2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）专题20 胡不归小题含解析.docx

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1、2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练专题20 胡不归小题1如图，在等边中，点为中点，是上的一个动点，则的最小值是A3BC6D2如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，且，点是线段上的一个动点，则的最小值是A2BC4D3如图，中，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是ABCD104如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，若是轴上一动点，点在轴上，连接，则的最小值是A6BCD5如图，在中，则请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为A1BCD26如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，

2、则的最小值AB6CD47如图，在中，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是ABCD88如图，中，为边上一点，则最小值为 9如图，中，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是 10如图，为等边三角形，平分，的面积为，点为上动点，连接，则的最小值为 11如图，在中，点沿折叠与上的点重合连接，请你探究：；请在这一结论的基础上继续思考：如图，在中，若，点是边上的动点，则的最小值为 12如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，若是轴上一动点，点在轴上，连接，则点的坐标是 ，的最小值是 13如图，中，为射线上一点，一动点从出发，运动路径为，点在上的运动速度是在上的倍，

3、要使整个运动时间最少，则点的坐标应为 14如图，在直角坐标系中，点的坐标为，是直线在第一象限内的一个动点（1）（2）当的值最小时，点的坐标是 15如图，在中，若是边上的动点，则的最小值为 16如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴和轴交于点和点若定点的坐标为，点是轴上任意一点，则的最小值为 17如图，中，为边上的一动点，则的最小值等于18如图，中，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 19如图，在平行四边形中，为边上的一动点，则的最小值等于 20如图，在中，点是在边上的动点，则的最小值是 专题20 胡不归小题1如图，在等边中，点为中点，是上的一个动点，则的最小值是A3BC6D【解答】解

4、：如图，过点作于点，过点作于点，则，是等边三角形，点是的中点，在中，的最小值为：故答案为：2如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，且，点是线段上的一个动点，则的最小值是A2BC4D【解答】解：过点作，垂足为，四边形是菱形，是等边三角形，当点，点，点共线时，且时，有最小值为，如图：，在中，的最小值是，故选：3如图，中，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是ABCD10【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，或（舍去），在中，的最小值是：，故选：4如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，若是轴上一动点，点在轴上，连接，则的最小值是A6BCD【解答】解：连接，

5、过作，过作，令，即，解得或1，根据垂线段最短可知，的最小值为，的最小值为故选：5如图，在中，则请在这一结论的基础上继续思考：若，点是的中点，为边上一动点，则的最小值为A1BCD2【解答】解：过作于，过点作于，点是的中点，为正三角形，的最小值为故选：6如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若是轴上的动点，则的最小值AB6CD4【解答】解：如图，在的延长线上取，作于，当、在同一条直线上时，最小，过点作于，在中，最小值是3，最小值是6，故选：7如图，在中，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是ABCD8【解答】解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于，的最小值为故选：二填空

6、题（共13小题）8如图，中，为边上一点，则最小值为 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，此时：，则最小值为，故答案为：9如图，中，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是 5【解答】解：过点作于点，在中，在中，当、三点在同一直线上，且时取得最小值，的最小值为5故答案为510如图，为等边三角形，平分，的面积为，点为上动点，连接，则的最小值为 【解答】解：过作于，过点作于，为等边三角形，平分，的面积为，的最小值为故答案为：11如图，在中，点沿折叠与上的点重合连接，请你探究：；请在这一结论的基础上继续思考：如图，在中，若，点是边上的

7、动点，则的最小值为 【解答】解：，点沿折叠与上的点重合，作点关于的对称点，作交于点，交于点，此时的值最小，在中，在中，在中，的最小值为，故答案为：，12如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，若是轴上一动点，点在轴上，连接，则点的坐标是 ，的最小值是 【解答】解：过点作于，过点作于二次函数的图象与轴交于点，二次函数的解析式为，令，解得或3，的最小值为，的最小值为4故答案为：，413如图，中，为射线上一点，一动点从出发，运动路径为，点在上的运动速度是在上的倍，要使整个运动时间最少，则点的坐标应为 【解答】解：过点作交于点，交于点，连接，设点的运动时间为，在上的运动速度

