，点D在AB边上，且满足ACA

9、DBCBD.（1）求证：ACDBCD；（2）若tantan3tantan30ABAB，2CD，求ABC的面积的最小值.#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=#QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#高三数学第 4页（共 4 页）18.(17 分)如图，已知正方体1 111ABCDA B C D顶点处有一质点 Q，点 Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点 Q 的初始位置位于点

10、 A 处，记点 Q 移动 n 次后仍在底面 ABCD 上的概率为nP.（1）求2P；（2）求证：数列12nP是等比数列；求1()niiiP.19.(17 分)已知椭圆2222:1(0)yxCabab的左右顶点分别为A，B，且3(1)2，3(1)2，(1 1)，(2 0)，四个点中恰有三个点在椭圆C上.若点P是椭圆C内（包括边界）的一个动点，点M是线段PB的中点.（1）若134OM，且PB与OM的斜率的乘积为34，求PAB的面积；（2）若动点D满足0DB DP ，求DO的最大值.#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=#QQABY

11、Qa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#试卷第 1 页，共 7 页 决胜新高考2024 届高三年级大联考 数学参考答案与评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.ACD 10.ACD 11.AB 三、填空题：本题共 3 小题，每小题

12、 5 分，共 15 分 12.,6kkZ 13 1 14.3；2438 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13 分)如图所示，已知正方体1 1 11ABCDA BC D的棱长为3 E F，分别是1BD DD，的中点，M是1 1A B上一点，且BM平面1EFA.(1)求1MA的长；(2)求直线1EC与平面1EFA所成角的正弦值.解：（1）如图，以点A为原点，分别以直线AB AD，1AA为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则10 0 03 0 00 0 3ABA，1133300 33 0 33 3 3222EFBC，所以13333

13、3322222EFEA ，.设平面1EFA的一个法向量为xy z，n，由100EAEF，nn得3330223330222xyzxyz，取1y，则32xz，故3 1 2，n.3 分#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=#QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#试卷第 2 页，共 7 页 设0 3M t，则3 0 3BMt，.因为BM平面1EFA，所以3(3)2 30BMt n，所以1t，所以11MA.7 分（2）因为133322EC，9 分 平面1EFA的一个法向

14、量为3 1 2，n，设直线1EC与平面1EFA所成角为，故1113 3,33,1,22 24 21sincos219999 1444ECECEC ，nnn，所以直线1EC与平面1EFA所成角的正弦值为4 2121.13 分 16（15 分）分）已知函数2()ln3f xaxx在1x 处的切线经过原点.（1）判断函数()f x的单调性；（2）求证：函数()f x的图像与直线5yx有且只有一个交点.解：（1）因为(1)ln1 1 34fa，所以切点为(1 4)，.因为()2afxxx，所以(1)2fa，所以切线方程为4(2)(1)yax.3 分 因为切线经过原点，所以04(2)(0 1)a，所以2

15、a.故2()20fxxx，所以()f x在(0)，上单调递增.6 分（2）设2()()52ln35(0)g xf xxxxx x，则2(21)(2)252()xxxxg xxx.8 分 因为当1(0)2x，时，()0g x，()g x单调递增，当1(2)2x，时，()0g x，()g x单调递减，且32eln111533 8ln2256()2ln()32ln202222444g ，#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=#QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#试

16、卷第 3 页，共 7 页 因为1()02g，且当1(2)2x，时，()g x单调递减，所以1(2)()02gg 所以当(0 2)x，时，()0g x，所以函数()g x在(0 2)x，时没有零点，所以当(0 2)x，时，函数()f x的图像与直线5yx没有交点.11 分 当(2)x，时，()0g x，()g x单调递增，又因为(5)2ln530g，且函数()g x的图像是不间断的，所以当(2)x，时，函数()g x有且只有一个零点，函数()f x的图像与直线5yx有且只有一个交点.综上所述，函数()f x的图像与直线5yx有且只有一个交点.15 分 17.(15 分)在ABC中，点D在AB边上

17、，且满足ACADBCBD.（1）求ACDBCD；（2）若tantan3tantan30ABAB，2CD，求ABC的面积的最小值.解：（1）在ACD中，由正弦定理sinsinACADADCACD，得sinsinACADCADACD.在BCD中，由正弦定理sinsinBCBDBDCBCD，得sinsinBCBDCBDBCD.因为ACADBCBD，所以ACBCADBD，所以sinsinsinsinADCBDCACDBCD.3 分 因为ADCBDC，所以ADCBDC，所以sinsin()sinADCBDCBDC，所以sinsinACDBCD.又因为(0)ACDBCD，且ACDBCD，所以ACDBCD.

