湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年高一下学期期中联考数学试卷含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 2024 年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 期中联考高一数学期中联考高一数学 考试时间：考试时间：2024 年年 4 月月 15 日下午日下午 15：0017：00；试卷满分：试卷满分：150 分分 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的）1复数2iz13i+=+的虚部是（）A12 B12 C1i2 D1i2 2下列关于平面向量的说法，其中正确的是（）A

2、若ab，则|ab B若/a b且|ab=，则ab=C若0a b=，则0a=或0b=D若a与b不共线，则a与b都是非零向量 3已知平面向量(1,2)a=，(3,4)b=，则向量a在向量b上的投影向量是（）A34,25 25 B6 8,5 5 C3 4,5 5 D34,55 4已知tan121tan=+，则cos 24+的值为（）A7 210 B210 C210 D7 210 5在ABC中，D在边 BC 上，延长 AD 到P，使得10AP=，若54PAmPBm PC=+（m为常数），则 PD 的长度是（）A9 B8 C7 D6 6若实数 x，y 满足332xy+=，21133xyn=+，则n的最小

3、值为（）A2 B8 C9 D12 7在ABC中，点 E，F 分别是线段 AB，AC 的中点，点P在直线 EF 上，若ABC的面积为 4，则22BCPB PC+的最小值是（）A2 B2 3 C4 D32 学科网（北京）股份有限公司 8已知定义在R上的函数()yf x=，对任意的1x，2,4x+且12xx，都有()()12120f xf xxx，且函数4yfx=+为奇函数若锐角ABC的三个内角为,A B C，则（）A()()0f Af B+B()()0f Af B+C()()0f Af B+=D()()f Af B+的符号无法确定 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 3 小题小题，每小题

4、每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有多项符合题目要求多项符合题目要求，全部选对的得全部选对的得 6 分分，部分选对的得部分分部分选对的得部分分，有选错的得有选错的得 0 分分）9主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为()3sin|62f xx=+R，1()2f xm n=，且()yf x=的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2（1）求函数()yf x=的解析式；（2）若0a，且函数()yf x=在区间(,2)aa上

5、单调，求a的取值范围 18（17 分）如图，在ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，D 为 BC 边上一点，已知2b=，4c=，23A=学科网（北京）股份有限公司 （1）若 AD 平分BAC，求 AD 的长；（2）若 D 为 BC 边的中点，E，F 分别为 AB 边及 AC 边上一点（含端点）且AExAB=，AFyAC=，1xy+=，求DE DF 的取值范围 19（17 分）阅读以下材料并回答问题：单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数n，满足10nz =的所有复数22cosisin()kkzkZnn=+称为n次单位根，其中，满足对任意小于n的正整数m，都有1mz，则称这种复数

6、为n次本原单位根例如，4n=时，存在四个 4 次单位根1，i，因为111=，2(1)1=，因此只有两个 4 次本原单位根i；分圆多项式：对于正整数n，设n次本原单位根为12,mz zz，则多项式()()()12mxzxzxz称为n次分圆多项式，记为()nx；例如24()(i)(i)1xxxx=+=+；回答以下问题：（1）直接写出 6 次单位根，并指出哪些为 6 次本原单位根（无需证明）；（2）求出6()x，并计算6321()()()()xxxx，由此猜想1264321()()()()()()xxxxxx的结果，（将结果表示为1110()nnnnnxa xaxa xa=+的形式）（猜想无需证明）

7、；（3）设所有 12 次本原单位根在复平面上对应的点为12,mA AA，两个 4 次本原单位根在复平面上对应的点为12,B B，复平面上一点P所对应的复数z满足|2z=，求1212mPAPAPAPBPB 的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校 2024 年春季期中联考年春季期中联考 高一数高一数学参考答案学参考答案 一、二选择题：一、二选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D C B B B C A AC BCD ABD 8【答案】A【详解】由题可知，()f x在区间,4+上单调递增，且函数4y

8、fx=+为奇函数，则44fxfx+=+，故()2f xfx=，当0 x=时，有44ff=，即04f=，又因为4yfx=+图象关于原点(0,0)对称，则()f x图象关于点,04对称，所以，()f x在R上单调递增()()()2f Af Bf AfB+=，而ABC为锐角，故2AB+，则2AB，所以()02f AfB，即()()0f Af B+，选 A 11、【答案】ABD【详解】()22212112231|(1,2)24cos60444172aeeeeee=+=+=+=，故 A 正确；()()12122232 234(2 23 2)02a beeee=+=+=，即ab，故 B 正确；125ee最

9、小值为52可知15e在2e方向投影向量的长度为532，即3cos2=，可得6=或56，C 错误；1212eeee两边平方得212 cos22cos+对(0,)成立，则212(1)cos，即22(1)cos10+，由于(0,)，cos(1,1)，学科网（北京）股份有限公司 故222(1)1102(1)(1)10+，解得3 或1，综上所述(,31,)+，故 D 正确 三、填空题三、填空题 1258 133A=；2 33=（对一个给 2 分，全对给 5 分）144 3【详解】设aOA=，bOB=，cOC=，点C在单位圆上，点,A B也在圆上，则acCA=，bcCB=，由()()0acbc=，可得：C