8、为，点在上的运动速度是在上的倍，当、点三点共线时，此时有最小值，即，故答案为：14如图，在直角坐标系中，点的坐标为，是直线在第一象限内的一个动点（1）（2）当的值最小时，点的坐标是 【解答】解：（1）设，过点作轴交于，故答案为：；（2）作点关于直线的对称点，过作轴交于，连接，此时的值最小，故答案为：，15如图，在中，若是边上的动点，则的最小值为 6【解答】解：如图，在中，在的下方作，作于，作于，当点在时，故答案是616如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴和轴交于点和点若定点的坐标为，点是轴上任意一点，则的最小值为 【解答】解：过点作直线与轴的夹角，作点关于轴的对称点，过点作交于点、交轴

9、于点，此时取最小值，的坐标为，直线的图象分别与轴和轴交于点和点，取最小值为，故答案为：17如图，中，为边上的一动点，则的最小值等于4【解答】解：如图过点作的垂线交延长线于点，四边形是平行四边形，要求的最小值，即求的最小值，当点、三点共线时，取最小值，最小值为的长，在中，故答案为：418如图，中，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 【解答】解：如图，作于，于，设，则有：，或（舍弃），（等腰三角形两腰上的高相等），的最小值为故答案为19如图，在平行四边形中，为边上的一动点，则的最小值等于 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，故答案为：20如

10、图，在中，点是在边上的动点，则的最小值是 【解答】解：过点作交于的延长线于点，当时，此时，取最小值，故答案为：专题21 相似三角形综合题1如图1，RtABC中，C=90，AB=15，BC=9，点D，E分别在AC，BC上，CD=4 x，CE=3x，其中0x3(1)求证：DEAB；(2)当x=1时 ，求点E到AB的距离；(3) 将DCE绕点E逆时针方向旋转，使得点D落在AB边上的D处. 在旋转的过程中，若点D的位置有且只有一个，求x的取值范围.图1备用图1备用图22在矩形ABCD中，AB3，BC4，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，以AE为边向上作正方形AEFG设点E的运动时间为t（t0）

11、（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DMEM时；求t的值（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值3如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，P,E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形（1）若PCD是等腰三角形时，求AP的长；（2）若AP=，求CF的长4如图1，点O为正方形ABCD 的中心，E为AB 边上一点，F为BC边上一点，EBF的周长等于 BC 的长.（1）求EOF 的度数.（2）连接 OA、OC（如图2）.求证：AOECFO.（3）若OE=OF，求的值.5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，动点P从点D出发沿DA向终点A运

12、动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动过点P作PEDC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动设PEy；（1）求y关于x的函数关系式；（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由6如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、，与相交于点.（1）求证；（2）若正方形的边长为，求的半径.7如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在AD上，BE与AC交于点F.（1）

13、若ACBE,求AE的长 ； （2）设DEF和DCF的面积分别为S1和S2，当AE=m时,求S1：S2；（3）当AE的长是多少时，DCF是等腰三角形？8如图，在平面直角坐标系中，A点是（6，0），B点是（0，8），动点P从点B出发，在BA边上以每秒5个单位的速度向点A作匀速运动，同时动点Q从点O出发，在OB边上以每秒4个单位的速度向点B作匀速运动，设运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）如1图，设BPQ的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）如2图，连接AQ、OP，如果AQOP，求t的值；（3）设PQ的中点为D点，则D点一定在直线_上9在RtABC中，AB=BC=5，B=90，将一块等腰直角三

14、角板的直角顶点O放在斜边AC上，三角板的两直角边分别交直线AB、BC于E、F两点（1）如图，若O为AC的中点，点E、F分别在边AB、BC上当OFC是等腰直角三角形时，FOC= ；求证：OE=OF；（2）如图，若AO：AC=1：4时，OE和OF有怎样的数量关系？证明你发现的结论10如图1，矩形ABCD中，AB3，BC4，点P是线段AD延长线上的一个动点，连接CP，以CP为一边，在CP的左侧作矩形CPFE（1）若DP，如图1，当矩形CPFE的顶点F恰好落在CD的延长线上，求PF的长；如图2，求证：点A一定在矩形CPFE的边CE所在的直线上；如图3，连接EP，易知EP中点O在CP的垂直平分线上，设C

15、P的垂直平分线交BC的延长线于点G，连接BO，求5BO3OG的最小值；（2）如图4，若所作矩形CPFE始终保持CECP，在BC的延长线上取一点H，使CH2，连接HF，试探究点P移动过程中，HF是否存在最小值，若存在，请直接写出HF的最小值；若不存在，请说明理由11实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平 问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不

