同济大学第五版高等数学课件D9习题.pptx

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1、同同济济大学第五版高等数学大学第五版高等数学(下下)课课件件D9习题习题函数与极限导数与微分微分中值定理与导数的应用不定积分定积分及其应用contents目录01函数与极限函数与极限理解函数的基本定义和性质总结词函数是数学中描述两个数集之间关系的一种工具。它定义了从一个数集到另一个数集的映射关系。函数的基本定义包括自变量、因变量和对应法则。此外，还需要理解函数的定义域和值域，以及函数的奇偶性、单调性和周期性等性质。详细描述函数的概念函数的极限掌握函数极限的定义和性质总结词函数的极限描述了函数在某一点附近的性质。具体来说，如果当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于一个确定的数，则称函数在该点有极

2、限。极限有几种不同的类型，包括数列的极限、函数的极限、无穷小量和无穷大量等。此外，还需要理解极限的基本性质，如极限的四则运算法则和复合函数的极限等。详细描述总结词理解无穷小量和无穷大量的概念和性质要点一要点二详细描述无穷小量和无穷大量是数学中描述变量在一定条件下无限接近于零或无穷大的概念。它们在微积分中有着重要的应用，如求极限、求导数和积分等。无穷小量是指在一定条件下趋于零的变量，而无穷大量则是指在一定条件下趋于无穷大的变量。此外，还需要理解无穷小量和无穷大量的性质，如等价无穷小替换和比较法则等。无穷小量与无穷大量02导导数与微分数与微分导数描述了函数在某一点的切线斜率，是函数局部变化率的重要

3、概念。总结词导数定义为函数在某一点附近的小范围内变化率与自变量变化率的比值，当自变量变化量趋于0时，这个比值就等于该点的导数值。导数描述了函数在某一点的切线斜率，反映了函数在该点的变化趋势。详细描述导数的概念总结词导数的计算方法包括求导公式、链式法则、乘积法则、商的导数法则等。详细描述求导公式包括基本初等函数的导数公式和复合函数的导数公式。链式法则用于计算复合函数的导数，乘积法则用于计算两个函数的乘积的导数，商的导数法则用于计算商的导数。这些法则可以组合使用，以便于计算复杂函数的导数。导数的计算VS微分是函数在某一点附近的小范围内变化量的近似值，是导数的几何意义。详细描述微分定义为函数在某一点

4、附近的小范围内变化量与自变量变化量的比值，当自变量变化量趋于0时，这个比值就等于该点的微分值。微分是函数在某一点附近的小范围内变化量的近似值，反映了函数在该点附近的变化趋势。微分值越大，表示函数在该点附近的变化越剧烈。总结词微分的概念03微分中微分中值值定理与定理与导导数的数的应应用用罗尔定理如果函数$f(x)$在闭区间$a,b$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且$f(a)=f(b)$，则存在$(a,b)$，使得$f()=0$。如果函数$f(x)$在闭区间$a,b$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，则存在$(a,b)$，使得$f()=fracf(b)-f(a)b-a$。如果函数$f(

5、x)$和$g(x)$在闭区间$a,b$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且$g(x)neq 0$，则存在$(a,b)$，使得$fracf()g()=fracf(b)-f(a)g(b)-g(a)$。拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理利用导数求切线方程对于函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f(x_0)$，切线斜率为$f(x_0)$，切点为$(x_0,f(x_0)$，切线方程为$y-f(x_0)=f(x_0)(x-x_0)$。利用导数研究函数的单调性如果$f(x)0$，则函数$f(x)$在对应区间内单调递增；如果$f(x)0$，则函数$f(x)$在对应区间内单调递减。利用导数求函数的

6、极值如果函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f(x_0)=0$，且在点$x_0$的左右两侧导数变号，则函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值。010203导数的应用利用导数判断曲线的凹凸性如果函数$f(x)$在某区间内的导数大于0，则函数曲线在该区间内为凹；如果函数$f(x)$在某区间内的导数小于0，则函数曲线在该区间内为凸。利用导数求曲线的拐点如果函数$f(x)$在点$x_0$处的导数等于0，且在点$x_0$的左右两侧二阶导数变号，则函数$f(x)$在点$x_0$处取得拐点。曲线的凹凸性与拐点04不定不定积积分分不定积分的概念与性质不定积分的概念不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求

7、一个函数的原函数或反导数的运算。不定积分的性质不定积分具有线性性质、积分常数性质和积分区间可加性等基本性质。直接积分法通过简单的代数运算和基本初等函数的积分公式，直接求出不定积分。换元积分法通过引入新的变量替换原函数中的部分变量，将复杂函数的不定积分转化为简单函数的不定积分。分部积分法通过将一个函数与导数相乘，将不定积分转化为更容易求解的形式。不定积分的计算方法简化计算过程对于一些复杂函数的不定积分，可以通过查询积分表找到相应的公式，简化计算过程。验证不定积分的正确性对于一些不易计算的不定积分，可以通过查询积分表验证计算结果的正确性。查询基本初等函数的积分公式积分表包含了各种基本初等函数的积分

8、公式，方便查询和记忆。积分表的使用05定定积积分及其分及其应应用用定积分的定义定积分是积分和的极限，表示函数在某个区间上的整体效果。定积分的几何意义定积分在几何上表示曲线与x轴所夹的面积。定积分的性质包括线性性质、区间可加性、常数性质、比较性质等。定积分的概念与性质ABCD定积分的计算方法微积分基本定理微积分基本定理是定积分计算的核心，它将定积分转化为求原函数在区间端点值的差。换元积分法通过适当的变量替换，将复杂的积分转化为容易计算的积分。分项积分法当被积函数在积分区间上具有不同的单调性时，可以采用分项积分法。分部积分法分部积分法是将两个函数的乘积的导数转化为一个函数的导数与另一个函数的积的方法。计算面积定积分可以用来计算平面曲线的面积。计算体积通过将旋转体的体积转化为定积分，可以计算旋转体的体积。物理应用定积分在物理中有广泛的应用，如计算变速直线运动的位移、变力做功等。经济应用定积分在经济中有许多应用，如计算成本、收益、利润等。定积分的应用THANKS。