18、7 分（2）因为tantan3tantan30ABAB，所以tantan3(1tantan)ABAB，所以tantantan()31tantanABABAB，9 分 因为0AB，所以3AB，所以2()3cAB 因为ABCACDBCDSSS，#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=#QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#试卷第 4 页，共 7 页 所以1211sinsinsin232323ACBCACCDBCCD，所以222()ACBCACBCACBC 12 分

19、因为2ACBCACBC，所以222()4ACBCACBCACBCACBC，所以16ACBC，当且仅当4ACBC=时等号成立 所以ABC的面积的最小值为13164 322.15 分 18.(17 分)如图，已知正方体1 1 11ABCDA BC D顶点处有一质点 Q，点 Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点 Q的初始位置位于点 A处，记点 Q 移动 n次后仍在底面 ABCD 上的概率为nP.（1）求2P的值；（2）求证：数列12nP是等比数列；求1()niiiP.解：（1）依题意，每一个顶点有 3 个相邻的顶

20、点，其中两个在同一底面.所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为23，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为13，又因为123P，所以22211533339P.4 分 （2）因为12111(1)3333nnnnPPPP，6 分 所以111111111()23323632nnnnPPPP.又因为123P，所以1121102326P，所以数列12nP是等比数列.9 分 因为111111()()26323nnnP，所以111()232nnP，所以11()232iiiPii.11 分#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA

21、=#QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#试卷第 5 页，共 7 页 设1()3iiia，则12311111()1()2()3()()3333nniiian ，则2341111111()1()2()3()()33333nniiian ，所以1234112111111()1()1()1()1()1()()3333333nnniiian ，所以11111()21111113()()()()1333223313nnnnniiiann ，所以13321()()()443nniinia.又因为21122224nininnn，所以2133

22、21()()()8834nniinnniP.17 分 19.(17 分)已知椭圆2222:1(0)yxCabab的左右顶点分别为A，B，且3(1)2，3(1)2，(1 1)，(2 0)，四个点中恰有三个点在椭圆C上.若点P是椭圆C内（包括边界）的一个动点，点M是线段PB的中点.（1）若134OM，且PB与OM的斜率的乘积为34，求PAB的面积；（2）若动点D满足0DB DP，求DO的最大值.解：因为3(1)2，与3(1)2，关于x轴对称，所以这两个点必定都在椭圆C上，所以221914ab.2分 若点(1 1)，在椭圆C上，则22111ab.因为方程组22221914111abab，无解，所以点

23、(1 1)，不在椭圆C上.#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=#QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#试卷第 6 页，共 7 页 若点(2 0)，在椭圆C上，则241a，所以2a，3b.综上可知：椭圆22:143yxC.4 分（1）因为点M是线段PB的中点，点O是线段AB的中点，所以/MO AP，12MOAP，所以1322APMO，34AP BPkk.设00()P xy，则2220013(2)4APxy，00003224APBPyykkxx.6 分 化简得2

24、0016150 xx，所以01x 或015x ，又因为点P是椭圆C内（包括边界）的一个动点，所以01x .因为00003224yyxx，所以2094y，所以032y.所以PAB的面积为134322.8 分（2）因为动点D满足0DB DP，所以点D在以PB为直径的圆上.因为点M是线段PB的中点，所以ODOMMD.因为12OMAP，12DMPB，所以111()222ODAPPBAPPB.设2APPBm，则当2m 时，点P在线段AB上，此时2OD.10 分 当2m 时，设()P x y，点P在以A B，为焦点的椭圆222214yxmm上.若7m，则222222222222(4)(7)()04343(

25、4)yymxmyxxmmmm，所以2222221434yyxxmm，所以点P在椭圆C外，不成立，故舍去.若7m，设()P x y，则22173yx，所以22137yx，因为2222104347yxxx，所以0 x，3y ，15 分 所以1()72ODAPPB.所以DO的最大值是7，当且仅当O MP，三点共线时等号成立.17 分 另解：设2(cos4sin)P mm，因为点P是椭圆C内（包括边界）的一个动点，#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=#QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#试卷第 7 页，共 7 页 所以2222(4)sincos143mm，所以222(16)sin312mm，所以22(16)312mm，所以27m，所以7m.当(03)P，时，DO取得最大值是7.17 分#QQABaQYQggAoAJIAARgCAQWQCgOQkBECCCoGhAAEsAABSAFABAA=#QQABYQa8xgAYgIbACJ5qBUHkCgiQsIAjJKoEQQCDuARLCJFIBIA=#