16、等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值12如图（1），已知点在正方形的对角线上，垂足为点，垂足为点（1）证明与推断：求证：四边形是正方形；推断：的值为_ _；（2）探究与证明：将正方形绕点顺时针方向旋转角，如图（2）所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：若，正方形在绕点旋转过程中，当三点在一条直线上时，则 13如图，在ABC中，B45，BC5，高AD4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H（1）当矩形EFPQ为正方形时，求正方形的边长；（2）设EFx，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的

17、面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线BC匀速向右运动（当矩形的顶点Q到达C点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围14如图1，在长方形纸片ABCD中，AB=mAD，其中m1，将它沿EF折叠(点E.F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0n1.(1)如图2，当n=1(即M点与D点重合)，求证：四边形BEDF为菱形；(2)如图3，当(M为AD的中点)，m的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当m=2(即AB=2AD)，n的

18、值发生变化时，的值是否发生变化?说明理由.15如图1，点M放在正方形ABCD的对角线AC(不与点A重合)上滑动，连结DM，做MNDM,交直线AB于N(1)求证：DM=MN；(2)若将(1)中的正方形变为矩形，其余条件不变如图，且DC=2AD，求MD:MN的值；(3)在(2)中，若CD=nAD，当M滑动到CA的延长线上时(如图3)，请你直接写出MD：MN的比值16如图，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果_；将图中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图，求HD：GC：EB；把图中的正方形都换成矩形，如图，且已知DA：，求此时HD：GC：EB的值简要写

19、出过程17如图，已知ABC中，ACB=90，AC=15，BC=20动点P在线段CB上，以1cm/s的速度从点C向B运动，连接AP，作CEAB分别交AP、AB于点F、E，过点P作PDAP交AB于点D（1）线段CE= ；（2）若t=5时，求证：BPDACF；（3）t为何值时，PDB是等腰三角形；（4）求D点经过的路径长18（1）我们知道：如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点它们的比值为_（2）在图中，若，则的长为_；（3）如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕试说明：是的黄金分割点；（4）如图，小明进一步探究：在边长为的正

20、方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点请猜想小明的发现，并说明理由专题21 相似三角形综合题1如图1，RtABC中，C=90，AB=15，BC=9，点D，E分别在AC，BC上，CD=4 x，CE=3x，其中0x3(1)求证：DEAB；(2)当x=1时 ，求点E到AB的距离；(3) 将DCE绕点E逆时针方向旋转，使得点D落在AB边上的D处. 在旋转的过程中，若点D的位置有且只有一个，求x的取值范围.图1备用图1备用图2【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【分析】(1)根据线段之间的比值得出CDE和CAB相似，从而得出平行；(2)过点

21、E作EHAB于点H，然后得出BEH和BAC相似得出EH的长度；(3)本题分AB于点和与点B重合时两种情况分别求出x的值【详解】(1)， . ， .，. .(2)、过点E作EHAB于点H.，.，.， . . (3)当AB于点，. . 当与点B重合时，. ， . 综上：或.【点睛】本题主要考查的是三角形相似的性质与判定，属于中等难度的题型证明三角形相似和了解三角形相似的性质是解题的关键2在矩形ABCD中，AB3，BC4，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，以AE为边向上作正方形AEFG设点E的运动时间为t（t0）（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DMEM时；求t的值（2）如图2，当点F恰

22、好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值【答案】（1）；（2）所有符合条件的t的值t1或t3或t2或【分析】（1）连接，证明，求得 的值，进而求出，从而求证；（2）分四种情况讨论，根据矩形的性质和正方形的性质证明全等或相似，求得的长度，进而求解【详解】解：（1）连接，如图，正方形，矩形， ，在和中，在中，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；（2）分四种情况，当点在上时，如图，矩形，正方形，在和中，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；当点落在上时，如图，为正方形的对角线，矩形，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；当点落在上时，过点作交 于点，如图，正方形，矩形，在和中，设

23、，则，解得：，即，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；当点落在上时，过点作交 于点，如图，正方形，矩形，在和中，设，则，解得，经检验：是原方程的根，且符合题意，动点从出发，以每秒1个单位的速度，；故所有符合条件的的值或或或 【点睛】本题以动点为背景考查了正方形，矩形的性质，根据根据正方形，矩形的性质，利用全等或相似求出边长，进而分析求解是解题的关键3如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8，P,E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形（1）若PCD是等腰三角形时，求AP的长；（2）若AP=，求CF的长【答案】（1）4；5； （2） 【分析】（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可

