2024届安庆高三三模数学试题含答案.pdf

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1、 学科网（北京）股份有限公司 安庆示范高中安庆示范高中 2024 届高三联考届高三联考 数学试题数学试题2024.4 命题单位：安庆一中命题单位：安庆一中 审稿单位：太湖中学、野寨中学、石化一中审稿单位：太湖中学、野寨中学、石化一中 考生注意：考生注意：1满分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 2考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

2、毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，区域内作答，超出答题区域书写的答案无效超出答题区域书写的答案无效，在试题卷在试题卷、草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效 一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1已知线段AB是圆O的一条长为 4 的弦，则AO AB=（）A4 B6 C8 D16 2复数z满足()43ii2iz+=，则z=（）A10 B26 C34 D5 2 3已知圆锥PO的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为

3、（）A4:1 B3:1 C2:1 D8:1 4已知一组数据12,mx xx的平均数为x，另一组数据12,ny yy的平均数为()y xy若数据12,x x，12,mnxy yy的平均数为()1a yaxz=+，其中112a，则,m n的大小关系为（）Amn Cmn=D,m n的大小关系不确定 5已知抛物线2:2(0)C xpy p=的焦点F到其准线的距离为 2，点()()1122,M x yN xy是抛物线C上两个不同点，且()()1212338xxxx+=，则NFMF=（）A13 B33 C3 D3 6 已知函数()fxax x=的图象经过点()2,8，则关于x的不等式()()2940fxf

4、x+的解集为（）A()(),41,+B()4,1 C()(),14,+D()1,4 7 在正方体1111ABCDABC D中，点,E F分别为棱,AB AD的中点，过点1,E F C三点作该正方体的截面，学科网（北京）股份有限公司 则（）A该截面多边形是四边形 B该截面多边形与棱1BB的交点是棱1BB的一个三等分点 C1AC 平面1C EF D平面11AB D平面1C EF 8 若 项 数 均 为()*2,n nnN的 两 个 数 列 ,nnab满 足()1,2,kkabk kn=，且 集 合 1212,1,2,3,2nna aa b bbn=，则称数列 ,nnab是一对“n项紧密数列”设数列

5、 ,nnab是一对“4 项紧密数列”，则这样的“4 项紧密数列”有（）对 A5 B6 C7 D8 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9已知集合2280Axxx=RR，若AB有且仅有 3 个不同元素，则实数m的值可以为（）A0 B1 C2 D3 10已知函数()sincos 2fxxx=+，则（）A函数()fx的最小正周期为 B函数()fx在0,3

6、上单调递增 C函数()fx的最大值为98 D若方程()()fxa a=R在,上有且仅有 8 个不同的实根，则918a 18（本题满分 17 分）已知数列 na的首项等于 3，从第二项起是一个公差为 2 的等差数列，且248,a a a成等比数列（1）求数列 na的前n项的和nS；（2）设数列 nb满足1tannnbS=且0,2nb，若数列 nb的前n项的和为nT，求tannT 19（本题满分 17 分）已知椭圆221:14xCy+=，圆222:1Cxy+=（1）点B是椭圆1C的下顶点，点P在椭圆1C上，点Q在圆2C上（点,P Q异于点B），连,BP BQ，直线BP与直线BQ的斜率分别记作12,

7、k k，若214kk=，试判断直线PQ是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由（2）椭圆1C的左、右顶点分别为点12,A A，点E（异于顶点）在椭圆1C上且位于x轴上方，连12,AE A E分别交y轴于点,M N，点F在圆2C上，求证：0FM FN=的充要条件为EFx轴 学科网（北京）股份有限公司 安庆示范高中安庆示范高中 2024 届高三联考届高三联考 数学试题参考答案数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 C D A B A C B B AB ACD ABD 一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分

8、，共分，共 40 分分 1C 【解析】由条件知22114822AO ABAB=，故选 C 2D 【解析】由条件知222i2ii43i43i55iiiz=，所以5 2z=，故选 D 3A 【解析】根据条件可知其外接球与内切球的半径之比为2:1，所以其表面积之比为4:1，故选 A 4B 【解析】由题意可知12mxxxxm+=，12nyyyyn+=，121mxxxy+()2nn zyym+=+，于是()xn zmnym+=+，又()1a yaxz=+，所以()()()1mxnymn zmnaxa y+=+=+，所以()()(),1mmn a nmna=+=+，两式相减得()()210mnmna=+，

9、所以mn，故选 B 5 A 【解析】由已知得24xy=，所以2211224,4xy xy=，根据()()1212338xxxx+=得221238xx=即124128yy=，于是()12131yy+=+，即3MFNF=，所以13NFMF=，故选 A 6C 【解析】由题意知()248fa=，解得2a=，所以()2fxx x=，其在R上单调递增，且函数()fx为 奇 函 数，()()93fxfx=，所 以 不 等 式()()2940fxfx+可 化 为()()()22344fxxxff=，于是234xx，解得4x 或1x ，故选 C 7B 【解析】将线段EF向两边延长，分别与棱CB的延长线，棱CD的

10、延长线交于,C H，连11,C C C H分别与棱11,BB DD交于,P Q，则可得到截面多边形1C PEFQ是五边形，A 错误；因111122BGBCBC=，所以111112BPBCPBBC=，于是截面与棱1BB的交点P是棱1BB的一个三等分点，B 正确，因1AC与1C P不垂直，1C P 平面1C EF，所以1AC与平面1C EF不垂直，选项 C 错误；因1AC 平面11AB D，所以平面1C EF与平面11AB D不平行，选项 D 错误，故选 B 学科网（北京）股份有限公司 8B 【解析】由条件知112233441,2,3,4abababab=，于是()()1234123410aaaa

