【数学】一元线性回归模型课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

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1、 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数和样本相关系数,可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关还是负相关,以及线性相关程度的强弱等以及线性相关程度的强弱等.进一步地，如果能像建立进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样,通过建立适当的统通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系计模型刻画两个随机变量的相关关系,那么我们就可以利用这个模那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系型研

2、究两个变量之间的随机关系,并通过模型进行预测并通过模型进行预测.下面我们研究当两个变量线性相关时下面我们研究当两个变量线性相关时,如何利用成对样本数据如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题建立统计模型，并利用模型进行预测的问题一、知识回顾一、知识回顾1.1.正相关和负相关正相关和负相关：2.2.线性相关线性相关：3.3.非线性相关或曲线相关非线性相关或曲线相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的 相应值也呈现增加的趋势相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量我们就称这两个变量正相关正相关；如果当；如果当 一

3、个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量则称这两个变量负相关负相关.一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且 散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关线性相关.一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么 我们就称这两个变量我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关非线性相关或曲线相关.生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，生活经验告诉我

4、们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了1414名男大学生的身名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示.二、探究新知二、探究新知 利用前面表示数据的方法利用前面表示数据的方法,以横以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系高建立直角坐标系,再将上表中的成再将上表中的成对样本数据表示为散点图对样本数据表示为散点图,如右

5、图所如右图所示示.可以发现可以发现,散点大致分布在一条散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近从左下角到右上角的直线附近,表明表明儿子身高和父亲身高线性相关儿子身高和父亲身高线性相关,利用利用统计软件统计软件,求得样本相关系数为求得样本相关系数为rr0.8860.886，表明儿子身高和父亲身高正，表明儿子身高和父亲身高正线性相关线性相关,且相关程度较高且相关程度较高.编号编号1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414父亲身高父亲身高/cm/cm174174 170170 173173 169169 182182 172172 180180

6、 172172 168168 166166 182182 173173 164164 180180儿子身高儿子身高/cm/cm176176 176176 170170 170170 185185 176176 178178 174174 170170 168168 178178 172172 165165 182182父亲身高父亲身高/cm/cm185185165165170170175175180180160160185185165165170170175175180180160160190190儿子身高儿子身高/cm/cm 根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系根据表中的数

7、据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗可以用函数模型刻画吗?二、探究新知二、探究新知编号编号1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414父亲身高父亲身高/cm/cm174174 170170 173173 169169 182182 172172 180180 172172 168168 166166 182182 173173 164164 180180儿子身高儿子身高/cm/cm176176 176176 170170 170170 185185 176176 178178 174174 170170 168168

8、178178 172172 165165 182182 在表中的数据，存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况在表中的数据，存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况.例如，第例如，第6 6个和第个和第8 8个观测的父亲身高均为个观测的父亲身高均为172cm172cm，而对应的儿子身，而对应的儿子身高分别为高分别为176cm176cm和和174cm;174cm;同样，第同样，第3 3、4 4两个观测中，儿子身高都是两个观测中，儿子身高都是170cm170cm，而父亲身高分别为，而父亲身高分别为173cm173cm和和169cm.169cm.可见儿子身高和父亲身高可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系

9、之间不是函数关系,也就不能用函数模型刻画也就不能用函数模型刻画.根据根据散点图散点图，儿子身高和父亲身高这两个变量之间，儿子身高和父亲身高这两个变量之间具有线性具有线性相相关关关系关系吗吗?二、探究新知二、探究新知 图的散点大致分布在一条直线图的散点大致分布在一条直线附近附近,表明儿子身高和父亲身高这表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关两个变量之间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻系，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作亲身

10、高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差为随机误差,得到刻画两个变量之得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型间关系的线性回归模型.其中，随其中，随机误差是一个随机变量机误差是一个随机变量.父亲身高父亲身高/cm/cm185185165165170170175175180180160160185185165165170170175175180180160160190190儿子身高儿子身高/cm/cm三、三、一元线性回归模型一元线性回归模型 用用x x表示父亲身高，表示父亲身高，Y Y表示儿子身高，表示儿子身高，e e表示随机误差表示随机误差,假定随机假定随机误差误差e e的均值为的均值为0 0，方差

