同济大学第五版高等数学下课件D121基本概念.pptx

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1、同济大学第五版高等数学下课件d121基本概念REPORTING目录绪论极限论连续性导数与微分不定积分与定积分PART 01绪论REPORTING积分积分是高等数学中的一种运算，用于计算曲线与x轴所夹的面积。通过积分，我们可以解决实际问题中的面积、体积等问题。极限极限是高等数学的基本概念之一，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。通过极限，我们可以研究函数的连续性、可导性以及积分的概念。连续性连续性是函数的一种性质，描述了函数在某一点处的变化情况。如果函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。可导性可导性是函数在某一点处的极限存在且等于该点的导数值，即函数在该点处具有切线的斜率。可

2、导性是研究函数变化率的重要工具。高等数学的基本概念基础学科高等数学是理工科专业的基础学科，为其他学科提供了数学工具和理论基础。解决实际问题高等数学提供了解决实际问题的数学模型和方法，如物理、工程、经济等领域的问题。培养思维能力高等数学培养了学生的逻辑思维、推理能力和分析问题的能力，有助于提高学生的综合素质。高等数学的重要性近代数学近代数学的发展始于文艺复兴时期，主要成就是解析几何和微积分的创立和发展。现代数学现代数学的发展涉及多个领域，包括代数、几何、拓扑、概率论等，为科学技术的发展提供了重要的支撑。古代数学古代数学的发展主要集中在几何学和算术方面，如埃及、巴比伦、希腊等文明古国的数学成就。高

3、等数学的发展历程PART 02极限论REPORTING极限是描述函数在某一点附近的变化趋势的量，是函数值的聚点。根据不同的函数类型，极限的定义有所不同，包括数列的极限、函数的极限等。极限具有一些重要的性质，如唯一性、有界性、局部保号性等。这些性质在研究函数的极限行为和变化趋势时非常重要。极限的定义与性质极限的性质极限的定义单侧极限是指函数在某一侧趋近于某一点时的极限值。对于函数在某一点的左侧或右侧的极限，分别称为左极限和右极限。单侧极限的概念对于理解函数在某一点的极限行为非常关键。单侧极限双侧极限是指函数在两侧趋近于某一点时的极限值。如果函数在某一点的左侧和右侧的极限都存在且相等，则该函数在该

4、点具有双侧极限。双侧极限是研究函数整体性质的重要工具。双侧极限单侧极限与双侧极限无穷小量无穷小量是指趋于零的变量。在数学分析中，无穷小量是研究函数变化趋势的重要概念。根据不同的无穷小量，可以研究函数的连续性、可导性、积分等性质。无穷大量无穷大量是指趋于无穷的变量。类似于无穷小量，无穷大量也是数学分析中重要的概念。它可以用来研究函数的无穷大行为、级数和反常积分等。无穷大量与无穷小量是相互关联的概念，对于理解函数的极限行为非常关键。无穷小量与无穷大量PART 03连续性REPORTING函数在某一点连续的定义如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。函数在区间上连续的定义如果函数

5、在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。函数连续性的定义123连续函数的和、差、积、商仍为连续函数。复合函数在复合点连续，则其内外函数在复合点都连续。反函数的连续性：反函数的定义域和值域互换，如果原函数在某区间上连续，则其反函数在该区间上也是连续的。函数连续性的性质03连续函数的图像可以呈现出上升或下降的趋势，但不会出现间断或跳跃的情况。01连续函数的图像是连续不断的曲线。02在图像上，连续函数在某一点的左侧和右侧的函数值会逐渐接近，并在该点处相等。连续函数的图像分析PART 04导数与微分REPORTING导数的定义与性质导数的定义导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部性质的重

6、要体现。导数的性质导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等，这些性质在研究函数的单调性、极值等问题中有着重要的应用。基本初等函数的导数对于一些常见的初等函数，如幂函数、指数函数、三角函数等，可以直接查表得到它们的导数。复合函数的导数复合函数的导数可以通过链式法则进行计算，即先求内层函数的导数，再乘以外层函数的导数。隐函数的导数对于由方程确定的隐函数，可以通过对方程两边求导来得到其导数。导数的计算方法030201VS微分是函数在某一点附近的小增量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分的应用微分在近似计算、误差估计、求切线、求极值等方面有着广泛的应用。通过微分，我们可以

7、更精确地描述函数的变化规律，从而更好地理解函数的性质。微分的定义微分的概念与应用PART 05不定积分与定积分REPORTING不定积分是微分的逆运算，即求一个函数的原函数或不定原函数。不定积分的概念不定积分具有线性性质、积分常数性质、区间可加性等。不定积分的性质不定积分的概念与性质定积分的概念定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。定积分的性质定积分具有区间可加性、常数倍性质、绝对值性质等。定积分的概念与性质利用微积分基本定理，通过不定积分计算定积分。直接法通过换元公式将复杂的积分转化为容易计算的积分。换元法通过分部积分公式将两个函数的乘积的积分转化为各自的不定积分。分部积分法定积分的计算方法THANKS感谢观看REPORTING