【教案】双曲线及其标准方程说课稿-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、3.2.1 双曲线及其标准方程尊敬的各位评委：大家好！我今天说课的内容是双曲线及其标准方程。下面， 我将从教学 内容及其解析、教学目标及其解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教 学过程设计五个方面来汇报我的思考与设计。一、教学内容及其解析1.教学内容本节课是人教 A 版选择性必修第一册第三章第二节第 1 课时。其主要内容包 括：双曲线的现实背景与几何情境，双曲线的几何特征与概念以及双曲线的标准 方程。2.教学内容解析本节内容是在学习直线和圆的方程以及椭圆的基础上， 先类比椭圆， 从几何 情境中抽象出双曲线的几何特征， 进而得出双曲线的概念， 然后建立它的标准方 程，最后再通过例题让学生进

2、一步熟悉双曲线的定义、方程和实际应用。本节课纵向承接椭圆和抛物线， 横向为双曲线简单几何性质的探究打下了基 础， 起到了深化提高、承上启下的重要作用， 为随后抛物线的学习提供了良好的 类比价值，也为从整体上认识圆锥曲线提供了经验。本节课的教学， 继续强化了几何概念的抽象过程， 充分发挥了坐标法的核心 纽带作用， 进一步贯彻了“先用几何眼光观察与思考、再用坐标法解决 ”的研究 策略，促进了学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等素养的发展。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：双曲线的几何特征，双曲线的定 义以及双曲线的标准方程。二、教学目标及其解析1.教学目标（1）能从几何情境中抽象出双

3、曲线的几何特征，给出双曲线的定义，并能用 它解决简单的问题，发展数学抽象素养。（2）类比椭圆标准方程的建立过程，运用坐标法推导出双曲线的标准方程， 并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、 数学运算等素养。2.教学目标解析达成上述目标的标志是：（1）能通过观察利用信息技术演示绘制双曲线的过程，明确双曲线上的点 满足的几何条件，明确双曲线的几何特征，形成双曲线的概念。（2）能认识建立双曲线标准方程的过程与建立椭圆标准方程的过程是类似 的。能通过建立适当的坐标系， 根据双曲线上点的几何特征， 列出双曲线上点的 坐标满足的方程，进而化简所列出的方程，得到双曲线的标准方程

4、；并能用它解 决简单的问题，进一步认识获得曲线的方程的方法。三、教学问题诊断分析1.问题诊断通过“直线和圆的方程 ”以及“椭圆 ”的学习， 学生基本掌握了用坐标法研 究曲线的基本思路与方法， 从知识和学习方式上已经具备了自行探索和推导方程 的基础， 对数形结合、类比的思想方法有了一定的体会， 有一定的分析问题、解 决问题的能力， 且具备小组交流和协同讨论的能力。但是， 双曲线对于概念理解 和运算水平有着进一步的要求，因此在学习中可能会遇到如下难点：（1）双曲线定义中“距离之差的绝对值”的理解（2）双曲线定义中的“非零常数（小于F1F2 )”的理解（3）双曲线标准方程的推导与化简2.问题分析对于

5、难点（1），我准备通过创设几何情境，改变几何条件和利用信息技术 等系列方式， 先给学生直观上的感受， 再让学生在同情境下认识椭圆、双曲线之 间的联系与差异， 进而类比椭圆的几何特征， 得出“距离之差的绝对值 ”是个常 数。对于难点（2），教学中我将引导学生进一步思考：平面内与两个定点的距 离的差等于零的点的轨迹是什么？进而讨论平面内与两个定点的距离的差的绝 对值不小于 F1F2 的点的轨迹，同时利用信息技术予以演示。对于难点（3），我主要是引导学生类比椭圆标准方程推导与化简的过程， 让学生自主推导双曲线的标准方程。对于推导过程中绝对值的处理， 学生可能会 有不同的方式，我将视具体学情予以引导，

6、并做好不同的预设准备。四、教学支持条件分析基于教学问题的诊断分析， 在教学中应充分发挥信息技术的作用， 在同情境 下演示椭圆和双曲线的形成过程， 同时出示生活中与双曲线有关的实物图片， 使 枯燥的知识“活 ”起来， 增强学习的趣味性， 让学生真实地感知双曲线， 为准确 认识双曲线的几何特征，增强探究的主动性和实效性。五、教学过程设计（一）创设情境，建构双曲线的概念情境：在直线l 上取两个定点A, B ，P 是直线l 上的动点.在平面内，取定点 F1 , F2 ,以点F1 为圆心、线段PA 为半径作圆， 再以F2 为圆心、线段PB 为半径作圆.探究 1：当P 在线段AB 上运动时，两圆何时相交？