10、ACB，作矩形ACBD，则|abOAOBBA=下证：2222|OAOBOCOD+=+设 AB，CD 交于点P，连接 OP，因OAOPPA=+，则2222OAOPPAOP PA=+，同理可得：2222OBOPPBOP PB=+，两式左右分别相加得：2222222222212222244BADCOAOBOPPAPBOPBAOPOP+=+=+=+=+2222222OCODOCODOCOD+=+=+即2222|abcOD+=+，故|2 3OD=又|2|2|2|2|2|4 3ababBAOPCDOPPDOPOD+=+=+=+=，故|abab+的最小值是4 3 四、解答题四、解答题 15【答案】（1）(2

11、,4)b=或(2,4)b=（2）18【详解】（1）由题意，设(,2)ba=，|2 5b=，22(2)2 5+=，2=，(2,4)b=或(2,4)b=学科网（北京）股份有限公司（2）(5)()abab+，(5)()0abab+=，22540aa bb=，54a b=设a与b的夹角为，则514cos8|52 5a ba b=a与b的夹角的余弦值为18 16【答案】（1）3；（2）2313S=【详解】（1）在ABC中，由余弦定理，2222cosabcbcA=+，又222bcbca+=，则1cos2A=，而0A，则3A=（2）由1sin7C=得4cos37C=，若4cos37C=，那么341113si

12、nsin()sincoscossin3272714BACACAC=+=+=+=，由正弦定理，sinsinabAB=，则sinsinbAaB=，因此223121sinsin227sin31322sin13214bACSabCB=，若4cos37C=，那么341111sinsin()sincoscossin3272714BACACAC=+=+=+=（舍），因此2313S=注：也可以通过角的大小关系，由1sinsin7CA=，得到CA，故直接判断出4cos37C=，若无判断且无讨论扣 3 分 17【答案】（1）()sin 216f xx=（2）50,63 12 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1

13、）2131()3sincoscossin2cos21sin 212226f xxxxxxx=，由()f x的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2，有22T=，得1=，故()sin 216f xx=，（2）方法一：()sin 216f xx=，由于(,2)xaa，则22,4666xaa，又22Taa得到0,2a，故52,666a，则2,4,662 2aa 或32,4,6622aa 解得0,6a或5,3 12a，所以a的取值范围50,63 12 方法二：()sin 216f xx=，令2()262kxkk+Z，解得单调区间为,()6232kkxk +Z，故(,2),()6232kkaak +Z，62

14、232kaka+，6264kka+，()kZ 由于6264kk+，故0k=或1k=当0k=时0,6a，当1k=时，5,3 12a，所以a的取值范围50,63 12 注：两个区间漏写一个扣 3 分 18【答案】（1）43；（2）3,3 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）在ABC中，ABCABDADCSSS=+，因此1211sinsinsin232323AB ACAB ADAD AC=+，即43bcADbc=+（2）由D为 BC 中点得：1122ADABAC=+，故1111()()2222DE DFDAAEDAAFxABACAByAC=+=+2211111112222224xAByACxyA

15、B AC=+1111111164(4)2222222xyxyxy=+22113463423444xyxyyy=+=+=+又0,1y，2113444DE DFy=+在0,1上单调递增；因此1y=时，max()3DE DF=；0y=时，min()3DE DF=即 3,3DE DF 19、【解析】（1）610z =的解为cosisin(0,1,2,3,4,5)33kkzk=+=，故 6 次单位根为131313131,1,i,i,i,i22222222+，6 次本原单位根为13i22+和13i22（6 次单位根 3 分，有漏写酌情扣 1-2 分，有错误 0 分，6 次本原单位根 1 个 1 分）（2）

16、261313()ii12222xxxxx=+=+又231313()ii12222xxxxx=+=+；2()1xx=+，1()1xx=，因此()()()()223366321()()()()(1)(1)11111xxxxxxxxxxxxx=+=+=，学科网（北京）股份有限公司 猜想121264321()()()()()()1xxxxxxx=（3）方法一：设 12 次单位根分别为0111,z zz，其中cosisin66kkkz=+，则不难发现：15711,z z z z为 12 次本原单位根，3z和9z为 4 次本原单位根，其余的根分别为 1，2，3，6次本原单位根，因此()()()121264

17、3211211()()()()()()1zzzzzzzzzzzzz=，12121311124()()mPAPAPAPBPBzzzzzzzz=又126126432112466321()()()()()()1()()1()()()()1zzzzzzzzzzzzzzz=+，又666111zzz+，且66|8zz=，故617,9z+，即12127,9mPAPAPAPBPB （若直接使用第二问的猜想121264321()()()()()()1xxxxxxx=扣 2 分）方法二：求出四个 12 次本原单位根分别为131i22z=+，231i22z=+，331i22z=，431i22z=，两个 4 次本原单位根分别为5iz=，6iz=，123412123456PAPAPAPAPBPBzzzzzzzzzzzz=()()()()()()61234561zzzzzzzzzzzzz=+又666111zzz+，且66|8zz=，故617,9z+即12127,9mPAPAPAPBPB