24、得出结论；（2）先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出OCF=OFC，OCP=OPC，最后判断出ADPCDF，得出比例式即可得出结论【详解】（1）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，ADC=90，DC=AB=6，AC=10，要使PCD是等腰三角形，分三种情况讨论：当CP=CD时，AP=ACCP=106=4；当PD=PC时，PDC=PCD，PCD+PAD=PDC+PDA=90，PAD=PDA，PD=PA，PA=PC，AP=AC=5；当DP=DC时，如图1，过点D作DQAC于Q，则PQ=CQ，SADC=ADDC=ACDQ，DQ= =，CQ= =，PC=2CQ=，AP=

25、ACPC=10=，所以，若PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；（2）如图2，连接PF，DE记PF与DE的交点为O，连接OC，四边形ABCD和PEFD是矩形，ADC=PDF=90，ADP+PDC=PDC+CDF，ADP=CDF，BCD=90，OE=OD，OC=ED，在矩形PEFD中，PF=DE，OC=PF，OP=OF=PF，OC=OP=OF，OCF=OFC，OCP=OPC，OPC+OFC+PCF=180，2OCP+2OCF=180，PCF=90，PCD+FCD=90，在RtADC中，PCD+PAD=90，PAD=FCD，ADPCDF，=，AP=，CF=4如图1，点O为正方形ABCD 的中心，E

26、为AB 边上一点，F为BC边上一点，EBF的周长等于 BC 的长.（1）求EOF 的度数.（2）连接 OA、OC（如图2）.求证：AOECFO.（3）若OE=OF，求的值.【答案】（1）45；（2）证明见解析；（3）【分析】(1).在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG，然后证明OBE和OCG全等，从而得出BOECOG，BEOCGO，OEOG，根据三角形的周长得出EF=GF，从而得出FOE和GOF全等，得出EOF的度数；(2)、连接OA，根据点O为正方形ABCD的中心得出OAE=FCO=45，结合BOE=COG得出AEO=COF，从而得出三角形相似；(3)、根据相似得出线段比，

27、根据相似比求出AE和CO的关系，CF和AO的关系，从而得出答案【详解】解：(1).如图，在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG.点O为正方形ABCD的中心， OB=OC，BOC90，OBEOCG45OBEOCG（SAS）. BOECOG，BEOCGO，OEOG.EOG90，BEF的周长等于BC的长， EFGF.EOFGOF（SSS）.EOFGOF45(2).连接OA 点O为正方形ABCD的中心， OAEFCO45BOECOG， AEOBOEOBEBOE45，COFCOGGOFCOG45 AEOCOF，且OAEFCO AOECFO (3).AOECFO，即AE CO，CFAOOE

28、OF，AECO，CFAO点睛：本题主要考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，综合性非常强，难度较大熟练掌握正方形的性质是解决这个问题的关键5如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动过点P作PEDC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动设PEy；（1）求y关于x的函数关系式；（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有

29、满足要求的x的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx+3（2）当x时，QPBE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形（3）当x或x或x或x时，PQE为等腰三角形【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，得到D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由PE平行于CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形APE与三角形ADC相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到y与x的关系式；（2）若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对

30、邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值；（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AEAQ表示出QE，再根据PQPE，PQEQ，PEQE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由AQAE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PEQE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值【详解】（1）矩形ABCD，D90，ABDC3，AD

31、BC4，在RtACD中，利用勾股定理得：AC5，PECD，APEADC，AEPACD，APEADC，又PDx，AD4，APADPD4x，AC5，PEy，DC3，即，yx+3；（2）若QBPE，四边形PQBE是矩形，非梯形，故QB与PE不平行，当QPBE时，PQEBEQ，AQPCEB，ADBC，PAQBCE，PAQBCE，由（1）得：AEx+5，PA4x，BC4，AQx，即，整理得：5（4x）16，解得：x，当x时，QPBE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；（3）存在分两种情况：当Q在线段AE上时：QEAEAQx+5x5x，（i）当QEPE时，5xx+3，解得：x；（ii）当QPQ