7、相交时交点M 的轨迹是 椭圆吗？（1） PA - PB F1F2 PA + PB , PA + PB = ABPA - PB F1F2 AB 1 2 1 2MF + MF =PA + PB =AB FF 1 2 1 2MF + MF =AB FF （2）动画验证探究 2：如果P 在线段AB 外运动呢？（1） PA - PB F1F2 PA + PB ， PA - PB= ABAB F1F2 PA +PB MF1 - MF2 =PA - PB =AB F1F2 MF1 - MF2 =AB F1F2 （2）动画演示通过演示我们发现， 此时两圆交点的轨迹是不同于椭圆的曲线， 它是两支对 称的曲线，我

8、们称之为双曲线。【设计意图】创设几何情境， 改变几何条件， 利用信息技术， 在同一情境下 让学生发现椭圆、双曲线之间的联系与差异， 进而感知、获得双曲线的几何特征。（二）建系推导，建立双曲线的标准方程问题 1：你能类比椭圆的定义，用精确的数学语言刻画双曲线吗？师生活动：学生通过小组讨论，尝试用精确的数学语言给出双曲线的定义。 我展示学生的成果，并关注学生对定义中相关用语及符号表示的使用是否准确， 最后展示双曲线的完整定义.教学预设：实际教学中，将视学生描述双曲线定义的情况，对定义中的主要 关键条件作相应预设处理，并通过动画演示说明。1.若无关键词“绝对值”，则点的轨迹是双曲线的一支。2.若无关

9、键词“小于F1F2 ”，则点的轨迹可能是两条射线或不存在。3.若无关键词“非零”，则点的轨迹是线段F1F2 中垂线。在这里，我将向学生演示点的轨迹为两条射线的情况。通过对学生描述的完善，给出双曲线的完整定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1 , F2 的距离的差的绝对值等于非零常数 （小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点 间的距离叫做双曲线的焦距。设计意图：充分调动学生的积极性，突出学生的主体地位。通过追问，启发、 帮助学生完善对定义的描述，提高学生思维的严谨性和语言表达的准确性， 同 时让学生获得焦点和焦距的概念。师生活动：先请学生列举生活中与双曲线有

10、关的实物，然后教师展示实物图 片。设计意图：通过学生列举和教师展示图片，让学生进一步感知双曲线的几 何特征，为推导双曲线标准方程的理性认知打下基础， 同时体会双曲线具有广 泛的应用性。问题 2：回顾椭圆标准方程的推导步骤及方法，你能否推导出双曲线的标准 方程？师生活动：教师通过导学案的方式，引导学生回顾椭圆标准方程的推导步骤 及方法， 推导出双曲线的标准方程， 并视学生学情， 适时给予指导， 最后师生共 同总结得出双曲线的标准方程。导学案：椭圆双曲线图形推导过程由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集：P =M MF1 +MF2 =2a + =2a =2a - 对方程两边平方，得(x +c)2 +y2

11、 =4a2 - 4a +(x - c)2 +y2 整理，得a2 - cx =a +y2 对方程两边平方，得a4 - 2a2cx +c2x2 =a2x2 - 2a2cx +a2c2 +a2 y2 .追问 1：类比椭圆， 应该如何 建系得到的双曲线方程会比较简 单？双曲线上的点M 满足怎样的 等式？追问 2：类比椭圆， 你能化简 这个等式吗？整理，得(a2 - c2 )x2 +a2 y2 =a2 (a2 - c2 )两边同除以a2 (a2 - c2 ) ，得 - =1步骤总结根据椭圆的几何特征， 建立适当的直角坐 标系，用(x, y) 表示椭圆上任意一点 M 的坐标。明确椭圆上的点满足的几何条件，

12、 写出集 合： P =M p(M) 。将几何条件转化为代数式，并列出方程 f (x, y) =0 。化方程f (x, y) =0 为最简形式。说明以化简后的方程的的解为坐标的点都 在椭圆上。设计意图：类比椭圆标准方程推导的过程，推导出双曲线的标准方程，进一步熟悉求曲线的方程的一般步骤，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养。(x - c)2 +y2(x +c)2 +y2 -=2a教学预设：推导过程中，学生在处理 中的“绝对值 ”时， 可能会出现“直接两边平方 ”和“分类讨论 ”两种不同于教材的 处理方式，实际教学中将分别展示，然后进行点评总结，以达成共识。追问 3：上面化简的过程是否可逆呢？师生