11、为与父亲身高无关的定值，方差为与父亲身高无关的定值2 2，则它们之间，则它们之间的关系可以表示为的关系可以表示为 为什么假设为什么假设E(e)E(e)=0=0，而不假设其为某，而不假设其为某个不为个不为0 0的常数的常数?我们称上式为我们称上式为Y Y关于关于x x的的一元线性回归模型一元线性回归模型其中，其中，Y Y称为称为因变因变量量或或响应变量响应变量，x x称为称为自变量自变量或或解释变量解释变量;a;a和和b b为模型的未知参数，为模型的未知参数，a a称为截距参数称为截距参数，b b称为斜率称为斜率参数参数;e e是是Y Y与与b bx xa a之间的之间的随机误差随机误差.模模型

12、中的型中的Y Y也是随机变量，其值虽然不能由变量也是随机变量，其值虽然不能由变量x x的值确定的值确定,但是却能但是却能表示为表示为bxbxa a与与e e的和的和(叠加叠加)，前一部分由，前一部分由x x所确定，后一部分是随所确定，后一部分是随机的机的.如果如果e=0e=0，那么，那么Y Y与与x x之间的关系就可用一元线性函数模型来之间的关系就可用一元线性函数模型来描述描述.对于父亲身高对于父亲身高x x和儿子身高和儿子身高Y Y的一元线性回归模型的一元线性回归模型 可以解释为父亲身高为可以解释为父亲身高为x xi i的所有男大学生的身高组成一个子总体，的所有男大学生的身高组成一个子总体，

13、该子总体的均值为该子总体的均值为bxbxi i+a+a，即该子总体的均值与父亲身高是线性函，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系而对于父亲身高为数关系而对于父亲身高为x xi i的某一名男大学生，他的身高的某一名男大学生，他的身高y yi i并不并不一定为一定为bxbxi i+a+a，它仅是该子总体中的一个观测值，这个观测值与均，它仅是该子总体中的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项值有一个误差项e ei i=y=yi i-(bx(bxi i+a)+a).三、三、一元线性回归模型一元线性回归模型 在研究儿子身高与父亲身高的关系时在研究儿子身高与父亲身高的关系时,产生随机误差产生随机误差

14、e e的原因的原因有有:(1)(1)除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等;(2)(2)在测量儿子身高时在测量儿子身高时,由于测量工具、测量精度所产生的测由于测量工具、测量精度所产生的测量误差量误差;(3(3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差也是产生随机误差e e的原因

15、的原因.你能结合具体实例解释产生模型你能结合具体实例解释产生模型(1)(1)中随机误差项的原因吗中随机误差项的原因吗?三、三、一元线性回归模型一元线性回归模型例例1 1 两个变量两个变量y y与与x x的回归模型的回归模型中中,分别选择分别选择了了4 4个不同模型个不同模型,它们的它们的 相关相关指数指数R R2 2如如下，下，其中拟合效果最好的模其中拟合效果最好的模型型是是()()A.A.模型模型1 1的相关指数的相关指数R R2 2为为0.980.98 B.B.模型模型2 2的相关指数的相关指数R R2 2为为0.800.80 C.C.模型模型3 3的相关指数的相关指数R R2 2为为0.

16、500.50 D.D.模型模型4 4的相关指数的相关指数R R2 2为为0.250.25四、精典例题四、精典例题例例2 2 已知经验回归方程已知经验回归方程y=2x-1y=2x-1，则该方程在样本，则该方程在样本(3,4)(3,4)处的残差为处的残差为 _._.四、精典例题四、精典例题五、课堂小结五、课堂小结 我们称上式为我们称上式为Y Y关于关于x x的的一元线性回归模型一元线性回归模型其中，其中，Y Y称为称为因变因变量量或或响应变量响应变量，x x称为称为自变量自变量或或解释变量解释变量;a;a和和b b为模型的未知参数，为模型的未知参数，a a称为截距参数称为截距参数，b b称为斜率称

17、为斜率参数；参数；e e是是Y Y与与b bx+x+a a之间的之间的随机误差，随机误差，即即e=Y-e=Y-(b bx+x+a a).模型中的模型中的Y Y也是随机变量，其值虽然不能由变量也是随机变量，其值虽然不能由变量x x的值的值确定确定,但是却能表示为但是却能表示为bxbxa a与与e e的和的和(叠加叠加)，前一部分由，前一部分由x x所确定，所确定，后一部分是随机的后一部分是随机的.如果如果e=0e=0，那么，那么Y Y与与x x之间的关系就可用一元线之间的关系就可用一元线性函数模型来描述性函数模型来描述.六、巩固提升六、巩固提升课堂练习课堂练习:第第107107页练习第页练习第2 2、3 3题题课堂作业课堂作业:第第120120页页习题习题8.28.2第第1 1题题