32、E时，QPEQEP，APQ+QPE90，PAQ+QEP90，APQPAQ，AQQPQE，x5x，解得：x；（iii）当QPPE时，过P作PFQE于F，可得：FEQE（5x），PEDC，AEPACD，cosAEPcosACD，cosAEP，解得：x；当点Q在线段EC上时，PQE只能是钝角三角形，如图所示：PEEQAQAE，AQx，AEx+5，PEx+3，x+3x（x+5），解得：x综上，当x或x或x或x时，PQE为等腰三角形【点睛】此题属于相似综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分

33、类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面6如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、，与相交于点.（1）求证；（2）若正方形的边长为，求的半径.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】分析：（1）先,证出,再根据四边形是的内接四边形,得到,从而证出结论;(2) 连接根据得到,根据得,从而,得,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出的半径.【详解】（1）证明：在正方形中，.四边形是的内接四边形，.又，.（2）解：如图，连接.，.，即.，.在正方形中，.，是的直径.的半径为.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，正方形的性质关键是利用正方形的性质证明相似三

34、角形，利用线段，角的关系解题.7如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在AD上，BE与AC交于点F.（1）若ACBE,求AE的长 ； （2）设DEF和DCF的面积分别为S1和S2，当AE=m时,求S1：S2；（3）当AE的长是多少时，DCF是等腰三角形？【答案】（1）；（2）S1：S2=m(4-m):16；（3）、4、.【分析】（1）利用已知条件，得到，得到，代入求值可得到AE.（2）过F作BC,AD的垂线，长度分别为h1和h2，根据AEFCBF和AGFCBA，得到可以求得代入可得到比值.（3）分三种情况进行讨论，分别是CD=CF=3，DF=CF，DF=CD=3分开讨论即可得到结果.

35、【详解】（1）四边形ABCD是矩形;ABE是直角三角形;又ACBE,AFB=90,ABE+AEB=ABE+BAC=90.AEB=BAC,;（2）过F作BC,AD的垂线，长度分别为h1和h2,AEFCBF,h1+h2=3,又AGFCBA，S1：S2=S1：S2=m(4-m):16（3）本题分三种情况：当CD=CF=3时，AF=2，由（1）得AE:BC=AF:FC，AE=；当DF=CF时，F为AC的中点，此时E、D重合，AE=4；当DF=CD=3时，作DMAC于G，则CM=FM=，AF=，由（1）得AE:BC=AF:FC，AE=综上，AE=、4、【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质定理，添

36、加合适的辅助线是解题的关键.8如图，在平面直角坐标系中，A点是（6，0），B点是（0，8），动点P从点B出发，在BA边上以每秒5个单位的速度向点A作匀速运动，同时动点Q从点O出发，在OB边上以每秒4个单位的速度向点B作匀速运动，设运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）如1图，设BPQ的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）如2图，连接AQ、OP，如果AQOP，求t的值；（3）设PQ的中点为D点，则D点一定在直线_上【答案】（1）y=6t2+12t（0t2）；（2）；（3）y=4【详解】分析：（1）作PHOB于H由题意得到，由的定义，得到，从而求出；（2）作PHOB于H由，得到，由OAQHOP

37、， 得到，解方程即可；（3）由P（3t，84t），Q（0，4t），得到PQ的中点D的坐标，即可得出结论详解：（1）作PHOB于HA点是（6，0），B点是（0，8），OA6，OB8又轴轴，由题意得：，又， ，y=6t2+12t（0t2）；（2）作PHOB于H由上题可知：， ，OAQHOP， ，当时，则有（3）P（3t，84t），Q（0，4t），PQ的中点D（1.5t，4），即点D的纵坐标固定不变，D点一定在直线y=4上点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键，此类题目为中考的热点考题之一，应加强训练9在RtABC中，AB=BC=5，B=90，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，三角板的两直角边分别交直线AB、BC于E、F两点（1）如图，若O为AC的中点，点E、F分别在边AB、BC上当OFC是等腰直角三角形时，FOC= ；求证：OE=OF；（2）如图，若AO：AC=1：4时，OE和OF有怎样的数量关系？证明你发现的结论【答案】（1）90或45证明见解析（2）OF=3OE【详解】试题分析：（1）分和两种情况，分别写出的度数即可.连接OB，证明即可证明.（2）作于M，于N首先证明得到再证明得到试题解析：（1）当 当时，故答案为：90或45证明：如图中，连接OB