11、bbbb+=，又()()()12341234818362aaaabbbb+=，所以1234123423,13aaaabbbb+=+=，于是“4 项紧密数列”有 :8,5,4,6,:7,3,1,2;:8,4,6,5,:7,2,3,1nnnnabab；:7,3,5,8,:6,1,2,4;:3,8,7,5,:2,6,4,1;:2,7,6,8,:1,5,3,4;:2,6nnnnnnnabababa，8,7,:1,4,5,3nb共有 6 对，故选 B 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分 9AB 【解析】由条件知22801,0,1,2,3Axx

12、x=RR2mx x，要使AB有且仅有 3 个不同元素，则012m，解得02m，所以小赵应购买甲款健身器材才能使用更长久 16解：（1）因,24APDP ADAP=，所以3PAD=，又4ADAE=，所以1AE=，根据余弦定理知 22212cos142 1 232PEAEAPAEAPPAD=+=+=，又33,4,CDABADABAD=，所以2,3 2,2 5BECEBC=，于是222BEPEPB+=，所以PEBE，学科网（北京）股份有限公司 222BECEBC+=，于是BECE，因PECEE=，所以BE 平面PCE，又BE 平面PBE，所以平面PBE 平面PCE（2）如图，以点E为原点，分别以,E

13、D EP所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系 则()()()()0,0,3,3,3,0,0,3,0,1,1,0PCDB 于是()3,3,0EC=，设平面PCD的法向量为(),mx y z=，又()()3,3,3,3,0,0PCDC=，于是333030m PCxyzm DCx=+=，所以不妨取()0,1,3m=，设直线CE与平面PCD所成角为，则32sincos,43 22EC mEC mEC m=，所以直线CE与平面PCD所成角的正弦值为24 17解：对函数()fx求导得()ln1fxxa=+，所以()e1 121faa=+=，解得1a=（1）由题意可知2lnex xxmx+对任意的()0,

14、x+恒成立，即2eln1xmx+对任意的()0,x+恒成立，只需2mincln1xmx+，学科网（北京）股份有限公司 令()2eln1,0g xxxx=+，对其求导得()22221eexgxxxx=，所以当()20,ex时，()0gx，函数()g x单调递增 所以()2min()e21 12g xg=+=，于是2m，因此实数m的取值范围是(,2（2）由条件知()2lnh xx xxx=+，对其求导得()ln2hxxx=+，函数()hx在()0,+上单调递增，且()1210,120eehh=+，所以存在01,1ex，使()00hx=，即00ln20 xx+=，当()00,xx时，()0h x，函

15、数()h x单调递增，于是0 x是函数()h x的极值点，所以()()20000000003ln222210fxxxxxxxxx+=+=+=，即得证 18解：（1）因248,a a a成等比数列，所以2428aa a=，即()()2222412aaa+=+，解得24a=，所以当*2,nnN时，2nan=，又13a=不符合上式，所以数列 na的通项公式为3,12,2nnan n=因此113Sa=，当*2,Nnn时，()()21423462312nnnSnnn+=+=+=+，学科网（北京）股份有限公司 又13S=符合上式，所以当*n N时，21nSnn=+（2）由（1）知()()211tan111

16、nnnbnnnn+=+令tan,0,2nncn c=，所以()()()1111tantantantan111tantannnnnnnnnnccbccnncc+=+，又10,0,22nnnbcc+，所以1nnnbcc+=因此()()()()1232132431nnnnTbbbbcccccccc+=+=+11ncc+=，所以()111111tantan1 1tantan1tantan112nnnnccnnTccccnn+=+，于是tan2nnTn=+19解：（1）设()()1122,P x yQ xy，则222211221,14xyxy+=+=，丁是()11221122411,11yxyxxyxy

17、+=，因点()210,1,4Bkk=，所以()1221411yyxx+=，于是121211xxyy=，整理得122112x yx yxx=，又直线PQ的方程为()211121yyyyxxxx=，即2121211221211121212112211yyyyyyx yx yyyyxxyxxxxxxxxxxxx=+=+=+，所以直线PQ过定点，定点坐标为()0,1（2）设()()3344,E xyF xy，则222233441,14xyxy+=+=，设()()0,0,MmNn，学科网（北京）股份有限公司 因()12,0A，所以直线()313:22yAE yxx=+，所以3322ymx=+，因()22

18、,0A，所以直线()323:22yA E yxx=，所以3322ynx=，于是2323332233334 1422412244xyyymnxxxx=+先证充分性：当EFx轴时，34yy=，所以2234yy=，即2234114xx=，于是4312xx=，设直线NF交x轴于点D，因EFx轴，所以2NENFNAND=，又342,2DNExNFxNANDx=，所以342Dxxx=，于是1Dx=，不妨设点E在第一象限，点F在第二象限，则1Dx=，即()1,0D，所以直线ND的方程为()1yn x=+，联立()2211yn xxy=+=得()()()221110 xnxn+=，解得1x=或2211nxn=

19、+，所以22212,11nnFnn+，于是2222221212,1111nnnnFM FNmnnnnn=+22222222221221122111111nnnnnnmnnnnnnnnn=+=+22222211011nnnn=+，所以充分性成立 再证必要性：当0FM FN=时，即()()44440,0,0 x myx ny=，整理得()224440 xymn ymn+=，又22441xy+=，所以412mnymnmn+=+，学科网（北京）股份有限公司 又2,A N E三点共线，所以直线2A E的方程为()22nyx=，1,A M E三分共线，所以直线1AE的方程为()22myx=+，联立()()2222nyxmyx=+，消去x，得22Emnymnmn=+，即342yymn=+，所以EFx轴，即必要性得证