13、活动：师生共同回顾推导过程，进而得出焦点在x 轴上的双曲线标准方 程以及a、b、c 间的关系。 - =1 (a 0, b 0) - =1 (a 0, b 0)设 计 意 图 ： 通 过 回 顾 说 明 双 曲 线 上 任 意 一 点 的 坐 标 (x, y) 都 是 方 程的解； 以方程 的解为坐标的点(x, y) 与双曲线的两个焦点F1 (- c, 0), F2 (c, 0) 的距离之差的绝对值都为2a ，即以方2 2x2 - y2 =1 (a 0, b 0)程 的解为坐标的点都在双曲线上。a b2 2追问 4： 也是双曲线的标准方程吗？它的焦点坐标是a by2 - x2 =1(a 0, b

14、 0)什么？师生活动：学生根据经验思考回答，教师适时引导。设计意图：直接给出焦点在y 轴上的双曲线标准方程，积累类比经验。追问 5：对比双曲线与椭圆的标准方程，你能找出哪些异同点呢？并完成下 列表格。师生活动：学生对比双曲线与椭圆的标准方程，找出异同点，并完成下列表 格，教师适时引导。椭圆双曲线焦点在x 轴上标准方程焦点坐标焦点在y 轴上标准方程焦点坐标a、b、c 间的关系设计意图：推导出双曲线的两个标准方程后，通过对比观察和小组交流，由 学生找出它们的异同点， 以起到强化的效果， 从而升华学生对双曲线标准方程的 认识。（三）及时巩固，熟练运用例 1： 已知双曲线的两个焦点分别为 F1 (-

15、5, 0), F2 (5, 0) ,双曲线上一点 P 与 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程.变式 1：将题中“ F1 (- 5, 0), F2 (5, 0) ”改为：F1 (0, - 5), F2 (0, 5) ，其他条件不变， 结果会如何？变式 2：将题中“绝对值”删除，其他条件不变，结果会如何？设计意图：双曲线概念的直接应用，在此基础上进行变式，促进学生举一反 三，领悟知识实质。例 2： 已知A, B 两地相距800m， 在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。设计意图：双曲线在实际生活中的简单应用，突出了

16、双曲线的广泛应用性， 强化了学生数学建模和数学应用的意识。（四）回顾反思，提炼升华问题 3：通过本节课的学习，你获得了哪些知识？从获取知识的过程中你有 什么感悟？师生活动：学生总结，教师引导。（1）知识梳理：双曲线的几何特征，双曲线的定义与标准方程以及简单的 应用。（2）数学思想与研究方法的提炼：本节内容充分体现了类比法以及数形结 合的思想方法， 同时以坐标系为工具， 用代数方法来解决双曲线方程的建立问题， 实现了几何问题代数化。设计意图：及时梳理、提炼与升华所学知识，加深学生对知识的理解，形成 学生自己的认知结构。突出重点，抓住关键，培养学生的概括能力。（五）布置作业1.教科书 P121：练

17、习： 1,2,3,42.思考：你能在y 轴上找一点B ，使得 OB 等于方程 - =1 (a 0, b 0)中的b ？3.探究：点A, B 的坐标分别是(- 5, 0), (5, 0) ，直线 AM , BM 相交于点M ,且它 们斜率之积是 ，试求点M 的轨迹方程， 并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3. 1例 3 比较，你有什么发现？师生活动：播放歌曲悲伤的双曲线MV部分歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数， 你就是那坐标轴。虽然我们有缘， 能够生在同一个平面， 然而我们又无缘， 漫漫 长路无交点。设计意图：歌曲悲伤的双曲线融合了数学与音乐之美，激发学生预习双 曲线几何性质的欲望， 为下节内容做铺垫， 同时为学生理解渐近线也提供了一个 极佳的素材。后面附上板书设计，实际课堂教学完成后，我会继续完善教学反思与评价。板书设计：教学评价与反思：以上就是我对本节课的思考与设计， 由于没有进行实际的教学， 本次说课难 免与实际教学产生偏差， 我会在实际教学中予以适当的修正， 不足之处敬请各位 评委指正，谢谢!学科网（北京）股份有限公司